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2023年全国高中数学联赛北京赛区预赛试题
一试
一、填空题(每小题8分，共64分)
1．如图，，，垂足分别是．已知，
，则_____．
2．是集合的子集，满足任意两个元素的平方和不是9的倍数，则的最大值是_____．(这里表示的元素个数)
3．已知函数，其中．若恒成立，则满足题设的常数的个数为_____．
4．已知集合，映射，且满足对任意，有，则这样的有_____个．
5．已知向量，且的夹角为．若与的夹角为锐角，则的取值范围是_____．
6．设实数满足则_____．
7．已知在中，，则_____．
8．使得为完全平方数的正整数的最小值是_____．
二、填空题(共56分)
9．已知为正整数，，且互质．若关于的不等式有且仅有2023组正整数解，则_____．(求出满足题意的所有可能数组)
10．已知是一个锐角，那么的最小值是_____．
11．现有11位同学报名博物馆的志愿讲解活动，活动从上午9点开始到下午5点结束，每小时安排一场公益小讲堂，每场需要1位同学为参观的游客提供讲解服务．为避免同学们劳累，馆方在排班时不会让同一人连续讲解2场，并且第一场与最后一场需要两位不同的同学负责．则馆方共有_____种排班方式．
二试
1．已知实数，求证：，其中．
2．如图，为给定的锐角三角形，其内切圆分别与边切于点．高分别与的平分线交于点．设分别为的外接圆，的中点在外．求证：从的中点引向和的切线长相等．
3．某校举办数学文化节，据统计当天共有980多(不少于980，小于990)名同学进校参观，每位同学进校参观一段时间后离开(之后不会再进来)．若无论这些同学以怎样的时间安排参观，我们都能找到位同学，使得要么这位同学在某个时间都在校园内参观，要么任何时间他们中都没有两个人同时在校园内参观．求的最大值．
4．求所有的合数，使得存在整数，满足为的倍数．2023年全国高中数学联赛北京赛区预赛试题
一试
一、填空题(每小题8分，共64分)
1．如图，，，垂足分别是．已知，
，则_____．
【详解】在Rt和Rt中，，
则．
2．是集合的子集，满足任意两个元素的平方和不是9的倍数，则的最大值是_____．(这里表示的元素个数)
【详解】当时，；当时，；
当时，；当时，；
当时，．
则除3的倍数外，任何两个数的平方和不是9的倍数，于是中至多有一个为3的倍数，即
3．已知函数，其中．若恒成立，则满足题设的常数的个数为_____．
【详解】当时，，此时．
而当时，设，则为模4余1的奇数，于是为模8余2的偶数．反之显然成立．
所以满足题设的常数的个数为．
4．已知集合，映射，且满足对任意，有，则这样的有_____个．
【详解】若，则或或
若，则或或或
若，则或或
或或或
综上，满足条件的共有个．
5．已知向量，且的夹角为．若与的夹角为锐角，则的取值范围是_____．
【详解】由题意得
又当时，不合题意．
所以的取值范围是．
6．设实数满足则_____．
【详解】
．
7．已知在中，，则_____．
【详解】设，
则，
同理可得．
又，
于是．
所以
8．使得为完全平方数的正整数的最小值是_____．
【详解】设
设，由可知，取最小值当且仅当最小．
的正因子从小到大依次为
，
所以
经检验，
二、填空题(共56分)
9．已知为正整数，，且互质．若关于的不等式有且仅有2023组正整数解，则_____．(求出满足题意的所有可能数组)
【详解】，如图所示．
可知线段，上没有整点，
则不等式的正整数解有组．
依题意，
于是，
经检验，时不合题意．
所以．
10．已知是一个锐角，那么的最小值是_____．
【详解】应用权方和不等式，有
等号成立时．
所以的最小值是．
11．现有11位同学报名博物馆的志愿讲解活动，活动从上午9点开始到下午5点结束，每小时安排一场公益小讲堂，每场需要1位同学为参观的游客提供讲解服务．为避免同学们劳累，馆方在排班时不会让同一人连续讲解2场，并且第一场与最后一场需要两位不同的同学负责．则馆方共有_____种排班方式．
【详解】设11位同学讲解个小时的排班方式数为．
若最后一场讲解的同学与第一场不同，则对应的排班方式数为；若最后一场讲解的同学与第一场相同，去掉最后一场，则对应的排班方式数为．于是，显然．
由于，所以．
二试
1．已知实数，求证：，其中．
【详解】引理：若实数，则．
注意到，
设．
不妨设，
于是为逆序和，为乱序和，由排序不等式有
单调递减，所以引理成立．
依引理有，则只需证．
设，
不妨设，
于是为顺序和，为乱序和，由排序不等式有
，所以原不等式成立．
2．如图，为给定的锐角三角形，其内切圆分别与边切于点．高分别与的平分线交于点．设分别为的外接圆，的中点在外．求证：从的中点引向和的切线长相等．
【详解】如图，设内切圆的圆心为，圆与边的切点为．
易知，设圆与边的另一交点为，
则为的中点．
同理设圆与边的另一交点为，则为的中点，于是重合．
设于点，由于圆以为直径，则五点共圆．连接交圆于点，交于点，易知为的中点．
于是点在圆上，同理可知点也在圆上．从而直线为圆的圆的根轴，所以点引向和的切线长相等．
3．某校举办数学文化节，据统计当天共有980多(不少于980，小于990)名同学进校参观，每位同学进校参观一段时间后离开(之后不会再进来)．若无论这些同学以怎样的时间安排参观，我们都能找到位同学，使得要么这位同学在某个时间都在校园内参观，要么任何时间他们中都没有两个人同时在校园内参观．求的最大值．
【详解】的最大值为32．设学生人数为，则．
一方面，将参观的同学分为32组，前面31组每组31人，第32组有人．每一组同时进出校园，且各组之间无重叠时间．则此时任何时间至多有31位同学在校园参观，至多可选出32位同学(每组选出1人)，满足任何时间他们中都没有两个人同时在校园内参观．于是．
另一方面，设的最大值为，考虑第一个出校园的同学，及在他出校园之前进校园的人称为第1组；第1组清场之后其余人再进场，仍考虑第一个出校园的同学，及在他出校园之前进校园的人称为第2组；重复上述分组方式，则存在相应的与第3组，与第组，直至所有名同学全部分组完毕．
在上述分组中，任何时间至多有1组同学在校园参观(由假设可知其中人数不超过)，且中没有两人同时在校园内参观，则．因此总人数不超过，矛盾．综上，的最大值为32．
4．求所有的合数，使得存在整数，满足为的倍数．
【详解】设，考虑的质因子．
(1)由，知；
(2)，知；
(3)
，知；
(4)，且模11的平方剩余为，
知
(5)，知；
(6)，且模17的平方剩余为，知；
(7)，且模17的平方剩余为，知；
(8)，知；
(9)，知．
因此，合数所含的质因子为3，7，13，19，29，31．
亨泽尔引理的推论：设是整系数多项式，是素数，是整数．若满足和，则同余方程有唯一的解满足．也就是说，同余方程的一个解，只要满足不整除，则唯一提升为的解．
由，知，于是由上述推论，方程有解；类似地，，由上述推论，方程有解；
另由中国剩余定理，知方程有解，
综上，满足题意的不超过100的合数的集合为．

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