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(共75张PPT)
第七章
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7.1.2
全概率公式
1.了解利用概率的加法公式和乘法公式推导全概率公式.
2.理解全概率公式，并会利用全概率公式计算概率.
3.了解贝叶斯公式，并会简单应用.
学习目标
王先生从家到公司有两条路可以选择，其中第一条路拥堵的概率是0.3，第二条路拥堵的概率是0.4，王先生选择第一条路的概率是0.7，选择第二条路的概率是0.3，那么王先生上班路上拥堵的概率是多少？这个概率怎么计算呢？
导 语
一、全概率公式
二、多个事件的全概率问题
课时对点练
*三、贝叶斯公式
随堂演练
内容索引
一
全概率公式
从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.显然，第1次摸到红球的概率为.那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？
问题
提示　因为抽签具有公平性，所以第2次摸到红球的概率也应该是，但是这个结果并不显然，因为第2次摸球的结果受第1次摸球结果的影响.下面我们给出严格的推导.
用Ri表示事件“第i次摸到红球”，Bi表示事件“第i次摸到蓝球”，i=1，2.如图所示.
事件R2可按第1次可能的摸球结果(红球或蓝球)
表示为两个互斥事件的并，即R2=R1R2∪B1R2，
利用概率的加法公式和乘法公式，
得P(R2)=P(R1R2∪B1R2)=P(R1R2)+P(B1R2)=P(R1)P(R2|R1)+P(B1)P(R2|B1)
=×+×=.
全概率公式：一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2，…，n，则对任意的事件B Ω，
有_______________________.
P(B)=P(Ai)P(B|Ai)
全概率公式的主要用途在于它将一个复杂事件的概率问题分解成若干个简单事件的概率计算问题，即P(B)=P(A1B)+P(A2B)
+…+P(AnB)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+…+P(An)P(B|An).
注 意 点
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　某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装100个，废品率为0.06，乙厂每箱装120个，废品率为0.05，求：
(1)任取一箱，从中任取一个为废品的概率；
例 1
记事件A，B分别为“甲厂、乙厂的产品”，事件C为“废品”，则Ω=A∪B，且A，B互斥，
由题意，得P(A)==，P(B)==，
P(C|A)=0.06，P(C|B)=0.05，
由全概率公式，
得P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)
=×+×=.
(2)若将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率.
P(A)==，
P(B)==，
P(C|A)=0.06，P(C|B)=0.05，
由全概率公式，得P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=×+×=.
(1)拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分，如A1，A2(或A与).
(2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率.
(3)求和：所求事件的概率P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2).
反
思
感
悟
两个事件的全概率问题求解策略
　某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查.参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占，乙班中女生占.求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率.
跟踪训练 1
如果用事件A1，A2分别表示“居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的”，事件B表示“居民所遇到的一位同学是女生”，则Ω=A1∪A2，且A1，A2互斥，B Ω，
由题意可知，P(A1)=，P(A2)=，
且P(B|A1)=，P(B|A2)=.
由全概率公式可知P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=×+×=.
二
多个事件的全概率问题
　甲、乙、丙三人同时对飞盘进行射击，三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7.飞盘被一人击中而击落的概率为0.2，被两人击中而击落的概率为0.6，若三人都击中，飞盘必定被击落，求飞盘被击落的概率.
例 2
设B=“飞盘被击落”，Ai=“飞盘被i人击中”，i=1，2，3，则B=A1B∪A2B∪A3B，
依题意，得P(B|A1)=0.2，P(B|A2)=0.6，P(B|A3)=1.
设Hi=“飞盘被第i人击中”，i=1，2，3，
则P(A1)=P(H1∪H2∪H3)，
P(A2)=P(H1H2∪H1H3∪H2H3)，
P(A3)=P(H1H2H3)，
又P(H1)=0.4，P(H2)=0.5，P(H3)=0.7，
所以P(A1)=0.36，P(A2)=0.41，P(A3)=0.14，
则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)
=0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1=0.458.
即飞盘被击落的概率为0.458.
反
思
感
悟
(1)如图，P(B)=P(Ai)P(B|Ai).
(2)已知事件B的发生有各种可能的情
形Ai(i=1，2，…，n)，事件B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和.
“化整为零”求多事件的全概率问题
　假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如表所示：
跟踪训练 2
品牌 甲 乙 其他
市场占有率 50% 30% 20%
优质率 95% 90% 70%
在该市场中任意买一部智能手机，求买到的是优质品的概率.
用A1，A2，A3分别表示事件“买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌”，B表示事件“买到的是优质品”，则Ω=A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，依题意，可得P(A1)=50%，P(A2)=30%，P(A3)=20%，且P(B|A1)=95%，P(B|A2)=90%，P(B|A3)=70%，由全概率公式，得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)·P(B|A3)=50%×95%+30%×90%+20%×70%=88.5%.
*三
贝叶斯公式
*贝叶斯公式：设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An
=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2，…，n，则对任意的事件B Ω，P(B)>0，有
P(Ai|B)=______________=________________，i=1，2，…，n.
如果所求事件的概率是由多个原因引起的，此时应用全概率公式；如果所求概率为条件概率P(A|B)，而B由多个原因引起，此时应用贝叶斯公式.
注 意 点
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　设某工厂有甲、乙、丙三个车间，它们生产同一种工件，每个车间的产量占该厂总产量的百分比依次为25%，35%，40%，它们的次品率依次为5%，4%，2%.现从这批工件中任取一件.
(1)求取到次品的概率；
例 3
设事件B1，B2，B3分别表示“取到的工件是甲、乙、丙车间生产的”，A表示“取到的是次品”.
易知B1，B2，B3两两互斥，根据全概率公式，
可得P(A)= P(Bi)P(A|Bi)=0.25×0.05+0.35×0.04+0.4×0.02=0.034 5.
故取到次品的概率为0.034 5.
(2)已知取到的是次品，求它是甲车间生产的概率.(精确到0.01)
P(B1|A)===≈0.36.
故已知取到的是次品，则它是甲车间生产的概率约为0.36.
反
思
感
悟
(1)公式P(A1|B)==反映了P(A1B)，P(A1)，P(B)，P(A1|B)，P(B|A1)之间的互化关系.
(2)P(A1)称为先验概率，P(A1|B)称为后验概率，其反映了事件A1发生的可能性在各种可能原因中的比重.
贝叶斯公式的内涵
　某人从甲地到乙地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.2，0.4，0.4，乘火车迟到的概率为0.5，乘轮船迟到的概率为0.2，乘飞机不会迟到.
(1)求这个人迟到的概率；
跟踪训练 3
设事件A表示“乘火车”，事件B表示“乘轮船”，事件C表示“乘飞机”，事件D表示“迟到”，
则P(A)=0.2，P(D|A)=0.5，P(B)=0.4，P(D|B)=0.2，P(C)=0.4，P(D|C)=0.
由全概率公式，此人迟到的概率
P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)
=0.2×0.5+0.4×0.2+0.4×0=0.18.
(2)如果这个人迟到了，求他乘轮船迟到的概率.
如果这个人迟到了，由贝叶斯公式得他乘轮船迟到的概率为
P(B|D)====.
1.知识清单：
(1)全概率公式.
(2)多个事件的全概率问题.
(3)贝叶斯公式.
2.方法归纳：化整为零、转化化归.
3.常见误区：事件拆分不合理或不全面.
随堂演练
四
1
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1.已知P(BA)=0.4，P(B)=0.2，则P(B)的值为
A.0.08 B.0.8 C.0.6 D.0.5
√
P(B)=P(BA)+P(B)=0.4+0.2=0.6.
2.某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一、二车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，则该产品合格的概率为
A.0.6 B.0.85 C.0.868 D.0.88
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√
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设从仓库中随机提出的一台产品是合格品为事件B，事件Ai表示提出的一台产品是第i车间生产的，i=1，2，
由题意可得P(A1)==0.4，P(A2)==0.6，P(B|A1)=0.85，P(B|A2)=0.88，
由全概率公式得
P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.4×0.85+0.6×0.88=0.868.
所以该产品合格的概率为0.868.
3.已知某次数学期末试卷中有8道4选1的单选题，学生小王能完整做对其中5道题，在剩下的3道题中，有2道题有思路，还有1道题完全没有思路，有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好从4个选项中随机选一个答案.小王从这8道题中任选1题，则他做对的概率为　　　.
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4
设“小王从这8道题中任选1题且做对”为事件A，“选到能完整做对的5道题”为事件B，“选到有思路的2道题”为事件C，“选到完全没有思路的1道题”为事件D，则P(B)=，P(C)==，P(D)=，由全概率公式可得P(A)=P(B)P(A|B)+P(C)P(A|C)+P(D)P(A|D)=×1+×+×
=.
4.甲袋中有3个白球，2个黑球，乙袋中有4个白球，4个黑球，今从甲袋中任取两球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则该球是白球的概率为　　.
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设A=“从乙袋中取出的是白球”，Bi=“从甲袋中取出的两球恰有i个白球”，i=0，1，2.
则Ω=B1∪B2∪B0，且B1，B2，B0两两互斥.
由全概率公式，得
P(A)=P(B0)P(A|B0)+P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)=×+×+×=.
课时对点练
五
1.某种疾病的患病率为0.5%，通过验血诊断该病的误诊率为2%，即非患者中有2%的人验血结果为阳性，患者中有2%的人验血结果为阴性，随机抽取一人进行验血，则其验血结果为阳性的概率为
A.0.068 9 B.0.049 C.0.024 8 D.0.02
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基础巩固
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设“验血结果为阳性”为事件B，“是患者”为事件A1，“非患者”为事件A2，
则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.5%×(1-2%)+(1-0.5%)×2%=0.024 8.
2.播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子.播种一、二、三、四等种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，则这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率为
A.0.8 B.0.532 C.0.482 5 D.0.312 5
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设“从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子”分别为事件A1，A2，A3，A4，则Ω=A1∪A2∪A3∪A4，且A1，A2，A3，A4两两互斥，
设B表示“从这批种子中任选一颗，所结的穗含50颗以上麦粒”，则
P(B)=P(Ai)P(B|Ai)=95.5%×0.5+2%×0.15+1.5%×0.1+1%×0.05=
0.482 5.
3.已知某地区7%的男性和0.49%的女性患色盲.假如男性、女性各占一半，从中随机选一人，则此人恰是色盲的概率是
A.0.012 45 B.0.057 86 C.0.028 65 D.0.037 45
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用事件A，B分别表示“随机选1人为男性或女性”，用事件C表示“此人是色盲”，
则Ω=A∪B，且A，B互斥，
故P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=×7%+×0.49%=0.037 45.
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4.设有来自三个地区的各10名，15名和25名考生的报名表，其中女生报名表分别为3份，7份和5份，随机地取一个地区的报名表，从中先后取出两份，则先取到的一份为女生报名表的概率为
A. B. C. D.
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设A=“先取到的是女生报名表”，Bi=“取到第i个地区的报名表”，i=1，2，3，
则Ω=B1∪B2∪B3，且B1，B2，B3两两互斥，
∴P(A)= P(Bi)P(A|Bi)=×+×+×=.
5.(多选)箱子中有6个大小、材质都相同的小球，其中4个红球，2个白球.每次从箱子中随机地摸出一个球，摸出的球不放回.设A=“第1次摸球，摸到红球”，B=“第2次摸球，摸到红球”，则下列结论正确的是
A.P(A)= B.P(B)=C.P(B|A)= D.P(B|)=
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P(A)==，A正确；
P(B|A)===，
P(B|)===.
由全概率公式可知，P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=×+×=.
所以B，C错误，D正确.
6.深受广大球迷喜爱的某支足球队在对球员的使用上进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.2，0.1，当乙球员担当前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.6，0.2.当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为
A.0.3 B.0.32 C.0.68 D.0.7
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设A1表示“乙球员担当前锋”，A2表示“乙球员担当中锋”，A3表示“乙球员担当后卫”，A4表示“乙球员担当守门员”，B表示“当乙球员参加比赛时，球队输球”.
则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)+P(A4)P(B|A4)
=0.2×0.4+0.5×0.2+0.2×0.6+0.1×0.2=0.32，
所以当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为1-0.32=0.68.
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7.有两箱同一种产品，第一箱内装50件，其中10件优质品，第二箱内装30件，其中18件优质品，现随意地打开一箱，然后从箱中随意取出一件，则取到的是优质品的概率是　　　.
设A=“取到的是优质品”，Bi=“打开的是第i箱”(i=1，2)，
则P(B1)=P(B2)=，
P(A|B1)==，P(A|B2)==，
由全概率公式，得
P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)=×+×=.
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8.已知小明每天步行上学的概率为0.6，骑自行车上学的概率为0.4，且步行上学有0.05的概率迟到，骑自行车上学有0.02的概率迟到.若小明今天上学迟到了，则他今天骑自行车上学的概率为　　.
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设A=“小明步行上学”，B=“小明骑自行车上学”，C=“小明迟到”，
由已知得P(A)=0.6，P(B)=0.4，
P(C|A)=0.05，P(C|B)=0.02，
由全概率公式可知P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)·P(C|B)=0.6×0.05+0.4×0.02
=0.038，
利用条件概率可得P(B|C)====，
即所求的概率为.
9.某同学买了7个盲盒，每个盲盒中都有一支笔，有4支钢笔和3支圆珠笔.
(1)一次取出2个盲盒，求2个盲盒为同一种笔的概率；
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设事件A=“2个盲盒中都是钢笔”，事件B=“2个盲盒中都是圆珠笔”，则A与B为互斥事件，
因为P(A)==，P(B)==，
所以2个盲盒为同一种笔的概率P=P(A∪B)=P(A)+P(B)=+=.
(2)依次不放回地从中取出2个盲盒，求第1次、第2次取到的都是钢笔盲盒的概率；
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设事件Ai=“第i次取到的是钢笔盲盒”，i=1，2.
因为P(A1)==，P(A2|A1)==，
所以P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=×=，
即第1次、第2次取到的都是钢笔盲盒的概率为.
(3)依次不放回地从中取出2个盲盒，求第2次取到的是圆珠笔盲盒的概率.
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设事件Bi=“第i次取到的是圆珠笔盲盒”，i=1，2.
因为P(B1)==，P(B2|B1)==，
P(B2|A1)==，
所以由全概率公式可知第2次取到的是圆珠笔盲盒的概率为P(B2)=P(B1)P(B2|B1)+P(A1)·P(B2|A1)=×+×=.
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10.玻璃杯成箱出售，每箱20只，各箱含0，1，2个次品的概率分别为0.8，0.1，0.1，一顾客购买一箱玻璃杯，在购买时售货员随机取出一箱，顾客开箱任意抽查5只，若无次品，则购买该箱玻璃杯，否则退回.求顾客买下该箱玻璃杯的概率.
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设Ai=“该箱玻璃杯有i个次品”(i=0，1，2)，B=“顾客买下该箱玻璃杯”，
则Ω=A0∪A1∪A2，且A0，A1，A2两两互斥，
由题意知，P(A0)=0.8，P(A1)=0.1，
P(A2)=0.1，
P(B|A0)=1，P(B|A1)==，
P(B|A2)==.
∴P(B)=P(Ai)P(B|Ai)=0.8×1+0.1×+0.1×=.
11.(多选)若0A.P(A|B)=
B.P(AB)=P(A)P(B|A)
C.P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)
D.P(A|B)=
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综合运用
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由条件概率的计算公式知A错误；
B，C显然正确；
D选项中，因为P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)，
所以P(A|B)===，
故D正确.
12.把外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个.其中，第一个盒子中有7个球标有字母A，3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个.试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球.如果第二次取出的是红球，那么称试验成功，则试验成功的概率为
A.0.59 B.0.41 C.0.48 D.0.64
1
2
3
4
5
6
7
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9
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√
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3
4
5
6
7
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12
13
14
15
16
设A=“从第一个盒子中取得标有字母A的球”，B=“从第一个盒子中取得标有字母B的球”，R=“第二次取出的是红球”，
则P(A)=，P(B)=，P(R|A)=，
P(R|B)=，
故P(R)=P(R|A)P(A)+P(R|B)P(B)=×+×=0.59.
13.若甲盒中有2个白球、2个红球、1个黑球，乙盒中有x个白球(x∈N)、3个红球、2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率大于等于，则x的最大值为
A.4 B.5 C.6 D.7
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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11
12
13
14
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16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
设第一次从甲盒取出白球、红球、黑球分别为事件A1，A2，A3，从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同为事件B，
则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)
=·+·+·=≥，
解得x≤6，则x的最大值为6.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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15
16
14.某学校组织学生进行答题比赛，已知共有4道A类试题，8道B类试题，12道C类试题，学生从中任选1道试题作答，学生甲答对A，B，C这3类试题的概率分别为，，.若学生甲答对了所选试题，则这道试题是B类试题的概率为　　.
1
2
3
4
5
6
7
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16
设“学生选1道A类试题”为事件A，“学生选1道B类试题”为事件B，“学生选1道C类试题”为事件C，“学生答对试题”为事件D，
则P(A)==，P(B)==，
P(C)==，P(D|A)=，
P(D|B)=，P(D|C)=，
所以P(D)=×+×+×=，所以P(B|D)===.
15.甲、乙两名同学在电脑上进行答题测试，每套测试题可从题库中随机抽取.在一轮答题中，如果甲单独答题，能够通过测试的概率是，如果乙单独答题，能够通过测试的概率是.现在甲、乙两人中任选一人进行测试，则通过测试的概率是
A. B. C. D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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拓广探究
√
1
2
3
4
5
6
7
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9
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16
设“选中甲”为事件B，“选中乙”为事件C，“通过测试”为事件D，
根据题意得，P(B)=P(C)=，P(D|B)=，P(D|C)=，
则P(D)=P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)=×+×=，
所以在甲、乙两人中任选一人进行测试，则通过测试的概率是.
1
2
3
4
5
6
7
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10
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16
16.如图，有三个箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和3个白球，3号箱装有3个红球，这些球除颜色外完全相同.某人先从三箱中任取一箱，再从中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率以及该球取自几号箱的可能性最大.
1
2
3
4
5
6
7
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16
设事件Bi=“球取自i号箱”(i=1，2，3)，事件A=“取得红球”.
显然有P(B1)=P(B2)=P(B3)=，
P(A|B1)=，P(A|B2)=，P(A|B3)=1，
由全概率公式，可得
P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=，
1
2
3
4
5
6
7
8
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10
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16
再由贝叶斯公式知，
P(B1|A)==，
P(B2|A)==，
P(B3|A)==，
因此，该球是取自1号箱的概率为，该球取自3号箱的可能性最大.7.1.2　全概率公式
［学习目标］　1.了解利用概率的加法公式和乘法公式推导全概率公式.2.理解全概率公式，并会利用全概率公式计算概率.3.了解贝叶斯公式，并会简单应用.
一、全概率公式
问题　从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.显然，第1次摸到红球的概率为.那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？
知识梳理
全概率公式：一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2，…，n，则对任意的事件B Ω，有 　.
例1　某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装100个，废品率为0.06，乙厂每箱装120个，废品率为0.05，求：
(1)任取一箱，从中任取一个为废品的概率；
(2)若将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率.
反思感悟　两个事件的全概率问题求解策略
(1)拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分，如A1，A2(或A与).
(2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率.
(3)求和：所求事件的概率P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2).
跟踪训练1　某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查.参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占，乙班中女生占.求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率.
二、多个事件的全概率问题
例2　甲、乙、丙三人同时对飞盘进行射击，三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7.飞盘被一人击中而击落的概率为0.2，被两人击中而击落的概率为0.6，若三人都击中，飞盘必定被击落，求飞盘被击落的概率.
反思感悟　“化整为零”求多事件的全概率问题
(1)如图，P(B)=P(Ai)P(B|Ai).
(2)已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i=1，2，…，n)，事件B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和.
跟踪训练2　假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如表所示：
品牌 甲 乙 其他
市场占有率 50% 30% 20%
优质率 95% 90% 70%
在该市场中任意买一部智能手机，求买到的是优质品的概率.
*三、贝叶斯公式
知识梳理
*贝叶斯公式：设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2，…，n，则对任意的事件B Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)=　　　　　　　
=　　　　　　　　　　　，i=1，2，…，n.
例3　设某工厂有甲、乙、丙三个车间，它们生产同一种工件，每个车间的产量占该厂总产量的百分比依次为25%，35%，40%，它们的次品率依次为5%，4%，2%.现从这批工件中任取一件.
(1)求取到次品的概率；
(2)已知取到的是次品，求它是甲车间生产的概率.(精确到0.01)
反思感悟　贝叶斯公式的内涵
(1)公式P(A1|B)==反映了P(A1B)，P(A1)，P(B)，P(A1|B)，P(B|A1)之间的互化关系.
(2)P(A1)称为先验概率，P(A1|B)称为后验概率，其反映了事件A1发生的可能性在各种可能原因中的比重.
跟踪训练3　某人从甲地到乙地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.2，0.4，0.4，乘火车迟到的概率为0.5，乘轮船迟到的概率为0.2，乘飞机不会迟到.
(1)求这个人迟到的概率；
(2)如果这个人迟到了，求他乘轮船迟到的概率.
1.知识清单：
(1)全概率公式.
(2)多个事件的全概率问题.
(3)贝叶斯公式.
2.方法归纳：化整为零、转化化归.
3.常见误区：事件拆分不合理或不全面.
1.已知P(BA)=0.4，P(B)=0.2，则P(B)的值为 (　　)
A.0.08 B.0.8
C.0.6 D.0.5
2.某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一、二车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，则该产品合格的概率为 (　　)
A.0.6 B.0.85
C.0.868 D.0.88
3.已知某次数学期末试卷中有8道4选1的单选题，学生小王能完整做对其中5道题，在剩下的3道题中，有2道题有思路，还有1道题完全没有思路，有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好从4个选项中随机选一个答案.小王从这8道题中任选1题，则他做对的概率为　　　　.
4.甲袋中有3个白球，2个黑球，乙袋中有4个白球，4个黑球，今从甲袋中任取两球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则该球是白球的概率为　　　　.
答案精析
问题　因为抽签具有公平性，所以第2次摸到红球的概率也应该是，但是这个结果并不显然，因为第2次摸球的结果受第1次摸球结果的影响.下面我们给出严格的推导.
用Ri表示事件“第i次摸到红球”，Bi表示事件“第i次摸到蓝球”，i=1，2.如图所示.
事件R2可按第1次可能的摸球结果(红球或蓝球)表示为两个互斥事件的并，即R2=R1R2∪B1R2，
利用概率的加法公式和乘法公式，
得P(R2)=P(R1R2∪B1R2)=P(R1R2)+P(B1R2)
=P(R1)P(R2|R1)+P(B1)P(R2|B1)
=×+×=.
知识梳理
P(B)= P(Ai)P(B|Ai)
例1　解　记事件A，B分别为“甲厂、乙厂的产品”，事件C为“废品”，则Ω=A∪B，且A，B互斥，
(1)由题意，得P(A)==，P(B)==，
P(C|A)=0.06，P(C|B)=0.05，
由全概率公式，得P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)
=×+×=.
(2)P(A)==，
P(B)==，
P(C|A)=0.06，P(C|B)=0.05，
由全概率公式，得P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=×+×=.
跟踪训练1　解　如果用事件A1，A2分别表示“居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的”，事件B表示“居民所遇到的一位同学是女生”，
则Ω=A1∪A2，且A1，A2互斥，B Ω，
由题意可知，P(A1)=，P(A2)=，
且P(B|A1)=，P(B|A2)=.
由全概率公式可知P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=×+×=.
例2　解　设B=“飞盘被击落”，Ai=“飞盘被i人击中”，i=1，2，3，则B=A1B∪A2B∪A3B，
依题意，得P(B|A1)=0.2，P(B|A2)=0.6，
P(B|A3)=1.
设Hi=“飞盘被第i人击中”，i=1，2，3，
则P(A1)=P(H1∪H2∪H3)，
P(A2)=P(H1H2∪H1H3∪H2H3)，
P(A3)=P(H1H2H3)，
又P(H1)=0.4，P(H2)=0.5，P(H3)=0.7，
所以P(A1)=0.36，P(A2)=0.41，P(A3)=0.14，
则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)·P(B|A3)=0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1=0.458.
即飞盘被击落的概率为0.458.
跟踪训练2　解　用A1，A2，A3分别表示事件“买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌”，B表示事件“买到的是优质品”，则Ω=A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，依题意，可得P(A1)=50%，P(A2)=30%，P(A3)=20%，且P(B|A1)=95%，P(B|A2)=90%，P(B|A3)=70%，由全概率公式，得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)·P(B|A3)=50%×95%+30%×90%+20%×70%=88.5%.
知识梳理
　
例3　解　(1)设事件B1，B2，B3分别表示“取到的工件是甲、乙、丙车间生产的”，A表示“取到的是次品”.
易知B1，B2，B3两两互斥，根据全概率公式，
可得P(A)=P(Bi)P(A|Bi)
=0.25×0.05+0.35×0.04+0.4×0.02=0.034 5.
故取到次品的概率为0.034 5.
(2)P(B1|A)===≈0.36.
故已知取到的是次品，则它是甲车间生产的概率约为0.36.
跟踪训练3　解　(1)设事件A表示“乘火车”，事件B表示“乘轮船”，事件C表示“乘飞机”，事件D表示“迟到”，
则P(A)=0.2，P(D|A)=0.5，P(B)=0.4，
P(D|B)=0.2，P(C)=0.4，P(D|C)=0.
由全概率公式，此人迟到的概率
P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)
=0.2×0.5+0.4×0.2+0.4×0=0.18.
(2)如果这个人迟到了，由贝叶斯公式得他乘轮船迟到的概率为P(B|D)====.
随堂演练
1.C　［P(B)=P(BA)+P(B)=0.4+0.2=0.6.］
2.C　［设从仓库中随机提出的一台产品是合格品为事件B，事件Ai表示提出的一台产品是第i车间生产的，i=1，2，
由题意可得P(A1)==0.4，P(A2)==0.6，P(B|A1)=0.85，P(B|A2)=0.88，
由全概率公式得
P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)
=0.4×0.85+0.6×0.88=0.868.
所以该产品合格的概率为0.868.］
3.
解析　设“小王从这8道题中任选1题且做对”为事件A，“选到能完整做对的5道题”为事件B，“选到有思路的2道题”为事件C，“选到完全没有思路的1道题”为事件D，
则P(B)=，P(C)==，P(D)=，
由全概率公式可得
P(A)=P(B)P(A|B)+P(C)P(A|C)+P(D)P(A|D)=×1+×+×=.
4.
解析　设A=“从乙袋中取出的是白球”，Bi=“从甲袋中取出的两球恰有i个白球”，i=0，1，2.
则Ω=B1∪B2∪B0，且B1，B2，B0两两互斥.
由全概率公式，得
P(A)=P(B0)P(A|B0)+P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)=×+×+×=.

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