资源简介

(共82张PPT)
第七章
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§7.2
离散型随机变量及其分布列
1.通过具体实例，理解随机变量及离散型随机变量的含义.
2.掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质.
3.理解两点分布.
学习目标
在射击比赛训练中，某运动员射击所中环数均在7环(含7环)以上，已知该运动员射击一次命中7环的概率为0.1，射击一次命中7环、8环、9环、10环的概率依次成等差数列.
你能知道该运动员射击命中环数的概率分布情况吗？
导 语
一、随机变量的概念及判定
二、离散型随机变量的分布列及其性质
课时对点练
三、两点分布
随堂演练
内容索引
一
随机变量的概念及判定
(1)某人在射击训练中，射击一次命中的环数，能否用数值表示相应结果呢？
问题1
提示　射击一次，可能命中1环，命中2环，…，命中10环，可以用1，2，…，10来表示相应结果.
(2)篮球运动员每次罚球具有一定的随机性，那么他三次罚球的得分结果可能是什么？
提示　投进零个球——0分，投进一个球——1分，投进两个球——2分，投进三个球——3分.
(3)掷一枚骰子，出现正面向上的点数共有几种不同的数字？能否用数值表示相应结果呢？
提示　共有6种，可以用1，2，3，4，5，6来表示相应结果.
(4)抛掷一枚硬币，可能会出现哪几种结果？能否用数值来表示随机试验的结果呢？
提示　掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果.可以用1表示正面向上，0表示反面向上.
1.随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有______的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量.
2.离散型随机变量：可能取值为 或可以 的随机变量，我们称之为离散型随机变量，通常用 表示随机变量，例如X，Y，Z；用 表示随机变量的取值，例如x，y，z.
唯一
有限个
一一列举
大写英文字母
小写英文字母
离散型随机变量的特征：
(1)可以用数值表示.
(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值，但不能确定取
何值.
(3)试验结果能一一列出.
注 意 点
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　(1)袋中有3个白球、5个黑球，从中任取两个球，可以作为离散型随机变量的是
A.至少取到1个白球
B.至多取到1个白球
C.取到白球的个数
D.取到的球的个数
例 1
√
根据离散型随机变量的定义可得，选项C是离散型随机变量，其结果可以一一列出，用随机变量X表示取到白球的个数，则X的可能取值为0，1，2.
(2)指出下列随机变量是否为离散型随机变量，并说明理由.
①白炽灯的寿命；
不是离散型随机变量.因为白炽灯的寿命的取值是一个非负实数，而所有非负实数不能一一列出.
②某长江水位监测站所测水位在(0，29]这一范围内变化，该水位站所测水位；
不是离散型随机变量.因为水位在(0，29]这一范围内连续变化，对水位值我们不能按一定次序一一列出.
③一个学习小组有5个男同学和5个女同学，从中任取3人，其中男同学的个数.
是离散型随机变量.从10个人中取3人，所得的结果有限，且其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义.
(1)明确随机试验的所有可能结果.
(2)将随机试验的结果数量化.
(3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，若能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是.
反
思
感
悟
判断离散型随机变量的方法
　指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由.
(1)从10张已编好号码的卡片(1号到10号)中任取一张，被取出的卡片的号数；
跟踪训练 1
是离散型随机变量.只要取出一张卡片，便有一个号码，因此被取出的卡片的号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义.
(2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数；
是离散型随机变量.从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球；2个白球和1个黑球；1个白球和2个黑球；3个黑球，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义.
(3)某林场的树木最高达30 m，则此林场中树木的高度；
不是离散型随机变量.林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0，30]内的一切值，无法一一列举，故不是离散型随机变量.
(4)某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差.
不是离散型随机变量.实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，故不是离散型随机变量.
二
离散型随机变量的分布列及其性质
在掷一枚质地均匀的骰子的随机试验中，X表示向上的点数，X的取值有哪些？X取每个值的概率分别是多少？
问题2
提示　列成表的形式
X 1 2 3 4 5 6
P
离散型随机变量的分布列：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率 为X的概率分布列，简称分布列.
离散型随机变量的分布列也可以用表格表示：
P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
离散型随机变量的分布列的性质：
(1) ；
(2) .
pi≥0，i=1，2，…，n
p1+p2+…+pn=1
(1)从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个自然数中，任取3个不同的数.设X为所取的3个数中奇数的个数，求随机变量X的分布列.
例 2
根据题意，X=0，1，2，3，
P(X=0)===，P(X=1)===，P(X=2)===，P(X=3)===，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
(2)设随机变量X的分布列P=ak(k=1，2，3，4，5).
①求常数a的值；
由题意，得X的分布列为
X 1
P a 2a 3a 4a 5a
由分布列的性质得a+2a+3a+4a+5a=1，
解得a=.
②求P.
方法一　P=P+P+P(X=1)=++=.
方法二　P=1-P=1-=.
本例(2)条件不变，求P.
∵∴P=P+P+P=++=.
延伸探究
反
思
感
悟
(1)找出随机变量的所有可能取值.
(2)计算每一个取值所对应的概率，并利用分布列的性质对计算结果进行检验.
求离散型随机变量的分布列的关键
　(1)某班有学生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人.现从中抽1人，其血型为随机变量X，求X的分布列.
跟踪训练 2
将O，A，B，AB四种血型分别编号为1，2，3，4，则X的可能取值为1，2，3，4.
P(X=1)==，P(X=2)==，P(X=3)==，P(X=4)==.
故X的分布列为
X 1 2 3 4
P
(2)设随机变量X的分布列为P(X=i)=(i=1，2，3，4)，求：
①P(X=1或X=2)；
由题意知P(X=i)=(i=1，2，3，4)，
∴=1，∴a=10，
∴P(X=1或X=2)==.
②P.
P=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)===.
三
两点分布
对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X=如果P(A)=p，则P()=1-p，那么X的分布列如表所示.
X 0 1
P 1-p p
我们称X服从 分布或0-1分布.
两点
随机变量X只取0和1，才是两点分布，否则不是.
注 意 点
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　若随机变量X只能取0，1这两个值，且X取0的概率是取1的概率的3倍，写出X的分布列.
例 3
由题意及分布列满足的条件知P(X=0)+P(X=1)=3P(X=1)+P(X=1)=1，所以P(X=1)=，故P(X=0)=.
所以X的分布列为
X 0 1
P
反
思
感
悟
(1)看取值：随机变量只取0和1.
(2)验概率：检验P(X=0)+P(X=1)=1是否成立.
判断一个分布是否为两点分布
　 袋内有10个白球，5个红球，从中摸出2个球，记X=求X的分布列.
跟踪训练 3
由题设可知X服从两点分布.
P(X=0)==，
P(X=1)=1-P(X=0)=.
所以X的分布列为
X 0 1
P
1.知识清单：
(1)随机变量及离散型随机变量的概念及判定.
(2)离散型随机变量分布列的概念及其性质.
(3)两点分布.
2.方法归纳：转化化归.
3.常见误区：随机变量的取值不明确导致分布列求解错误.
随堂演练
四
1
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4
1.下列叙述中，X不可以做离散型随机变量的是
A.某座大桥一天经过的车辆数X
B.某无线电寻呼台一天内收到的寻呼次数X
C.一天之内的温度X
D.一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用
X表示该射击手在一次射击中的得分
√
A，B，D中的X的可能取值可以一一列举出来，而C中的X可以取某一区间内的一切值，属于连续型的.
2.设随机变量X等可能取值1，2，3，…，n，若P(X<4)=0.3，则n等于
A.3 B.4 C.10 D.不确定
1
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√
因为X等可能取1，2，3，…，n，
所以X取每个值的概率均为.
由题意知P(X<4)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)==0.3，所以n=10.
3.某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X描述1次试验的成功次数，则P(X=1)等于
A.0 B. C. D.
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√
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设失败率为p，则成功率为2p，分布列为
X 0 1
P p 2p
由p+2p=1，得p=，
所以P(X=1)=2p=.
4.一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量X，则P=　　.
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2
3
4
设二级品有k个，则一级品有2k个，三级品有个.
∴X的分布列为
X 1 2 3
P
∴P=P(X=1)=.
课时对点练
五
1.(多选)下列变量中，不是离散型随机变量的是
A.一条河流每日最大流量
B.一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高
C.某人在车站等出租车的时间
D.某人投篮10次，可能投中的次数
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基础巩固
√
根据离散型随机变量的定义，即可以按照一定次序一一列出，可能取值为有限个或无限个，选项B，C中的变量为连续型随机变量，而选项A，D中的变量是离散型随机变量.
√
2.袋中装有大小相同的6个黑球，5个白球，从袋中每次任意取出1个球且不放回，直到取出的球是白球，记所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为
A.1，2，3，…，6 B.1，2，3，…，7
C.0，1，2，…，5 D.1，2，…，5
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因为取到白球时停止，所以最少取球次数为1，即第一次就取到了白球；最多取球次数是7次，即把所有的黑球取完之后才取到白球.所以取球次数可以是1，2，3，…，7.
3.甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局.用ξ表示甲的得分，则｛ξ=3｝表示
A.甲赢三局
B.甲赢一局输两局
C.甲、乙平局三次
D.甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
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甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，
所以｛ξ=3｝有两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次.
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4.(多选)下列选项中的随机变量服从两点分布的是
A.抛掷一枚骰子，所得点数X
B.某射击手射击一次，击中目标的次数X
C.从装有除颜色外其余均相同的5个红球、3个白球的袋中任取1个球，设
D.某医生做一次手术，手术成功的次数X
√
X=
√
√
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由题意可知B，C，D中的随机事件只有两种结果，随机变量均服从两点分布，
而抛掷一枚骰子，所得点数X的可能取值为1，2，3，4，5，6，所以A中的随机变量不服从两点分布.
5.设随机变量X的分布列如表所示，则P(|X-1|≤1)等于
A. B.
C. D.
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X -1 0 1 2
P m
由分布列的性质可得+m++=1，
则m=，P(|X-1|≤1)=P(0≤X≤2)
=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=++=.
6.(多选)已知随机变量X的分布列如表所示，其中a，b，c成等差数列，则
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X -1 0 1
P a b c
A.a= B.b=
C.c= D.P(|X|=1)=
√
√
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∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c.
由分布列的性质得a+b+c=3b=1，∴b=.
∴P(|X|=1)=P(X=1)+P(X=-1)=1-P(X=0)=1-=.
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7.若随机变量X服从两点分布，且P(X=0)=0.8，P(X=1)=0.2.令Y=3X-2，则P(Y=-2)=　　　.
由Y=-2，且Y=3X-2，得X=0，
∴P(Y=-2)=P(X=0)=0.8.
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8.由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失(以“x，y”代替)，其分布列如表所示：
X 1 2 3 4 5 6
P 0.20 0.10 0.x5 0.10 0.1y 0.20
则x，y的值依次为　　　　.
2，5
由0.20+0.10+(0.1x+0.05)+0.10+(0.1+0.01y)+0.20=1，得10x+y=25.又因为x，y∈｛0，1，2，3，4，5，6，7，8，9｝，故x=2，y=5.
9.某城市为了加快“两型社会”(资源节约型、环境友好型)的建设，本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙两人不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时.
(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；
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由题意得，甲、乙两人在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为，
租车费用相同，即两人都在同一时间段还车，
记“甲、乙两人所付的租车费用相同”为事件A，
则P(A)=×+×+×=，
所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为.
(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量X，求X的分布列.
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由题可知，X可能取的值有0，2，4，6，8，且P(X=0)=×=；
P(X=2)=×+×=；
P(X=4)=×+×+×=；
P(X=6)=×+×=；
P(X=8)=×=.
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所以X的分布列为
X 0 2 4 6 8
P
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10.已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，则P(A)=×=.
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(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列.
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由题意可知，随机变量X的可能取值为200，300，400.
则P(X=200)==，
P(X=300)==，
P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300)=1--=.
故X的分布列为
X 200 300 400
P
11.已知随机变量X的分布列如表所示.
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综合运用
X -2 -1 0 1 2 3
P
若P(X2A.[4，9] B.(4，9] C.[4，9) D.(4，9)
√
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由随机变量X的分布列知，X2的可能取值为0，1，4，9，
且P(X2=0)=，P(X2=1)=+=，
P(X2=4)=+=，P(X2=9)=，
∵P(X2∴实数x满足412.一个袋中装有4个红球、3个黑球，小明从袋中随机取球，记取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球，则小明得分大于6分的概率是
A. B. C. D.
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记得分为X，则X的可能取值为5，6，7，8，
因为P(X=7)==，
P(X=8)==，
所以P(X>6)=P(X=7)+P(X=8)=+=.
13.(多选)一盒中有7个乒乓球，其中5个未使用过，2个已使用过.现从盒子中任取3个球来用，用完后再装回盒中.记盒中已使用过的球的个数为X，则下列结论正确的是
A.X的所有可能取值是3，4，5
B.X最有可能的取值是5
C.X等于3的概率为
D.X等于4的概率为
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记未使用过的乒乓球为M，已使用过的乒乓球为N，
任取3个球的所有可能有1个M球和2个N球、2个M球和1个N球、3个M球.
M球使用后成为N球，故X的所有可能取值是3，4，5，故A正确；
又P(X=3)==，故C正确；
P(X=4)==，
P(X=5)==，
所以X最有可能的取值是4，故B，D错误.
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14.已知随机变量X的分布列为P(X=n)=(n=1，2，3，…，10)，则实数a=　　　.
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依题意，P(X=n)=a，
由分布列的性质得P(X=n)
=a==1，
解得a=.
15.如图是某市10月份1日至14日的空气污染指数折线图，空气污染指数为0~50，空气质量级别为一级；空气污染指数为51~100，空气质量级别为二级；空气污染指数为101~150，空气质量级别为三级.某人随机选择10月份的1日至13日中的某一天到达该市，并停留2天.设X是此人停留期间空气质量级别不超过二级的
天数，则P(X>1)等于
A. B.
C. D.
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拓广探究
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即要连续两天的空气质量级别不超过二级，所以此人应在10月份的1日、2日、12日、13日中的某一天到达该市，所以P(X>1)=P(X=2)=.
由题意知，X的取值范围为｛0，1，2｝，空气质量级别不超过二级的为10月份的1日、2日、3日、7日、12日、13日、14日，P(X>1)=P(X=2)，
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16.设ξ为随机变量.从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ=0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ=1.
(1)求概率P(ξ=0)；
若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8对相交棱，因此P(ξ=0)===.
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(2)求ξ的分布列.
若两条棱平行，则它们的距离为1或的共有6对，故P(ξ=)===，
于是P(ξ=1)=1-P(ξ=0)-P(ξ=)=1--=.故随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1
P［学习目标］　1.通过具体实例，理解随机变量及离散型随机变量的含义.2.掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质.3.理解两点分布.
一、随机变量的概念及判定
问题1　(1)某人在射击训练中，射击一次命中的环数，能否用数值表示相应结果呢？
(2)篮球运动员每次罚球具有一定的随机性，那么他三次罚球的得分结果可能是什么？
(3)掷一枚骰子，出现正面向上的点数共有几种不同的数字？能否用数值表示相应结果呢？
(4)抛掷一枚硬币，可能会出现哪几种结果？能否用数值来表示随机试验的结果呢？
知识梳理
1.随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有　　　　的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量.
2.离散型随机变量：可能取值为　　　　　　或可以　　　　　　　　的随机变量，我们称之为离散型随机变量，通常用　　　　　　　　表示随机变量，例如X，Y，Z；用　　　　　　　　表示随机变量的取值，例如x，y，z.
例1　(1)袋中有3个白球、5个黑球，从中任取两个球，可以作为离散型随机变量的是 (　　)
A.至少取到1个白球
B.至多取到1个白球
C.取到白球的个数
D.取到的球的个数
(2)指出下列随机变量是否为离散型随机变量，并说明理由.
①白炽灯的寿命；
②某长江水位监测站所测水位在(0，29］这一范围内变化，该水位站所测水位；
③一个学习小组有5个男同学和5个女同学，从中任取3人，其中男同学的个数.
反思感悟　判断离散型随机变量的方法
(1)明确随机试验的所有可能结果.
(2)将随机试验的结果数量化.
(3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，若能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是.
跟踪训练1　指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由.
(1)从10张已编好号码的卡片(1号到10号)中任取一张，被取出的卡片的号数；
(2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数；
(3)某林场的树木最高达30 m，则此林场中树木的高度；
(4)某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差.
二、离散型随机变量的分布列及其性质
问题2　在掷一枚质地均匀的骰子的随机试验中，X表示向上的点数，X的取值有哪些？X取每个值的概率分别是多少？
知识梳理
离散型随机变量的分布列：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率　　　　　　　　　　　　为X的概率分布列，简称分布列.
离散型随机变量的分布列也可以用表格表示：
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
离散型随机变量的分布列的性质：
(1)　　　　　　　　　　；
(2)　　　　　　　　　　.
例2　(1)从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个自然数中，任取3个不同的数.设X为所取的3个数中奇数的个数，求随机变量X的分布列.
(2)设随机变量X的分布列P=ak(k=1，2，3，4，5).
①求常数a的值；
②求P.
延伸探究　本例(2)条件不变，求P.
反思感悟　求离散型随机变量的分布列的关键
(1)找出随机变量的所有可能取值.
(2)计算每一个取值所对应的概率，并利用分布列的性质对计算结果进行检验.
跟踪训练2　(1)某班有学生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人.现从中抽1人，其血型为随机变量X，求X的分布列.
(2)设随机变量X的分布列为P(X=i)=(i=1，2，3，4)，求：
①P(X=1或X=2)；②P.
三、两点分布
知识梳理
对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X=如果P(A)=p，则P()=1-p，那么X的分布列如表所示.
X 0 1
P 1-p p
我们称X服从　　　　分布或0-1分布.
例3　若随机变量X只能取0，1这两个值，且X取0的概率是取1的概率的3倍，写出X的分布列.
反思感悟　判断一个分布是否为两点分布
(1)看取值：随机变量只取0和1.
(2)验概率：检验P(X=0)+P(X=1)=1是否成立.
跟踪训练3　袋内有10个白球，5个红球，从中摸出2个球，记X=求X的分布列.
1.知识清单：
(1)随机变量及离散型随机变量的概念及判定.
(2)离散型随机变量分布列的概念及其性质.
(3)两点分布.
2.方法归纳：转化化归.
3.常见误区：随机变量的取值不明确导致分布列求解错误.
1.下列叙述中，X不可以做离散型随机变量的是 (　　)
A.某座大桥一天经过的车辆数X
B.某无线电寻呼台一天内收到的寻呼次数X
C.一天之内的温度X
D.一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用X表示该射击手在一次射击中的得分
2.设随机变量X等可能取值1，2，3，…，n，若P(X<4)=0.3，则n等于 (　　)
A.3 B.4 C.10 D.不确定
3.某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X描述1次试验的成功次数，则P(X=1)等于 (　　)
A.0 B. C. D.
4.一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量X，则P=　　　　.
答案精析
问题1　(1)射击一次，可能命中1环，命中2环，…，命中10环，可以用1，2，…，10来表示相应结果.
(2)投进零个球——0分，投进一个球——1分，投进两个球——2分，投进三个球——3分.
(3)共有6种，可以用1，2，3，4，5，6来表示相应结果.
(4)掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果.可以用1表示正面向上，0表示反面向上.
知识梳理
1.唯一
2.有限个　一一列举　大写英文字母　小写英文字母
例1　(1)C　［根据离散型随机变量的定义可得，选项C是离散型随机变量，其结果可以一一列出，用随机变量X表示取到白球的个数，则X的可能取值为0，1，2.］
(2)解　①不是离散型随机变量.因为白炽灯的寿命的取值是一个非负实数，而所有非负实数不能一一列出.
②不是离散型随机变量.因为水位在(0，29］这一范围内连续变化，对水位值我们不能按一定次序一一列出.
③是离散型随机变量.从10个人中取3人，所得的结果有限，且其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义.
跟踪训练1　解　(1)是离散型随机变量.只要取出一张卡片，便有一个号码，因此被取出的卡片的号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义.
(2)是离散型随机变量.从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球；2个白球和1个黑球；1个白球和2个黑球；3个黑球，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义.
(3)不是离散型随机变量.林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0，30］内的一切值，无法一一列举，故不是离散型随机变量.
(4)不是离散型随机变量.实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，故不是离散型随机变量.
问题2　列成表的形式
X 1 2 3 4 5 6
P
知识梳理
P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n　(1)pi≥0，i=1，2，…，n　(2)p1+p2+…+pn=1
例2　(1)解　根据题意，X=0，1，2，3，
P(X=0)===，
P(X=1)===，
P(X=2)===，
P(X=3)===，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
(2)解　由题意，得X的分布列为
X 1
P a 2a 3a 4a 5a
①由分布列的性质得a+2a+3a+4a+5a=1，
解得a=.
②方法一　P=P+P+P(X=1)=++=.
方法二　P=1-P
=1-=.
延伸探究　解　∵∴X=，，.
∴P=P+P
+P=++=.
跟踪训练2　(1)解　将O，A，B，AB四种血型分别编号为1，2，3，4，则X的可能取值为1，2，3，4.
P(X=1)==，P(X=2)==，
P(X=3)==，
P(X=4)==.
故X的分布列为
X 1 2 3 4
P
(2)解　①由题意知P(X=i)=(i=1，2，3，4)，
∴=1，∴a=10，
∴P(X=1或X=2)==.
②P=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)===.
知识梳理
两点
例3　解　由题意及分布列满足的条件知
P(X=0)+P(X=1)=3P(X=1)+P(X=1)=1，
所以P(X=1)=，
故P(X=0)=.
所以X的分布列为
X 0 1
P
跟踪训练3　解　由题设可知X服从两点分布.
P(X=0)==，
P(X=1)=1-P(X=0)=.
所以X的分布列为
X 0 1
P
随堂演练
1.C　［A，B，D中的X的可能取值可以一一列举出来，而C中的X可以取某一区间内的一切值，属于连续型的.］
2.C　［因为X等可能取1，2，3，…，n，
所以X取每个值的概率均为.
由题意知P(X<4)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)==0.3，所以n=10.］
3.D　［设失败率为p，则成功率为2p，分布列为
X 0 1
P p 2p
由p+2p=1，得p=，
所以P(X=1)=2p=.］
4.
解析　设二级品有k个，则一级品有2k个，三级品有个，总数为个.
∴X的分布列为
X 1 2 3
P
∴P=P(X=1)=.

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