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DIWUZHANG
第五章
专题强化　运动的合成与分解
　　　　　应用实例
1.能利用运动的合成和分解知识分析小船渡河问题，会求小船渡河的最短时间和最短位移(重难点)。
2.能利用运动的合成和分解知识分析关联速度问题，掌握常见的绳关联模型和杆关联模型速度分解的方法(重点)。
学习目标
一、小船渡河模型
二、关联速度模型
专题强化练
内容索引
小船渡河模型
一
一条宽度为d的河流，已知船在静水中的速度为v船，水流速度为v水，那么：
1.渡河过程中，小船参与了哪两个分运动？
答案　(1)船相对水的运动(即船在静水中的运动)。
(2)船随水漂流的运动。
2.小船渡河时间问题
(1)怎么求解小船渡河过程所用的时间？
答案　小船渡河时间取决于垂直河岸的分速度，可知渡河时间：t=。
(2)小船怎样航行渡河时间最短？最短时间是多少？
答案　由于水流速度始终沿平行河岸方向，不能提供垂直河岸的分速度。
因此若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可。tmin=。
(3)以最短时间航行，小船能否到达正对岸？画出运动情况示意图加以说明。
答案　不能。如图所示。
(4)如果渡河过程中水流速度突然增大，是否影响渡河时间？
答案　不影响，因为渡河时间与水流速度无关。
3.小船渡河位移问题(设v船>v水)
(1)若小船渡河位移最小，船头指向如何？此时位移为多少？画出运动情况示意图加以说明。
答案　船头指向偏向上游，使合速度垂直河岸。此时位移为河宽d。如图所示。
(2)以最短位移渡河时，渡河时间是多少？
答案　以最短位移渡河时，船头与上游河岸夹角θ满足：v船cos θ=v水，渡
河所用时间t==。
　小船要横渡一条200 m宽的河，水流速度为3 m/s，船在静水中的航速是5 m/s，求：(sin 53°=0.8，cos 53°=0.6)
(1)当小船的船头始终正对对岸行驶时，它将在何时、何处到达对岸？
例1
答案　40 s　正对岸下游120 m处
当小船的船头始终正对对岸行驶时，小船垂直河岸的速度即为小船在静水中的行驶速度，且在这一方向上，小船做匀速运动，故渡河
时间t== s=40 s，小船沿水流方向的位移x=v水t=3×40 m=120 m，
即小船经过40 s，在正对岸下游120 m处靠岸。
(2)要使小船到达河的正对岸，应如何行驶？多长时间能到达对岸？
答案　船头指向与河岸的上游成53°角　50 s
要使小船到达河的正对岸，则v水、v船的合运动v合应
垂直于河岸，如图所示，则v合==4 m/s，
经历时间t'== s=50 s
又cos θ===0.6，即船头指向与河岸的上游成53°角。
*拓展　如果水流速度变为10 m/s，其他条件不变，要使小船航程最短，应如何航行？画出运动情景示意图加以说明。
答案　如果水流速度变为10 m/s，如图所示，要使小
船航程最短，应使v合'的方向垂直于v船，故船头应偏向
上游，与河岸成θ'角，有cos θ'==，解得θ'=60°，
即船头指向与河岸的上游成60°角。
返回
二
关联速度模型
如图所示，岸上的小车A以速度v匀速向左运动，用
绳跨过光滑轻质定滑轮和小船B相连。
(1)在相等的时间内，小车A和小船B运动的位移相
等吗？
答案　不相等。如图，船的位移x船大于车的位移x车=l1-l2。
(2)小车A和小船B某一时刻的速度大小相等吗？如果不相等，哪个速度大？
答案　不相等，船的速度大于车的速度。
(3)从运动的合成与分解的角度看，小船上P点的速度可以分解为哪两个分速度？
答案　如图，P点速度可以分解为沿绳方向的分速度和垂直于绳方向的分速度。
(4)若某时刻连接船的绳与水平方向的夹角为α，则
船的速度是多大？
答案　由v=v船cos α得v船=。
分析“关联”速度的基本步骤
提炼·总结
　(多选)(2024·四川省高一期中)如图所示，轨道车A沿水平地面以速度大小v=5 m/s向左匀速前进，某时刻连接轨道车的钢丝与水平方向的夹角为37°，连接特技演员B的钢丝竖直，取sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，不计滑轮的质量和摩擦，则该时刻特技演员B
A.速度大小为4 m/s B.速度大小为3 m/s
C.处于超重状态 D.处于失重状态
例2
√
√
将车速v沿着钢丝方向和垂直于钢丝的方向分解可
知，在沿着钢丝方向的速度为v∥=vcos 37°，所以
演员上升的速度为v演员=vcos 37°=4 m/s，故A正确，
B错误；
设连接轨道车的钢丝与水平方向的夹角为θ，则演员的速度v演员=vcos θ，θ不断减小，可知演员在加速上升，则演员处于超重状态，故C正确，D错误。
　在固定斜面体上放置物体B，B物体用绳子通过光滑轻质定滑轮与物体A相连，A穿在光滑的竖直杆上，当B以速度v0匀速沿斜面体下滑时，使物体A到达如图所示位置，绳与竖直杆的夹角为θ，连接B的绳子始终与斜面体平行，则物体A上升的速度是
A.v0sin θ B.
C.v0cos θ D.
例3
√
将A的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向
的两个分速度，如图所示，根据平行四边形定则
得v0=vcos θ，解得v=，故D正确，A、B、C
错误。
常见的速度分解模型
模型展示
情景图示 定量结论
v=v∥=__________
v物'=v∥=__________
v物cos θ
v物cos θ
情景图示 定量结论
v∥=v∥'
即_________________
v∥=v∥'
即________________
v物cos θ=v物'cos α
v物cos α=v物'cos β
返回
专题强化练
三
对一对
答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 BC A C A A A D C
题号 9 10
答案 (1)①船头应朝垂直河岸方向　36 s　90 m ②船头与上游河岸成60°角　24 s　180 m (2)船头应朝上游与河岸成53°角方向　150 s　300 m B
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1.(多选)(2023·潮州市高一期中)图中实线为河岸，河水的流动方向如图v的箭头所示，虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线。则其中可能正确的是
1
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基础强化练
√
√
答案
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船头垂直指向对岸时，由速度的合成可知，合速度应是偏向下游的，且运动时间最短，故A错误，C正确；
小船要想渡河位移最短，船头就应指向上游且与河岸有一定的夹角，使得船在静水中沿上游河岸的速度分量与河水的速度大小相等，方向相反，合速度垂直河岸，故B正确；
船头偏向下游时，合速度的方向与河水流动的方向间的夹角应为锐角，故D错误。
答案
2.(2023·海南省高一期末)南渡江是海南省最大的河流，水流湍急，流量巨大。救援人员为了营救在对岸落水的儿童，立即驾驶救援艇出发。已知该救援艇在静水中的航行速度大小为12.5 m/s，该段水流速度大小为3.5 m/s，救援人员以最短时间过江用时12 s。则
A.河流宽度为150 m
B.河流宽度为192 m
C.船以最短时间过江时，在正对岸靠岸
D.船以最短时间过江时，在正对岸下游50 m处靠岸
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√
答案
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河流宽度为d=v船tmin=12.5×12 m=150 m，选项A正确，B错误；
船以最短时间过江时，沿水流方向的位移为x=v水tmin=3.5×12 m=42 m，即在正对岸下游42 m处靠岸，选项C、D错误。
答案
3.(2023·扬州市高一月考)在京杭大运河的某个渡口，河宽为120米，水流速度恒为3 m/s，船在静水中的速度为5 m/s，一条渡船恰好沿直线从A点驶向对岸的B点。已知AB与河岸垂直，则
A.船头与河岸恰好垂直
B.过河时间为24 s
C.只提高船在静水中的速度，船将不能沿AB方向航行
D.只改变船头方向，仍可以使船沿AB方向航行
√
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答案
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船在静水中的速度与水流速度的矢量和沿AB方
向，所以船头一定朝向AB左侧，故A错误；
根据平行四边形定则可知船的合速度大小为v=
=4 m/s，所以渡河时间为t==30 s，故B错误；
由于水流速度大小和方向一定，所以无论是只提高船在静水中的速度，还是只改变船头方向，两种情况下都不能使船在静水中的速度与水流速度的矢量和再次沿AB方向，即船将不能沿AB方向航行，故C正确，D错误。
答案
4.(2024·盐城市高一联考期末)用跨过光滑轻质定滑轮的绳把湖中小船向右拉到岸边，如图所示。如果要保持船的速度不变，则岸上水平拉绳的速度
A.逐渐减小 B.逐渐增大
C.先减小后增大 D.先增大后减小
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√
答案
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拉绳子的速度v等于船沿绳子收缩方向的分速度，由几何关系有v=v绳=v船cos θ，θ为连接船的绳与水平面的夹角，在小船靠岸的过程中，由于船的速度v船保持不变，θ不断变大，则拉绳的速度v不断减小。故选A。
答案
5.(2023·南通市高一期末)如图所示，均质细杆的上端A靠在光滑竖直墙面上，下端B置于光滑水平面上，现细杆由与墙面夹角很小处滑落，则当细杆A端与B端的速度大小之比为时，细杆与水平面
间夹角θ为
A.30° B.45°
C.60° D.90°
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√
答案
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当细杆与水平面间夹角为θ时，细杆A端与B端的速度
沿杆方向的分速度相等，可得vAsin θ=vBcos θ，即
tan θ==，解得θ=30°。故选A。
答案
6.(2024·石家庄市高一期末)如图所示，有两条位于同一竖直平面内的水平轨道，轨道上有两个物体A和B，它们通过一根绕过光滑轻质定滑轮O的不可伸长的轻绳相连接，与物体A相连的轻绳水平，物体A以速率vA匀速向右运动，在绳与轨道成30°角时，物体B的速度大小vB与物体A的速度大小vA之比为
A. B.
C. D.2
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√
答案
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将B的速度分解如图所示
则有v2=vA，v2=vBcos 30°，则=，故选A。
答案
7.(2023·南京市高二期末)有一条小河，两岸平行，河水匀速流动的速度为v0，小船在静水中速度大小始终为v，且v>v0。若小船以最短位移过河，所用的时间为t；若小船以最短时间过河，所用的时间为t。则河水流速与小船在静水中的速度之比为
A.= B.=
C.= D.=
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能力综合练
√
答案
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当合速度垂直于河岸时，则过河位移最短，如图，
船以最短位移过河所用的时间为t=，当船头
垂直河岸时，即v垂直于河岸时，过河时间最短，
最短时间为tmin==t，联立解得=，故选D。
答案
8.(2023·连云港市高一期中)火灾逃生的首要原则是离开火灾现场，如图是火警设计的一种快捷让当事人逃离现场的救援方案：用一根不变形的轻杆MN支撑在楼面平台AB上，N端在水平地面上向右以v0匀速运动，被救助的人员紧抱在M端随轻杆向平台B端靠近，平台高h，当BN=2h时，则此时被救人员向B点运动的速率是
A.v0 B.2v0
C.v0 D.v0
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√
答案
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10
设杆与水平面CD的夹角为θ，由几何关系可知
sin θ==，即θ=30°，将杆上N点的速度分解
成沿杆的分速度v1和垂直杆的分速度v2，可知v1
=v0cos θ=v0，而沿着同一根杆，各点的速度相同，故被救人员向B点运动的速率为v0，故选C。
答案
9.一小船渡河，河宽d=180 m，水流速度v1=2.5 m/s。(sin 37°=0.6，cos 37°
=0.8)
(1)若船在静水中的速度为v2=5 m/s。
①欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移大小是多少？
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答案　船头应朝垂直河岸方向　36 s　90 m
答案
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若v2=5 m/s，船速大于水速。
欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向；当船头垂直河岸时，如图甲所示
tmin== s=36 s
v合== m/s
x1=v合tmin=90 m
答案
②欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移大小是多少？
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答案　船头与上游河岸成60°角　24 s　180 m
答案
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欲使船渡河航程最短，合速度应沿垂直河岸方向，如图乙所示
有v2sin α=v1
得α=30°
所以当船头与上游河岸夹角为60°时航程最短
x2=d=180 m
t===24 s
答案
(2)若船在静水中的速度v2'=1.5 m/s，要使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移大小是多少？
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答案　船头应朝上游与河岸成53°角方向　150 s　300 m
答案
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10
若v2'=1.5 m/s，船速小于水速，所以船一定向下游漂
移，设合速度方向与河岸下游方向夹角为θ，则航程
x3=
欲使航程最短，需使θ最大，如图丙所示，以v1矢量
末端为圆心，v2'大小为半径作圆，出发点与圆周上某点的连线即为合速度方向，欲使v合″与水平方向夹角最大，应使v合″与圆相切，
即v合″⊥v2'
sin θ==
答案
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得θ=37°
所以船头应朝上游与河岸夹角为53°角方向
t'===150 s
x3==300 m。
答案
10.(2024·重庆市高一期中)如图所示，物块B套在倾斜杆上，并用轻绳绕过光滑轻质定滑轮与物块A相连(定滑轮体积大小可忽略)，今使物块B沿杆由M点匀速下滑到N点，运动中连接A、B的轻绳始终保持绷紧状态，在下滑过程中，下列说法正确的是
A.物块A的速率先变大后变小
B.物块A的速率先变小后变大
C.物块A始终处于失重状态
D.物块A先处于失重状态，后处于超重状态
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尖子生选练
√
答案
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将物块B的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向，
如图，
根据平行四边形定则，沿绳子方向的速度为vA=vBcos θ，
可知θ在增大到90°的过程中，物块A的速度方向向下，
且逐渐减小；由图可知，当物块B到达P点时，物块B与滑轮之间的距离最短，绳子长度最小，此时θ=90°，vA=0，此后物块A向上运动，且速度增大；所以在物块B沿杆由M点匀速下滑到N点的过程中，物块A的速度先向下减小，然后向上增大，故A错误，B正确；
答案
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物块A向下做减速运动和向上做加速运动的过程中，加速度的方向都向上，所以物块A始终处于超重状态，故C、D错误。
返回
答案专题强化　运动的合成与分解应用实例
[学习目标]　1.能利用运动的合成和分解知识分析小船渡河问题，会求小船渡河的最短时间和最短位移(重难点)。2.能利用运动的合成和分解知识分析关联速度问题，掌握常见的绳关联模型和杆关联模型速度分解的方法(重点)。
一、小船渡河模型
一条宽度为d的河流，已知船在静水中的速度为v船，水流速度为v水，那么：
1.渡河过程中，小船参与了哪两个分运动？
2.小船渡河时间问题
(1)怎么求解小船渡河过程所用的时间？
(2)小船怎样航行渡河时间最短？最短时间是多少？
(3)以最短时间航行，小船能否到达正对岸？画出运动情况示意图加以说明。
(4)如果渡河过程中水流速度突然增大，是否影响渡河时间？
3.小船渡河位移问题(设v船>v水)
(1)若小船渡河位移最小，船头指向如何？此时位移为多少？画出运动情况示意图加以说明。
(2)以最短位移渡河时，渡河时间是多少？
例1　小船要横渡一条200 m宽的河，水流速度为3 m/s，船在静水中的航速是5 m/s，求：(sin 53°=0.8，cos 53°=0.6)
(1)当小船的船头始终正对对岸行驶时，它将在何时、何处到达对岸？
(2)要使小船到达河的正对岸，应如何行驶？多长时间能到达对岸？
*拓展　如果水流速度变为10 m/s，其他条件不变，要使小船航程最短，应如何航行？画出运动情景示意图加以说明。
二、关联速度模型
如图所示，岸上的小车A以速度v匀速向左运动，用绳跨过光滑轻质定滑轮和小船B相连。
(1)在相等的时间内，小车A和小船B运动的位移相等吗？
(2)小车A和小船B某一时刻的速度大小相等吗？如果不相等，哪个速度大？
(3)从运动的合成与分解的角度看，小船上P点的速度可以分解为哪两个分速度？
(4)若某时刻连接船的绳与水平方向的夹角为α，则船的速度是多大？
分析“关联”速度的基本步骤
例2　(多选)(2024·四川省高一期中)如图所示，轨道车A沿水平地面以速度大小v=5 m/s向左匀速前进，某时刻连接轨道车的钢丝与水平方向的夹角为37°，连接特技演员B的钢丝竖直，取sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，不计滑轮的质量和摩擦，则该时刻特技演员B(　　)
A.速度大小为4 m/s
B.速度大小为3 m/s
C.处于超重状态
D.处于失重状态
例3　在固定斜面体上放置物体B，B物体用绳子通过光滑轻质定滑轮与物体A相连，A穿在光滑的竖直杆上，当B以速度v0匀速沿斜面体下滑时，使物体A到达如图所示位置，绳与竖直杆的夹角为θ，连接B的绳子始终与斜面体平行，则物体A上升的速度是(　　)
A.v0sin θ B.
C.v0cos θ D.
常见的速度分解模型
情景图示 定量结论
v=v∥=　　　　　　
v物'=v∥=　　　　　　　
v∥=v∥' 即　　　　　　　　　
v∥=v∥' 即　　　　　　　　　
答案精析
一、
1.(1)船相对水的运动(即船在静水中的运动)。
(2)船随水漂流的运动。
2.(1)小船渡河时间取决于垂直河岸的分速度，可知渡河时间：t=。
(2)由于水流速度始终沿平行河岸方向，不能提供垂直河岸的分速度。因此若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可。tmin=。
(3)不能。如图所示。
(4)不影响，因为渡河时间与水流速度无关。
3.(1)船头指向偏向上游，使合速度垂直河岸。此时位移为河宽d。如图所示。
(2)以最短位移渡河时，船头与上游河岸夹角θ满足：v船cos θ=v水，渡河所用时间t==。
例1　(1)40 s　正对岸下游120 m处　(2)船头指向与河岸的上游成53°角　50 s
解析　(1)当小船的船头始终正对对岸行驶时，小船垂直河岸的速度即为小船在静水中的行驶速度，且在这一方向上，小船做匀速运动，故渡河时间t== s=40 s，小船沿水流方向的位移x=v水t=3×40 m=120 m，即小船经过40 s，在正对岸下游120 m处靠岸。
(2)要使小船到达河的正对岸，则v水、v船的合运动v合应垂直于河岸，如图所示，则v合==4 m/s，经历时间t'== s=50 s
又cos θ===0.6，即船头指向与河岸的上游成53°角。
*拓展　
如果水流速度变为10 m/s，如图所示，要使小船航程最短，应使v合'的方向垂直于v船，故船头应偏向上游，与河岸成θ'角，有cos θ'==，解得θ'=60°，即船头指向与河岸的上游成60°角。
二、
(1)不相等。如图，船的位移x船大于车的位移x车=l1-l2。
(2)不相等，船的速度大于车的速度。
(3)如图，P点速度可以分解为沿绳方向的分速度和垂直于绳方向的分速度。
(4)由v=v船cos α得v船=。
例2　AC　[将车速v沿着钢丝方向和垂直于钢丝的方向分解可知，在沿着钢丝方向的速度为v∥=vcos 37°，所以演员上升的速度为v演员=vcos 37°=4 m/s，故A正确，B错误；设连接轨道车的钢丝与水平方向的夹角为θ，则演员的速度v演员=vcos θ，θ不断减小，可知演员在加速上升，则演员处于超重状态，故C正确，D错误。]
例3　D　[将A的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向的两个分速度，如图所示，根据平行四边形定则得v0=vcos θ，解得v=，故D正确，A、B、C错误。
]
模型展示
v物cos θ　v物cos θ　v物cos θ=v物'cos α
v物cos α=v物'cos β　

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