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第六章
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第1课时
二项式系数的性质
1.理解二项式系数的性质并灵活运用.
2.掌握“赋值法”并会灵活应用.
学习目标
被誉为“世界七大奇迹”之一的古埃及的金字塔，以其宏伟的气势、严密的结构、精美绝伦的整体外观让世界叹服.而数学上也有“金字塔”，这就是二项式(a+b)n的展开式在n=1，2，…时的二项式系数而垒成的金字塔，称为杨辉三角，它是我国南宋数学家杨辉首先发现的，比欧洲的帕斯卡早发现了600年左右.
导 语
一、二项式系数的对称性、增减性与最大值
二、各二项式系数的和
课时对点练
三、二项展开式的各项系数的和
随堂演练
内容索引
一
二项式系数的对称性、增减性与最大值
将(a+b)n展开式的二项式系数，，…，，…，写成如图所示的形式，请写出你发现的二项式系数的规律.
问题1
提示　每行两端都是1；每一行中的系数具有对称性；每一行中的系数都是先增后减，中间一项或两项的系数最大；在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和.
1.对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数 ，即=.
2.增减性与最大值：
(1)若n为奇数，当k≤时，，此时递增，当k≥时，，此时递减；若n为偶数，当k≤时，，此时递增，当k≥时，，此时递减.
(2)当n是偶数时，中间的一项_____取得最大值；当n是奇数时，中间的
两项______与______相等，且同时取得最大值.
相等
<
<
>
>
　 已知在(x-2)n(n∈N*)的展开式中，第2项与第8项的二项式系数相等.
(1)求n的值；
例 1
依题意得，=，解得n=8.
(2)求展开式中二项式系数最大的项.
因为n=8，展开式中共有9项，根据二项式系数的性质，可得第5项的二项式系数最大，于是展开式中二项式系数最大的项为x4(-2)4=1 120x4.
通过二项式系数的性质，利用对称性二项式系数相等；利用对(a+b)n的n的值进行讨论，求解二项式系数最大问题.
反
思
感
悟
　 (1)已知(a+b)2n的展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，则(2x-1)n的展开式中x3的系数为
A.80 B.40 C.-40 D.-80
跟踪训练 1
√
由题意=，所以3+7=2n，解得n=5，
则(2x-1)5的展开式的通项为
Tk+1=(2x)5-k(-1)k=(-1)k25-kx5-k，
由5-k=3，得k=2，所以x3的系数为(-1)2××23=80.
(2)如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a，b是某行的前两个数，当a=7时，b等于
A.20 B.21
C.22 D.23
√
由a=7，可知b左肩上的数为6，右肩上的数为11+5=16，所以b=6+16=22.
二
各二项式系数的和
提示　+++…+=2n；
+++…=+++…=2n-1.
在二项展开式(a+b)n=an+an-1b+an-2b2+…+an-kbk+…+bn
中，令a=b=1，可得到什么结论？令a=1，b=-1，可得到什么结论？
问题2
1.++…+=_____.
2.+++…=+++…=_______.
2n
2n-1
　 (1)的展开式中所有二项式系数的和是　　　；展开式
中所有偶数项的二项式系数和是　　　.(用数字作答)
例 2
的展开式中所有二项式系数的和是28=256，展开式中所有偶数项的二项式系数和是27=128.
256
128
(2)已知(x-my)n的展开式中二项式系数之和为64，x3y3的系数为-160，则实数m=　　　.
由题意得，2n=64，解得n=6，而(x-my)6的通项公式为Tk+1=x6-k(-my)k，0≤k≤6，k∈N，所以x3y3的系数为(-m)3=-160，解得m=2.
2
反
思
感
悟
(a+b)n的展开式的各二项式系数的和为2n.
　已知(1+2x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为
A.512 B.210 C.211 D.212
跟踪训练 2
√
∵(1+2x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，
∴=，解得n=10，各二项式系数之和为210，
∵奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系数的和相等，
∴(1+2x)10的展开式中奇数项的二项式系数和为×210=29=512.
三
二项展开式的各项系数的和
　若(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0，求：
(1)a1+a2+…+a7；
例 3
令x=0，得a0=-1.
令x=1，得a0+a1+…+a7=27=128， ①
∴a1+a2+…+a7=129.
(2)a1+a3+a5+a7；
令x=-1，则a0-a1+…+a6-a7=(-4)7， ②
由①-②得2(a1+a3+a5+a7)=128-(-4)7，
∴a1+a3+a5+a7=8 256.
(3)|a0|+|a1|+…+|a7|.
∵Tk+1=(3x)7-k(-1)k，
∴|a0|+|a1|+…+|a7|=-a0+a1-a2+a3-…-a6+a7=47=16 384.
反
思
感
悟
(1)对形如(ax+b)n(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x=1即可；对形如(ax+by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x=y=1即可.
(2)若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn，则f(x)的展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=，偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=.
求展开式的各项系数之和常用赋值法
　设(1-2x)2 024=a0+a1x+a2x2+…+a2 024x2 024(x∈R).
(1)求a0的值；
跟踪训练 3
在(1-2x)2 024=a0+a1x+a2x2+…+a2 024x2 024中，令x=0，得1=a0，∴a0=1.
(2)求a1+a2+a3+…+a2 024的值；
令x=1，得1=a0+a1+a2+a3+…+a2 024，
∴a1+a2+a3+…+a2 024=0.
(3)求a1+a3+a5+…+a2 023的值.
分别令x=-1，x=1，
得
②-①得1-32 024=2(a1+a3+…+a2 023).
∴a1+a3+a5+…+a2 023=.
1.知识清单：
(1)二项式系数的对称性、增减性与最大值.
(2)各二项式系数的和.
(3)二项展开式的各项系数的和.
2.方法归纳：赋值法.
3.常见误区：系数与二项式系数的区别，中间项的个数，含绝对值的系数.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.在(a-b)20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是
A.第15项 B.第16项
C.第17项 D.第18项
√
第6项的二项式系数为=，所以第16项符合条件.
2.的展开式中二项式系数最大的项是
A.第3项 B.第6项
C.第6，7项 D.第5，7项
1
2
3
4
√
+1项和+1项，即第6，7项的二项式系数相等，且最大.
3.若的展开式中所有二项式系数的和为64，则展开式中的常数项是
A.240 B.-240 C.160 D.-160
1
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4
√
由二项式系数的性质可知，二项式系数和为2n=64，所以n=6，的展开式的通项为Tk+1=(2x)6-k=(-1)k26-kx6-3k，
令6-3k=0，则k=2，
则常数项为T3=(-1)224=240.
4.若(2-x)7=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a7(1+x)7，则a0+a1+a2+…+a6+a7的值为　　　.
1
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令x=0，得a0+a1+a2+…+a7=27=128.
128
课时对点练
五
1.已知的二项展开式中，第3项与第9项的二项式系数相等，则所有项的系数之和为
A.212 B.312 C.310 D.210
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基础巩固
√
因为的二项展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，所以=，解得n=10，令x=1，得所有项的系数之和为310.
2.若(x+3y)n展开式的各项系数和等于(7a+b)10展开式中的二项式系数之和，则n的值为
A.5 B.8 C.10 D.15
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√
(7a+b)10的展开式的二项式系数之和为210，令x=1，y=1，得(x+3y)n展开式的各项系数之和为4n，则由题意知，4n=210，解得n=5.
3.(多选)(1+x)n展开式中，是最大的二项式系数，则n可以是
A.8 B.9 C.10 D.11
√
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√
√
当n=9时，=均为最大；当n=10时，最大；当n=11时，=均为最大.
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4.已知关于x的二项式展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为
A.1 B.±1 C.2 D.±2
√
由题意知2n=32，即n=5，在二项展开式的通项Tk+1=)5-k=
ak中，令15-5k=0，得k=3.
所以a3=80，解得a=2.
5.已知的展开式中，第3项的系数与倒数第3项的系数之比为1∶4，则展开式中二项式系数最大的项为
A.第3项 B.第4项 C.第5项 D.第6项
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的展开式的通项为Tk+1=)n-k·=·2k·，
第3项为T3=·22··22，
倒数第3项为Tn-1=·2n-2··2n-2，
由题意得，=24-n==2-2，所以n=6，
所以展开式中二项式系数最大的项为第4项.
6.(多选)设(2x-1)7=a0+a1x+a2x2+…+a6x6+a7x7，则下列结论正确的是
A.a2+a5=588
B.a1+a2+…+a7=1
C.a1+a3+a5+a7=
D.|a1|+|a2|+…+|a7|=37-1
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因为(2x-1)7展开式的通项为
Tk+1=(2x)7-k(-1)k=(-1)k27-kx7-k，
又(2x-1)7=a0+a1x+a2x2+…+a6x6+a7x7，
所以a2=(-1)527-5=-84，
a5=(-1)227-2=672，则a2+a5=588，故A正确；
令x=1，则(2-1)7=a0+a1+a2+…+a6+a7=1，
令x=0，则(0-1)7=a0=-1；
令x=-1，则(-2-1)7=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=-37，
故a1+a2+…+a7=1-a0=2，故B错误；
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a1+a3+a5+a7=-=，故C正确；
|a1|+|a2|+…+|a7|=a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7=-(a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7)+a0=37
-1，故D正确.
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7.若展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项是　　　.
令x=1，得2n=32，故n=5.
Tk+1=(x2)5-k=x10-2k-3k=x10-5k，
令10-5k=0，得k=2.
故展开式中的常数项为T3==10.
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8.设(3x-2)6=a0+a1(2x-1)+a2(2x-1)2+…+a6(2x-1)6，则=　　　.
-
令x=1，得a0+a1+a2+…+a6=1；令x=0，得a0-a1+a2-…+a6=64，两式相减得2(a1+a3+a5)=-63，两式相加得2(a0+a2+a4+a6)=65，故=-.
9.在二项式的展开式中，若第4项的系数与第7项的系数比为
-1∶14，求：
(1)二项展开式中的各项的二项式系数之和；
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Tk+1=)n-k=(-2)k，
∵(-2)3∶(-2)6=-1∶14，∴n=10.
++…+=210=1 024.
二项式的展开式的通项为
(2)二项展开式中的各项的系数之和.
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令x=1，得各项系数之和为(-1)10=1.
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10.设(2x-3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，求：
(1)a1+a2+a3+a4；
在(2x-3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4中，
令x=1，得(2-3)4=a0+a1+a2+a3+a4=1，
令x=0，得(0-3)4=a0=81，
所以a1+a2+a3+a4=a0+a1+a2+a3+a4-a0
=1-81=-80.
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(2)(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2；
在(2x-3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4中，
令x=1，得(2-3)4=a0+a1+a2+a3+a4. ①
令x=-1，得(-2-3)4=a0-a1+a2-a3+a4. ②
所以(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2
=(a0-a1+a2-a3+a4)(a0+a1+a2+a3+a4)
=(-2-3)4(2-3)4=(2+3)4(2-3)4=625.
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(3)|a1|+|a2|+|a3|+|a4|.
由展开式知a0，a2，a4为正，a1，a3为负，
所以|a1|+|a2|+|a3|+|a4|=-a1+a2-a3+a4
=a0-a1+a2-a3+a4-a0
=625-81=544.
11.若(1-2x)2 024=a0+a1x+…+a2 024x2 024(x∈R)，则++…+的值为
A.2 B.0 C.-2 D.-1
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综合运用
(1-2x)2 024=a0+a1x+…+a2 024x2 024，
令x=0，得a0=1，
令x=，得a0+++…+=0，
所以++…+=-1.
12.(多选)若的二项展开式共有8项，则该二项展开式中
A.各项二项式系数和为128
B.项数为奇数的各项系数和为-64
C.有理项共有4项
D.第4项与第5项的系数相等且最大
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因为的二项展开式共有8项，故n=7，则二项式系数和为2n=27=128，故A正确；
的展开式的通项为Tk+1=(-1)k
+++=64，故B错误；
根据Tk+1=(-1)k，当k取0，2，4，6时，Tk+1=(-1)k为有理项，共有4项，故C正确；
T4=-，T5=x，第4项与第5项的系数互为相反数，故D错误.
13.已知(1+x)3+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn(n∈N，且n≥3).若a1+a2+
a3+…+an=134，则a3=　　　.
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对于(1+x)3+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn(n∈N，且n≥3)，
令x=0，得a0=2；
令x=1，得(1+1)3+(1+1)n=a0+a1+a2+a3+…+an=2+134，
即2n=128，n=7，故a3=×10+×14=36.
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14.已知(2x-1)n的二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，则+++…+=　　　.
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设(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和为B.
则A=a1+a3+a5+…，B=a0+a2+a4+a6+….
由已知，B-A=38.
令x=-1，得a0-a1+a2-a3+…+an(-1)n=(-3)n，
即(a0+a2+a4+a6+…)-(a1+a3+a5+a7+…)=(-3)n，
即B-A=(-3)n.
∴(-3)n=38=(-3)8，∴n=8.
由二项式系数的性质，可得+++…+=2n-=28-1=255.
15.已知(1+x)2 024=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2 024x2 024，则a2 023+2a2 022+3a2 021+
4a2 020+…+2 023a1+2 024a0等于
A.2 024×22 024 B.2 023×22 023
C.2 024×22 023 D.2 023×22 022
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拓广探究
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令x=1，则a0+a1+a2+a3+…+a2 024=22 024，
故2 024(a0+a1+a2+a3+…+a2 024)=2 024×22 024， ①
等式(1+x)2 024=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2 024x2 024两边求导得
2 024(1+x)2 023=a1+2a2x+3a3x2+…+2 024a2 024x2 023，
令x=1，则2 024×22 023=a1+2a2+3a3+…+2 024a2 024， ②
由①②得a2 023+2a2 022+3a2 021+4a2 020+…+2 023a1+2 024a0
=2 024(a0+a1+a2+…+a2 024)-(a1+2a2+3a3+…+2 024a2 024)
=2 024×22 024-2 024×22 023=2 024×22 023.
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16.杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，如图是一个11阶杨辉三角.
(1)求第20行中从左到右的第4个数；
=1 140.
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(2)在第2斜列中，前5个数依次为1，3，6，10，15，在第3斜列中，第5个数为35.显然，1+3+6+10+15=35.事实上，一般地有这样的结论：第m-1斜列中(从右上到左下)前k个数之和，一定等于第m斜列中第k个数.
试用含有m，k(m，k∈N*)的数学公式表示上述结论，并给予证明.
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++…+=.
证明如下：
左边=++…+
=++…+
=…=+==右边.6.3.2　二项式系数的性质
第1课时　二项式系数的性质
［学习目标］　1.理解二项式系数的性质并灵活运用.2.掌握“赋值法”并会灵活应用.
一、二项式系数的对称性、增减性与最大值
问题1　将(a+b)n展开式的二项式系数，，…，，…，写成如图所示的形式，请写出你发现的二项式系数的规律.
知识梳理
1.对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数　　　　，即=.
2.增减性与最大值：
(1)若n为奇数，当k≤时，　　 ，此时递增，当k≥时，　　　 ，此时递减；若n为偶数，当k≤时，　　　　 ，此时递增，当k≥时，　　　 ，此时递减.
(2)当n是偶数时，中间的一项　　　　　　　　取得最大值；当n是奇数时，中间的两项　　　　　　　　与　　　　　　　相等，且同时取得最大值.
例1　已知在(x-2)n(n∈N*)的展开式中，第2项与第8项的二项式系数相等.
(1)求n的值；
(2)求展开式中二项式系数最大的项.
反思感悟　通过二项式系数的性质，利用对称性二项式系数相等；利用对(a+b)n的n的值进行讨论，求解二项式系数最大问题.
跟踪训练1　(1)已知(a+b)2n的展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，则(2x-1)n的展开式中x3的系数为 (　　)
A.80 B.40 C.-40 D.-80
(2)如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a，b是某行的前两个数，当a=7时，b等于 (　　)
A.20 B.21 C.22 D.23
二、各二项式系数的和
问题2　在二项展开式(a+b)n=an+an-1b+an-2b2+…+an-kbk+…+bn中，令a=b=1，可得到什么结论？令a=1，b=-1，可得到什么结论？
知识梳理
1.++…+=　　　　.
2.+++…=+++…=　　　　　.
例2　(1)的展开式中所有二项式系数的和是　　　　；展开式中所有偶数项的二项式系数和是　　　　.(用数字作答)
(2)已知(x-my)n的展开式中二项式系数之和为64，x3y3的系数为-160，则实数m=　　　　　　.
反思感悟　(a+b)n的展开式的各二项式系数的和为2n.
跟踪训练2　已知(1+2x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为 (　　)
A.512 B.210 C.211 D.212
三、二项展开式的各项系数的和
例3　若(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0，求：
(1)a1+a2+…+a7；
(2)a1+a3+a5+a7；
(3)|a0|+|a1|+…+|a7|.
反思感悟　求展开式的各项系数之和常用赋值法
(1)对形如(ax+b)n(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x=1即可；对形如(ax+by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x=y=1即可.
(2)若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn，则f(x)的展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=，偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=.
跟踪训练3　设(1-2x)2 024=a0+a1x+a2x2+…+a2 024x2 024(x∈R).
(1)求a0的值；
(2)求a1+a2+a3+…+a2 024的值；
(3)求a1+a3+a5+…+a2 023的值.
1.知识清单：
(1)二项式系数的对称性、增减性与最大值.
(2)各二项式系数的和.
(3)二项展开式的各项系数的和.
2.方法归纳：赋值法.
3.常见误区：系数与二项式系数的区别，中间项的个数，含绝对值的系数.
1.在(a-b)20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是 (　　)
A.第15项 B.第16项
C.第17项 D.第18项
2.的展开式中二项式系数最大的项是 (　　)
A.第3项 B.第6项
C.第6，7项 D.第5，7项
3.若的展开式中所有二项式系数的和为64，则展开式中的常数项是 (　　)
A.240 B.-240
C.160 D.-160
4.若(2-x)7=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a7(1+x)7，则a0+a1+a2+…+a6+a7的值为　　　　.
答案精析
问题1　每行两端都是1；每一行中的系数具有对称性；每一行中的系数都是先增后减，中间一项或两项的系数最大；在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和.
知识梳理
1.相等
2.(1)<　>　<　>　(2)　　
例1　解　(1)依题意得，=，解得n=8.
(2)因为n=8，展开式中共有9项，根据二项式系数的性质，可得第5项的二项式系数最大，于是展开式中二项式系数最大的项为x4(-2)4=1 120x4.
跟踪训练1　(1)A　［由题意=，
所以3+7=2n，解得n=5，
则(2x-1)5的展开式的通项为
Tk+1=(2x)5-k(-1)k=(-1)k25-kx5-k，
由5-k=3，得k=2，所以x3的系数为(-1)2××23=80.］
(2)C　［由a=7，可知b左肩上的数为6，右肩上的数为
11+5=16，所以b=6+16=22.］
问题2　+++…+=2n；
+++…=+++…=2n-1.
知识梳理
1.2n　2n-1
例2　(1)256　128
解析　的展开式中所有二项式系数的和是28=256，展开式中所有偶数项的二项式系数和是27=128.
(2)2
解析　由题意得，2n=64，解得n=6，而(x-my)6的通项公式为Tk+1=x6-k(-my)k，0≤k≤6，k∈N，
所以x3y3的系数为(-m)3=-160，解得m=2.
跟踪训练2　A　［∵(1+2x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，
∴=，解得n=10，各二项式系数之和为210，
∵奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系数的和相等，
∴(1+2x)10的展开式中奇数项的二项式系数和为
×210=29=512.］
例3　解　(1)令x=0，得a0=-1.
令x=1，得a0+a1+…+a7=27=128， ①
∴a1+a2+…+a7=129.
(2)令x=-1，则a0-a1+…+a6-a7=(-4)7， ②
由①-②得2(a1+a3+a5+a7)=128-(-4)7，
∴a1+a3+a5+a7=8 256.
(3)∵Tk+1=(3x)7-k(-1)k，
∴|a0|+|a1|+…+|a7|
=-a0+a1-a2+a3-…-a6+a7=47=16 384.
跟踪训练3　解　(1)在(1-2x)2 024
=a0+a1x+a2x2+…+a2 024x2 024中，
令x=0，得1=a0，
∴a0=1.
(2)令x=1，得1=a0+a1+a2+a3+…+a2 024，
∴a1+a2+a3+…+a2 024=0.
(3)分别令x=-1，x=1，得
②-①得1-32 024=2(a1+a3+…+a2 023).
∴a1+a3+a5+…+a2 023=.
随堂演练
1.B　［第6项的二项式系数为，又=，
所以第16项符合条件.］
2.C　［的展开式中第+1项和+1项，即第6，7项的二项式系数相等，且最大.］
3.A　［由二项式系数的性质可知，二项式系数和为2n=64，
所以n=6，的展开式的通项为
Tk+1=(2x)6-k=(-1)k26-kx6-3k，
令6-3k=0，则k=2，
则常数项为T3=(-1)224=240.］
4.128
解析　令x=0，得a0+a1+a2+…+a7=27=128.

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