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(共70张PPT)
第七章
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§7.5
正态分布
1.利用实际问题的频率分布直方图，了解正态曲线的特点及正态曲线所表示的意义.
2.了解变量落在区间[μ-σ，μ+σ]，[μ-2σ，μ+2σ]，[μ-3σ，μ+3σ]内的概率大小.
3.会用正态分布去解决实际问题.
学习目标
一所学校同年级的同学的身高，特别高的同学比较少，特别矮的同学也不多，大都集中在某个高度左右；某种电子产品的使用寿命也都接近某一个数，使用期过长，或过短的产品相对较少.生活中这样的现象很多，是否可以用数学模型来刻画呢？
导 语
一、正态曲线及其特征
二、利用正态分布的性质求概率
课时对点练
三、正态分布的应用
随堂演练
内容索引
一
正态曲线及其特征
下列随机变量哪个是离散型随机变量：
(1)掷一枚骰子一次，用X表示所得点数；
问题1
提示　是，
(2)白炽灯的使用时间.
提示　不是.
教材P74例2的高尔顿板试验中，随着重复次数的增加，频率分布直方图的形状会越来越像一条钟形曲线，那么这条曲线是否存在函数解析式呢？
问题2
提示　存在.
1.我们称f(x)=_______________，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为______________，称它的图象为正态密度曲线，简称 .
2.若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为_____________.特别地，当μ=0，σ=1时，称随机变量X服从________
_________.
3.若X~N(μ，σ2)，则E(X)=μ，D(X)=σ2.
正态密度函数
正态曲线
X~N(μ，σ2)
标准正
态分布
4.正态曲线的特点：
(1)非负性：对 x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的 .
(2)定值性：曲线与x轴之间的区域的面积为 .
(3)对称性：曲线是单峰的，它关于直线 对称.
(4)最大值：曲线在 处达到峰值.
(5)当|x|无限增大时，曲线无限接近 轴.
(6)当 一定时，正态曲线的位置由μ确定，正态曲线
随着 的变化而沿x轴平移，如图①.
上方
1
x=μ
x=μ
x
σ
μ
(7)当μ一定时，正态曲线的形状由σ确定，当σ较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当σ较大时，峰值低，正态曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②.
5.正态分布的几何意义：若X~N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为图中区域B的面积.
　(1)已知随机变量服从正态分布，其正态曲线
如图所示，则总体的均值μ=　　　，方差σ2=　　.
例 1
20
2
从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x=20对称，最大值是=，解得σ=，因此总体的均值μ=20，方差σ2=()2=2.
(2)(多选)一次教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态曲线如图所示，下列说法中不正确的是
A.甲科总体的标准差最小
B.丙科总体的平均数最小
C.乙科总体的标准差及平均数都比甲小，比丙大
D.甲、乙、丙总体的平均数不相同
√
√
√
由题图可知三科总体的平均数(均值)相等，由正态曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越“矮胖”，σ越小，正态曲线越“瘦高”.
故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙.
(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称，由此特点结合图象求出μ.
(2)正态曲线在x=μ处达到峰值，由此特点结合图象可求出σ.
反
思
感
悟
利用正态曲线的特点求参数μ，σ
　(1)(多选)下面关于正态曲线的叙述中，正确的有
A.曲线在x轴上方，且与x轴不相交
B.当x>μ时，曲线下降，当x<μ时，曲线上升
C.当μ一定时，σ越小，总体分布越分散，σ越大，总体分布越集中
D.曲线关于直线x=μ对称，且当x=μ时，位于最高点
跟踪训练 1
√
只有C错误，因为当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，总体分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散.
√
√
(2)(多选)甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N(μ1，)，N(μ2，)，其正态密度函数f(x)=，x∈R的正态曲线如图所示，则下列说法正确的是
A.甲类水果的平均质量μ1=0.4 kg
B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平
均值左右
C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D.乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2=1.99
√
√
√
由图象可知甲图象关于直线x=0.4对称，乙图象关于直线x=0.8对称，
所以μ1=0.4，μ2=0.8，μ1<μ2，故A，C正确；
因为甲图象比乙图象更“瘦高”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B正确；
因为乙图象的最大值为1.99，
即=1.99，σ2≠1.99，故D错误.
二
利用正态分布的性质求概率
正态变量在三个特殊区间内取值的概率值
P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈ ；
P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈ ；
P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈ .
0.682 7
0.954 5
0.997 3
尽管正态变量的取值范围是(-∞，+∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ-3σ，μ+3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.002 7，通常认为这种情况几乎不可能发生.
在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ-3σ，μ+3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则.
注 意 点
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　设ξ~N(1，22)，试求：
(1)P(-1≤ξ≤3)；
例 2
∵ξ~N(1，22)，
∴μ=1，σ=2，
P(-1≤ξ≤3)=P(1-2≤ξ≤1+2)=P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.682 7.
(2)P(3<ξ≤5).
∵P(3<ξ≤5)=P(-3≤ξ<-1)，
∴P(3<ξ≤5)=[P(-3≤ξ≤5)-P(-1≤ξ≤3)]
=[P(1-4≤ξ≤1+4)-P(1-2≤ξ≤1+2)]
=[P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)-P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)]≈×(0.954 5-0.682 7)=0.135 9.
若本例条件不变，求P(ξ>5).
P(ξ>5)=P(ξ<-3)=[1-P(-3≤ξ≤5)]
=[1-P(1-4≤ξ≤1+4)]
=[1-P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)]
≈×(1-0.954 5)=0.022 75.
延伸探究
反
思
感
悟
利用正态分布求概率的两个方法
(1)对称法：由于正态曲线是关于直线x=μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x=μ对称的区间概率相等.如：
①P(X②P(X<μ-a)=P(X>μ+a).
(2)“3σ”法：利用X落在区间[μ-σ，μ+σ]，[μ-2σ，μ+2σ]，[μ-3σ，μ+3σ]内的概率分别是0.682 7，0.954 5，0.997 3求解.
(1)已知随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，且P(ξ<2)=0.6，则P(0<ξ<2)等于
A.0.4 B.0.3 C.0.2 D.0.1
跟踪训练 2
√
由已知可得正态曲线关于直线x=1对称，P(ξ<2)=0.6，
所以P(ξ≥2)=P(ξ≤0)=0.4，故P(0<ξ<2)=1-0.4-0.4=0.2.
(2)随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若P(ξ<2)=0.2，P(2<ξ<6)=0.6，则μ等于
A.3 B.4 C.5 D.6
√
∵P(ξ<2)=0.2，P(2<ξ<6)=0.6，
∴P(ξ>6)=1-0.2-0.6=0.2，
即P(ξ<2)=P(ξ>6)，∴μ==4.
三
正态分布的应用
　(1)现实世界中的很多随机变量遵循正态分布.例如反复测量某一个物理量，其测量误差X通常被认为服从正态分布.若某物理量做n次测量，最后结果的误差Xn ~N，则为使|Xn|>的概率控制在0.045 5及以下，至少要测量的次数为(附：若随机变量X~N(μ，σ2)，则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7，P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5，P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈
0.997 3)
A.32 B.64 C.128 D.256
例 3
√
根据题意，P≤0.045 5 P=P≥1-0.045 5=0.954 5，
而μ=0，则P(-2σ≤Xn≤2σ)≈0.954 5，
所以2σ≤ σ=≤ n≥128.
(2)某厂生产的圆柱形零件的外直径X(单位：cm)服从正态分布N(4，0.52).质检人员从该厂生产的1 000件零件中随机抽查1件，测得它的外直径为5.7 cm，试问：该厂生产的这批零件是否合格？
由于外直径X~N(4，0.52)，
则X在[4-3×0.5，4+3×0.5]之内取值的概率为0.997 3，在[2.5，5.5]之外取值的概率为0.002 7，
而5.7 [2.5，5.5]，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可以认为这批零件是不合格的.
反
思
感
悟
解题时，应当注意零件尺寸应落在[μ-3σ，μ+3σ]之内，否则可以认为该批产品不合格.判断的根据是小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，而一旦发生了，就可以认为这批产品不合格.
　已知某平台某次促销活动期间，某小区居民网上购物的消费金额X(单位：元)近似服从正态分布N(600，10 000)，则该小区800名居民中，网购金额超过800元的人数大约为(附：若随机变量X~N(μ，σ2)，则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7，P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5，P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)
≈0.997 3)
A.16 B.18 C.20 D.25
跟踪训练 3
√
∵小区居民网上购物的消费金额X(单位：元)近似服从正态分布N(600，10 000)，
∴P=≈=0.022 75，
∴该小区800名居民中，网购金额超过800元的人数大约为0.022 75×
800=18.2≈18.
1.知识清单：
(1)正态曲线及其特征.
(2)利用正态分布的性质求概率.
(3)正态分布的应用.
2.方法归纳：转化化归、数形结合.
3.常见误区：概率区间转化不等价.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.设有一随机变量服从正态分布，它的正态曲线是函数f(x)的图象，且f(x)=，则这个随机变量的均值与标准差分别是
A.10与8 B.10与2
C.8与10 D.2与10
√
由正态密度函数的定义可知，均值μ=10，方差σ2=4，即标准差σ=2.
2.某学校共1 000人参加数学测验，考试成绩ξ近似服从正态分布N(100，σ2)，若P(80≤ξ≤100)=0.45，则估计成绩在120分以上的学生人数为
A.25 B.50 C.75 D.100
1
2
3
4
√
由已知可得，μ=100，所以P(ξ≥100)=0.5.
又P(80≤ξ≤100)=0.45，根据正态分布的对称性可得P(100≤ξ≤120)
=0.45，
所以P(ξ>120)=P(ξ≥100)-P(100≤ξ≤120)=0.5-0.45=0.05.
所以，可估计成绩在120分以上的学生人数为1 000×0.05=50.
3.已知随机变量X服从正态分布N(10，22)，则D(3X-1)等于
A.6 B.11 C.12 D.36
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2
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4
√
因为随机变量X服从正态分布N(10，22)，
所以D(X)=22=4，
所以D(3X-1)=32D(X)=9×4=36.
4.在正态分布N中，数据落在(-∞，-2)∪(2，+∞)内的概率是　　　　.
1
2
3
4
0.002 7
设X~N，则μ=0，σ=.
因为P(-2≤X≤2)=P≈0.997 3，
所以P(X<-2或X>2)=1-P(-2≤X≤2)≈1-0.997 3=0.002 7.
课时对点练
五
1.已知随机变量X~N(6，1)，且P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7，P(μ-2σ≤X≤μ
+2σ)≈0.954 5，则P(7A.0.135 8 B.0.271 6
C.0.135 9 D.0.271 8
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基础巩固
√
由题设可得P(5≤X≤7)≈0.682 7，
P(4≤X≤8)≈0.954 5，
则P(72.某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，下列结论中不正确的是
A.σ越小，该物理量在一次测量中测量结果落在(9.9，10.1)内的概率越大
B.该物理量在一次测量中测量结果大于10的概率为0.5
C.该物理量在一次测量中测量结果小于9.99与大于10.01的概率相等
D.该物理量在一次测量中测量结果落在(9.9，10.2)内与落在(10，10.3)内
的概率相等
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因为该物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，所以测量结果的分布关于直线x=10对称，且方差σ2越小，分布越集中.
对于A，σ越小，测量结果的分布越集中在10左右，则该物理量在一次测量中测量结果落在(9.9，10.1)内的概率越大，故选项A正确；
对于B，不管σ取何值，测量结果大于10的概率均为0.5，故选项B正确；
对于C，由于测量结果的分布关于直线x=10对称，所以测量结果大于10.01的概率等于小于9.99的概率，故选项C正确；
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对于D，由于测量结果的分布是集中在10附近的，(9.9，10.2)分布在10附近的区域大于(10，10.3)分布在10附近的区域，故测量结果落在(9.9，10.2)内的概率大于落在(10，10.3)内的概率，故选项D错误.
3.已知随机变量X~B(6，p)，Y~N(μ，σ2)，且P(Y≥2)=，E(X)=E(Y)，则p等于
A. B. C. D.
√
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因为随机变量X~B(6，p)，
所以E(X)=6p，
因为Y~N(μ，σ2)，P(Y≥2)=，所以μ=2，
即E(Y)=2，
又E(X)=E(Y)，所以6p=2，即p=.
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4.某中学抽取了1 600名同学进行身高调查，已知样本的身高(单位：cm)服从正态分布N(170，σ2).若身高在165 cm到175 cm的人数占样本总数的，则样本中不高于165 cm的人数约为
A.80 B.160 C.240 D.320
√
P(X≤165)=×=，则样本中不高于165 cm的人数约为1 600
×=160.
5.(多选)已知三个正态密度函数fi(x)=·(x∈R，i=1，2，3)的图象如图所示，则下列结论正确的是
A.σ1=σ2 B.μ1>μ3
C.μ2=μ3 D.σ2<σ3
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√
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根据正态曲线关于直线x=μ对称，且μ越大，图象越靠近右边，所以μ1<μ2=μ3，故B错误，C正确；
又σ较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，所以σ1=σ2<σ3，故A，D正确.
6.(多选)(2024·新课标全国Ⅰ)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口，为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值=2.1，样本方差s2=0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8，0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(，s2)，则
(若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，P(Z<μ+σ)≈0.841 3)
A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5
C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8
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依题可知，=2.1，s2=0.01，
所以Y~N(2.1，0.12)，
故P(Y>2)=P(Y>2.1-0.1)=P(Y<2.1+0.1)≈0.841 3，所以C正确，D错误；
因为X~N(1.8，0.12)，
所以P(X<1.8+0.1)≈0.841 3，
所以P(X>1.8+0.1)≈1-0.841 3=0.158 7，
而P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1)1.8+0.1)≈0.158 7，所以B正确，A错误.
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7.设随机变量ξ服从正态分布N(4，3)，若P(ξa+1)，则实数a=　　.
由题意，随机变量ξ服从正态分布N(4，3)，可得μ=4，σ2=3，又P(ξa+1)，所以a-5+a+1=8，解得a=6.
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8.已知随机变量X服从正态分布N(100，4)，若P(m∵随机变量X服从正态分布N(100，4)，
∴P(98≤X≤102)≈0.682 7，
P(96≤X≤104)≈0.954 5，
∴P(102又P(m9.某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，到达时间X(分钟)服从正态分布N(5，1)；第二条路线较长不拥挤，X服从N(6，0.16).若有一天他出发时离点名时间还有7分钟，问他应选哪一条路线？若离点名时间还有6.5分钟，问他应选哪一条路线？
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还有7分钟时：
若选第一条路线，即X~N(5，1)，能及时到达的概率P1=P(X≤7)=P(X≤5)
+P(5若选第二条路线，即X~N(6，0.16)，能及时到达的概率P2=P(X≤7)=
P(X≤6)+P(6=+P(μ-2.5σ≤X≤μ+2.5σ).
因为P1同理，还有6.5分钟时，应选第一条路线.
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10.某单位为了解职工对垃圾回收知识的重视情况，对本单位的200名职工进行考核，然后通过随机抽样抽取其中的50名，统计其考核成绩(单位：分)，制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求这50名职工考核成绩的平均数(同
一组中的数据用该组区间的中点值为代
表)及中位数t(精确到0.01)；
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依题意，这50名职工考核成绩的平均数=74×0.04+78×0.12+82×0.28+86×0.36+90×0.10+94×0.06+98×0.04=84.80(分)，
由频率分布直方图得t∈[84，88)，
∴0.01×4+0.03×4+0.07×4+0.09×(t-84)
=0.5，
∴中位数t≈84.67分.
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(2)若该单位职工的考核成绩X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为50名职工考核成绩的平均数，σ2近似为样本方差s2，经计算得s2=27.68，利用该正态分布，估计该单位200名职工考核成绩高于90.06分的有多少名？(结果四舍五入保留整数)
参考数据：≈5.26，若X~N(μ，σ2)，则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7，P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5，P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
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由题意得X~N(84.80，27.68)，
μ+σ=84.80+≈90.06，
∴P(X>μ+σ)≈-≈0.158 7，
∴200×0.158 7≈32(名)，
∴估计该单位200名职工考核成绩高
于90.06分的有32名.
11.已知某批零件的长度X(单位：毫米)服从正态分布N(60，σ2)，且P(X<62)=0.8，从中随机取一个零件，其长度落在区间(58，60)内的概率为
A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6
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综合运用
√
由题意知X~N(60，σ2)，所以μ=60，
所以P(X<62)=0.8=P(X≤60)+P(60所以P(6012.已知某节假日期间，某高速公路收费站的四个高速收费口每天通过的小汽车数Xi(i=1，2，3，4)(单位：辆)均服从正态分布N(600，σ2)，若P(500A. B. C. D.
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根据正态曲线的对称性可知，每个收费口有不低于700辆小汽车通过的概率P(Xi≥700)=×[1-P(500所以这四个收费口每天至少有一个不低于700辆小汽车通过的概率P=1-=.
13.设随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，且一元二次方程x2+4x+ξ=0无实数根的概率为，则μ=　　.
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因为方程x2+4x+ξ=0无实数根的概率为，由Δ=16-4ξ<0，得ξ>4，即P(ξ>4)==1-P(ξ≤4)，故P(ξ≤4)=，所以μ=4.
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14.某校高二年级男生的身高X(单位：cm)近似服从正态分布N，若X的值在[160，176]内的概率约为0.84，则n的值约为　　.
参考数据：P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7；P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5；P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
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因为X~N，所以μ=172，σ=，
因为P(160≤X≤176)=P(172-12≤X≤172+4)≈0.84， ①
而P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7，P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3，
所以P(172-3σ≤X≤172+σ)≈×(0.682 7+0.997 3)=0.84， ②
对比①②两式可知σ=4，
所以=4，解得n=6.
15.某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，以单次最大续航里程500公里为标准进行测试，且每辆汽车是否达到标准相互独立，设每辆新能源汽车达到标准的概率为p(0A.0.2 B.0.3 C.0.6 D.0.8
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拓广探究
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设100辆汽车中恰有80辆达到标准时的概率为f(p)，则f(p)=p80(1-p)20
(00，所以f(p)在(0，0.8)上单调递增；当p∈(0.8，1)时，f'(p)<0，所以f(p)在(0.8，1)上单调递减.所以f(p)在p=0.8处取得最大值.所以P(X≥600)=
P(X≤500)=1-P(X≥500)=1-0.8=0.2.
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16.已知某军区新兵50 m步枪射击个人平均成绩X(单位：环)服从正态分布N(μ，σ2)，从中随机抽取100名新兵的个人平均成绩，得到如下的频数分布表：
X 4 5 6 7 8 9
频数 1 2 26 40 29 2
(1)求μ和σ2的值(用样本的均值和方差代替总体的均值和方差)；
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由题意，得随机抽取的100名新兵的个人平均成绩的分布列为(用频率估计概率)：
X 4 5 6 7 8 9
P 0.01 0.02 0.26 0.40 0.29 0.02
均值E(X)=4×0.01+5×0.02+6×0.26+7×0.40+8×0.29+9×0.02=7，
方差D(X)=(4-7)2×0.01+(5-7)2×0.02+(6-7)2×0.26+(7-7)2×0.40+(8-7)2×
0.29+(9-7)2×0.02=0.8.
用样本的均值和方差代替总体的均值和方差，得μ=7，σ2=0.8.
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(2)从这个军区随机抽取1名新兵，求此新兵的50 m步枪射击个人平均成绩在区间(7.9，8.8]的概率.
参考数据：≈0.9.
X 4 5 6 7 8 9
频数 1 2 26 40 29 2
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由(1)知X~N(7，0.8)，因为≈0.9，
所以σ≈0.9，
因为P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7，
P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5，
所以P(7.9即从这个军区随机抽取1名新兵，此新兵的50 m步枪射击个人平均成绩在区间(7.9，8.8]的概率约为0.135 9.［学习目标］　1.利用实际问题的频率分布直方图，了解正态曲线的特点及正态曲线所表示的意义.2.了解变量落在区间［μ-σ，μ+σ］，［μ-2σ，μ+2σ］，［μ-3σ，μ+3σ］内的概率大小.3.会用正态分布去解决实际问题.
一、正态曲线及其特征
问题1　下列随机变量哪个是离散型随机变量：
(1)掷一枚骰子一次，用X表示所得点数；
(2)白炽灯的使用时间.
问题2　教材P74例2的高尔顿板试验中，随着重复次数的增加，频率分布直方图的形状会越来越像一条钟形曲线，那么这条曲线是否存在函数解析式呢？
知识梳理
1.我们称f(x)=　　　　　　，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为　　　　　　　　，称它的图象为正态密度曲线，简称　　　　　　　　.
2.若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为　　　　　　　　.特别地，当μ=0，σ=1时，称随机变量X服从　　　　　　　　.
3.若X~N(μ，σ2)，则E(X)=μ，D(X)=σ2.
4.正态曲线的特点：
(1)非负性：对 x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的　　　　.
(2)定值性：曲线与x轴之间的区域的面积为　　　　.
(3)对称性：曲线是单峰的，它关于直线　　　　对称.
(4)最大值：曲线在　　　　处达到峰值.
(5)当|x|无限增大时，曲线无限接近　　轴.
(6)当　　　　一定时，正态曲线的位置由μ确定，正态曲线随着　　　　的变化而沿x轴平移，如图①.
(7)当μ一定时，正态曲线的形状由σ确定，当σ较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当σ较大时，峰值低，正态曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②.
5.正态分布的几何意义：若X~N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为图中区域B的面积.
例1　(1)已知随机变量服从正态分布，其正态曲线如图所示，则总体的均值μ=　　　，方差σ2=　　　　.
(2)(多选)一次教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态曲线如图所示，下列说法中不正确的是 (　　)
A.甲科总体的标准差最小
B.丙科总体的平均数最小
C.乙科总体的标准差及平均数都比甲小，比丙大
D.甲、乙、丙总体的平均数不相同
反思感悟　利用正态曲线的特点求参数μ，σ
(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称，由此特点结合图象求出μ.
(2)正态曲线在x=μ处达到峰值，由此特点结合图象可求出σ.
跟踪训练1　(1)(多选)下面关于正态曲线的叙述中，正确的有 (　　)
A.曲线在x轴上方，且与x轴不相交
B.当x>μ时，曲线下降，当x<μ时，曲线上升
C.当μ一定时，σ越小，总体分布越分散，σ越大，总体分布越集中
D.曲线关于直线x=μ对称，且当x=μ时，位于最高点
(2)(多选)甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N(μ1，)，N(μ2，)，其正态密度函数f(x)=，x∈R的正态曲线如图所示，则下列说法正确的是 (　　)
A.甲类水果的平均质量μ1=0.4 kg
B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右
C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D.乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2=1.99
二、利用正态分布的性质求概率
知识梳理
正态变量在三个特殊区间内取值的概率值
P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈　　　　；
P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈　　　　；
P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈　　　　.
例2　设ξ~N(1，22)，试求：
(1)P(-1≤ξ≤3)；(2)P(3<ξ≤5).
延伸探究　若本例条件不变，求P(ξ>5).
反思感悟　利用正态分布求概率的两个方法
(1)对称法：由于正态曲线是关于直线x=μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x=μ对称的区间概率相等.如：
①P(X②P(X<μ-a)=P(X>μ+a).
(2)“3σ”法：利用X落在区间［μ-σ，μ+σ］，［μ-2σ，μ+2σ］，［μ-3σ，μ+3σ］内的概率分别是0.682 7，0.954 5，0.997 3求解.
跟踪训练2　(1)已知随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，且P(ξ<2)=0.6，则P(0<ξ<2)等于 (　　)
A.0.4 B.0.3 C.0.2 D.0.1
(2)随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若P(ξ<2)=0.2，P(2<ξ<6)=0.6，则μ等于 (　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
三、正态分布的应用
例3　(1)现实世界中的很多随机变量遵循正态分布.例如反复测量某一个物理量，其测量误差X通常被认为服从正态分布.若某物理量做n次测量，最后结果的误差Xn ~N，则为使|Xn|>的概率控制在0.045 5及以下，至少要测量的次数为(附：若随机变量X~N(μ，σ2)，则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7，P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5，P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3) (　　)
A.32 B.64 C.128 D.256
(2)某厂生产的圆柱形零件的外直径X(单位：cm)服从正态分布N(4，0.52).质检人员从该厂生产的1 000件零件中随机抽查1件，测得它的外直径为5.7 cm，试问：该厂生产的这批零件是否合格？
反思感悟　解题时，应当注意零件尺寸应落在［μ-3σ，μ+3σ］之内，否则可以认为该批产品不合格.判断的根据是小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，而一旦发生了，就可以认为这批产品不合格.
跟踪训练3　已知某平台某次促销活动期间，某小区居民网上购物的消费金额X(单位：元)近似服从正态分布N(600，10 000)，则该小区800名居民中，网购金额超过800元的人数大约为(附：若随机变量X~N(μ，σ2)，则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7，P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5，P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3) (　　)
A.16 B.18 C.20 D.25
1.知识清单：
(1)正态曲线及其特征.
(2)利用正态分布的性质求概率.
(3)正态分布的应用.
2.方法归纳：转化化归、数形结合.
3.常见误区：概率区间转化不等价.
1.设有一随机变量服从正态分布，它的正态曲线是函数f(x)的图象，且f(x)=，则这个随机变量的均值与标准差分别是 (　　)
A.10与8 B.10与2
C.8与10 D.2与10
2.某学校共1 000人参加数学测验，考试成绩ξ近似服从正态分布N(100，σ2)，若P(80≤ξ≤100)=0.45，则估计成绩在120分以上的学生人数为 (　　)
A.25 B.50 C.75 D.100
3.已知随机变量X服从正态分布N(10，22)，则D(3X-1)等于 (　　)
A.6 B.11 C.12 D.36
4.在正态分布N中，数据落在(-∞，-2)∪(2，+∞)内的概率是　　　　.
答案精析
问题1　(1)是，(2)不是.
问题2　存在.
知识梳理
1.　正态密度函数　正态曲线
2.X~N(μ，σ2)　标准正态分布
4.(1)上方　(2)1　(3)x=μ　(4)x=μ　(5)x　(6)σ　μ
例1　(1)20　2
解析　从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x=20对称，最大值是，所以=，解得σ=，因此总体的均值μ=20，方差σ2=()2=2.
(2)BCD　［由题图可知三科总体的平均数(均值)相等，由正态曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越“矮胖”，σ越小，正态曲线越“瘦高”.
故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙.］
跟踪训练1　(1)ABD　［只有C错误，因为当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，总体分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散.］
(2)ABC　［由图象可知甲图象关于直线x=0.4对称，乙图象关于直线x=0.8对称，
所以μ1=0.4，μ2=0.8，μ1<μ2，故A，C正确；
因为甲图象比乙图象更“瘦高”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B正确；
因为乙图象的最大值为1.99，
即=1.99，σ2≠1.99，故D错误.］
知识梳理
0.682 7　0.954 5　0.997 3
例2　解　∵ξ~N(1，22)，
∴μ=1，σ=2，
(1)P(-1≤ξ≤3)=P(1-2≤ξ≤1+2)
=P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.682 7.
(2)∵P(3<ξ≤5)=P(-3≤ξ<-1)，
∴P(3<ξ≤5)=［P(-3≤ξ≤5)-P(-1≤ξ≤3)］
=［P(1-4≤ξ≤1+4)-P(1-2≤ξ≤1+2)］
=［P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)-P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)］
≈×(0.954 5-0.682 7)=0.135 9.
延伸探究　解　P(ξ>5)=P(ξ<-3)
=［1-P(-3≤ξ≤5)］
=［1-P(1-4≤ξ≤1+4)］
=［1-P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)］
≈×(1-0.954 5)=0.022 75.
跟踪训练2　(1)C　［由已知可得正态曲线关于直线x=1对称，P(ξ<2)=0.6，
所以P(ξ≥2)=P(ξ≤0)=0.4，
故P(0<ξ<2)=1-0.4-0.4=0.2.］
(2)B　［∵P(ξ<2)=0.2，P(2<ξ<6)=0.6，
∴P(ξ>6)=1-0.2-0.6=0.2，
即P(ξ<2)=P(ξ>6)，
∴μ==4.］
例3　(1)C　［根据题意，P≤0.045 5
P=P≥1-0.045 5
=0.954 5，
而μ=0，则P(-2σ≤Xn≤2σ)≈0.954 5，
所以2σ≤ σ=≤ n≥128.］
(2)解　由于外直径X~N(4，0.52)，
则X在［4-3×0.5，4+3×0.5］之内取值的概率为0.997 3，在［2.5，5.5］之外取值的概率为0.002 7，
而5.7 ［2.5，5.5］，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可以认为这批零件是不合格的.
跟踪训练3　B　［∵小区居民网上购物的消费金额X(单位：元)近似服从正态分布N(600，10 000)，
∴P=
≈=0.022 75，
∴该小区800名居民中，网购金额超过800元的人数大约为0.022 75×800=18.2≈18.］
随堂演练
1.B　［由正态密度函数的定义可知，均值μ=10，方差σ2=4，即标准差σ=2.］
2.B　［由已知可得，μ=100，所以P(ξ≥100)=0.5.
又P(80≤ξ≤100)=0.45，根据正态分布的对称性可得P(100≤ξ≤120)=0.45，
所以P(ξ>120)=P(ξ≥100)-P(100≤ξ≤120)=0.5-0.45=0.05.
所以，可估计成绩在120分以上的学生人数为1 000×0.05=50.］
3.D　［因为随机变量X服从正态分布N(10，22)，
所以D(X)=22=4，
所以D(3X-1)=32D(X)=9×4=36.］
4.0.002 7
解析　设X~N，则μ=0，σ=.
因为P(-2≤X≤2)=P
≈0.997 3，
所以P(X<-2或X>2)=1-P(-2≤X≤2)
≈1-0.997 3=0.002 7.

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