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2023年全国高中数学联赛内蒙古赛区预赛试题
一、填空题(本题满分64分，每小题8分)
1．若，且，则的最大值为_____．
【详解】，等号成立时．
所以的最大值为．
2．，且满足，则_____．
【详解】由于函数为奇函数，且在上单调递增，则依题意，
3．设满足为任意实数，则_____．
【详解】由于，则至少有一个为0．不妨设，
所以．
4．设满足，若对于任意的，都有
，
则_____．
【详解】
同理可证明．
则，又，
所以．
5．_____．
【详解】
6．设为函数的图象上在轴两侧的点，则在两点的切线与轴围成的区域面积的最小值为_____．
【详解】如图，设，其中，
则切线：
同理可得．
于是，
联立可得，因此
令，
则在(0，1)上上单调递减，在上单调递增，
于是．
所以区域面积的最小值为8．
7．，则的最小值为_____．
【详解】．
设，
则，取时等号成立．
所以的最小值为．
8．将8个半径为2的球分两层放置于一个圆柱形容器中，使得每个球和与其相邻的四个球均相切，且与圆柱的一个底面和侧面都相切，则圆柱的高为_____．
【详解】如图，是绕中心旋转得到的正方形，
，则
于是．
所以圆柱的高为．
二、解答题(本题满分56分)
9．设为椭圆上不同的两个点，直线分别与轴、轴交于．若是直线上任意一点，且直线的斜率存在且都不等于0．试问：直线斜率的倒数能否排成等差数列 若能，请给出证明；若不能，请说明理由．
【详解】设，
联立
设，
同理可得．
于是
所以直线斜率的倒数能排成等差数列．
10．某城市采用摇号买车的方式，有30万人摇号，每个月有3万个名额．
(1)如果每个月摇上的人退出摇号，没有摇上的人继续进入下个月进行摇号且每到下个月都有3万人补充进入摇号队伍，则平均每个人摇上号需要多长时间
(2)在(1)的条件下，若交管所可以控制摇上号的人数比例，使得每个季度的第一个月摇上的概率为，第二个月摇上的概率为，第三个月摇上的概率为，则平均每个人摇上号需要多长时间
【详解】(1)记为某人第个月摇上号的概率，则．
于是
，
所以．
(2)依题意，
，
于是
所以．
11．求所有满足为有理数，且的正整数组(x, y, u, v)．
【详解】若不是完全平方数，设，且不可化简)．
(1)是完全平方数，则，不合题意；
(2)不是完全平方数，设，且不可化简)．
则，不合题意．
因此是完全平方数，同理也是完全平方数．
由，
则；
(1)当时，，令，则，
且．不妨设，
记，
于是
若，矛盾．
从而，
所以．
(2)当时，，令，
设，则，且．
不妨设，即．
记．
于是
若，矛盾．
从而，
所以．
综上，所有符合条件的正整数组．2023年全国高中数学联赛内蒙古赛区预赛试题
一、填空题(本题满分64分，每小题8分)
1．若，且，则的最大值为_____．
2．，且满足，则_____．
3．设满足为任意实数，则_____．
4．设满足，若对于任意的，都有
，
则_____．
5．_____．
6．设为函数的图象上在轴两侧的点，则在两点的切线与轴围成的区域面积的最小值为_____．
7．，则的最小值为_____．
8．将8个半径为2的球分两层放置于一个圆柱形容器中，使得每个球和与其相邻的四个球均相切，且与圆柱的一个底面和侧面都相切，则圆柱的高为_____．
二、解答题(本题满分56分)
9．设为椭圆上不同的两个点，直线分别与轴、轴交于．若是直线上任意一点，且直线的斜率存在且都不等于0．试问：直线斜率的倒数能否排成等差数列 若能，请给出证明；若不能，请说明理由．
10．某城市采用摇号买车的方式，有30万人摇号，每个月有3万个名额．
(1)如果每个月摇上的人退出摇号，没有摇上的人继续进入下个月进行摇号且每到下个月都有3万人补充进入摇号队伍，则平均每个人摇上号需要多长时间
(2)在(1)的条件下，若交管所可以控制摇上号的人数比例，使得每个季度的第一个月摇上的概率为，第二个月摇上的概率为，第三个月摇上的概率为，则平均每个人摇上号需要多长时间
11．求所有满足为有理数，且的正整数组(x, y, u, v)．

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