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(共85张PPT)
第七章
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7.4.1
二项分布
1.理解n重伯努利试验的概念，记住n重伯努利试验的公式.
2.理解并熟记二项分布的随机变量的概率、均值以及方差.
3.能利用n重伯努利试验及二项分布解决一些简单的实际问题.
4.掌握二项分布概率最值问题.
学习目标
某学生走在大街上，看见路旁有一群人，他挤进去，见一块木牌上写着：只需投掷二十次，便可拥有双倍财富(恰好10次正面朝上者中奖)，他一阵窃喜：数学老师刚讲过，投硬币时，正面朝上和正面朝下为等可能事件，概率均为，20×不就是10吗？这简直是必然事件嘛！于是他走上前去，将仅有的30元押在桌上.那么这个学生的运气如何呢？
导 语
一、n重伯努利试验的概念及特征
二、二项分布的概念及表示
课时对点练
三、二项分布的均值与方差
随堂演练
内容索引
一
n重伯努利试验的概念及特征
下列试验有什么共同的特点？
(1)投掷一枚质地均匀的硬币5次，每次正面向上的概率为0.5；
(2)某同学玩射击气球游戏，每个气球射击一次，每次射击击破气球的概率为0.7，现有气球10个；
(3)某篮球队员罚球命中率为0.8，罚球6次.
问题1
提示　(1)相同条件下的试验：5次、10次、6次；
(2)每次试验相互独立；
(3)每次试验只有两种可能的结果：发生或不发生；
(4)每次试验发生的概率相同，为p，不发生的概率也相同，为1-p.
1.n重伯努利试验：将一个伯努利试验 进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.
2.n重伯努利试验的共同特征：
(1)同一个伯努利试验 做n次；
(2)各次试验的结果 .
独立地重复
重复
相互独立
(1)在相同条件下，n重伯努利试验是有放回地抽样试验.
(2)“重复”意味着各次试验成功的概率相同.
注 意 点
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判断下列试验是不是n重伯努利试验：
(1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上；
例 1
由于试验的条件不同(质地不同)，因此不是n重伯努利试验.
(2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中.
某人射击，击中目标的概率是稳定的，因此是n重伯努利试验.
(1)试验是在相同的条件下重复进行.
(2)每次试验相互独立，互不影响.
(3)每次试验都只有两种结果，即事件发生或不发生.
反
思
感
悟
n重伯努利试验的判断依据
　(多选)下列试验是n重伯努利试验的是
A.运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”
B.甲、乙两名运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”
C.一批产品的次品率为1%，有放回地随机抽取20件
D.在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标
跟踪训练 1
√
√
A符合互斥事件的概念，是互斥事件；
B是相互独立事件；
C，D是n重伯努利试验.
二
二项分布的概念及表示
提示　连续投掷一枚图钉3次，就是做3次伯努利试验，用Ai(i=1，2，3)表示“第i次掷得针尖向上”的事件，用B1表示“仅出现一次针尖向上”的事件，则B1=(A1 )∪(A2)∪(A3).由此可得P(B1)=q2p+q2p+q2p=3q2p.
连续投掷一枚图钉3次，且每次针尖向上的概率为p，针尖向下的概率为q，则仅出现1次针尖向上的概率是多少？
问题2
提示　用Ai(i=1，2，3)表示事件“第i次掷得针尖向上”，
用Bk(k=0，1，2，3)表示事件“出现k次针尖向上”，
P(B0)=P()=q3=p0q3，
P(B1)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=3q2p=p1q2，
P(B2)=P(A1A2)+P(A2A3)+P(A1A3)=3qp2=p2q1，
P(B3)=P(A1A2A3)=p3=p3q0，
规律：P(Bk)=pkq3-k，k=0，1，2，3.
类似地，连续投掷一枚图钉3次，出现k(k=0，1，2，3)次针尖向上的概率是多少？有什么规律？
问题3
二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p).
pk(1-p)n-k
(1)由二项式定理可知，二项分布的所有概率和为1.
(2)两点分布与二项分布的关系：两点分布是只进行一次的二项分布.
注 意 点
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　“石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的古老游戏，其规则是：用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布；两个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏，“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”；双方出示的手势相同时，不分胜负.现假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的.
(1)求在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率；
例 2
玩家甲、乙双方在1次游戏中出示手势的所有可能结果是(石头，石头)，(石头，剪刀)，(石头，布)，(剪刀，石头)，(剪刀，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石头)，(布，剪刀)，(布，布)，共9个样本点.玩家甲胜玩家乙的样本点分别是(石头，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石头)，共3个.
所以在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率P=.
(2)若玩家甲、乙双方共进行了3次游戏，其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量X，求X的分布列.
由题意知，X=0，1，2，3，X~B.
所以P(X=0)=×=，
P(X=1)=××=，
P(X=2)=××=，
P(X=3)=×=.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
反
思
感
悟
(1)判断：依据n重伯努利试验的特征，判断所给试验是否为n重伯努利试验.
(2)分析：判断所求事件是否需要拆分.
(3)计算：就每个事件依据n重伯努利试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算.
求n重伯努利试验概率的三个步骤
　现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人参加甲游戏，掷出点数大于2的人参加乙游戏.
(1)求这4个人中恰有2人参加甲游戏的概率；
跟踪训练 2
依题意知，这4个人中，每个人参加甲游戏的概率为
.
设“这4个人中恰有k人参加甲游戏”为事件Ak(k=0，1，2，3，4).
则P(Ak)=.
故这4个人中恰有2人参加甲游戏的概率为
P(A2)=××=.
(2)求这4个人中参加甲游戏的人数大于参加乙游戏的人数的概率.
设“这4个人中参加甲游戏的人数大于参加乙游戏的人数”为事件B，则B=A3+A4.
由于A3与A4互斥，故P(B)=P(A3)+P(A4)=××+×=，
所以这4个人中参加甲游戏的人数大于参加乙游戏的人数的概率为.
三
二项分布的均值与方差
若随机变量X服从二项分布B(n，p)，那么X的均值和方差各是什么？
问题4
提示　当n=1时，X服从两点分布，分布列为
X 0 1
P 1-p p
E(X)=p，D(X)=p(1-p).
二项分布的分布列为(q=1-p)
X 0 1 … k … n
P p0qn p1qn-1 … pkqn-k … pnq0
则E(X)=0×p0qn+1×p1qn-1+2×p2qn-2+…+kpkqn-k+…+npnq0，
由k=n，
可得E(X)=n×p1qn-1+n×p2qn-2+…+npkqn-k+…+npnq0
=np(p0qn-1+p1qn-2+…+pk-1qn-k+…+pn-1q0)
=np(p+q)n-1=np，
同理可得D(X)=np(1-p).
1.若X服从两点分布，则E(X)= ，D(X)= .
2.若X~B(n，p)，则E(X)= ，D(X)= .
p(1-p)
np
np(1-p)
p
　(1)已知X~B(10，0.5)，Y=2X-8，则E(Y)等于
A.6 B.2 C.4 D.3
例 3
√
由题意，随机变量X~B(10，0.5)，可得E(X)=10×0.5=5，
因为Y=2X-8，所以E(Y)=2E(X)-8=2×5-8=2.
(2)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球自由下落，在下落的过程中，小球将遇到黑色障碍物3次，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是，.
①分别求出小球落入A袋和B袋中的概率；
设M=“小球落入A袋”，N=“小球落入B袋”，
则P(M)=××+××=，
所以P(N)=1-P(M)=1-=.
②在容器的入口处依次放入4个小球，记ξ为落入B袋中的小球的个数，求ξ的分布列、均值和方差.
易知ξ~B，
则ξ的分布列为
P(ξ=k)=(k=0，1，2，3，4)，
故P(ξ=0)=，P(ξ=1)=，
P(ξ=2)==，P(ξ=3)=，
P(ξ=4)=.
故ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 4
P
E(ξ)=4×=，D(ξ)=4××=.
反
思
感
悟
解决此类问题的第一步是判断随机变量X服从什么分布，第二步是代入相应的公式进行求解.
　 某一中学生心理咨询中心服务电话的接通率为，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心，且每人只拨打一次.
(1)求他们中成功咨询的人数X的分布列；
跟踪训练 3
依题意知X~B，且P(X=k)=××，k=0，1，2，3.
P(X=0)=××=，
P(X=1)=××=，
P(X=2)=××=，
P(X=3)=×=.
∴X的分布列为
X 0 1 2 3
P
(2)求E(X)与D(X)的值.
由X~B及二项分布的性质得，
E(X)=np=3×=，
D(X)=np(1-p)=3××=.
1.知识清单：
(1)n重伯努利试验的概念及特征.
(2)二项分布的概念及表示.
(3)二项分布的均值与方差.
2.方法归纳：公式法、数学建模.
3.常见误区：二项分布的判断错误.
随堂演练
四
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2
3
4
1.随机变量X~B，则P(X=2)等于
A. B. C. D.
√
随机变量X~B，
则P(X=2)=××=.
2.设随机变量X~B，则D(3X)等于
A.10 B.30 C.15 D.5
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√
由随机变量X~B，
得D(X)=5××=，
所以D(3X)=32D(X)=9×=10.
3.某同学参加学校数学知识竞赛，规定每个同学答题20道，已知该同学每道题答对的概率为0.6，则该同学答对题目数量的均值和方差分别为
A.16，7.2 B.12，7.2
C.12，4.8 D.16，4.8
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√
设该同学答对题目的数量为ξ，因为该同学每道题答对的概率为0.6，共答20道题，
所以ξ~B(20，0.6)，所以E(ξ)=20×0.6=12，D(ξ)=20×0.6×(1-0.6)=4.8.
4.某人参加一次考试，共有4道试题，至少答对其中3道试题才能合格.若他答每道题的正确率均为0.5，并且答每道题之间相互独立，则他能合格
的概率为　　.
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4道题目中，答对的题目数X~B，
所以P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)=×+×=.
课时对点练
五
1.若在一次测量中出现正误差和负误差的概率都是，则在5次测量中恰好出现2次正误差的概率是
A. B. C. D.
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基础巩固
√
P=××=.
2.(多选)已知随机变量X+ξ=7，若X~B(10，0.6)，则E(ξ)，D(ξ)分别为
A.E(ξ)=1 B.E(ξ)=2
C.D(ξ)=2.4 D.D(ξ)=5.6
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因为X~B(10，0.6)，所以E(X)=10×0.6=6，D(X)=10×0.6×0.4=2.4.
因为X+ξ=7，所以ξ=7-X，由均值和方差的性质可得，E(ξ)=E(7-X)=7-E(X)=1，D(ξ)=D(7-X)=D(X)=2.4.
√
3.“锦里开芳宴，兰缸艳早年.”元宵节是中国非常重要的传统节日，某班级准备进行“元宵福气到”抽奖活动.福袋中装有标号分别为1， 2， 3， 4， 5的五个相同的小球，从袋中一次性摸出三个小球，若号码之和是3的倍数，则获奖.若有5名同学参与此次活动，则恰好3人获奖的概率是
A. B. C. D.
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每次抽奖中，样本点总数为=10，获奖的共有(1，2，3)，(1，3，5)，
(2，3，4)，(3，4，5)这4种，所以p=，设5人中获奖人数为X，则X~B，
所以P(X=3)=××=.
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4.唐代诗人张若虚在《春江花月夜》中写道：“春江潮水连海平，海上明月共潮生.”潮水的涨落和月亮的公转运行有直接的关系，这是一种自然现象.根据历史数据，已知某沿海地区在某个季节中每天出现大潮的概率均为，则该地在该季节连续三天内，至少有两天出现大潮的概率为
A. B. C. D.
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该地在该季节连续三天内，至少有两天出现大潮包括两天出现大潮和三天出现大潮，
有两天出现大潮的概率为××=，
有三天出现大潮的概率为×=，
所以至少有两天出现大潮的概率为+=.
5.为响应国家鼓励青年创业的号召，小王开了两家店铺，每家店铺招收了两名员工，若某节假日每位员工休假的概率均为，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家店铺无人休假，则从无人休假的店铺调剂1人到员工全部休假的店铺，使得该店铺能够正常营业，否则该店就停业.则两家店铺在该节假日都能正常营业的概率为
A. B. C. D.
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设“两家店铺不能都正常营业”为事件A，由题意可知有4人休假的概率为=，有3人休假的概率为××=，
所以两家店铺不能都正常营业的概率
P(A)=+=，
所以两家店铺在该节假日都能正常营业的概率为1-P(A)=.
6.(多选)抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”“三个反面”“二正一反”“一正二反”的概率分别为P1，P2，P3，P4，则下列结论中正确的是
A.P1=P2=P3=P4
B.P3=2P1
C.P1+P2+P3+P4=1
D.P4=3P2
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由题意知，P1==，P2==，
P3=××=，P4=××=，
P1=P2P3=3P1，故B错误；
P1+P2+P3+P4=1，故C正确；
P4=3P2，故D正确.
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7.某学生将参加创新知识大赛，答题环节有6道题目，每答对1道题得2分，答错一道题减1分，已知该生每道题目答对的概率是，且各题目答对与否相互之间没有影响，X表示该生得分，则E(X)=　　，D(X)=　　.
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依题意，设Y表示该生答对问题的个数，
则Y~B，
所以E(Y)=6×=4，D(Y)=6××=，
又因为X=2Y-(6-Y)=3Y-6，
所以E(X)=3E(Y)-6=3×4-6=6，
D(X)=32D(Y)=9×=12.
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8.设随机变量X~B(2，p)，Y~B(4，p)，若P(X≥1)=，则D(Y)=　　.
由随机变量X~B(2，p)，
且P(X≥1)=，
得P(X≥1)=1-P(X=0)=1-×(1-p)2=，解得p=.
由Y~B，得随机变量Y的方差D(Y)=4××=.
9.某学校高三年级有400名学生参加某项体育测试，根据男女学生人数比例，使用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[30，40)，[40，50)，…，[90，100]，整理得到频率分布直方图如图所示.
(1)若规定小于60分为“不及格”，从该
学校高三年级学生中随机抽取一人，估
计该学生不及格的概率；
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设“不及格”为事件A，则“及格”为事件，
∴P(A)=1-P()
=1-(0.2+0.4+0.2+0.1)=0.1，
故该学生不及格的概率为0.1.
(2)若规定分数在[80，90)为“良好”，[90，100]为“优秀”.用频率估计概率，从该校高三年级学生中随机抽取三人，记该项测试分数为“良好”或“优秀”的人数为X，求X的分布列和均值.
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设“样本中测试分数为‘良好’或‘优秀’”为事件B，则P(B)=0.2+0.1=0.3，
依题意可知X~B(3，0.3)，
P(X=0)=0.73=0.343，
P(X=1)=×0.31×0.72=0.441，
P(X=2)=×0.32×0.71=0.189，
P(X=3)=0.33=0.027，
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所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.343 0.441 0.189 0.027
E(X)=3×0.3=0.9.
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10.为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p，设X为成活沙柳的株数，均值E(X)为3，标准差为.
(1)求n和p的值，并写出X的分布列；
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由题意知，X~B(n，p)，
P(X=k)=pk(1-p)n-k，k=0，1，…，n.
由E(X)=np=3，D(X)=np(1-p)=，
解得n=6，p=.
故X的分布列为
X 0 1 2 3 4 5 6
P
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(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率.
记“需要补种沙柳”为事件A，
则P(A)=P(6-X≥3)=P(X≤3)，
得P(A)=+++=
，
所以需要补种沙柳的概率为.
11.若X~B(10，0.5)，则当P(X=k)取得最大值时，k等于
A.4或5 B.5或6 C.10 D.5
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综合运用
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因为X~B(10，0.5)，所以P(X=k)=×0.5k×0.510-k=×0.510，
由组合数的性质可知，当k=5时，取得最大值，即当P(X=k)取得最大值时，k=5.
12.王先生家住A小区，他工作在B科技园区，从家开车到公司上班路上有L1，L2两条路线(如图)，L1路线上有A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；L2路线上有B1，B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，.若分别走L1，L2路线，则王先生遇到红灯的次数的均值分别为
A.， B.，
C.， D.，
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若走L1路线，设王先生遇到红灯的次数为随机变量X，则X的取值可能为0，1，2，3，
且X~B，所以E(X)=3×=.
若走L2路线，设王先生遇到红灯的次数为随机变量Y，则Y的取值可能为0，1，2，
则由题意知P(Y=0)=×=，
P(Y=1)=×+×=，
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P(Y=2)=×=，
所以E(Y)=0×+1×+2×=.
13.排球比赛实行“五局三胜制”，根据此前的若干次比赛数据统计可知，在甲、乙两队的比赛中，每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，则在这场“五局三胜制”的排球比赛中乙队获胜的概率为　　　.
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乙队获胜可分为乙队以3∶0或3∶1或3∶2的比分获胜.
乙队以3∶0获胜，即乙队三场全胜，概率为×=；
乙队以3∶1获胜，即乙队前三场两胜一负，第四场获胜，概率为×××=；
乙队以3∶2获胜，即乙队前四场两胜两负，第五场获胜，概率为×××=.
所以在这场“五局三胜制”的排球比赛中乙队获胜的概率为++=.
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14.随着现代科技的不断发展，手机支付应用越来越广泛，其中某群体的每位成员使用手机支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用手机支付的人数，已知方差D(X)=2.4，且P(X=4)>P(X=6)，则均值E(X)=　　.
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依题意，知X~B(10，p)，且D(X)=10p(1-p)=2.4，即p2-p+0.24=0，解得p=0.6或p=0.4.又P(X=4)>P(X=6)，所以p4·(1-p)10-4>p6(1-p)10-6，所以(1-p)2>p2，又015.某综艺节目中有一个盲拧魔方游戏，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方.为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示：
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拓广探究
用时/秒 [5，10] (10，15] (15，20] (20，25]
人数 20 33 31 16
以这100名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的频率代替全市所有盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立.若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧魔方爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能(即概率最大)是
A.2 B.3 C.4 D.5
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√
用时/秒 [5，10] (10，15] (15，20] (20，25]
人数 20 33 31 16
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根据题意得，1名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率为=，设随机抽取的20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数为ξ，
则ξ~B，
其中P(ξ=k)=，k=0，1，2，…，20，
当k≥1时，由
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得
化简得
解得≤k≤，又k∈N，所以k=4，所以这20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数最有可能是4.
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16.为了比较传统粮食α与新型粮食β的产量是否有差别，研究人员在若干亩土地上分别种植了传统粮食α与新型粮食β，并收集统计了β的亩产量，所得数据如图所示.已知传统粮食α的产量约为760公斤/亩.
(1)通过计算比较传统粮食α与新型粮食β的平均亩产量的大小关系；
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依题意，所求新型粮食β的平均亩产量为750×0.05+760×0.1+770×0.2+780×0.25+790×0.2+800×0.1+810×0.05+820×0.05=782(公斤)，
因为782>760，故传统粮食α的平均亩产量低于新型粮食β的平均亩产量.
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(2)以频率估计概率，若在4块不同的1亩的土地上播种新型粮食β，记亩产量不低于785公斤的土地块数为X，求X的分布列.
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任取1块土地，新型粮食β的亩产量不低于785公斤的概率为，故X~B，故P(X=0)==，
P(X=1)=××=，
P(X=2)=××=，
P(X=3)=××=，
P(X=4)==，
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故X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P7.4.1　二项分布
［学习目标］　1.理解n重伯努利试验的概念，记住n重伯努利试验的公式.2.理解并熟记二项分布的随机变量的概率、均值以及方差.3.能利用n重伯努利试验及二项分布解决一些简单的实际问题.4.掌握二项分布概率最值问题.
一、n重伯努利试验的概念及特征
问题1　下列试验有什么共同的特点？
(1)投掷一枚质地均匀的硬币5次，每次正面向上的概率为0.5；
(2)某同学玩射击气球游戏，每个气球射击一次，每次射击击破气球的概率为0.7，现有气球10个；
(3)某篮球队员罚球命中率为0.8，罚球6次.
知识梳理
1.n重伯努利试验：将一个伯努利试验　　　　　　　　进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.
2.n重伯努利试验的共同特征：
(1)同一个伯努利试验　　　　做n次；
(2)各次试验的结果　　　　　　　　.
例1　判断下列试验是不是n重伯努利试验：
(1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上；
(2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中.
反思感悟　n重伯努利试验的判断依据
(1)试验是在相同的条件下重复进行.
(2)每次试验相互独立，互不影响.
(3)每次试验都只有两种结果，即事件发生或不发生.
跟踪训练1　(多选)下列试验是n重伯努利试验的是 (　　)
A.运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”
B.甲、乙两名运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”
C.一批产品的次品率为1%，有放回地随机抽取20件
D.在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标
二、二项分布的概念及表示
问题2　连续投掷一枚图钉3次，且每次针尖向上的概率为p，针尖向下的概率为q，则仅出现1次针尖向上的概率是多少？
问题3　类似地，连续投掷一枚图钉3次，出现k(k=0，1，2，3)次针尖向上的概率是多少？有什么规律？
知识梳理
二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0例2　“石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的古老游戏，其规则是：用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布；两个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏，“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”；双方出示的手势相同时，不分胜负.现假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的.
(1)求在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率；
(2)若玩家甲、乙双方共进行了3次游戏，其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量X，求X的分布列.
反思感悟　求n重伯努利试验概率的三个步骤
(1)判断：依据n重伯努利试验的特征，判断所给试验是否为n重伯努利试验.
(2)分析：判断所求事件是否需要拆分.
(3)计算：就每个事件依据n重伯努利试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算.
跟踪训练2　现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人参加甲游戏，掷出点数大于2的人参加乙游戏.
(1)求这4个人中恰有2人参加甲游戏的概率；
(2)求这4个人中参加甲游戏的人数大于参加乙游戏的人数的概率.
三、二项分布的均值与方差
问题4　若随机变量X服从二项分布B(n，p)，那么X的均值和方差各是什么？
知识梳理
1.若X服从两点分布，则E(X)=　　　　，D(X)=　　　　　　.
2.若X~B(n，p)，则E(X)=　　　　，D(X)=　　　　　　.
例3　(1)已知X~B(10，0.5)，Y=2X-8，则E(Y)等于 (　　)
A.6 B.2 C.4 D.3
(2)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球自由下落，在下落的过程中，小球将遇到黑色障碍物3次，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是，.
①分别求出小球落入A袋和B袋中的概率；
②在容器的入口处依次放入4个小球，记ξ为落入B袋中的小球的个数，求ξ的分布列、均值和方差.
反思感悟　解决此类问题的第一步是判断随机变量X服从什么分布，第二步是代入相应的公式进行求解.
跟踪训练3　某一中学生心理咨询中心服务电话的接通率为，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心，且每人只拨打一次.
(1)求他们中成功咨询的人数X的分布列；
(2)求E(X)与D(X)的值.
1.知识清单：
(1)n重伯努利试验的概念及特征.
(2)二项分布的概念及表示.
(3)二项分布的均值与方差.
2.方法归纳：公式法、数学建模.
3.常见误区：二项分布的判断错误.
1.随机变量X~B，则P(X=2)等于 (　　)
A. B. C. D.
2.设随机变量X~B，则D(3X)等于 (　　)
A.10 B.30 C.15 D.5
3.某同学参加学校数学知识竞赛，规定每个同学答题20道，已知该同学每道题答对的概率为0.6，则该同学答对题目数量的均值和方差分别为 (　　)
A.16，7.2 B.12，7.2
C.12，4.8 D.16，4.8
4.某人参加一次考试，共有4道试题，至少答对其中3道试题才能合格.若他答每道题的正确率均为0.5，并且答每道题之间相互独立，则他能合格的概率为　　　　.
答案精析
问题1　(1)相同条件下的试验：5次、10次、6次；
(2)每次试验相互独立；
(3)每次试验只有两种可能的结果：发生或不发生；
(4)每次试验发生的概率相同，为p，不发生的概率也相同，为1-p.
知识梳理
1.独立地重复
2.(1)重复　(2)相互独立
例1　解　(1)由于试验的条件不同(质地不同)，因此不是n重伯努利试验.
(2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，因此是n重伯努利试验.
跟踪训练1　CD　［A符合互斥事件的概念，是互斥事件；B是相互独立事件；C，D是n重伯努利试验.］
问题2　连续投掷一枚图钉3次，就是做3次伯努利试验，用Ai(i=1，2，3)表示“第i次掷得针尖向上”的事件，用B1表示“仅出现一次针尖向上”的事件，
则B1=(A1 )∪(A2)∪(A3).
由此可得P(B1)=q2p+q2p+q2p=3q2p.
问题3　用Ai(i=1，2，3)表示事件“第i次掷得针尖向上”，
用Bk(k=0，1，2，3)表示事件“出现k次针尖向上”，
P(B0)=P()=q3=p0q3，
P(B1)=P(A1)+P(A2)+P(A3)
=3q2p=p1q2，
P(B2)=P(A1A2)+P(A2A3)+P(A1A3)
=3qp2=p2q1，
P(B3)=P(A1A2A3)=p3=p3q0，
规律：P(Bk)=pkq3-k，k=0，1，2，3.
知识梳理
pk(1-p)n-k
例2　解　(1)玩家甲、乙双方在1次游戏中出示手势的所有可能结果是(石头，石头)，(石头，剪刀)，(石头，布)，(剪刀，石头)，(剪刀，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石头)，(布，剪刀)，(布，布)，共9个样本点.玩家甲胜玩家乙的样本点分别是(石头，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石头)，共3个.
所以在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率P=.
(2)由题意知，X=0，1，2，3，X~B.
所以P(X=0)=×=，
P(X=1)=××=，
P(X=2)=××=，
P(X=3)=×=.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
跟踪训练2　解　(1)依题意知，这4个人中，每个人参加甲游戏的概率为，参加乙游戏的概率为.
设“这4个人中恰有k人参加甲游戏”为事件Ak(k=0，1，2，3，4).
则P(Ak)=.
故这4个人中恰有2人参加甲游戏的概率为
P(A2)=××=.
(2)设“这4个人中参加甲游戏的人数大于参加乙游戏的人数”为事件B，则B=A3+A4.
由于A3与A4互斥，故P(B)=P(A3)+P(A4)
=××+×=，
所以这4个人中参加甲游戏的人数大于参加乙游戏的人数的概率为.
问题4　当n=1时，X服从两点分布，分布列为
X 0 1
P 1-p p
E(X)=p，D(X)=p(1-p).
二项分布的分布列为(q=1-p)
X 0 1 … k … n
P p0qn p1qn-1 … pkqn-k … pnq0
则E(X)=0×p0qn+1×p1qn-1+2×p2qn-2+…+kpkqn-k+…+npnq0，
由k=n，
可得E(X)=n×p1qn-1+n×p2qn-2+…+npkqn-k+…+npnq0
=np(p0qn-1+p1qn-2+…+pk-1qn-k+…+pn-1q0)
=np(p+q)n-1=np，
同理可得D(X)=np(1-p).
知识梳理
1.p　p(1-p)
2.np　np(1-p)
例3　(1)B　［由题意，随机变量X~B(10，0.5)，
可得E(X)=10×0.5=5，
因为Y=2X-8，所以E(Y)=2E(X)-8=2×5-8=2.］
(2)解　①设M=“小球落入A袋”，N=“小球落入B袋”，
则P(M)=××+××=，
所以P(N)=1-P(M)=1-=.
②易知ξ~B，
则ξ的分布列为
P(ξ=k)=(k=0，1，2，3，4)，
故P(ξ=0)=，P(ξ=1)=，
P(ξ=2)==，P(ξ=3)=，
P(ξ=4)=.
故ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 4
P
E(ξ)=4×=，D(ξ)=4××=.
跟踪训练3　解　(1)依题意知X~B，且P(X=k)=××，k=0，1，2，3.
P(X=0)=××=，
P(X=1)=××=，
P(X=2)=××=，
P(X=3)=×=.
∴X的分布列为
X 0 1 2 3
P
(2)由X~B及二项分布的性质得，
E(X)=np=3×=，
D(X)=np(1-p)=3××=.
随堂演练
1.A　［随机变量X~B，
则P(X=2)=××=.］
2.A　［由随机变量X~B，
得D(X)=5××=，
所以D(3X)=32D(X)=9×=10.］
3.C　［设该同学答对题目的数量为ξ，
因为该同学每道题答对的概率为0.6，共答20道题，
所以ξ~B(20，0.6)，所以E(ξ)=20×0.6=12，
D(ξ)=20×0.6×(1-0.6)=4.8.］
4.
解析　4道题目中，答对的题目数X~B，
所以P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)
=×+×=.

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