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(共83张PPT)
第七章
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7.3.2
离散型随机变量的方差
1.理解离散型随机变量的方差及标准差的概念.
2.掌握离散型随机变量的方差的性质.
3.会用离散型随机变量的均值和方差解决一些实际应用问题.
学习目标
均值是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机试验中取值的平均值，在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差.本节我们将对反映随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度的数字特征——方差进行研究.
导 语
一、离散型随机变量的方差、标准差
二、方差的性质
课时对点练
三、方差的实际应用
随堂演练
内容索引
一
离散型随机变量的方差、标准差
要从甲、乙两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，能否利用均值决定应派哪位同学参赛？
问题1
甲同学击中目标靶的环数X1的分布列为
X1 5 6 7 8 9 10
P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10
乙同学击中目标靶的环数X2的分布列为
X2 5 6 7 8 9
P 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33
提示　通过计算可得，E(X1)=8，E(X2)=8，因为两个均值相等，所以只根据均值无法判断这两名同学的射击水平.
设离散型随机变量X的分布列为
(1)方差：D(X)= = (xi-E(X))2pi.
(2)标准差：_________，记为σ(X).
(x1-E(X))2 p1 +(x2-E(X))2 p2+…+(xn-E(X))2pn
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
(1)一般地，随机变量的方差是非负常数.
(2)D(X)越小，随机变量X越稳定，波动越小.
(3)方差也可以用公式D(X)=E(X2)-(E(X))2计算.
(4)若X服从两点分布，则D(X)=p(1-p) .(其中p为成功概率)
注 意 点
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　有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，若从中随机抽
出3张，记这3张卡片上的数字和为X，则D(X)=　　　.
例 1
由题意得，随机变量X的可能取值为6，9，12，且P(X=6)==，
P(X=9)==，
P(X=12)==.
因此E(X)=6×+9×+12×=，
D(X)=×+×+×=.
(1)理解随机变量X的意义，写出X的取值.
(2)求出X取每个值的概率.
(3)写出X的分布列.
(4)计算E(X).
(5)计算D(X).
反
思
感
悟
求离散型随机变量方差的步骤
某旅游公司为三个旅游团提供了a，b，c，d四条旅游线路，每
个旅游团可任选其中一条线路，则选择a线路的旅游团数X的方差D(X)=　　.
跟踪训练 1
由题意知X的可能取值有0，1，2，3，
则P(X=0)==，P(X=1)==，
P(X=2)==，P(X=3)==.
故E(X)=0×+1×+2×+3×=，
D(X)=×+×+×+×=×
+×+×+×=.
二
方差的性质
提示　D=a2D.
你能推导出D与D的关系吗？
问题2
离散性随机变量的方差的性质
若Y=aX+b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且D(aX+b)
= .
a2D(X)
已知X的分布列如表所示：
例 2
(1)求X2的分布列；
X -1 0 1
P a
由分布列的性质知++a=1，
解得a=，
所以X2的分布列为
X2 0 1
P
(2)计算X的方差；
方法一　由(1)知a=，
所以E(X)=(-1)×+0×+1×=-，
D(X)=×+×+×=.
方法二　由(1)知a=，
所以E(X)=(-1)×+0×+1×=-.
E(X2)=0×+1×=，
所以D(X)=E(X2)-(E(X))2=.
(3)若Y=4X+3，求Y的均值和方差.
因为Y=4X+3，所以E(Y)=4E(X)+3=2，
D(Y)=42D(X)=11.
反
思
感
悟
(1)公式：D(aX+b)=a2D(X).
(2)优势：既避免了求随机变量Y=aX+b的分布列，又避免了涉及大数的计算，从而简化了计算过程.
方差性质应用的关注点
　 已知随机变量X的分布列为P(X=k)=，k=1，2，3，4，则D(2X-1)等于
A. B. C.4 D.5
跟踪训练 2
∵P(X=k)=，k=1，2，3，4，
∴E(X)=×(1+2+3+4)=，
D(X)=×=，
∴D(2X-1)=22D(X)=4×=5.
√
三
方差的实际应用
有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如表所示：
例 3
其中，ξA，ξB分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120，试比较甲、乙两种建筑材料的稳定程度(哪一个的稳定性较好).
ξA 110 120 125 130 135
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
ξB 100 115 125 130 145
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
E(ξA)=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125，
E(ξB)=100×0.1+115×0.2+125×0.4+130×0.1+145×0.2=125.
D(ξA)=0.1×(110-125)2+0.2×(120-125)2+0.4×(125-125)2+0.1×(130-125)2
+0.2×(135-125)2=50，
D(ξB)=0.1×(100-125)2+0.2×(115-125)2+0.4×(125-125)2+0.1×(130-125)2
+0.2×(145-125)2=165.
由此可见E(ξA)=E(ξB)，D(ξA)故两种材料的抗拉强度的均值相等，但稳定程度材料乙明显不如材料甲，即甲的稳定性较好.
反
思
感
悟
(1)均值：均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，均值越大，平均水平越高.
(2)方差：方差反映了离散型随机变量取值的离散波动程度，方差越大越不稳定.
(3)在决策中常结合实际情形依据均值、方差做出决断.
均值、方差在决策中的作用
　某投资公司对以下两个项目进行前期市场调研.项目A：通信设备.根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为获利40%、亏损20%、不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，a.项目B：新能源汽车.根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为获利30%、亏损10%，且这两种情况发生的概率分别为b，c.
经测算，当投入A，B两个项目的资金相等时，它们所获得的平均收益(即均值)也相等.
(1)求a，b，c的值；
跟踪训练 3
依题意得，++a=1，解得a=.
设投到项目A，B的资金都为x万元，变量X1和X2分别表示投资项目A和B所获得的利润，
则X1和X2的分布列分别为
X1 0.4x -0.2x 0
P
X2 0.3x -0.1x
P b c
所以E(X1)=0.4x×+(-0.2x)×+0×=0.2x，
E(X2)=0.3bx-0.1cx，
因为E(X1)=E(X2)，
所以0.3bx-0.1cx=0.2x，
即0.3b-0.1c=0.2. ①
又b+c=1， ②
由①②，解得b=，c=，
所以a=，b=，c=.
(2)若将100万元全部投资其中一个项目，请你从投资回报稳定性的角度考虑，为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.
选择项目B.理由如下：
当投入100万元资金时，由(1)知x=100，
所以E(X1)=E(X2)=20，
D(X1)=(40-20)2×+(-20-20)2×+(0-20)2×=600，
D(X2)=(30-20)2×+(-10-20)2×=300.
因为E(X1)=E(X2)，D(X1)>D(X2)，说明虽然项目A和项目B的平均收益相等，但项目B更稳妥，所以从投资回报稳定性的角度考虑，建议该投资公司选择项目B.
1.知识清单
(1)离散型随机变量的方差、标准差.
(2)方差的性质.
(3)方差的应用.
2.方法归纳：公式法、转化化归.
3.常见误区：方差公式套用错误，混淆方差的概念.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.已知随机变量X满足D(X)=2，则D(3X+2)等于
A.6 B.8 C.18 D.20
√
∵D(X)=2，∴D(3X+2)=9D(X)=18.
2.已知离散型随机变量X的分布列为
1
2
3
4
X 1 3 5
P 0.5 m 0.2
则其方差D(X)等于
A.1 B.0.6 C.2.44 D.2.4
√
1
2
3
4
由离散型随机变量的分布列的性质
得0.5+m+0.2=1，解得m=0.3，
所以E(X)=1×0.5+3×0.3+5×0.2=2.4，
所以D(X)=(1-2.4)2×0.5+(3-2.4)2×0.3+(5-2.4)2×0.2=2.44.
3.设随机试验的结果只有A发生和A不发生，且P(A)=m，令随机变量X=则X的方差D(X)等于
A.m B.2m(1-m)
C.m(m-1) D.m(1-m)
1
2
3
4
√
由题意得X服从两点分布，P(X=1)=m，P(X=0)=1-m，所以D(X)=m(1-m).
4.两封信随机投入A，B，C三个空邮箱中，则A邮箱的信件数X的方差
D(X)=　　　.
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1
2
3
4
X的所有可能取值为0，1，2，
P(X=0)==，
P(X=1)==，
P(X=2)=，
所以E(X)=0×+1×+2×=，
D(X)=×+×+×=.
课时对点练
五
1.(多选)对于离散型随机变量X，有关它的均值E(X)和方差D(X)，下列说法正确的是
A.E(X)是反映随机变量的平均取值
B.D(X)越小，说明X越集中于E(X)
C.E(aX+b)=aE(X)+b
D.D(aX+b)=a2D(X)+b
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基础巩固
√
√
√
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离散型随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度，方差越小，说明随机变量的取值越集中于均值，即A，B正确；
由均值和方差的性质可得，E(aX+b)=aE(X)+b，D(aX+b)=a2D(X)，即C正确，D错误.
2.设X，Y为随机变量，且E(X)=2，E(X2)=6，Y=2X-1，则D(Y)等于
A.9 B.8 C.5 D.4
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√
由题意，D(X)=E(X2)-(E(X))2=6-4=2，故D(Y)=D(2X-1)=22D(X)=8.
3.已知口袋中装有编号分别为1，2，3的三个大小和形状完全相同的小球，从中任取2个球，记取出的球的最大编号为X，则D(X)等于
A. B. C. D.
√
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由题意，得X可能取值为2，3，
X=2表示取出的两个球为1，2，
所以P(X=2)==，
X=3表示取出的两个球为1，3或2，3，
所以P(X=3)==，
所以E(X)=2×+3×=，
D(X)=22×+32×-=.
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4.甲、乙两台自动机床各生产同种标准产品1 000件，X表示甲机床生产
1 000件产品中的次品数，Y表示乙机床生产1 000件产品中的次品数，经过一段时间的考察，X，Y的分布列分别如表一、表二所示.据此判断
表一
X 0 1 2 3
P 0.7 0 0.2 0.1
表二
Y 0 1 2 3
P 0.6 0.2 0.1 0.1
A.甲比乙质量好 B.乙比甲质量好
C.甲与乙质量相同 D.无法判定
√
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由分布列可求甲的次品数的均值为E(X)=0×0.7+1×0+2×0.2+3×0.1=0.7，乙的次品数的均值为E(Y)=0×0.6+1×0.2+2×0.1+3×0.1=0.7，
D(X)=(0-0.7)2×0.7+(1-0.7)2×0+(2-0.7)2×0.2+(3-0.7)2×0.1=1.21，
D(Y)=(0-0.7)2×0.6+(1-0.7)2×0.2+(2-0.7)2×0.1+(3-0.7)2×0.1=1.01，
E(X)=E(Y)，D(X)>D(Y)，所以乙比甲质量好.
5.设a>0，已知随机变量ξ的分布列为
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ξ -1 0 2
P a 2a 3a
则下列方差值中最大的是
A.D(ξ) B.D(|ξ|)
C.D(2ξ-1) D.D(2|ξ|+1)
√
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由题意得，a+2a+3a=1，解得a=，
则E(ξ)=-1×+0×+2×=，
E(|ξ|)=1×+0×+2×=，
所以D(ξ)=×+×+×=，
D(|ξ|)=×+×+×=.
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所以D(2ξ-1)=4×=，
D(2|ξ|+1)=4×=.
所以D(2ξ-1)>D(2|ξ|+1)>D(ξ)>D(|ξ|).
6.编号为1，2，3的3位同学随意入座编号为1，2，3的3个座位，每位同学坐一个座位，设与座位编号相同的学生个数是X，则X的方差为
A. B. C. D.1
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√
X的所有可能取值为0，1，3，
P(X=0)==，P(X=1)==，P(X=3)==，
E(X)=0×+1×+3×=1，D(X)=(0-1)2×+(1-1)2×+(3-1)2×=1.
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7.根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如表所示.
降水量X X<300 300≤X<700 700≤X<900 X≥900
工期延误天数Y 0 2 6 10
历史气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，则工期延误天数Y的方差为　　　　.
9.8
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由题意得，P(X<300)=0.3，P(300≤X<700)=P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0.4，P(700≤X<900)=P(X<900)-P(X<700)=0.9-0.7=0.2，P(X≥900)=1-P(X<900)=1-0.9=0.1.
所以随机变量Y的分布列为
Y 0 2 6 10
P 0.3 0.4 0.2 0.1
故E(Y)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3，
D(Y)=(0-3)2×0.3+(2-3)2×0.4+(6-3)2×0.2+(10-3)2×0.1=9.8.
故工期延误天数Y的方差为9.8.
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8.若抛掷一枚质地均匀的骰子，记向上的点数为随机变量X，则随机变量
X的方差D(X)=　　　.
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依题意得X的可能取值为1，2，3，4，5，6，
且P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=P(X=5)=P(X=6)=，
所以E(X)=1×+2×+3×+4×+5×+6×=，
则D(X)=×+×+×+×+
×+×=.
9.有甲、乙两种棉花，从中各抽取等量的样品进行检验，结果分别如表一、表二所示：
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表一
X甲 28 29 30 31 32
P 0.1 0.15 0.5 0.15 0.1
表二
X乙 28 29 30 31 32
P 0.13 0.17 0.4 0.17 0.13
其中X表示纤维长度(单位：mm)，根据纤维长度的均值和方差比较甲、乙两种棉花的质量.
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由表中的数据得，E(X甲)=28×0.1+29×0.15+30×0.5+31×0.15+32×0.1
=30，
E(X乙)=28×0.13+29×0.17+30×0.4+31×0.17+32×0.13=30.
D(X甲)=(28-30)2×0.1+(29-30)2×0.15+(30-30)2×0.5+(31-30)2×0.15+(32-30)2×0.1=1.1，
D(X乙)=(28-30)2×0.13+(29-30)2×0.17+(30-30)2×0.4+(31-30)2×0.17+
(32-30)2×0.13=1.38.
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由上面的计算知，尽管甲、乙两种棉花的纤维长度的均值相等，但D(X甲)=1.11
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10.开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的重要举措，是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程，某校为确保学生课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两套方案的支持情况，现随机抽取100个学生进行调查，获得数据如表所示(用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支持相互独立).
男 女
支持方案一 24 16
支持方案二 25 35
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(1)从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取1人，设X为两人中抽出女生的人数，求X的分布列与均值；
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记“从方案一中抽取到女生”为事件A，“从方案二中抽取到女生”为事件B，
则P(A)==，P(B)==，则X的可能取值为0，1，2，
所以P=×=，
P=×+×=，
P=×=，
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所以X的分布列为
X 0 1 2
P
E(X)=0×+1×+2×=.
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(2)在(1)中，设Y表示两人中抽出男生的人数，试判断方差D(X)与D(Y)的大小.
依题意可得Y=2-X，所以D(Y)=D=D(X)=D(X)，即D(Y)=D(X).
11.随机变量ξ的分布列如表：
1
2
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6
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综合运用
ξ 1 a 9
P b 1-2b b
1
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其中1A.若a=5，则当0B.若a=5，则当0C.若b=，则当a=5时，D(ξ)有最小值
D.若b=，则当a=5时，D(ξ)有最大值
√
ξ 1 a 9
P b 1-2b b
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
若a=5，则E(ξ)=1×b+5×(1-2b)+9×b=5，故A，B错误；
若b=，则E(ξ)=1×+a×+9×=，D(ξ)=×+×+×=(6a2-60a+438)，其对称轴为a=-=5，则当a=5时，D(ξ)有最小值，故C正确，D错误.
12.(多选)已知A=B=｛1，2，3｝，分别从集合A，B中各随机取一个数a，b，得到平面上一个点P(a，b)，事件“点P(a，b)恰好落在直线x+y=n上”对应的随机变量为X，P(X=n)=Pn，X的均值和方差分别为E(X)，D(X)，则下列结论中正确的是
A.P4=2P2 B.P(3≤X≤5)=
C.E(X)=4 D.D(X)=
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
因为A=B=｛1，2，3｝，点P(a，b)恰好落在直线x+y=n上，所以X的所有可能取值为2，3，4，5，6.从A，B中分别任取1个数，共有9种情况，所以P(X=2)=，P(X=3)=，P(X=4)==，P(X=5)=，P(X=6)=.对于A，P4=3P2，故A不正确；
对于B，P(3≤X≤5)=++=，故B正确；
对于C，E(X)=2×+3×+4×+5×+6×=4，故C正确；
对于D，D(X)=(2-4)2×+(3-4)2×+(4-4)2×+(5-4)2×+(6-4)2×=，故D正确.
13.若X是离散型随机变量，P(X=x1)=，P(X=x2)=，且x1=，D(X)=，则x1+x2的值为　　　.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
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3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由已知得
即
解得又x1所以x1+x2=3.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
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15
16
14.某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试机会的概率为，得到乙、丙两个公司面试机会的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的.设X为该毕业生得到面试机会的公司个数.若P(X=0)=，则D(X)=　　　　.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由P(X=0)=×(1-p)2=，
得p=，
由题意知X为该毕业生得到面试机会的公司个数，则X的所有可能取值是0，1，2，3，
P(X=1)=×+××+××=，
P(X=2)=××+××+××=，
P(X=3)=×=，
1
2
3
4
5
6
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10
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12
13
14
15
16
所以E(X)=0×+1×+2×+3×=，
所以D(X)=×+×+×+×=.
15.(多选)已知随机变量ξ的分布列如表所示，则下列说法错误的是
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
拓广探究
ξ x y
P y x
A.存在x，y∈(0，1)，E(ξ)>
B.对任意x，y∈(0，1)，E(ξ)≤
C.对任意x，y∈(0，1)，D(ξ)D.存在x，y∈(0，1)，D(ξ)>
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
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14
15
16
依题意可得，E(ξ)=2xy，
因为x+y=1，
所以2xy≤=，当且仅当x=y=时等号成立，即E(ξ)≤，故A，B错误；
D(ξ)=(x2y+y2x)-(2xy)2=xy(x+y-4xy)=xy(1-4xy)，
D(ξ)-E(ξ)=xy(1-4xy-2)=-xy(1+4xy)，
由于xy>0，所以D(ξ)-E(ξ)<0，故C正确；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
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13
14
15
16
令t=xy，t∈，则D(ξ)=t(1-4t)=-4+，则D(ξ)≤，故D错误.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16.某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门.首次到达此门，系统会随机(即等可能的)为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门.再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止.令ξ表示走出迷宫所需的小时数.
(1)求ξ的分布列；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
ξ的所有可能取值为1，3，4，6，
当ξ=1时，直接从1号通道走出，则P(ξ=1)=；
当ξ=3时，先走2号通道，再走1号通道，
则P(ξ=3)=×=；
当ξ=4时，先走3号通道，再走1号通道，
则P(ξ=4)=×=；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
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15
16
当ξ=6时，先走2号通道，再走3号通道，最后再走1号通道，或者先走3号通道，再走2号通道，最后再走1号通道，则P(ξ=6)=2××1=.
所以ξ的分布列为
ξ 1 3 4 6
P
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)求ξ的均值和方差.
E(ξ)=1×+3×+4×+6×=，
D(ξ)=×+×+×+×=.7.3.2　离散型随机变量的方差
［学习目标］　1.理解离散型随机变量的方差及标准差的概念.2.掌握离散型随机变量的方差的性质.3.会用离散型随机变量的均值和方差解决一些实际应用问题.
一、离散型随机变量的方差、标准差
问题1　要从甲、乙两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，能否利用均值决定应派哪位同学参赛？
甲同学击中目标靶的环数X1的分布列为
X1 5 6 7 8 9 10
P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10
乙同学击中目标靶的环数X2的分布列为
X2 5 6 7 8 9
P 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33
知识梳理
设离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
(1)方差：D(X)=　　　　　　　　　　　　　　　　= (xi-E(X))2pi..
(2)标准差：　　　　，记为σ(X).
例1　有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，若从中随机抽出3张，记这3张卡片上的数字和为X，则D(X)=　　　.
反思感悟　求离散型随机变量方差的步骤
(1)理解随机变量X的意义，写出X的取值.
(2)求出X取每个值的概率.
(3)写出X的分布列.
(4)计算E(X).
(5)计算D(X).
跟踪训练1　某旅游公司为三个旅游团提供了a，b，c，d四条旅游线路，每个旅游团可任选其中一条线路，则选择a线路的旅游团数X的方差D(X)=　　　　.
二、方差的性质
问题2　你能推导出D与D的关系吗？
知识梳理
离散性随机变量的方差的性质
若Y=aX+b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且D(aX+b)=　　　　.
例2　已知X的分布列如表所示：
X -1 0 1
P a
(1)求X2的分布列；
(2)计算X的方差；
(3)若Y=4X+3，求Y的均值和方差.
反思感悟　方差性质应用的关注点
(1)公式：D(aX+b)=a2D(X).
(2)优势：既避免了求随机变量Y=aX+b的分布列，又避免了涉及大数的计算，从而简化了计算过程.
跟踪训练2　已知随机变量X的分布列为P(X=k)=，k=1，2，3，4，则D(2X-1)等于 (　　)
A. B. C.4 D.5
三、方差的实际应用
例3　有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如表所示：
ξA 110 120 125 130 135
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
ξB 100 115 125 130 145
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
其中，ξA，ξB分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120，试比较甲、乙两种建筑材料的稳定程度(哪一个的稳定性较好).
反思感悟　均值、方差在决策中的作用
(1)均值：均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，均值越大，平均水平越高.
(2)方差：方差反映了离散型随机变量取值的离散波动程度，方差越大越不稳定.
(3)在决策中常结合实际情形依据均值、方差做出决断.
跟踪训练3　某投资公司对以下两个项目进行前期市场调研.项目A：通信设备.根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为获利40%、亏损20%、不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，a.项目B：新能源汽车.根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为获利30%、亏损10%，且这两种情况发生的概率分别为b，c.
经测算，当投入A，B两个项目的资金相等时，它们所获得的平均收益(即均值)也相等.
(1)求a，b，c的值；
(2)若将100万元全部投资其中一个项目，请你从投资回报稳定性的角度考虑，为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.
1.知识清单
(1)离散型随机变量的方差、标准差.
(2)方差的性质.
(3)方差的应用.
2.方法归纳：公式法、转化化归.
3.常见误区：方差公式套用错误，混淆方差的概念.
1.已知随机变量X满足D(X)=2，则D(3X+2)等于 (　　)
A.6 B.8 C.18 D.20
2.已知离散型随机变量X的分布列为
X 1 3 5
P 0.5 m 0.2
则其方差D(X)等于 (　　)
A.1 B.0.6 C.2.44 D.2.4
3.设随机试验的结果只有A发生和A不发生，且P(A)=m，令随机变量X=则X的方差D(X)等于 (　　)
A.m B.2m(1-m)
C.m(m-1) D.m(1-m)
4.两封信随机投入A，B，C三个空邮箱中，则A邮箱的信件数X的方差D(X)=　　　　.
答案精析
问题1　通过计算可得，E(X1)=8，E(X2)=8，因为两个均值相等，所以只根据均值无法判断这两名同学的射击水平.
知识梳理
(1)(x1-E(X))2 p1 +(x2-E(X))2 p2+…+(xn-E(X))2pn
(2)
例1　
解析　由题意得，随机变量X的可能取值为6，9，12，
且P(X=6)==，
P(X=9)==，
P(X=12)==.
因此E(X)=6×+9×+12×=，
D(X)=×+×+×=.
跟踪训练1　
解析　由题意知X的可能取值有0，1，2，3，
则P(X=0)==，P(X=1)==，
P(X=2)==，P(X=3)==.
故E(X)=0×+1×+2×+3×=，
D(X)=×+×+×+×=×+×+×+×=.
问题2　D=a2D.
知识梳理
a2D(X)
例2　解　(1)由分布列的性质知++a=1，
解得a=，
所以X2的分布列为
X2 0 1
P
(2)方法一　由(1)知a=，
所以E(X)=(-1)×+0×+1×=-，
D(X)=×+×+×=.
方法二　由(1)知a=，
所以E(X)=(-1)×+0×+1×=-.
E(X2)=0×+1×=，
所以D(X)=E(X2)-(E(X))2=.
(3)因为Y=4X+3，所以E(Y)=4E(X)+3=2，
D(Y)=42D(X)=11.
跟踪训练2　D　［∵P(X=k)=，k=1，2，3，4，
∴E(X)=×(1+2+3+4)=，
D(X)=×
=，
∴D(2X-1)=22D(X)=4×=5.］
例3　解　E(ξA)=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125，
E(ξB)=100×0.1+115×0.2+125×0.4+130×0.1+145×0.2=125.
D(ξA)=0.1×(110-125)2+0.2×(120-125)2+0.4×(125-125)2+0.1×(130-125)2+0.2×(135-125)2=50，
D(ξB)=0.1×(100-125)2+0.2×(115-125)2+0.4×(125-125)2+0.1×(130-125)2+0.2×(145-125)2=165.
由此可见E(ξA)=E(ξB)，D(ξA)故两种材料的抗拉强度的均值相等，但稳定程度材料乙明显不如材料甲，即甲的稳定性较好.
跟踪训练3　解　(1)依题意得，++a=1，
解得a=.
设投到项目A，B的资金都为x万元，变量X1和X2分别表示投资项目A和B所获得的利润，
则X1和X2的分布列分别为
X1 0.4x -0.2x 0
P
X2 0.3x -0.1x
P b c
所以E(X1)=0.4x×+(-0.2x)×+0×=0.2x，
E(X2)=0.3bx-0.1cx，
因为E(X1)=E(X2)，
所以0.3bx-0.1cx=0.2x，
即0.3b-0.1c=0.2. ①
又b+c=1， ②
由①②，解得b=，c=，
所以a=，b=，c=.
(2)选择项目B.理由如下：
当投入100万元资金时，由(1)知x=100，
所以E(X1)=E(X2)=20，
D(X1)=(40-20)2×+(-20-20)2×+(0-20)2×=600，
D(X2)=(30-20)2×+(-10-20)2×=300.
因为E(X1)=E(X2)，D(X1)>D(X2)，说明虽然项目A和项目B的平均收益相等，但项目B更稳妥，所以从投资回报稳定性的角度考虑，建议该投资公司选择项目B.
随堂演练
1.C　［∵D(X)=2，∴D(3X+2)=9D(X)=18.］
2.C　［由离散型随机变量的分布列的性质
得0.5+m+0.2=1，解得m=0.3，
所以E(X)=1×0.5+3×0.3+5×0.2=2.4，
所以D(X)=(1-2.4)2×0.5+(3-2.4)2×0.3+(5-2.4)2×0.2=2.44.］
3.D　［由题意得X服从两点分布，P(X=1)=m，
P(X=0)=1-m，所以D(X)=m(1-m).］
4.
解析　X的所有可能取值为0，1，2，
P(X=0)==，
P(X=1)==，
P(X=2)=，
所以E(X)=0×+1×+2×=，
D(X)=×+×+×=.

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