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(共88张PPT)
第七章
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7.3.1
离散型随机变量的均值
1.掌握离散型随机变量的均值的概念和性质.
2.掌握两点分布的均值.
3.会利用离散型随机变量的均值和性质，解决一些相关的实际问题.
学习目标
在射击运动中，射击选手的每次射击成绩是一个非常典型的随机事件.
(1)如何刻画每个选手射击的技术水平与特点？
(2)如何比较两个选手的射击情况？
(3)如何选择优秀的射击运动员代表国家参加奥运会才能使得获胜的概率较大？这些问题的解决都需要离散型随机变量的知识.
导 语
一、离散型随机变量的均值
二、均值的性质
课时对点练
三、均值的应用
随堂演练
内容索引
一
离散型随机变量的均值
某人射击10次，所得环数分别是7，7，7，7，8，8，8，9，9，10，则所得的平均环数是多少？
问题1
提示　==7×+8×+9×+10×=8.
(1)均值：一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示，
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
则称E(X)= =xipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称 .
(2)两点分布的均值：一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)=
.
x1p1+x2p2+…+xnpn
期望
0×(1-p)+1×p=p
分布列只给了随机变量取所有可能值的概率，而均值却反映了随机变量取值的平均水平.
注 意 点
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　(1)某射击运动员在比赛中每次击中10环得1分，击不中10环得0分.已知他击中10环的概率为0.8，则射击一次得分X的期望是
A.0.2 B.0.8 C.1 D.0
例 1
因为P(X=1)=0.8，P(X=0)=0.2，
所以E(X)=1×0.8+0×0.2=0.8.
√
(2)某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止.
如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数ξ的分布列和均值，并求李明在一年内领到驾照的概率.
ξ的所有可能取值为1，2，3，4.
ξ=1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，
故P(ξ=1)=0.6.
ξ=2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，
故P(ξ=2)=(1-0.6)×0.7=0.28.
ξ=3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故P(ξ=3)=(1-0.6)×(1-0.7)×0.8=0.096.
ξ=4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，
故P(ξ=4)=(1-0.6)×(1-0.7)×(1-0.8)=0.024.
则ξ的分布列为
ξ 1 2 3 4
P 0.6 0.28 0.096 0.024
所以E(ξ)=1×0.6+2×0.28+3×0.096+4×0.024=1.544.
李明在一年内领到驾照的概率为
1-(1-0.6)×(1-0.7)×(1-0.8)×(1-0.9)=0.997 6.
(1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值.
(2)求出X取每个值的概率P(X=k).
(3)写出X的分布列.
(4)利用均值的定义求E(X).
反
思
感
悟
求随机变量X的均值的方法和步骤
　从装有2个红球，2个白球和1个黑球的袋中随机逐一取球，已知每个球被取到的可能性相同.若取后不放回，设取完红球所需的次数为X，求X的分布列及均值.
跟踪训练 1
由题意知X的所有可能取值为2，3，4，5.
当X=2时，表示前2次取的都是红球，
∴P(X=2)==；
当X=3时，表示前2次中取得1个红球，1个白球或黑球，第3次取红球，
∴P(X=3)==；
当X=4时，表示前3次中取得1个红球，2个不是红球，第4次取得红球，
∴P(X=4)==；
当X=5时，表示前4次中取得1个红球，3个不是红球，第5次取得红球，
∴P(X=5)==.
∴X的分布列为
X 2 3 4 5
P
∴E(X)=2×+3×+4×+5×=4.
二
均值的性质
提示　X，η的分布列为
若X，η都是离散型随机变量，且η=aX+b(其中a，b是常数)，那么E(η)与E(X)有怎样的关系？
问题2
X x1 x2 … xi … xn
η ax1+b ax2+b … axi+b … axn+b
P p1 p2 … pi … pn
则E(η)=(ax1+b)p1+(ax2+b)p2+…+(axi+b)pi+…+(axn+b)pn
=a(x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn)+b(p1+p2+…+pi+…+pn)=aE(X)+b.
离散型随机变量的均值的性质
若Y=aX+b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且E(aX+b)
= .
aE(X)+b
　已知随机变量X的分布列为
例 2
X -2 -1 0 1 2
P m
若Y=-2X，则E(Y)=　　　.
由分布列的性质，得
+++m+=1，
解得m=，
所以E(X)=(-2)×+(-1)×+0×+1×+2×=-.
由Y=-2X，得E(Y)=-2E(X)，
即E(Y)=-2×=.
1.本例条件不变，若Y=2X-3，求E(Y).
由本例知E(X)=-，
则E(Y)=E(2X-3)=2E(X)-3
=2×-3=-.
延伸探究
2.本例条件不变，若Y=aX+3，且E(Y)=-，求a的值.
由本例知E(X)=-，
则E(Y)=E(aX+3)=aE(X)+3
=-a+3=-，
所以a=15.
反
思
感
悟
(1)定义法：先列出η的分布列，再求均值.
(2)性质法：直接套用公式，E(η)=E(aξ+b)=aE(ξ)+b，求解即可.
求线性关系的随机变量η=aξ+b的均值的方法
　(1)已知Y=5X+1，E(Y)=6，则E(X)的值为
A. B.5 C.1 D.31
跟踪训练 2
因为E(Y)=E(5X+1)=5E(X)+1=6，所以E(X)=1.
√
(2)已知随机变量ξ和η，其中η=12ξ+7，且E(η)=34，若ξ的分布列如表所示，则m的值为
ξ 1 2 3 4
P m n
A. B. C. D.
√
因为η=12ξ+7，E(η)=34，
则E(η)=12E(ξ)+7，
即E(η)=12×+7=34.
所以2m+3n=， ①
又+m+n+=1，
所以m+n=， ②
由①②，解得m=.
三
均值的应用
　某地盛产脐橙，该地销售脐橙按照等级分为四类：珍品、特级、优级和一级(每箱重量为5 kg)，某采购商打算在该地采购一批脐橙销往外地，并从采购的这批脐橙中随机抽取50箱，利用脐橙的等级分类标准得到的数据如表所示：
例 3
等级 珍品 特级 优级 一级
箱数 10 15 15 10
(1)用比例分配的分层随机抽样的方法从这50箱脐橙中抽取10箱，再从抽取的10箱中随机抽取3箱，ξ表示随机抽取的3箱中是特级的箱数，求ξ的分布列及均值E(ξ)；
用比例分配的分层随机抽样的方法从这50箱脐橙中抽取10箱，特级品的箱数为10×=3，非特级品的箱数为10-3=7，所以ξ的所有可能取值为0，1，2，3.
则P(ξ=0)==，P(ξ=1)==，P(ξ=2)==，P(ξ=3)==，
则ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
E(ξ)=0×+1×+2×+3×=.
(2)利用样本估计总体，该地提出两种购销方案供采购商参考：
方案一：不分等级卖出，价格为20元/kg；
方案二：分等级卖出，分等级的脐橙价格如表所示：
从采购商节约资金的角度考虑，应该采用哪种方案？
等级 珍品 特级 优级 一级
售价(元/kg) 25 20 15 10
方案一的单价为20元/kg，
设方案二的单价为η，则η的均值为
E(η)=25×+20×+15×+10×=17.5，
因为17.5<20，所以从采购商节约资金的角度考虑，应该采用方案二.
反
思
感
悟
解答实际问题时，(1)把实际问题概率模型化；(2)利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，列出分布列；(3)利用公式求出相应均值.
　某超市为了促销，规定每位顾客购物总金额超过88元可免费参加一次抽奖活动.活动规则如下：在一个不透明的纸箱中放入9个大小相同的小球，其中3个小球上标有数字1，3个小球上标有数字2，3个小球上标有数字3.每位顾客从该纸箱中一次性取出3个球，若取到的3个球上标有的数字都一样，则获得一张8元的代金券；若取到的3个球上标有的数字都不一样，则获得一张4元的代金券；若是其他情况，则获得一张1元的代金券.然后将取出的3个小球放回纸箱，等待下一位顾客抽奖.
(1)记随机变量X为某位顾客在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求随机变量X的分布列和数学期望；
跟踪训练 3
由题意可知随机变量X的可能取值为1，4，8.
P(X=8)==，P(X=4)==，P(X=1)=1--=.
所以随机变量X的分布列为
X 1 4 8
P
所以随机变量X的数学期望E(X)=1×+4×+8×=.
(2)该超市规定，若某位顾客购物总金额不足88元，则每抽奖一次需支付2元，若您是该位顾客，从收益的角度考虑，您是否愿意参加一次抽奖活动？请说明理由.
由>2，故从收益的角度考虑，我愿意参加一次抽奖活动.
1.知识清单：
(1)离散型随机变量的均值.
(2)均值的性质.
(3)均值的应用.
2.方法归纳：函数与方程、转化化归.
3.常见误区：不会应用均值对实际问题作出正确分析.
随堂演练
四
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4
1.已知随机变量X的分布列如表所示：
X 0 2 4 6
P 0.1 0.2 m 0.2
则E(X)的值为
A.2 B.2.4 C.3.6 D.不确定
√
依题意和分布列的性质得，0.1+0.2+m+0.2=1，解得m=0.5，所以E(X)
=0×0.1+2×0.2+4×0.5+6×0.2=3.6.
2.若随机变量Y=aX+3，且E(Y)=，E(X)=-，则a=　　.
1
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∵E(X)=-，E(Y)=且Y=aX+3，
∴E(Y)=aE(X)+3，则=3-，∴a=2.
2
3.若对于某个数学问题，甲、乙两人都在研究，甲解出该题的概率为，乙解出该题的概率为，甲、乙两人解题互不影响，设解出该题的人数为X，则E(X)=　　　.
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记“甲解出该题”为事件A，“乙解出该题”为事件B，则X的所有可能取值为0，1，2.
P(X=0)=P()=P()P()=×=，
P(X=1)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=×+×=，
P(X=2)=P(AB)=P(A)P(B)=×=，
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所以X的分布列为
X 0 1 2
P
故E(X)=0×+1×+2×=.
4.利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是　　　.
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自然状况 方案盈利概率 A1 A2 A3 A4
S1 0.25 50 70 -20 98
S2 0.30 65 26 52 82
S3 0.45 26 16 78 -10
A3
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A1的均值为50×0.25+65×0.30+26×0.45=43.7；
A2的均值为70×0.25+26×0.30+16×0.45=32.5；
A3的均值为-20×0.25+52×0.30+78×0.45=45.7；
A4的均值为98×0.25+82×0.30-10×0.45=44.6，
因为A3的均值最大，所以应选择的方案是A3.
课时对点练
五
1.抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得-1分，则得分X的均值为
A.0 B. C.1 D.-1
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基础巩固
√
因为P(X=1)=，P(X=-1)=，所以由均值的定义得E(X)=1×+(-1)×=0.
2.若离散型随机变量X的分布列为
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X 0 1
P
则X的均值E(X)等于
A.2 B.2或 C. D.1
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由分布列的性质知，+=1，解得a=1或a=-2(舍去).
所以E(X)=0×+1×=.
3.今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达数为ξ，则E(ξ)的值为
A.0.765 B.1.75 C.1.765 D.0.22
√
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由题意可得，ξ的所有可能取值为0，1，2，
P(ξ=0)=(1-0.9)×(1-0.85)=0.015；
P(ξ=1)=0.9×(1-0.85)+(1-0.9)×0.85=0.22；
P(ξ=2)=0.9×0.85=0.765.
所以E(ξ)=0×0.015+1×0.22+2×0.765=1.75.
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4.(多选)已知某一随机变量X的分布列如表所示，且E(X)=6.3，则
X 4 a 9
P 0.5 0.1 b
A.a=7 B.b=0.4
C.E(aX)=44.1 D.E(bX+a)=2.62
√
√
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由题意和分布列的性质得，0.5+0.1+b=1，
∴b=0.4，
又E(X)=4×0.5+0.1a+9b=6.3，
解得a=7.
∴E(aX)=aE(X)=7×6.3=44.1，
E(bX+a)=bE(X)+a=0.4×6.3+7=9.52.
5.“四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》的合称，又称“四子书”，在世界文化史、思想史上地位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义和参考价值.为弘扬中国优秀传统文化，某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动.某班有4位同学参赛，每人从《大学》《中庸》《论语》《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同.比赛时，若这4位同学从这4本书中随机抽取1本选择其中的内容诵读，则抽到自己准备的书的人数的均值为
A. B.1 C. D.2
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记抽到自己准备的书的学生数为X，
则X的所有可能取值为0，1，2，4，
P(X=0)===，
P(X=1)===，
P(X=2)===，
P(X=4)==，
则E(X)=0×+1×+2×+4×=1.
6.射手用手枪进行射击，击中目标就停止，否则继续射击，他射中目标的概率是0.8.若枪内只有3颗子弹，则他射击次数的数学期望是
A.0.8 B.0.992 C.1 D.1.24
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由题意知，射击次数X的可能取值为1，2，3，
P(X=1)=0.8，
P(X=2)=0.2×0.8=0.16，
P(X=3)=0.2×0.2×0.8+0.2×0.2×0.2=0.04，
∴他射击次数的数学期望E(X)=1×0.8+2×0.16+3×0.04=1.24.
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7.随机变量X的取值为0，1，2，若P(X=0)=，E(X)=1，则P(X=1)=　　.
设P(X=1)=p，因为P(X=0)=，E(X)=1，
故0×+1×p+2×=1，
所以p+-2p=1，解得p=.
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8.若随机抛掷一颗质地均匀的正方体骰子1次，则所得点数X的均值是　　.
3.5
由题意得，X的所有可能取值为1，2，3，4，5，6，且P(X=i)=，i=1，2，3，4，5，6，
所以E(X)=×(1+2+3+4+5+6)=3.5.
9.新高考数学试卷增加了多项选择题，每小题有A，B，C，D四个选项，原则上至少有2个正确选项，至多有3个正确选项.题目要求：“在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.”
其中“部分选对的得部分分”是指：若正确答案有2个选项，则只选1个选项且正确得3分；若正确答案有3个选项，则只选1个选项且正确得2分，只选2个选项且都正确得4分.
(1)若某道多项选择题的正确答案是AB，一考生在解答该题时，完全没有思路，随机选择至少一个选项，至多三个选项，请写出该考生所有选择结果所构成的样本空间，并求该考生得分的概率；
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由题意，该考生所有选择结果构成的样本空间为｛A，B，C，D，AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD｝，
设A1=“该题的答案是AB，该考生得分”，则P(A1)=.
(2)若多项选择题的正确答案是2个选项或是3个选项的概率均等，一考生只能判断出某道多项选择题的A选项是正确的，其他选项均不能判断正误，给出以下方案，请你以得分的数学期望作为判断依据，帮该考生选出恰当方案：
方案一：只选择A选项；
方案二：选择A选项的同时，再随机选择一个选项；
方案三：选择A选项的同时，再随机选择两个选项.
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设方案一、二、三的得分分别为X，Y，Z.
①∵P(X=2)=，P(X=3)=.
∴X的分布列为
X 2 3
P
则E(X)=2×+3×=.
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②∵P(Y=0)=×+×=，P(Y=4)=×=，P(Y=6)=×=，
∴Y的分布列为
则E(Y)=0×+4×+6×=.
Y 0 4 6
P
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③∵P(Z=0)=×+×1=，P(Z=6)=×=，
∴Z的分布列为
则E(Z)=0×+6×=1.
∵E(X)>E(Y)>E(Z)，∴以数学期望为依据选择方案一更恰当.
Z 0 6
P
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10.足球运动是备受学生喜爱的体育运动，某校开展足球技能测试，甲、乙、丙三人参加点球测试，每人有两次点球机会，若第一次点球成功，则测试合格，不再进行第二次点球；若第一次点球失败，则再点球一次，若第二次点球成功，则测试合格，若第二次点球失败，则测试不合格，已知甲、乙、丙三人点球成功的概率分别为，，，且三人每次点球的结果互不影响.
(1)求甲、乙、丙三人共点球4次的概率；
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设甲、乙、丙三人第i次点球成功分别为事件Ai，Bi，Ci，i=1，2，
则P(Ai)=，P(Bi)=，P(Ci)=.
甲、乙、丙三人共点球4次，根据测试规则，有2人第一次点球成功，剩下的1人第一次点球失败，
则甲、乙、丙三人共点球4次的概率
P=P(A1B1+A1C1+B1C1)=P(A1B1)+P(A1C1)+P(B1C1)
=P(A1)P(B1)P()+P(A1)P()P(C1)+P()P(B1)P(C1)
=××+××+××=.
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(2)设X表示甲、乙、丙三人中测试合格的人数，求X的分布列和均值.
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甲测试合格的概率P1=P(A1+A2)
=+×=，
乙测试合格的概率P2=P(B1+B2)
=+×=，
丙测试合格的概率
P3=P(C1+C2)=+×=.
易知X的所有可能取值为0，1，2，3，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
P(X=0)=××=，
P(X=1)=××+××+×
×=，
P(X=2)=××+××+××=，
P(X=3)=××=，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以E(X)=0×+1×+2×+3×=.
11.已知实数a，b，c成等差数列，随机变量X的分布列为
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
综合运用
X 0 1 2
P a b c
当a增大时，则下列说法中正确的是
A.E(X)增大 B.E(X)减小
C.E(X)先增大后减小 D.E(X)先减小后增大
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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11
12
13
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15
16
因为实数a，b，c成等差数列，所以a+c=2b.又由分布列的性质可得a+b+c=1，所以a+c=，b=，所以0≤a≤，所以E(X)=0·a+1×+2c=+2×=-2a+，所以当a增大时，E(X)减小.
12.甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为， 乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的均值为
A. B. C. D.
1
2
3
4
5
6
7
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11
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16
√
1
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3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
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15
16
依题意知，ξ的所有可能取值为2，4，6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为+=.若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有P(ξ=2)=，P(ξ=4)=×=，P(ξ=6)==，故E(ξ)=2×+4×+6×=.
13.已知随机变量X的分布列为
1
2
3
4
5
6
7
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9
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11
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15
16
X 1 2 3
P
且Y=aX+3，若E(Y)=-2，则a的值为　　　.
-3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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11
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16
E(X)=1×+2×+3×=.
∵Y=aX+3，
∴E(Y)=aE(X)+3=a+3=-2.
解得a=-3.
1
2
3
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5
6
7
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15
16
14.甲、乙、丙三人参加某次招聘会，甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为(01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
依题意，得甲、乙、丙三人都应聘成功的概率是××=，解得t=2(负值舍去)，
所以乙应聘成功的概率为，则ξ的所有可能的取值为0，1，2，
可得P(ξ=2)=×=，
P(ξ=1)=×+×=，
P(ξ=0)=×=，
所以E(ξ)=2×+1×+0×=.
15.甲同学有3本故事书和1本科普书，乙同学有1本故事书和3本科普书，若甲、乙两位同学各取出i(i=1，2，3)本书进行交换，记交换后甲同学故事书的本数为X，X的均值为Ei(X)，则E1(X)+E3(X)等于
A.1 B.2 C.3 D.4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
拓广探究
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
当i=1时，X的取值可能是2，3，4，
且P(X=2)==，
P(X=3)==，
P(X=4)==，
则E1(X)=2×+3×+4×=.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
当i=3时，X的取值可能是0，1，2，
且P(X=0)==，
P(X=1)===，
P(X=2)==，
则E3(X)=0×+1×+2×=.
故E1(X)+E3(X)=4.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16.甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分每单抽成6元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：
甲公司送餐员送餐单数频数表：
送餐单数 38 39 40 41 42
天数 10 15 10 10 5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
乙公司送餐员送餐单数频数表：
送餐单数 38 39 40 41 42
天数 5 10 10 20 5
若将频率视为概率，回答下列两个问题：
(1)记乙公司送餐员日工资为X(单位：元)，求X的分布列和均值；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
设乙公司送餐员送餐单数为a，
当a=38时，X=38×6=228，P==；
当a=39时，X=39×6=234，P==；
当a=40时，X=40×6=240，P==；
当a=41时，X=40×6+1×7=247，P==；
当a=42时，X=40×6+2×7=254，P==，
故X的所有可能取值为228，234，240，247，254，
1
2
3
4
5
6
7
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9
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11
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13
14
15
16
故X的分布列为
X 228 234 240 247 254
P
故E(X)=228×+234×+240×+247×+254×=241.8.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
甲公司送餐员日平均送餐单数为
38×0.2+39×0.3+40×0.2+41×0.2+42×0.1=39.7，
则甲公司送餐员日平均工资为80+4×39.7=238.8(元)，
因为乙公司送餐员日平均工资为241.8元，
238.8<241.8，
所以推荐小王去乙公司应聘.7.3.1　离散型随机变量的均值
［学习目标］　1.掌握离散型随机变量的均值的概念和性质.2.掌握两点分布的均值.3.会利用离散型随机变量的均值和性质，解决一些相关的实际问题.
一、离散型随机变量的均值
问题1　某人射击10次，所得环数分别是7，7，7，7，8，8，8，9，9，10，则所得的平均环数是多少？
知识梳理
(1)均值：一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示，
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
则称E(X)=　　　　　　　　　　　　　　　　=xipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称　　　　.
(2)两点分布的均值：一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)=　　　　　　　　　　.
例1　(1)某射击运动员在比赛中每次击中10环得1分，击不中10环得0分.已知他击中10环的概率为0.8，则射击一次得分X的期望是 (　　)
A.0.2 B.0.8 C.1 D.0
(2)某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止.
如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数ξ的分布列和均值，并求李明在一年内领到驾照的概率.
反思感悟　求随机变量X的均值的方法和步骤
(1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值.
(2)求出X取每个值的概率P(X=k).
(3)写出X的分布列.
(4)利用均值的定义求E(X).
跟踪训练1　从装有2个红球，2个白球和1个黑球的袋中随机逐一取球，已知每个球被取到的可能性相同.若取后不放回，设取完红球所需的次数为X，求X的分布列及均值.
二、均值的性质
问题2　若X，η都是离散型随机变量，且η=aX+b(其中a，b是常数)，那么E(η)与E(X)有怎样的关系？
知识梳理
离散型随机变量的均值的性质
若Y=aX+b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且E(aX+b)=　　　　　　　　.
例2　已知随机变量X的分布列为
X -2 -1 0 1 2
P m
若Y=-2X，则E(Y)=　　　　.
延伸探究
1.本例条件不变，若Y=2X-3，求E(Y).
2.本例条件不变，若Y=aX+3，且E(Y)=-，求a的值.
反思感悟　求线性关系的随机变量η=aξ+b的均值的方法
(1)定义法：先列出η的分布列，再求均值.
(2)性质法：直接套用公式，E(η)=E(aξ+b)=aE(ξ)+b，求解即可.
跟踪训练2　(1)已知Y=5X+1，E(Y)=6，则E(X)的值为 (　　)
A. B.5 C.1 D.31
(2)已知随机变量ξ和η，其中η=12ξ+7，且E(η)=34，若ξ的分布列如表所示，则m的值为 (　　)
ξ 1 2 3 4
P m n
A. B. C. D.
三、均值的应用
例3　某地盛产脐橙，该地销售脐橙按照等级分为四类：珍品、特级、优级和一级(每箱重量为5 kg)，某采购商打算在该地采购一批脐橙销往外地，并从采购的这批脐橙中随机抽取50箱，利用脐橙的等级分类标准得到的数据如表所示：
等级 珍品 特级 优级 一级
箱数 10 15 15 10
(1)用比例分配的分层随机抽样的方法从这50箱脐橙中抽取10箱，再从抽取的10箱中随机抽取3箱，ξ表示随机抽取的3箱中是特级的箱数，求ξ的分布列及均值E(ξ)；
(2)利用样本估计总体，该地提出两种购销方案供采购商参考：
方案一：不分等级卖出，价格为20元/kg；
方案二：分等级卖出，分等级的脐橙价格如表所示：
等级 珍品 特级 优级 一级
售价(元/kg) 25 20 15 10
从采购商节约资金的角度考虑，应该采用哪种方案？
反思感悟　解答实际问题时，(1)把实际问题概率模型化；(2)利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，列出分布列；(3)利用公式求出相应均值.
跟踪训练3　某超市为了促销，规定每位顾客购物总金额超过88元可免费参加一次抽奖活动.活动规则如下：在一个不透明的纸箱中放入9个大小相同的小球，其中3个小球上标有数字1，3个小球上标有数字2，3个小球上标有数字3.每位顾客从该纸箱中一次性取出3个球，若取到的3个球上标有的数字都一样，则获得一张8元的代金券；若取到的3个球上标有的数字都不一样，则获得一张4元的代金券；若是其他情况，则获得一张1元的代金券.然后将取出的3个小球放回纸箱，等待下一位顾客抽奖.
(1)记随机变量X为某位顾客在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求随机变量X的分布列和数学期望；
(2)该超市规定，若某位顾客购物总金额不足88元，则每抽奖一次需支付2元，若您是该位顾客，从收益的角度考虑，您是否愿意参加一次抽奖活动？请说明理由.
1.知识清单：
(1)离散型随机变量的均值.
(2)均值的性质.
(3)均值的应用.
2.方法归纳：函数与方程、转化化归.
3.常见误区：不会应用均值对实际问题作出正确分析.
1.已知随机变量X的分布列如表所示：
X 0 2 4 6
P 0.1 0.2 m 0.2
则E(X)的值为 (　　)
A.2 B.2.4
C.3.6 D.不确定
2.若随机变量Y=aX+3，且E(Y)=，E(X)=-，则a=　　　　.
3.若对于某个数学问题，甲、乙两人都在研究，甲解出该题的概率为，乙解出该题的概率为，甲、乙两人解题互不影响，设解出该题的人数为X，则E(X)=　　　　.
4.利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是　　　　.
自然状况 方案盈利概率 A1 A2 A3 A4
S1 0.25 50 70 -20 98
S2 0.30 65 26 52 82
S3 0.45 26 16 78 -10
答案精析
问题1　=
=7×+8×+9×+10×=8.
知识梳理
(1)x1p1+x2p2+…+xnpn　期望　
(2)0×(1-p)+1×p=p
例1　(1)B　［因为P(X=1)=0.8，P(X=0)=0.2，
所以E(X)=1×0.8+0×0.2=0.8.］
(2)解　ξ的所有可能取值为1，2，3，4.
ξ=1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，
故P(ξ=1)=0.6.
ξ=2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，
故P(ξ=2)=(1-0.6)×0.7=0.28.
ξ=3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故
P(ξ=3)=(1-0.6)×(1-0.7)×0.8=0.096.
ξ=4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故
P(ξ=4)=(1-0.6)×(1-0.7)×(1-0.8)=0.024.
则ξ的分布列为
ξ 1 2 3 4
P 0.6 0.28 0.096 0.024
所以E(ξ)=1×0.6+2×0.28+3×0.096+4×0.024=1.544.
李明在一年内领到驾照的概率为
1-(1-0.6)×(1-0.7)×(1-0.8)×(1-0.9)=0.997 6.
跟踪训练1　解　由题意知X的所有可能取值为2，3，4，5.
当X=2时，表示前2次取的都是红球，
∴P(X=2)==；
当X=3时，表示前2次中取得1个红球，1个白球或黑球，第3次取红球，
∴P(X=3)==；
当X=4时，表示前3次中取得1个红球，2个不是红球，第4次取得红球，
∴P(X=4)==；
当X=5时，表示前4次中取得1个红球，3个不是红球，第5次取得红球，
∴P(X=5)==.
∴X的分布列为
X 2 3 4 5
P
∴E(X)=2×+3×+4×+5×=4.
问题2　X，η的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
η ax1+b ax2+b … axi+b … axn+b
P p1 p2 … pi … pn
则E(η)=(ax1+b)p1+(ax2+b)p2+…+(axi+b)pi+…+(axn+b)pn
=a(x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn)+b(p1+p2+…+pi+…+pn)=aE(X)+b.
知识梳理
aE(X)+b
例2　
解析　由分布列的性质，得+++m+=1，
解得m=，
所以E(X)=(-2)×+(-1)×+0×+1×+2×=-.
由Y=-2X，得E(Y)=-2E(X)，
即E(Y)=-2×=.
延伸探究
1.解　由本例知E(X)=-，
则E(Y)=E(2X-3)=2E(X)-3
=2×-3=-.
2.解　由本例知E(X)=-，
则E(Y)=E(aX+3)=aE(X)+3=-a+3=-，
所以a=15.
跟踪训练2　(1)C　［因为E(Y)=E(5X+1)=5E(X)+1=6，所以E(X)=1.］
(2)A　［因为η=12ξ+7，E(η)=34，
则E(η)=12E(ξ)+7，
即E(η)=12×+7=34.
所以2m+3n=， ①
又+m+n+=1，
所以m+n=， ②
由①②，解得m=.］
例3　解　(1)用比例分配的分层随机抽样的方法从这50箱脐橙中抽取10箱，特级品的箱数为10×=3，非特级品的箱数为10-3=7，所以ξ的所有可能取值为0，1，2，3.
则P(ξ=0)==，P(ξ=1)==，
P(ξ=2)==，P(ξ=3)==，
则ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
E(ξ)=0×+1×+2×+3×=.
(2)方案一的单价为20元/kg，
设方案二的单价为η，则η的均值为
E(η)=25×+20×+15×+10×=17.5，
因为17.5<20，所以从采购商节约资金的角度考虑，应该采用方案二.
跟踪训练3　解　(1)由题意可知随机变量X的可能取值为1，4，8.
P(X=8)==，
P(X=4)==，
P(X=1)=1--=.
所以随机变量X的分布列为
X 1 4 8
P
所以随机变量X的数学期望
E(X)=1×+4×+8×=.
(2)由>2，故从收益的角度考虑，我愿意参加一次抽奖活动.
随堂演练
1.C　［依题意和分布列的性质得，0.1+0.2+m+0.2=1，
解得m=0.5，
所以E(X)=0×0.1+2×0.2+4×0.5+6×0.2=3.6.］
2.2
解析　∵E(X)=-，E(Y)=且Y=aX+3，
∴E(Y)=aE(X)+3，则=3-，
∴a=2.
3.
解析　记“甲解出该题”为事件A，“乙解出该题”为事件B，则X的所有可能取值为0，1，2.
P(X=0)=P( )=P()P()
=×=，
P(X=1)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)
=×+×=，
P(X=2)=P(AB)=P(A)P(B)=×=，
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
故E(X)=0×+1×+2×=.
4.A3
解析　A1的均值为50×0.25+65×0.30+26×0.45=43.7；
A2的均值为70×0.25+26×0.30+16×0.45=32.5；
A3的均值为-20×0.25+52×0.30+78×0.45=45.7；
A4的均值为98×0.25+82×0.30-10×0.45=44.6，
因为A3的均值最大，所以应选择的方案是A3.

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