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第六章
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第2课时
二项式定理的综合应用
1.熟练掌握二项式定理.
2.能够利用二项式定理解决两个多项式乘积的特定项问题.
3.掌握二项展开式中系数最大(小)问题.
4.能利用二项式定理解决整除(余数)问题.
学习目标
假如今天是星期一，7天后是星期几？16天后是星期几？ 82 024天后是星期几？怎样准确快速地得到答案？
导 语
一、两个二项式积与三项展开式问题
二、整除和余数问题及近似值问题
课时对点练
三、二项展开式中的系数最值问题
随堂演练
内容索引
一
两个二项式积与三项展开式问题
(1)已知(2x-a)的展开式中x2的系数为-240，则该二项展开式中的常数项为　　　　.
例 1
-640
的展开式的通项公式为Tk+1=x6-k=2kx6-2k(k=0，1，2，3，4，5，6)，
令6-2k=1，得k=(舍去)；
令6-2k=2，得k=2.
故(2x-a)的展开式中x2的系数为-a22=-240，解得a=4.
令6-2k=-1，得k=(舍去)；令6-2k=0，得k=3.
故(2x-4)的展开式中的常数项为-4×23=-640.
(2)的展开式中的常数项是　　　　.
方法一　原式=，
∴展开式的通项为=(k1=0，1，2，…，5).
当k1=5时，T6=()5=4，
当0≤k1<5时，的展开式的通项为T =
=(k2=0，1，2，…，5-k1).
令5-k1-2k2=0，即k1+2k2=5.
∵0≤k1<5且k1∈Z，
∴
∴常数项为4+××+××()3
=4++20=.
方法二　原式==·[(x+)2]5=·(x+)10.
求原式的展开式中的常数项，转化为求(x+)10的展开式中含x5项的系数，即)5.
∴所求的常数项为=.
求解两个二项式积的问题时，分别对每个二项展开式进行分析，找到构成展开式中特定项的组成部分，分别求解再相乘，求和即得；求解三项展开式时，应根据式子的特点，转化为二项式(或二项式积)来解决.
反
思
感
悟
　 (1)已知的展开式中常数项为80，则
a=　　　.
跟踪训练 1
-
展开式的通项公式为Tk+1=(2x)5-k=25-kx5-2k，令5-2k=0，无整数解；令5-2k=-1，解得k=3，T4=；令5-2k=1，解得k=2，T3=80x；
∴展开式中的常数项为40-80a=80，解得a=-.
(2)在(x2+x+y)5的展开式中，x5y2的系数为　　　.
方法一　(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5，
含y2的项为T3=(x2+x)3y2，
而(x2+x)3中含x5的项为x4x=x5，
所以x5y2的系数为=30.
方法二　(x2+x+y)5为5个x2+x+y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可得含x5y2的项，所以x5y2的系数为=30.
30
二
整除和余数问题及近似值问题
(1)实数1.9965的近似值为　　　　.(精确到0.001)
例 2
1.9965=(2-0.004)5=×25-×24×0.0041+×23×0.0042-×22×0.0043
+×2×0.0044-×0.0045
≈32-0.32+0.001 28=31.681 28，
将1.9965精确到0.001，故近似值为31.681.
31.681
(2)求证：32n+2-8n-9(n∈N*)能被64整除.
32n+2-8n-9
=(8+1)n+1-8n-9
=8n+1+8n+…+82+8+-8n-9
=8n+1+8n+…+82+8(n+1)+1-8n-9
=8n+1+8n+…+82.
上式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除.
反
思
感
悟
(1)利用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面(或前面)一、二项就可以了.
(2)解决求余数问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式.
(3)(1+a)n的近似计算的处理方法
当a的绝对值与1相比很小且n不大时，常用近似公式(1+a)n≈1+na，因为这时展开式的后面部分a2+a3+…+an很小，所以可以忽略不计，但是使用这个公式时应注意a的条件，以及对精确度的要求.若精确度要求较高，则可使用更精确的近似公式(1+a)n≈1+na+a2等.
　(1)1.026的近似值(精确到0.01)为　　　　.
跟踪训练 2
由二项式定理得，1.026=(1+0.02)6=1+×0.02+×0.022+×0.023
+…+0.026≈1+0.12+0.006≈1.13.
1.13
(2)设a∈Z，且0≤a<13，若512 024+a能被13整除，则a=　　.
因为512 024+a=(52-1)2 024+a=522 024-522 023+522 022-…
-×521+1+a能被13整除，故1+a能被13整除，又0≤a<13，故a=12.
12
三
二项展开式中的系数最值问题
　 (1)在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项的系数为
A.-126 B.-70 C.-56 D.-28
例 3
√
因为只有第5项的二项式系数最大，所以n=8，的展开式的通项为Tk+1=(-1)k(k=0，1，2，…，8)，
所以展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的系数相等，偶数项的二项式系数与相应偶数项的系数互为相反数，而展开式中第5项的二项式系数最大，因此展开式中第4项和第6项的系数相等且最小，为(-1)3=-56.
(2)(2024·全国甲卷)二项式的展开式中，各项系数的最大值是　　.
5
二项展开式的通项为Tk+1=xk，
0≤k≤10且k∈Z，
设展开式中第k+1项系数最大，
则
即≤k≤，又k∈Z，故k=8，
所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为=5.
反
思
感
悟
(1)求二项式系数的最大值，依据(a+b)n中n的奇偶及二项式系数的性质求解.
(2)求展开式中项的系数的最大值，设展开式各项的系数分别为A1，A2，…，An+1，且第k项系数最大，因此在系数均为正值的前提下，求展开式中项的系数的最大值只需解不等式组
求解二项展开式中系数的最值策略
即得结果.
　 (多选)已知的二项展开式中二项式系数之和为64，下列结论正确的是
A.二项展开式中各项系数之和为36
B.二项展开式中二项式系数最大的项为160
C.二项展开式中无常数项
D.二项展开式中系数最大的项为90x3
跟踪训练 3
√
√
因为的二项展开式中二项式系数之和为64，所以2n=64，得n=6，
二项式的展开式的通项为
Tk+1=(2x)6-k=26-k，
对于A，令x=1，可得二项展开式中各项系数之和为36，所以选项A正确；
对于B，第4项的二项式系数最大，此时k=3，
则二项展开式中二项式系数最大的项为T4=26-3=160，所以选项B正确；
对于C，令6-k=0，得k=4，所以二项展开式中的常数项为26-4
=60，所以选项C错误；
对于D，令第k+1项的系数最大，则≤k≤，
因为k∈N*，所以当k=2时，二项展开式中系数最大，则二项展开式中系数最大的项为
T3=24x3=240x3，所以选项D错误.
1.知识清单：
(1)两个二项式积与三项展开式问题.
(2)整除和余数问题及近似值问题.
(3)二项展开式中的系数最值问题.
2.方法归纳：分类讨论、方程思想等.
3.常见误区：分类不当，重复或遗漏.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.在x(1+x)6的展开式中，含x3项的系数为
A.30 B.20 C.15 D.10
√
因为(1+x)6的展开式的通项为Tk+1=xk，所以x(1+x)6的展开式中含x3的项为x3=15x3，所以含x3项的系数为15.
2.9192被100除所得的余数为
A.1 B.81 C.-81 D.-1
1
2
3
4
√
9192=(90+1)92=×9092+×9091+…+×902+×90+.
前91项均能被100整除，剩下两项为92×90+1=8 281，显然8 281除以100所得的余数为81.
故9192被100除所得的余数为81.
3.(x+y+3)5展开式中不含y的各项系数之和为
A.25 B.35 C.45 D.55
1
2
3
4
√
由(x+y+3)5=[(x+3)+y]5，则展开式的通项为Tk+1=(x+3)5-kyk，
当k=0时，不含y的项，
T1=(x+3)5=(x+3)5，
令x=1，可得不含y的各项系数之和为45.
4.在的展开式中，x3的系数等于-5，则该展开式各项的系数中最大值为　　　.
1
2
3
4
的展开式的通项
Tk+1=x5-k=(-a)kx5-2k，
令5-2k=3，得k=1，所以-a×5=-5，即a=1，
展开式中第2，4，6项的系数为负数，第1，3，5项的系数为正数，
故各项的系数中最大值为=10.
10
课时对点练
五
1.(x2+2)的展开式的常数项是
A.-3 B.-2 C.2 D.3
1
2
3
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5
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基础巩固
√
1
2
3
4
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16
的展开式的通项为
Tk+1=(-1)k=(-1)k.
令10-2k=2或10-2k=0，
解得k=4或k=5.
故(x2+2)的展开式的常数项是
(-1)4×+2×(-1)5×=3.
2.设n∈N*，则×1n×80+×1n-1×81+×1n-2×82+×1n-3×83+…
+×11×8n-1+×10×8n除以9的余数为
A.0 B.8 C.7 D.2
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√
因为×1n×80+×1n-1×81+×1n-2×82+×1n-3×83+…+×
11×8n-1+×10×8n=(1+8)n=9n，所以除以9的余数为0.
3.(x3-2x2+x)3的展开式中x6的系数为
A.-1 B.1 C.-20 D.20
√
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(x3-2x2+x)3=x3(x-1)6，因此所求x6的系数即为(x-1)6的展开式中x3的系数，
由二项式定理知系数为(-1)3=-20.
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16
4.某放射性物质的质量每年比前一年衰减5%，其初始质量为m0，10年后的质量为m'，则下列各数中与最接近的是
A.70% B.65% C.60% D.55%
√
由题意可知m'=m0(1-5%)10，则=(1-5%)10=1-×0.05+×0.052-×0.053+…+×0.0510≈1-0.5+45×0.052=61.25%.
5.已知(3x-1)(x+1)n的展开式中所有项的系数之和为64，则展开式中含x2的项的系数为
A.25 B.3 C.5 D.33
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√
令x=1可得展开式中所有项的系数之和为2n+1=64，故n=5，
又(x+1)5的展开式的通项为Tk+1=·x5-k，则展开式中含x2的项的系数为3-=5.
6.(x-1)3(1-2x)4的展开式中x3的系数为
A.-15 B.65 C.81 D.129
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16
√
(x-1)3的展开式的通项为Tr+1=(-1)rx3-r，0≤r≤3，r∈Z，
(1-2x)4的展开式的通项为Tk+1=(-2)kxk，0≤k≤4，k∈Z，
则(x-1)3(1-2x)4的展开式中x3的系数为(-1)3·(-2)3+(-1)2·(-2)2+
(-1)1·(-2)1+(-1)0·(-2)0=32+72+24+1=129.
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7.的展开式中的常数项是　　　　.
==
=-20，所以的展开式中的常数项为-20.
-20
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8.已知(2x+my)(x-y)5的展开式中x2y4的系数为-20，则m的值为　　.
3
(2x+my)(x-y)5=2x(x-y)5+my(x-y)5，
因为(x-y)5的展开式中xy4的系数为，x2y3的系数为-，
所以(2x+my)(x-y)5的展开式中x2y4的系数为2-m=-20，
解得m=3.
9.用二项式定理证明1110-1能被100整除.
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1110-1=(10+1)10-1
=1010+109+108+…+10+-1
=1010+109+108+…+10
=100(108+107+106+…+1)，
显然上式括号内的数是正整数，
所以1110-1能被100整除.
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10.在二项式的展开式中，第3项和第4项的二项式系数之比为.
(1)求n的值及展开式中的常数项；
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二项式的展开式的通项为Tk+1=xn-k=，
因为第3项和第4项的二项式系数之比为，
所以=，整理得10=3，解得n=12，
所以Tk+1=，
令12-k=0，得k=9，
所以常数项为=.
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(2)展开式中系数最大的项是第几项.
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设展开式中系数最大的项是第k+1项，则
即≤k≤，
因为k∈N*，所以k=4，
所以展开式中系数最大的项是第5项.
11.若二项式(1+ax+x2)(1-x)8的展开式中含x2的项的系数为21，则a等于
A.3 B.2 C.1 D.-1
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√
综合运用
由题意得x2的系数为1××(-1)2+a××(-1)+1×=21，解得a=1.
12.若(2+ax)n(a≠0)的展开式中各项的二项式系数之和为512，且第6项的系数最大，则a的取值范围为
A.(2，3) B. C.[2，3] D.
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由于二项式(2+ax)n(a≠0)的展开式中各项的二项式系数之和为512，
所以2n=512，n=9，即(2+ax)9(a≠0)，
其展开式的通项为
Tk+1=·29-k·(ax)k=ak·29-k··xk，
依题意可知
解得2≤a≤3.
13.(多选)已知的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为0，则
A.n=9
B.的展开式中的有理项有5项
C.的展开式中偶数项的二项式系数和为512
D.(7-a)n除以9余8
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因为第4项与第7项的二项式系数相等，所以=，由组合数的性质
知n=9，故A正确；
因为的展开式的各项系数之和为0，令x=1，得(1+a)9=0，
所以a=-1，
所以的展开式的通项为
Tk+1=(-1)k.
令18-k为整数，得k=0，2，4，6，8，
所以展开式中的有理项有5项，故B正确；
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展开式中偶数项的二项式系数和为++…+=28=256，故C错误；
因为n=9，a=-1，则(7-a)n=(7+1)9=89=(9-1)9=99-98+…+9-1=9(98-97+…+-1)+8，
所以(7-a)n除以9余8，故D正确.
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14.若(2-x)(x+a)6的展开式中x5的系数为-3，则实数a=　　　　.
-或1
因为(x+a)6的展开式的通项为Tk+1=x6-kak(0≤k≤6)且k∈Z，
所以(2-x)(x+a)6的展开式中x5的系数为
2a-a2=12a-15a2=-3，
所以5a2-4a-1=0，即(5a+1)(a-1)=0，
所以a=-或a=1.
15.(多选)对于二项式(n∈N*)，以下判断正确的有
A.存在n∈N*，使展开式中有常数项
B.对任意n∈N*，展开式中没有常数项
C.对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项
D.存在n∈N*，使展开式中有x的一次项
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拓广探究
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的展开式的通项为
Tr+1=·3r·，r=0，1，2，…，n，
的展开式的通项为Tk+1=·x4k-n，k=0，1，2，…，n.
则二项式(n∈N*)的展开式的通项为·3r··
·x4k-n，
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未知数x的次数为+4k-n=--+4k，
令--+4k=0，即3r+n=8k，r=1，k=1，n=5是其中一组解，此时，·3r···x4k-n=×3×=75，故展开式中有常数项，且常数项不为0，故A正确，B错误；
令--+4k=1，即3r+n+2=8k，r=0，k=1，n=6是其中一组解，此时，·3r···x4k-n=×30×x3××x-2=6x，故展开式中有x的一次项，且一次项的系数不为0，故D正确，C错误.
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16.已知二项式=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n≥3且n∈N*).若|an-2|，|an-1|，|an|成等差数列.
(1)求的展开式的中间项；
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二项式的通项为
Tk+1=(-x)k=(-1)kxk，k=0，1，2，…，n，
则an=(-1)n=(-1)n，
an-1=(-1)n-1=(-1)n-1，
an-2=(-1)n-2=(-1)n-2，
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由题意知2|an-1|=|an-2|+|an|，
即2×=1+，即n2-9n+8=0，
解得n=1(舍去)或n=8.
则的展开式的中间项是
T5=(-1)4x4=x4.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)求|ai|(i=0，1，2，…，n)的最大值.
设|ar|最大，则有
即解得5≤r≤6，
又r∈N*，则r=5或6.
所以|ai|(i=0，1，2，…，n)的最大值为|a5|=|a6|==7.第2课时　二项式定理的综合应用
［学习目标］　1.熟练掌握二项式定理.2.能够利用二项式定理解决两个多项式乘积的特定项问题.3.掌握二项展开式中系数最大(小)问题.4.能利用二项式定理解决整除(余数)问题.
一、两个二项式积与三项展开式问题
例1　(1)已知(2x-a)的展开式中x2的系数为-240，则该二项展开式中的常数项为　　　　.
(2)的展开式中的常数项是　　　　.
反思感悟　求解两个二项式积的问题时，分别对每个二项展开式进行分析，找到构成展开式中特定项的组成部分，分别求解再相乘，求和即得；求解三项展开式时，应根据式子的特点，转化为二项式(或二项式积)来解决.
跟踪训练1　(1)已知的展开式中常数项为80，则a=　　　　.
(2)在(x2+x+y)5的展开式中，x5y2的系数为　　　　.
二、整除和余数问题及近似值问题
例2　(1)实数1.9965的近似值为　　　　.(精确到0.001)
(2)求证：32n+2-8n-9(n∈N*)能被64整除.
反思感悟　(1)利用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面(或前面)一、二项就可以了.
(2)解决求余数问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式.
(3)(1+a)n的近似计算的处理方法
当a的绝对值与1相比很小且n不大时，常用近似公式(1+a)n≈1+na，因为这时展开式的后面部分a2+a3+…+an很小，所以可以忽略不计，但是使用这个公式时应注意a的条件，以及对精确度的要求.若精确度要求较高，则可使用更精确的近似公式(1+a)n≈1+na+a2等.
跟踪训练2　(1)1.026的近似值(精确到0.01)为　　　　.
(2)设a∈Z，且0≤a<13，若512 024+a能被13整除，则a=　　　　.
三、二项展开式中的系数最值问题
例3　(1)在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项的系数为 (　　)
A.-126 B.-70
C.-56 D.-28
(2)(2024·全国甲卷)二项式的展开式中，各项系数的最大值是　　　　.
反思感悟　求解二项展开式中系数的最值策略
(1)求二项式系数的最大值，依据(a+b)n中n的奇偶及二项式系数的性质求解.
(2)求展开式中项的系数的最大值，设展开式各项的系数分别为A1，A2，…，An+1，且第k项系数最大，因此在系数均为正值的前提下，求展开式中项的系数的最大值只需解不等式组即得结果.
跟踪训练3　(多选)已知的二项展开式中二项式系数之和为64，下列结论正确的是 (　　)
A.二项展开式中各项系数之和为36
B.二项展开式中二项式系数最大的项为160
C.二项展开式中无常数项
D.二项展开式中系数最大的项为90x3
1.知识清单：
(1)两个二项式积与三项展开式问题.
(2)整除和余数问题及近似值问题.
(3)二项展开式中的系数最值问题.
2.方法归纳：分类讨论、方程思想等.
3.常见误区：分类不当，重复或遗漏.
1.在x(1+x)6的展开式中，含x3项的系数为 (　　)
A.30 B.20 C.15 D.10
2.9192被100除所得的余数为 (　　)
A.1 B.81 C.-81 D.-1
3.(x+y+3)5展开式中不含y的各项系数之和为 (　　)
A.25 B.35 C.45 D.55
4.在的展开式中，x3的系数等于-5，则该展开式各项的系数中最大值为　　　.
答案精析
例1　(1)-640
解析　的展开式的通项公式为
Tk+1=x6-k=2kx6-2k(k=0，1，2，3，4，5，6)，
令6-2k=1，得k=(舍去)；
令6-2k=2，得k=2.
故(2x-a)的展开式中x2的系数为
-a22=-240，解得a=4.
令6-2k=-1，得k=(舍去)；
令6-2k=0，得k=3.
故(2x-4)的展开式中的常数项为
-4×23=-640.
(2)
解析　方法一　原式=，
∴展开式的通项为=(k1=0，1，2，…，5).
当k1=5时，T6=()5=4，
当0≤k1<5时，的展开式的通项为
T =
=(k2=0，1，2，…，5-k1).
令5-k1-2k2=0，即k1+2k2=5.
∵0≤k1<5且k1∈Z，
∴或
∴常数项为4+××+××()3=4++20=.
方法二　原式==·［(x+)2］5
=·(x+)10.
求原式的展开式中的常数项，转化为求(x+)10的展开式中含x5项的系数，即)5.
∴所求的常数项为=.
跟踪训练1　(1)-
解析　展开式的通项公式为
Tk+1=(2x)5-k=25-kx5-2k，
令5-2k=0，无整数解；
令5-2k=-1，解得k=3，T4=；
令5-2k=1，解得k=2，T3=80x；
∴展开式中的常数项为40-80a=80，解得a=-.
(2)30
解析　方法一　(x2+x+y)5=［(x2+x)+y］5，
含y2的项为T3=(x2+x)3y2，
而(x2+x)3中含x5的项为x4x=x5，
所以x5y2的系数为=30.
方法二　(x2+x+y)5为5个x2+x+y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可得含x5y2的项，
所以x5y2的系数为=30.
例2　(1)31.681
解析　1.9965=(2-0.004)5=×25-×24×0.0041+×23×0.0042-×22×0.0043+×2×0.0044-×0.0045≈32-0.32+0.001 28=31.681 28，
将1.9965精确到0.001，故近似值为31.681.
(2)证明　32n+2-8n-9
=(8+1)n+1-8n-9
=8n+1+8n+…+82+8+-8n-9
=8n+1+8n+…+82+8(n+1)+1-8n-9
=8n+1+8n+…+82.
上式中的每一项都含有82这个因数，
故原式能被64整除.
跟踪训练2　(1)1.13
解析　由二项式定理得，1.026=(1+0.02)6
=1+×0.02+×0.022+×0.023+…+0.026
≈1+0.12+0.006≈1.13.
(2)12
解析　因为512 024+a=(52-1)2 024+a=522 024-522 023+522 022-…-×521+1+a能被13整除，故1+a能被13整除，
又0≤a<13，故a=12.
例3　(1)C　［因为只有第5项的二项式系数最大，
所以n=8，的展开式的通项为
Tk+1=(-1)k(k=0，1，2，…，8)，
所以展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的系数相等，偶数项的二项式系数与相应偶数项的系数互为相反数，而展开式中第5项的二项式系数最大，因此展开式中第4项和第6项的系数相等且最小，为(-1)3=-56.］
(2)5
解析　二项展开式的通项为
Tk+1=xk，
0≤k≤10且k∈Z，
设展开式中第k+1项系数最大，
则
即≤k≤，又k∈Z，故k=8，
所以展开式中系数最大的项是第9项，
且该项系数为=5.
跟踪训练3　AB　［因为的二项展开式中二项式系数之和为64，所以2n=64，得n=6，
二项式的展开式的通项为
Tk+1=(2x)6-k=26-k，
对于A，令x=1，可得二项展开式中各项系数之和为36，所以选项A正确；
对于B，第4项的二项式系数最大，此时k=3，则二项展开式中二项式系数最大的项为T4=26-3=160，所以选项B正确；
对于C，令6-k=0，得k=4，
所以二项展开式中的常数项为26-4=60，所以选项C错误；
对于D，令第k+1项的系数最大，
则解得≤k≤，
因为k∈N*，
所以当k=2时，二项展开式中系数最大，
则二项展开式中系数最大的项为
T3=24x3=240x3，所以选项D错误.］
随堂演练
1.C　［因为(1+x)6的展开式的通项为Tk+1=xk，
所以x(1+x)6的展开式中含x3的项为x3=15x3，
所以含x3项的系数为15.］
2.B　［9192=(90+1)92=×9092+×9091+…+×902+×90+.
前91项均能被100整除，剩下两项为92×90+1=8 281，显然8 281除以100所得的余数为81.
故9192被100除所得的余数为81.］
3.C　［由(x+y+3)5=［(x+3)+y］5，
则展开式的通项为Tk+1=(x+3)5-kyk，
当k=0时，不含y的项，
T1=(x+3)5=(x+3)5，
令x=1，可得不含y的各项系数之和为45.］
4.10
解析　的展开式的通项
Tk+1=x5-k=(-a)kx5-2k，
令5-2k=3，得k=1，
所以-a×5=-5，即a=1，
展开式中第2，4，6项的系数为负数，第1，3，5项的系数为正数，
故各项的系数中最大值为=10.

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