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(共63张PPT)
第六章
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二项式定理
6.3.1
1.能用计数原理证明二项式定理.
2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.
3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
学习目标
英国科学家艾萨克·牛顿(Isaac Newton，1643-1727)被誉为人类历史上最伟大的科学家之一.他不仅是一位物理学家、天文学家，还是一位伟大的数学家.1664年冬，由于
导 语
瘟疫流行迫使牛顿从剑桥回到乡下，研读沃利斯博士的《无穷算术》，牛顿开始了对二项式定理的研究，并最终建立了二项式定理.那么，牛顿是如何思考的呢？
一、二项式定理的正用与逆用
二、二项式系数与项的系数
课时对点练
三、二项展开式中的特定项
随堂演练
内容索引
一
二项式定理的正用与逆用
在初中，我们用多项式乘法法则得到了(a+b)2的展开式：(a+b)2=(a+b)(a+b)=a×a+a×b+b×a+b×b=a2+2ab+b2.如何利用分步乘法计数原理解释上述展开过程呢？
问题
提示　从上述过程可以看到，(a+b)2是2个(a+b)相乘，根据多项式乘法法则，每个(a+b)在相乘时有两种选择，选a或选b，而且每个(a+b)中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项.于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，(a+b)2的展开式共有×=22项，而且每一项都是a2-kbk
(k=0，1，2)的形式.而且a2-kbk相当于从2个(a+b)中取k个b的组合数.
二项式定理
(a+b)n=___________________________________，n∈N*.
(1)这个公式叫做二项式定理.
(2)展开式：右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式，展开式中一共有______项.
(3)二项式系数：各项的系数(k=0，1，2，…，n)叫做二项式系数.
(4)通项：(a+b)n展开式的第_____项叫做二项展开式的通项，记作Tk+1=__________.
an+an-1b1+…+an-kbk+…+bn
n+1
k+1
an-kbk
(1)每一项中a与b的指数和为n.
(2)各项中a的指数从n起依次减小1，到0为止，各项中b的指数从0起依次增加1，到n为止.
(3)a与b的位置不能交换.
(4)二项式定理对任意的实数a，b都成立，若设a=1，b=x，则有(1+x)n=+x+x2+…+xk+…+xn.
注 意 点
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(1)求的展开式.
例 1
方法一　
=(3)4+(3)3+(3)2+(3+
=81x2+108x+54++.
方法二　==(1+3x)4
=[1+(3x)+(3x)2+(3x)3+(3x)4]
=(1+12x+54x2+108x3+81x4)
=++54+108x+81x2.
(2)化简：(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1.
原式=(2x+1)5-(2x+1)4+(2x+1)3-(2x+1)2+(2x+1)-(2x+1)0
=[(2x+1)-1]5=(2x)5=32x5.
若将例1(2)中的式子变为“1-2+4-8+…+(-2)n”，求化简结果.
逆用二项式定理，将1看成公式中的a，-2看成公式中的b，可得原式=(1-2)n=(-1)n.
延伸探究
(1)(a+b)n的二项展开式有n+1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n.②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.
(2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想，注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢.
反
思
感
悟
(1)求的展开式.
跟踪训练 1
方法一　
=(2x)5+(2x)4·+(2x)3+(2x)2
+(2x)+
=32x5-120x2+-+-.
方法二　=
=(4x3)5+(4x3)4(-3)+(4x3)3·(-3)2+(4x3)2(-3)3+(4x3)(-3)4
+(-3)5]=32x5-120x2+-+-.
(2)化简：(x+1)n-(x+1)n-1+(x+1)n-2-…+(-1)k(x+1)n-k+…+(-1)n.
原式=(x+1)n+(x+1)n-1(-1)+(x+1)n-2(-1)2+…+(x+1)n-k(-1)k+…+
(-1)n=[(x+1)+(-1)]n=xn.
二
二项式系数与项的系数
　 在二项式的展开式中，求：
(1)第4项的二项式系数；
例 2
的展开式的通项是
Tk+1=(3)10-k
=310-k(k=0，1，2，…，10).
则展开式的第4项(k=3)的二项式系数为=120.
(2)求展开式中x-1的系数.
令=-1，解得k=4.
所以展开式中x-1的系数为
36=30 240.
反
思
感
悟
二项式系数与项的系数是两个不同的概念.二项式系数是指，只与项数有关，与a，b的值无关，二项式系数的值恒为正；项的系数是指该项中除变量外的常数部分，不仅与项数有关，还与a，b的值有关，系数的值可正可负.
正确区分二项式系数与项的系数
　 已知的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之
比为1∶3.
(1)求n的值；
跟踪训练 2
因为二项式的展开式中第2项、第3项的二项式系数分别为，
所以==，解得n=7.
(2)求展开式中含项的系数.
因为展开式的通项为Tk+1=(3)7-k·=37-k，
当=-1时，k=3，
所以展开式中含34=2 835.
三
二项展开式中的特定项
在二项式的展开式中，求：
(1)第4项；
例 3
的展开式的通项为Tk+1=x12-k·=(-1)k.
令k=3，则T4=(-1)3=-220x8.
(2)常数项；
令12-k=0，解得k=9，
所以常数项为(-1)9=-220.
(3)有理项；
当k=0，3，6，9，12时，Tk+1是有理项，分别为T1=x12，T4=-x8=-220x8，T7=x4=924x4，
T10=-=-220，T13=x-4=.
(4)中间项.
因为n=12，所以展开项共有13项，所以中间项为第7项.
令k=6，得T7=(-1)6=924x4.
反
思
感
悟
(1)求二项展开式的特定项的常见题型
①求第k项，Tk=an-k+1bk-1(k∈N*，k≤n+1)；②求含xk的项(或xpyq的项)；③求常数项；④求有理项.
(2)求二项展开式的特定项的解题思路
①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；
②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解.
　 已知在的展开式中，第6项为常数项.
(1)求n；
跟踪训练 3
的展开式的通项为
Tk+1=(-3)k=(-3)k.
∵第6项为常数项，∴当k=5时，有=0，即n=10.
(2)求含x2项的系数；
令=2，得k=2，
∴所求项的系数为(-3)2=405.
(3)求展开式中所有的有理项.
由题意得
令=t(t∈Z)，则10-2k=3t，
即k=5-t.∵k∈N，∴t应为偶数.
令t=2，0，-2，则k=2，5，8.
∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x2，-61 236，295 245x-2.
1.知识清单：
(1)二项式定理的正用与逆用.
(2)二项式系数与项的系数.
(3)二项展开式中的特定项.
2.方法归纳：转化化归.
3.常见误区：二项式系数与系数的区别，an-kbk是展开式的第k+1项.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.二项式(a+b)2n的展开式的项数是
A.2n B.2n+1
C.2n-1 D.2(n+1)
√
展开式的项数比二项式的指数大1，故选B.
2.(x-y)6的展开式的第3项是
A.x4y2 B.x2y4
C.x3y3 D.-x3y3
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4
√
由题设，(x-y)6的展开式的通项为Tk+1=x6-k(-y)k，
∴第3项为T3=x4y2.
3.(2024·天津)在的展开式中，常数项为　　　.
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因为的展开式的通项为
Tk+1=
=36-2kx6(k-3)，k=0，1，…，6，
令6(k-3)=0，可得k=3，
所以常数项为30=20.
20
4.代数式(x+1)4-4(x+1)3+6(x+1)2-4(x+1)+1可化简为　　.
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4
(x+1)4-4(x+1)3+6(x+1)2-4(x+1)+1
=(x+1)4+(x+1)3(-1)1+(x+1)2(-1)2+(x+1)(-1)3+(-1)4
=[(x+1)-1]4=x4.
x4
课时对点练
五
1.(x+2)n的展开式共有16项，则n等于
A.17 B.16 C.15 D.14
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基础巩固
√
∵(a+b)n的展开式共有n+1项，而(x+2)n的展开式共有16项，∴n=15.
2.(2024·北京)(x-)4的展开式中，x3的系数为
A.15 B.6 C.-4 D.-13
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√
(x-)4的展开式的通项为Tk+1=x4-k(-)k=(-1)k，k=0，1，2，3，4，
令4-=3，解得k=2，
故所求系数即为(-1)2=6.
3.(多选)在二项式的展开式中，有
A.含x的项 B.含的项
C.含x4的项 D.含的项
√
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二项式的展开式的通项为Tk+1=·35-k·(-2)k·x10-3k，k=0，1，2，3，4，5.当10-3k=1时，k=3，A正确；
当10-3k=-2时，k=4，B正确；
当10-3k=4时，k=2，C正确；
当10-3k=-4时，k=，D错误.
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4.(x-y)10的展开式中x6y4的系数是
A.840 B.-840 C.210 D.-210
√
在通项Tk+1=x10-k(-y)k中，令k=4，即得(x-y)10的展开式中x6y4的系数为×(-)4=840.
5.若实数a=2-，则a10-2a9+22a8-…+210等于
A.32 B.-32 C.1 024 D.512
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√
a10-2a9+22a8-…+210=(a-2)10，
当a=2-时，(a-2)10=32.
6.在(1-x)5-(1-x)6的展开式中，含x3项的系数是
A.-5 B.5 C.-10 D.10
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方法一　(1-x)5中x3项的系数为-=-10，
-(1-x)6中x3项的系数为-·(-1)3=20，
故在(1-x)5-(1-x)6的展开式中，
含x3项的系数为10.
方法二　原式=(1-x)5x，
∴展开式中含x3的项为·x=10x3，即含x3项的系数为10.
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7.若二项式(1+2x)n的展开式中x3的系数等于x2的系数的4倍，则n=　　.
(1+2x)n的展开式的通项为Tk+1=(2x)k=2kxk，又x3的系数等于x2的系数的4倍，所以23=422，所以n=8.
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8.的展开式的中间项为　　　　.
-x3
因为n=6，所以展开式共有7项，所以中间项为第4项，
则展开式的中间项为T4=(x2)3
=x3=-x3.
9.已知的展开式中第3项的系数比第2项的系数大162.
(1)求n的值；
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因为T3=)n-2=4，
T2=)n-1=-2，
依题意得，4+2=162，所以2+=81，
所以n2=81，又n∈N*，故n=9.
(2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数.
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二项式的展开式的通项为
Tk+1=)9-k=(-2)k，
令=3，解得k=1，
所以含x3的项为T2=-2x3=-18x3.
二项式系数为=9.
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10.已知(+)n(其中n<15)的展开式中第9项与第11项的二项式系数和是第10项的二项式系数的2倍.
(1)求n的值；
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(+)n(其中n<15)的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数分别是.
依题意得，+
=2·，
化简得90+(n-9)(n-8)=20(n-8)，
即n2-37n+322=0，
解得n=14或n=23，因为n<15，所以n=14.
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(2)写出它展开式中的所有有理项.
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二项式(+)14的展开式的通项为
Tk+1==，
当且仅当k是6的倍数时，
展开式中的项是有理项，
又0≤k≤14，k∈N，
所以展开式中的有理项共3项，分别是
k=0，T1=x7=x7；
k=6，T7=x6=3 003x6；k=12，T13=x5=91x5.
11.对任意实数x，有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3，则a2的值为
A.3 B.6 C.9 D.21
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综合运用
∵x3=(x-2+2)3=(x-2)3+(x-2)2×2+(x-2)×22+×23=8+12(x-2)+
6(x-2)2+(x-2)3，∴a2=6.
12.若(ax+y)5的展开式中x2y3项的系数等于80，则实数a等于
A.2 B.±2 C.2 D.±2
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展开式的通项公式是Tk+1=·(ax)5-k·yk，当k=3时，x2y3项的系数为·a2
=80，解得a=±2.
13.(多选)已知(n≥3，n∈N*)的展开式中，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的3倍，则
A.n=7
B.展开式中有理项有且仅有1项
C.第4项为-
D.第3项的二项式系数为21
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第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的3倍，故有=3=3n，化简整理得n2-7n=0，解得n=7或n=0(舍去)，故A正确；
展开式的通项为Tk+1=)7-k==，
当k=2或k=6时，为整数，故当k=2或k=6时展开式为有理项，故B错误；
T4==-，故C正确；
第3项的二项式系数为=21，故D正确.
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14.已知在的展开式中，第9项为常数项，则
(1)n的值为　　　；
10
二项展开式的通项为Tk+1=·=(-1)k.
因为第9项为常数项，
所以当k=8时，2n-×8=0，
解得n=10.
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(2)含x的整数次幂的项有　　个.
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要使20-k为整数，需k为偶数，
由于k=0，1，2，3，…，9，10，
故符合要求的项有6个.
15.设二项式(a>0)的展开式中，x3的系数为A，常数项为B.若B=4A，则a的值是　　.
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拓广探究
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二项式(a>0)的展开式的通项为
Tk+1=x6-k=(-a)k，
令6-k=3，得k=2；令6-k=0，得k=4，
∴B=(-a)4，A=(-a)2.
∵B=4A，a>0，∴a=2.
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16.已知(+1)n的展开式中有连续三项的系数之比为1∶2∶3.
(1)这三项分别是第几项？
展开式各项系数为(k=0，1，2，…，n)，当k≥1时，由题意∶
∶=1∶2∶3，
即==
∴这三项分别是第5，6，7项.
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(2)若展开式的倒数第二项为112，求x的值.
倒数第二项为，
∴=14=112，即=8，
则log2=log28=3，即(log2x)2=3，解得log2x=±，
∴x=或x=.6.3.1　二项式定理
［学习目标］　1.能用计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
一、二项式定理的正用与逆用
问题　在初中，我们用多项式乘法法则得到了(a+b)2的展开式：(a+b)2=(a+b)(a+b)=a×a+
a×b+b×a+b×b=a2+2ab+b2.如何利用分步乘法计数原理解释上述展开过程呢？
知识梳理
二项式定理
(a+b)n=______________________________，n∈N*.
(1)这个公式叫做二项式定理.
(2)展开式：右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式，展开式中一共有　　　　　项.
(3)二项式系数：各项的系数(k=0，1，2，…，n)叫做二项式系数.
(4)通项：(a+b)n展开式的第　　　项叫做二项展开式的通项，记作Tk+1=　　　　　　　　　　.
例1　(1)求的展开式.
(2)化简：(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1.
延伸探究　若将例1(2)中的式子变为“1-2+4-8+…+(-2)n”，求化简结果.
反思感悟　(1)(a+b)n的二项展开式有n+1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n.②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.
(2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想，注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢.
跟踪训练1　(1)求的展开式.
(2)化简：(x+1)n-(x+1)n-1+(x+1)n-2-…+(-1)k(x+1)n-k+…+(-1)n.
二、二项式系数与项的系数
例2　在二项式的展开式中，求：
(1)第4项的二项式系数；
(2)求展开式中x-1的系数.
反思感悟　正确区分二项式系数与项的系数
二项式系数与项的系数是两个不同的概念.二项式系数是指，只与项数有关，与a，b的值无关，二项式系数的值恒为正；项的系数是指该项中除变量外的常数部分，不仅与项数有关，还与a，b的值有关，系数的值可正可负.
跟踪训练2　已知的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比为1∶3.
(1)求n的值；
(2)求展开式中含项的系数.
三、二项展开式中的特定项
例3　在二项式的展开式中，求：
(1)第4项；(2)常数项；
(3)有理项；(4)中间项.
反思感悟　(1)求二项展开式的特定项的常见题型
①求第k项，Tk=an-k+1bk-1(k∈N*，k≤n+1)；②求含xk的项(或xpyq的项)；③求常数项；④求有理项.
(2)求二项展开式的特定项的解题思路
①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；
②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解.
跟踪训练3　已知在的展开式中，第6项为常数项.
(1)求n；
(2)求含x2项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项.
1.知识清单：
(1)二项式定理的正用与逆用.
(2)二项式系数与项的系数.
(3)二项展开式中的特定项.
2.方法归纳：转化化归.
3.常见误区：二项式系数与系数的区别，an-kbk是展开式的第k+1项.
1.二项式(a+b)2n的展开式的项数是 (　　)
A.2n B.2n+1
C.2n-1 D.2(n+1)
2.(x-y)6的展开式的第3项是 (　　)
A.x4y2 B.x2y4
C.x3y3 D.-x3y3
3.(2024·天津)在的展开式中，常数项为　　　　.
4.代数式(x+1)4-4(x+1)3+6(x+1)2-4(x+1)+1可化简为　　　　.
答案精析
问题　从上述过程可以看到，(a+b)2是2个(a+b)相乘，根据多项式乘法法则，每个(a+b)在相乘时有两种选择，选a或选b，而且每个(a+b)中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项.于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，(a+b)2的展开式共有×=22项，而且每一项都是a2-kbk(k=0，1，2)的形式.而且a2-kbk相当于从2个(a+b)中取k个b的组合数.
知识梳理
an+an-1b1+…+an-kbk+…+bn　(2)n+1　(4)k+1　an-kbk
例1　(1)解　方法一　
=(3)4+(3)3+(3)2+
(3+=81x2+108x+54++.
方法二　==(1+3x)4
=［1+(3x)+(3x)2+(3x)3+(3x)4］
=(1+12x+54x2+108x3+81x4)
=++54+108x+81x2.
(2)解　原式=(2x+1)5-(2x+1)4+(2x+1)3-(2x+1)2+(2x+1)-(2x+1)0
=［(2x+1)-1］5=(2x)5=32x5.
延伸探究　解　逆用二项式定理，将1看成公式中的a，-2看成公式中的b，可得原式=(1-2)n=(-1)n.
跟踪训练1　(1)解　方法一　
=(2x)5+(2x)4·+(2x)3+
(2x)2+(2x)+
=32x5-120x2+-+-.
方法二　=
=［(4x3)5+(4x3)4(-3)+(4x3)3·(-3)2+(4x3)2(-3)3+(4x3)(-3)4+(-3)5］
=32x5-120x2+-+-.
(2)解　原式=(x+1)n+(x+1)n-1(-1)+(x+1)n-2·(-1)2+…+(x+1)n-k(-1)k+…+(-1)n
=［(x+1)+(-1)］n=xn.
例2　解　(1)的展开式的通项是
Tk+1=(3)10-k
=310-k(k=0，1，2，…，10).
则展开式的第4项(k=3)的二项式系数为=120.
(2)令=-1，解得k=4.
所以展开式中x-1的系数为36=30 240.
跟踪训练2　解　(1) 因为二项式的展开式中第2项、第3项的二项式系数分别为，，
所以=，即=，解得n=7.
(2)因为展开式的通项为
Tk+1=(3)7-k·=37-k，
当=-1时，k=3，
所以展开式中含项的系数为34=2 835.
例3　解　的展开式的通项为
Tk+1=x12-k·=(-1)k.
(1)令k=3，则T4=(-1)3=-220x8.
(2)令12-k=0，解得k=9，
所以常数项为(-1)9=-220.
(3)当k=0，3，6，9，12时，Tk+1是有理项，分别为T1=x12，T4=-x8=-220x8，T7=x4=924x4，
T10=-=-220，T13=x-4=.
(4)因为n=12，所以展开项共有13项，
所以中间项为第7项.
令k=6，得T7=(-1)6=924x4.
跟踪训练3　解　的展开式的通项为
Tk+1=(-3)k=(-3)k.
(1)∵第6项为常数项，∴当k=5时，有=0，
即n=10.
(2)令=2，得k=2，
∴所求项的系数为(-3)2=405.
(3)由题意得
令=t(t∈Z)，则10-2k=3t，
即k=5-t.
∵k∈N，∴t应为偶数.
令t=2，0，-2，则k=2，5，8.
∴第3项，第6项与第9项为有理项，
它们分别为405x2，-61 236，295 245x-2.
随堂演练
1.B　［展开式的项数比二项式的指数大1，故选B.］
2.A　［由题设，(x-y)6的展开式的通项为
Tk+1=x6-k(-y)k，
∴第3项为T3=x4y2.］
3.20
解析　因为的展开式的通项为
Tk+1=
=36-2kx6(k-3)，k=0，1，…，6，
令6(k-3)=0，可得k=3，所以常数项为30=20.
4.x4
解析　(x+1)4-4(x+1)3+6(x+1)2-4(x+1)+1
=(x+1)4+(x+1)3(-1)1+(x+1)2(-1)2+(x+1)(-1)3+(-1)4=［(x+1)-1］4=x4.

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