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DILIUZHANG
第六章
第2课时　向心力的分析和向
　 　　　心力公式的应用
1.会分析向心力的来源，掌握向心力的表达式，并能进行计算(重难点)。
2.知道变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点(重点)。
学习目标
一、向心力的来源分析和计算
二、变速圆周运动和一般的曲线运动
课时对点练
内容索引
向心力的来源分析和计算
一
如图所示，一个圆盘在水平面内匀速转动，角速度是
4 rad/s。盘面上距圆盘中心0.10 m的位置有一个质量为0.10 kg的小物体在随圆盘一起做匀速圆周运动。
(1)求小物体所受向心力的大小；
答案　物体做圆周运动所受向心力的大小为Fn=mω2r=0.16 N
(2)物体需要的向心力由什么力提供？物体所受摩擦力沿什么方向？
答案　物体随圆盘转动时受重力、支持力、静摩擦力三个力作用，其中静摩擦力指向圆心提供向心力。
(3)当转动的角速度变大后，物体仍与圆盘保持相对静止，物体受到的摩擦力大小怎样变化？
答案　当物体转动的角速度变大后，由Fn=mω2r可知，需要的向心力增大，静摩擦力提供向心力，所以静摩擦力也增大。
1.向心力的大小：Fn=mω2r=m=mr。
2.向心力的来源分析
在匀速圆周运动中，由　　　提供向心力。在非匀速圆周运动中，物体合力不是始终指向圆心，合力指向　　　的分力提供向心力。
提炼·总结
合力
圆心
3.几种常见的圆周运动向心力的来源
实例分析 图例 向心力来源
用细绳拴住小球在光滑的水平面内做匀速圆周运动 (俯视图) 　　　　　　　提供向心力
物体随转盘做匀速圆周运动，且物体相对于转盘静止 　　　　　提供向心力
绳的拉力(弹力)
静摩擦力
实例分析 图例 向心力来源
在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动且未发生滑动 　　　提供向心力
用细绳拴住小球在竖直平面内做圆周运动，当小球经过最低点时 　　　　　的合力提供向心力
弹力
拉力和重力
实例分析 图例 向心力来源
飞机水平转弯做匀速圆周运动 _________________________
的合力提供向心力
空气对飞机的作用力和飞机
的重力
　 (2023·盐城市高一期末)如图所示，用长为L的细线拴住一个质量为m的小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向的夹角为θ，重力加速度为g，关于小球的受力情况，下列说法正确的是
A.小球受到重力、细线的拉力和向心力三个力
B.向心力由细线对小球的拉力提供
C.向心力的大小等于细线对小球拉力的水平分力
D.向心力的大小等于
例1
√
对小球受力分析可知，小球受到重力、细线的拉
力两个力，这两个力的合力提供向心力，也可把
拉力分解，拉力的水平分力提供向心力，如图所
示，A、B错误，C正确；
向心力的大小Fn=mgtan θ，D错误。
　如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动，当圆筒的角速度增大以后，下列说法正确的是
A.物体所受弹力增大，摩擦力也增大
B.物体所受弹力和摩擦力都减小
C.物体所受弹力不变，摩擦力也不变
D.物体所受弹力增大，摩擦力不变
例2
√
物体做匀速圆周运动，合力指向圆心，对物体受力分析，受重力、竖直向上的静摩擦力、指向圆心的弹力，如图，重力G与静摩擦力Ff平衡，即G=Ff，与物体的角速度无关，因为弹力FN提供向心力，即FN=mrω2，所以当圆筒的角速度ω增大以后，需要的向心力变大，则物体所受弹力FN增大，故选D。
　一个质量为0.1 kg的小球，用一长0.45 m的细绳拴着，绳的另一端系在O点，让小球从如图所示位置(绳水平伸直)从静止开始释放，运动到最低点时小球的速度为3 m/s。(小球视为质点，绳不可伸长，不计空气阻力，取g=10 m/s2)
(1)分析小球运动到最低点时向心力的来源，画出小球受力示
意图；
例3
答案　见解析　
由题意可知，当小球运动到最低点时，小球受重力和绳的拉力2个力的作用，绳的拉力和小球的重力的合力提供向心力，小球受力示意图如图所示；
(2)求小球到达最低点时绳对小球的拉力的大小。
答案　3 N
由(1)可知，小球到达最低点时，绳的拉力和小球的重力的合力提供
向心力，FT-mg=m
则FT=mg+m=3 N。
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变速圆周运动和一般的曲线运动
二
荡秋千是小朋友很喜欢的游戏，当秋千由上向下荡时：
(1)小朋友做的是匀速圆周运动还是变速圆周运动？
答案　小朋友做的是变速圆周运动。
(2)绳子拉力与小朋友的重力的合力指向悬挂点吗？运动过程中，公式
Fn=m=mω2r还适用吗？
答案　小朋友荡到最低点时，绳子拉力与小朋友的重力的合力指向悬挂
点，在其他位置，合力不指向悬挂点。运动过程中，公式Fn=m=mω2r
仍然适用于向心力的求解。
1.变速圆周运动
(1)受力特点：变速圆周运动中合力　　　　圆心，合力F产生改变线速度大小和方向两个作用效果。
梳理与总结
(2)某一点的向心力仍可用向心力公式：Fn==mω2r求解。
不指向
方向
大小
增大
减小
2.一般曲线运动的处理方法
(1)一般的曲线运动：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动。
(2)处理方法：可以把这条曲线分割为许多很短的小段，质点在每小段的运动都可以看作　　　　　的一部分，这样，在分析质点经过曲线上某位置的运动时，就可以采用　　　　　的分析方法来处理。
①合力方向与速度方向夹角为锐角时，
力为　　力，速率越来越　　，如图
甲所示。
②合力方向与速度方向夹角为钝角时，
力为　　力，速率越来越　　，如图乙所示。
圆周运动
圆周运动
动
大
阻
小
　如图所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，图中c方向沿半径指向圆心，a方向与c方向垂直。当转盘逆时针转动时，下列说法正确的是
A.当转盘匀速转动时，P所受摩擦力方向为c
B.当转盘匀速转动时，P不受转盘的摩擦力
C.当转盘加速转动时，P所受摩擦力方向可能为a
D.当转盘减速转动时，P所受摩擦力方向可能为b
例4
√
转盘匀速转动时，物块P所受的重力和支持力平衡，摩
擦力提供其做匀速圆周运动的向心力，故摩擦力方向
为c，A项正确，B项错误；
当转盘加速转动时，物块P做加速圆周运动，不仅有沿
c方向指向圆心的向心力，还有指向a方向的切向力，使线速度大小增大，故摩擦力可能沿b方向，不可能沿a方向，C项错误；
当转盘减速转动时，物块P做减速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有与a方向相反的切向力，使线速度大小减小，故摩擦力可能沿d方向，不可能沿b方向，D项错误。
　(多选)(2024·南充市高一期中)如图，质量为m的熙熙小朋友(可视为质点)坐在秋千上自由摆动，摆动到最高点时悬线与竖直方向的夹角为30°，重力加速度大小为g，下列说法正确的是
A.熙熙在最高点时的速度为零，所受合力为零
B.熙熙在最高点时，秋千对她的作用力为mg
C.熙熙在最低点时，秋千对她的作用力为mg
D.熙熙在最低点时的向心力最大
例5
√
√
在最高点时，速度为零，受力分析如图，可知F合=mgsin 30°
=mg，F1=mgcos 30°=mg，故A错误，B正确；
在最低点时，由牛顿第二定律可得Fn=F-mg=m，秋千对她
的作用力为F=mg+m>mg，在最低点时，速度最大，向心
力最大，故C错误，D正确。
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课时对点练
三
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B B A A C C C
题号 9 10 11 12
答案 C D (1)4 rad/s　(2)8 N B
对一对
答案
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考点一　向心力的来源分析及计算
1.下列关于向心力的说法中正确的是
A.做匀速圆周运动的物体除了受到重力、弹力等力外还受到向心力的作用
B.向心力和重力、弹力一样，是性质力
C.做匀速圆周运动的物体的向心力即为其所受的合力
D.做圆周运动的物体所受各力的合力一定充当向心力
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基础对点练
√
答案
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向心力是一个效果力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力，或是某个力的分力，选项A、B错误；
做匀速圆周运动的物体所受合力指向圆心，完全提供向心力，做非匀速圆周运动的物体由合力指向圆心的分力提供向心力，选项C正确，D错误。
答案
2.(2024·临汾市高一期中)在光滑水平面上，用长为l的水平细线拴一质量为m的小球，以角速度ω做匀速圆周运动，下列说法正确的是
A.l不变，ω减半且m加倍时，细线的拉力大小不变
B.ω不变，l减半且m加倍时，细线的拉力大小不变
C.m不变，ω减半且l加倍时，细线的拉力大小不变
D.m不变，l减半且ω加倍时，细线的拉力大小不变
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√
答案
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根据F=mω2l可知：l不变，ω减半且m加倍时，细线的拉力大小变为原来的一半，选项A错误；
ω不变，l减半且m加倍时，细线的拉力大小不变，选项B正确；
m不变，ω减半且l加倍时，细线的拉力大小变为原来的一半，选项C错误；
m不变，l减半且ω加倍时，细线的拉力大小变为原来的2倍，选项D错误。
答案
3.(2023·宿迁市高一期末)如图所示，一个内壁光滑圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，小球A紧贴内壁在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，下列说法中正确的是
A.小球受到重力、弹力和向心力
B.小球受到的弹力大于小球的重力
C.小球受到的合力等于零
D.小球受到的弹力小于小球的向心力
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√
答案
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小球受重力、弹力两力的作用，受力如图所示，两力的合力提供小球做匀速圆周运动的向心力，由图可知，小球受到的弹力大于小球的重力，小球受到的弹力大于小球的向心力。故选B。
答案
4.质点做半径为R的匀速圆周运动，其向心力的大小为F，当它的半径不变，角速度增大到原来的2倍时，其向心力的大小比原来增大了15 N，则原来的向心力大小F为
A.5 N B.10 N
C.20 N D.25 N
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√
质点做匀速圆周运动，有F=mRω2，角速度增大到原来的2倍时，有F+15 N=mR(2ω)2，联立解得F=5 N，故选A。
答案
5.(2024·北京市西城区高一期中)如图所示，把一个长为20 cm，劲度系数为360 N/m的弹簧一端固定，作为圆心，弹簧的另一端连接一个质量为0.50 kg的小球，当小球以12 rad/s的角速度在光滑水平面上做匀速圆周运动时，弹簧的伸长量应为
A.5.0 cm B.5.2 cm
C.5.3 cm D.5.4 cm
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√
设弹簧的伸长量为Δx，由牛顿第二定律得kΔx=mω2(l+Δx)，将k=360 N/m、m=0.50 kg、ω=12 rad/s、l=0.2 m代入上式得Δx=5.0 cm，故选A。
答案
考点二　变速圆周运动和一般曲线运动
6.(2023·温州市高一期中)如图所示，轻质且不可伸长的细绳一端系一质量为m的小球，另一端固定在天花板上的O点。则小球在竖直平面内摆动的过程中，以下说法正确的是
A.小球在摆动过程中受到的合力都指向圆心O点
B.在最高点A、B，因小球的速度为零，所以小球受到的
　合力为零
C.小球在最低点C时所受的合力，即为向心力
D.小球在摆动过程中绳子的拉力使其线速度大小发生变化
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√
答案
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小球摆动过程中，合力沿绳子方向的分力提供向心力，
指向圆心O点，A错误；
在最高点A、B，小球的速度为零，小球所受合力的大
小不为零，方向与轨迹的方向相切，B错误；
小球在最低点受重力和拉力，两个力的合力竖直向上，指向圆心，合力等于向心力，C正确；
小球在摆动的过程中，由于绳子的拉力与速度方向垂直，拉力不会使小球速率发生变化，D错误。
答案
7.一辆汽车在水平公路上转弯，沿曲线由M向N行驶，速度逐渐减小。图A、B、C、D中分别画出了汽车转弯时所受合力F的四种方向，你认为可能正确的是
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√
答案
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12
汽车在行驶中速度越来越小，所以汽车在轨迹的切线方向做减速运动，切线方向受力如图中的Ft所示。同时汽车做曲线运动，必有向心力，向心力如图中的Fn所示。汽车所受合力F为Ft、Fn的合力，故选C。
答案
8.(2024·深圳市高一期中)长为L的悬线固定在O点，在O点正下方处有一钉子P，把悬线另一端的小球拉到跟悬点在同一水平面上无初速度释放，小球到悬点正下方时悬线碰到钉子，则小球的
A.线速度突然增大
B.角速度突然减小
C.向心力突然增大
D.悬线拉力突然减小
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能力综合练
√
答案
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碰到钉子瞬间，线速度不突变，所以线速度不变，故
A错误；
碰到钉子瞬间，圆周运动半径减小，根据v=ωr，可知
角速度突然增大，故B错误；
碰到钉子瞬间，圆周运动半径减小，根据Fn=m，可知向心力增大，
故C正确；
根据牛顿第二定律FT-mg=Fn，小球重力不变，向心力增大，悬线拉力增大，故D错误。
答案
9.(2023·全国甲卷)一质点做匀速圆周运动，若其所受合力的大小与轨道半径的n次方成正比，运动周期与轨道半径成反比，则n等于
A.1 B.2
C.3 D.4
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√
质点做匀速圆周运动，根据题意设周期T=，质点所受合外力等于质点做圆周运动的向心力，根据F合=Fn=mr，联立可得Fn=r3，其中为常数，r的指数为3，故题中n=3，故选C。
答案
10.(2023·盐城市高一期末)如图所示，在粗糙水平木板上放一个物块，使水平木板和物块一起在竖直平面内做完整匀速圆周运动，ab为水平直径，cd为竖直直径，在运动过程中木板始终保持水平，物块相对木板始终静止，则
A.物块始终受到三个力作用
B.在a、b两点，水平木板对物块的作用力指向圆心
C.物块全程所受的摩擦力大小不变
D.物块全程向心力大小不变
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√
答案
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物块在最高点和最低点仅受到重力和支持力的作用，
没有摩擦力，而在a、b两点，摩擦力最大，A、C
错误；
在a、b两点，水平木板对物块的作用力的竖直分量
与物块的重力平衡，水平分量提供物块做圆周运动的向心力，B错误；
由于物块做匀速圆周运动，因此向心力大小不变，D正确。
答案
11.如图所示，在光滑水平面上，质量m=1 kg的小球，
以半径r=0.5 m绕O点做匀速圆周运动，小球做匀速圆
周运动的线速度大小v=2 m/s，求：
(1)小球做匀速圆周运动的角速度大小ω；
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答案　4 rad/s
小球做匀速圆周运动的角速度大小
ω== rad/s=4 rad/s
答案
(2)小球的向心力大小F。
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12
答案　8 N
小球的向心力大小
F=m=1× N=8 N。
答案
12.(2024·浙江省高一期中)如图所示，长L的轻杆两端分别固定着可以视为质点的小球A、B，放置在光滑水平桌面上，杆中O点处有一竖直方向的固定转动轴，小球A、B的质量分别为2m、m。AO∶BO为2∶1，当轻杆以角速度ω绕轴在水平桌面上转动时，求转轴受杆拉力的大小为
A.0.5mω2L B.mω2L
C.1.5mω2L D.2mω2L
1
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12
√
尖子生选练
答案
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由向心力公式，对A球可得FA=2mω2×L=mω2L，
对B球可得FB=mω2×L=mω2L，可知转轴受杆拉
力的大小为F=FA-FB=mω2L-mω2L=mω2L，故选B。
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答案第2课时　向心力的分析和向心力公式的应用
[学习目标]　1.会分析向心力的来源，掌握向心力的表达式，并能进行计算(重难点)。2.知道变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点(重点)。
一、向心力的来源分析和计算
如图所示，一个圆盘在水平面内匀速转动，角速度是4 rad/s。盘面上距圆盘中心0.10 m的位置有一个质量为0.10 kg的小物体在随圆盘一起做匀速圆周运动。
(1)求小物体所受向心力的大小；
(2)物体需要的向心力由什么力提供？物体所受摩擦力沿什么方向？
(3)当转动的角速度变大后，物体仍与圆盘保持相对静止，物体受到的摩擦力大小怎样变化？
1.向心力的大小：Fn=mω2r=m=mr。
2.向心力的来源分析
在匀速圆周运动中，由　　　　　提供向心力。在非匀速圆周运动中，物体合力不是始终指向圆心，合力指向　　　　　的分力提供向心力。
3.几种常见的圆周运动向心力的来源
实例分析 图例 向心力来源
用细绳拴住小球在光滑的水平面内做匀速圆周运动 (俯视图) 提供向心力
物体随转盘做匀速圆周运动，且物体相对于转盘静止 提供向心力
在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动且未发生滑动 提供向心力
用细绳拴住小球在竖直平面内做圆周运动，当小球经过最低点时 　　　　　　　　　　　　的合力提供向心力
飞机水平转弯做匀速圆周运动 　　　　　　　　　　　　的合力提供向心力
例1　(2023·盐城市高一期末)如图所示，用长为L的细线拴住一个质量为m的小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向的夹角为θ，重力加速度为g，关于小球的受力情况，下列说法正确的是(　　)
A.小球受到重力、细线的拉力和向心力三个力
B.向心力由细线对小球的拉力提供
C.向心力的大小等于细线对小球拉力的水平分力
D.向心力的大小等于
例2　如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动，当圆筒的角速度增大以后，下列说法正确的是(　　)
A.物体所受弹力增大，摩擦力也增大
B.物体所受弹力和摩擦力都减小
C.物体所受弹力不变，摩擦力也不变
D.物体所受弹力增大，摩擦力不变
例3　一个质量为0.1 kg的小球，用一长0.45 m的细绳拴着，绳的另一端系在O点，让小球从如图所示位置(绳水平伸直)从静止开始释放，运动到最低点时小球的速度为3 m/s。(小球视为质点，绳不可伸长，不计空气阻力，取g=10 m/s2)
(1)分析小球运动到最低点时向心力的来源，画出小球受力示意图；
(2)求小球到达最低点时绳对小球的拉力的大小。
二、变速圆周运动和一般的曲线运动
荡秋千是小朋友很喜欢的游戏，当秋千由上向下荡时：
(1)小朋友做的是匀速圆周运动还是变速圆周运动？
(2)绳子拉力与小朋友的重力的合力指向悬挂点吗？运动过程中，公式Fn=m=mω2r还适用吗？
1.变速圆周运动
(1)受力特点：变速圆周运动中合力　　　圆心，合力F产生改变线速度大小和方向两个作用效果。
(2)某一点的向心力仍可用向心力公式：Fn==mω2r求解。
2.一般曲线运动的处理方法
(1)一般的曲线运动：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动。
(2)处理方法：可以把这条曲线分割为许多很短的小段，质点在每小段的运动都可以看作　　　　　　的一部分，这样，在分析质点经过曲线上某位置的运动时，就可以采用　　　　　　的分析方法来处理。
①合力方向与速度方向夹角为锐角时，力为　　　力，速率越来越　　　，如图甲所示。
②合力方向与速度方向夹角为钝角时，力为　　　力，速率越来越　　　，如图乙所示。
例4　如图所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，图中c方向沿半径指向圆心，a方向与c方向垂直。当转盘逆时针转动时，下列说法正确的是(　　)
A.当转盘匀速转动时，P所受摩擦力方向为c
B.当转盘匀速转动时，P不受转盘的摩擦力
C.当转盘加速转动时，P所受摩擦力方向可能为a
D.当转盘减速转动时，P所受摩擦力方向可能为b
例5　(多选)(2024·南充市高一期中)如图，质量为m的熙熙小朋友(可视为质点)坐在秋千上自由摆动，摆动到最高点时悬线与竖直方向的夹角为30°，重力加速度大小为g，下列说法正确的是(　　)
A.熙熙在最高点时的速度为零，所受合力为零
B.熙熙在最高点时，秋千对她的作用力为mg
C.熙熙在最低点时，秋千对她的作用力为mg
D.熙熙在最低点时的向心力最大
答案精析
一、
(1)物体做圆周运动所受向心力的大小为Fn=mω2r=0.16 N
(2)物体随圆盘转动时受重力、支持力、静摩擦力三个力作用，其中静摩擦力指向圆心提供向心力。
(3)当物体转动的角速度变大后，由Fn=mω2r可知，需要的向心力增大，静摩擦力提供向心力，所以静摩擦力也增大。
提炼·总结
2.合力　圆心
3.绳的拉力(弹力)　静摩擦力　弹力　拉力和重力
空气对飞机的作用力和飞机的重力
例1　C　[对小球受力分析可知，小球受到重力、细线的拉力两个力，这两个力的合力提供向心力，也可把拉力分解，拉力的水平分力提供向心力，如图所示，A、B错误，C正确；向心力的大小Fn=mgtan θ，D错误。
]
例2　D　[物体做匀速圆周运动，合力指向圆心，对物体受力分析，受重力、竖直向上的静摩擦力、指向圆心的弹力，如图，重力G与静摩擦力Ff平衡，即G=Ff，与物体的角速度无关，因为弹力FN提供向心力，即FN=mrω2，所以当圆筒的角速度ω增大以后，需要的向心力变大，则物体所受弹力FN增大，故选D。
]
例3　(1)见解析　(2)3 N
解析　(1)由题意可知，当小球运动到最低点时，小球受重力和绳的拉力2个力的作用，绳的拉力和小球的重力的合力提供向心力，小球受力示意图如图所示；
(2)由(1)可知，小球到达最低点时，绳的拉力和小球的重力的合力提供向心力，FT-mg=m
则FT=mg+m=3 N。
二、
(1)小朋友做的是变速圆周运动。
(2)小朋友荡到最低点时，绳子拉力与小朋友的重力的合力指向悬挂点，在其他位置，合力不指向悬挂点。运动过程中，公式Fn=m=mω2r仍然适用于向心力的求解。
梳理与总结
1.(1)不指向　方向　大小　增大　减小
2.(2)圆周运动　圆周运动　①动　大　②阻　小　
例4　A　[转盘匀速转动时，物块P所受的重力和支持力平衡，摩擦力提供其做匀速圆周运动的向心力，故摩擦力方向为c，A项正确，B项错误；当转盘加速转动时，物块P做加速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有指向a方向的切向力，使线速度大小增大，故摩擦力可能沿b方向，不可能沿a方向，C项错误；当转盘减速转动时，物块P做减速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有与a方向相反的切向力，使线速度大小减小，故摩擦力可能沿d方向，不可能沿b方向，D项错误。]
例5　BD　[在最高点时，速度为零，受力分析如图，可知F合=mgsin 30°=mg，F1=mgcos 30°=mg，故A错误，B正确；在最低点时，由牛顿第二定律可得Fn=F-mg=m，秋千对她的作用力为F=mg+m>mg，在最低点时，速度最大，向心力最大，故C错误，D正确。
]

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