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(共58张PPT)
DILIUZHANG
第六章
3　向心加速度
1.通过生活中的实例，理解向心加速度的概念。
2.掌握向心加速度和线速度、角速度的关系，能够运用向心加速度公式求解有关问题(重点)。
3.会应用动力学方法分析匀速圆周运动问题(难点)。
学习目标
一、对向心加速度的理解
二、向心加速度的大小
课时对点练
三、圆周运动的动力学问题分析
内容索引
对向心加速度的理解
一
如图甲所示，地球绕太阳做匀速圆周运动(近似的)；如图乙所示，光滑水平桌面上一个小球在细线的牵引下绕桌面上的图钉做匀速圆周运动。
(1)分析地球和小球的受力情况，说明地球和小球的加速度方向；
答案　地球只受到太阳引力作用，方向指向圆心，加速度方向指向圆心。小球受到重力、支持力、拉力作用，合力指向圆心，故加速度的方向指向圆心。
(2)地球和小球加速度的作用是什么？
答案　由于速度大小没有发生变化，故加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。
(3)地球和小球的加速度方向变化吗？匀速圆周运动是一种什么性质的运动呢？
答案　由于地球和小球的加速度总是沿半径指向圆心，故加速度方向是变化的。匀速圆周运动是一种变加速曲线运动。
1.定义：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向　　　，这个加速度叫作向心加速度。常用an表示。
2.方向：始终指向　　　。
3.作用：改变速度的　　　，不改变速度的　　　。
4.说明：匀速圆周运动加速度的　　　时刻改变，所以匀速圆周运动不是匀变速运动，而是　　　　　　　　。
5.变速圆周运动：变速圆周运动的加速度　　　　　　；可分解为____
　　　　和　　　　　　分析。向心加速度改变速度　　　，切向加速度改变速度　　　。
梳理与总结
圆心
圆心
方向
大小
方向
变加速曲线运动
不指向圆心
向心
加速度
切向加速度
方向
大小
(1)物体做匀速圆周运动时，其向心加速度是恒定的。(　　)
(2)物体做匀速圆周运动时，在相等时间内速度变化量是相同的。
(　　)
(3)圆周运动的加速度一定指向圆心。(　　)
(4)向心加速度的方向始终与速度方向垂直。(　　)
×
×
×
√
返回
向心加速度的大小
二
根据牛顿第二定律和向心力表达式，试推导向心加速度的表达式。
答案　已知向心力表达式Fn=m=mω2r，根据牛顿第二定律Fn=man，得an==ω2r。
1.向心加速度公式
(1)an==　　　。
(2)由于v=ωr，所以向心加速度也可以写成an=　　。
(3)由于ω==2πf，所以向心加速度也可以写成an=　　 = 。
2.向心加速度公式不仅适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动，v为某位置的线速度，且无论物体做的是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，其向心加速度的方向都指向圆心。
梳理与总结
ω2r
ωv
r
4π2f2r
从公式an=看，向心加速度与圆周运动的半径成反比；从公式an=ω2r看，向心加速度与半径成正比。这两种说法是否矛盾？为什么？
思考与讨论
答案　不矛盾，在线速度一定的情况下，向心加速度与半径成反比，在角速度一定的情况下，向心加速度与半径成正比。
　 (2023·嘉兴市高一期中)某同学在研究圆周运动时做摆臂动作，用手机内置的速度传感器测定手的速度。该同学先用刻度尺测量手臂伸直时的长度(刻度尺的零刻度线与肩平齐)，如图所示，然后他水平伸直手臂，手握手机，将手臂以肩为轴自然下摆。若当手臂摆到竖直
位置时，手机显示的速度大小约为0.65 m/s，则此时手机的
向心加速度大小约为
A.0.65 m/s2 B.1.3 m/s2
C.2 m/s2 D.6.5 m/s2
例1
√
根据题意，由题图可知，手机转动的半径约为0.65 m，
由公式an=可得，手臂摆到竖直位置时手机的向心加
速度大小约为an==0.65 m/s2，故选A。
　如图所示，甲、乙两物体分别静置于赤道和纬度为45°的地面上，甲、乙两物体随地球自转的线速度大小分别为v1和v2，向心加速度大小分别为a1和a2，地球可视为均匀的球体，下列关系式正确的是
A.v1∶v2=1∶1 B.v1∶v2=1∶
C.a1∶a2=2∶1 D.a1∶a2=∶1
例2
√
甲、乙两物体分别静置于赤道和纬度为45°的地面上，
轨道半径关系为==
甲、乙两物体随地球一起自转，角速度相同，由线速度
与角速度的关系知==
故A、B错误；由向心加速度a=ω2R知
==
故C错误，D正确。
返回
圆周运动的动力学问题分析
三
如图所示，在长为L的细绳下端拴一个质量为m的小球，
细绳的上端固定，使小球在水平面内做匀速圆周运动，
细绳就沿圆锥面旋转，这样就成了一个圆锥摆。
(1)什么力提供了小球做匀速圆周运动的向心力？(忽略
空气阻力)
答案　小球受重力和细绳的拉力作用，重力和拉力的合力提
供小球做匀速圆周运动的向心力(如图所示)。
(2)当细绳与竖直方向成θ角时，小球运动的向心加速度
大小为多少？(重力加速度为g)
答案　根据牛顿第二定律：mgtan θ=man得an=gtan θ。
　长为L的细线，下端拴一质量为m的小球，上端固定，让小球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，细线与竖直方向成θ角时，求：(重力加速度为g)
(1)细线上的拉力大小；
例3
答案　
小球受重力及细线的拉力的作用，如图所示，
由平衡条件可知，竖直方向：
FTcos θ=mg，
故拉力FT=。
(2)小球运动的线速度的大小和角速度的大小。
答案　　
小球做匀速圆周运动的半径r=Lsin θ，向心力Fn=FTsin θ
=mgtan θ，又Fn=m，
故小球的线速度大小v=。
由Fn=mrω2
联立解得ω=。
思考：从上面角速度大小的结果中我们可以看出做圆锥摆运动的小球的角速度ω与什么因素有关？
答案　与圆心到细线上端的高度有关。
　(2023·南京市高一期中)如图所示，质量未知的A、B两小球在内壁光滑的锥形容器内沿水平面做匀速圆周运动，锥形容器的中心轴线竖直，下列说法正确的是
A.A、B两球受到容器壁的弹力大小相等
B.A、B两球具有大小相同的向心加速度
C.A、B两球的角速度大小相等
D.A球的线速度比B球的线速度小
例4
√
对小球受力分析，小球受到重力和支持力，它们的合力
提供向心力，设圆锥的半顶角为θ，则有FN=，A、B
两球的质量未知，受到容器壁的弹力大小不一定相等，
故A错误；
根据牛顿第二定律，有=ma=m=mrω2，解得a=，ω=，v=，由于A球的轨道半径较大，所以A球的角速度较小，线速度
较大，A、B两球具有大小相同的向心加速度，故B正确，C、D错误。
分析匀速圆周运动问题的基本步骤
1.明确研究对象，对研究对象进行受力分析，画出受力示意图。
2.确定物体做圆周运动的轨道平面、圆心、半径。
3.找出向心力的来源，利用平行四边形定则或正交分解法，计算出沿半径方向的合力F合。
4.利用牛顿第二定律列方程F合=Fn=mω2r=m=mr。
5.解方程求出待求物理量。
总结提升
拓展学习：用运动学方法分析匀速圆周运动向心加速度
1.向心加速度的方向
第一步，画出物体经过A、B两点
时的速度方向，如图甲所示。
第二步，平移vA至B点，如图乙
所示。
第三步，作出物体由A点到B点的
速度变化量Δv，如图丙所示。
第四步，假设由A到B的时间极短，
A到B的距离将非常小，作出此时
的Δv，如图丁所示。
从运动学角度分析也可以发现：物体做匀速圆周运动时的加速度指向圆心。
2.向心加速度的大小
由图丁可知，当Δt足够小时，θ就足够小，θ角所对的弦和
弧的长度就近似相等。
因此，θ=，由角速度定义知：θ=ωΔt，可得： Δv=vωΔt
根据加速度定义式a=，由v=ωr得向心加速度大小的表达式为an=ω2r，an =。
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课时对点练
四
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B D C D C D A
题号 9 10 11 12
答案 D BCD (1)40 N　(2) C
对一对
答案
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考点一　对向心加速度的理解
1.两物体都在做匀速圆周运动，下列说法正确的是
A.它们的线速度大小相等时，半径小的向心加速度大
B.它们的周期相等时，半径小的向心加速度大
C.它们的角速度相等时，半径小的向心加速度大
D.它们的转速相等时，半径小的向心加速度大
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基础对点练
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根据a=可知线速度大小相等时，半径小的向心加速度大，A正确；
根据a=r可知周期相等时，半径大的向心加速度大，B错误；
根据a=ω2r可知角速度相等时，半径小的向心加速度小，C错误；
根据a=4π2n2r可知转速相等时，半径小的向心加速度小，D错误。
答案
2.(2023·淮安市高一期中)A、B两物体做匀速圆周运动时的向心加速度随半径变化的关系图线如图所示，其中曲线为反比例函数的一部分，则
A.B物体运动时，其线速度的大小不变
B.B物体运动时，其角速度不变
C.A物体运动时，其角速度不变
D.A物体运动时，其线速度随半径的增大而减小
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答案
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B图线a与r成正比，则由a=ω2r可知，B物体运动的角速
度保持不变，故B正确，A错误；
A图线a与r成反比，则由a=可知，A物体的线速度大
小不变，故C、D错误。
答案
3.光滑的水平面上固定着一个螺旋形光滑水平轨道，俯视如图所示。一小球以一定速度沿轨道切线方向进入轨道，运动到螺旋形中央，下列关于该小球运动的说法正确的是
A.线速度增大，角速度不变
B.线速度不变，角速度减小
C.线速度减小，向心加速度增大
D.角速度增大，向心加速度增大
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答案
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水平轨道光滑，所以小球的线速度大小不变，但是
转动半径变小，根据ω=可知角速度增大，根据a=
可知向心加速度变大，故D正确，A、B、C错误。
答案
考点二　向心加速度的计算
4.(2021·全国甲卷)“旋转纽扣”是一种传统游戏。如图，先将纽扣绕几圈，使穿过纽扣的两股细绳拧在一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会交替出现。拉动多次后，纽扣绕其中心的转速可达50 r/s，此时纽扣上距离中心1 cm处的点向心加速度大小约为
A.10 m/s2 B.100 m/s2
C.1 000 m/s2 D.10 000 m/s2
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根据匀速圆周运动的规律，
此时ω=2πn=100π rad/s，
向心加速度a=ω2r≈1 000 m/s2，故选C。
答案
5.(2024·北京市高一期中)一皮带传动装置的示意图如图所示，右轮半径为r，A是其边缘上的一点，左轮半径为2r，C点位于左轮边缘上，B点在左轮上且到轮心的距离为r。传动过程中皮带不打滑。则
A.A、B两点的角速度之比为1∶1
B.A、B两点的角速度之比为1∶2
C.A、C两点的向心加速度之比为1∶4
D.A、C两点的向心加速度之比为2∶1
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由题图可知，A、C有大小相同的线速度，则有vA=
vC，B、C有相同的角速度，则有ωB=ωC，又vA=ωAr，
vC=ωB·2r，联立解得ωA∶ωB=2∶1，故A、B错误；
由题图可知，A、C有大小相同的线速度，则向心加速度an=∝，因A、C两点的半径之比为1∶2，故A、C两点的向心加速度之比为2∶1，故C错误，D正确。
答案
考点三　匀速圆周运动的动力学问题
6.如图所示，质量相等的A、B两物体紧贴在匀速转动的圆筒的竖直内壁上，随圆筒一起做匀速圆周运动，则下列关系式正确的是
A.线速度vA=vB
B.角速度ωA>ωB
C.它们受到合力FA合>FB合
D.它们受到的摩擦力FfA>FfB
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答案
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A、B同轴运动，两者角速度相等，选项B错误；
根据v=ωr可知，选项A错误；
由F合=mrω2可知，选项C正确；
在竖直方向，它们所受的静摩擦力等于重力，由于二者质量相等，重力相等，所以它们受到的静摩擦力相等，选项D错误。
答案
7.(2023·南京市高一期末)无人机在某次作业过程中在空中盘旋，可看成匀速圆周运动，已知无人机的质量为m，以恒定速率v在空中水平盘旋，如图所示，圆心为O，其做匀速圆周运动的半径为R，重力加速度为g，关于空气对无人机的作用力方向和大小的说法正确的是
A.竖直向上，F=mg
B.竖直向上，F=m
C.斜向右上方，F=m
D.斜向右上方，F=m
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答案
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根据牛顿第二定律，无人机需要的向心力F向=，
无人机受重力、空气的作用力，根据平行四边形定则，则空气对无人
机的作用力F==m，故选D。
答案
8.(2024·淄博市高一期中)质量为m的小物体沿着半径为r的半球形金属球壳滑到最低点时的速度大小为v，如图所示，若物体与球壳之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则物体在最低点时
A.向心加速度为
B.向心力为m(g+)
C.对球壳的压力为
D.受到的摩擦力为μmg
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能力综合练
答案
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在最低点根据向心加速度的定义可知a=，故A正确；
根据牛顿第二定律可知向心力为F=ma=m，故B错误；
在最低点对物体受力分析FN-mg=m，解得球壳对物体的支持力为FN=m+mg，根据牛顿第三定律可知物体对球壳的压力为m+mg，
故C错误；
物体所受滑动摩擦力为Ff=μFN=μ(m+mg)，故D错误。
答案
9.(2023·淮安市高一期中)有一种杂技表演叫“飞车走壁”。由杂技演员驾驶摩托车沿圆台形表演台的侧壁，做水平匀速圆周运动。图中的圆表示摩托车的行驶轨迹，轨迹离地面的高度为h。下列说法中正确的是
A.h越高，摩托车对侧壁的压力将越大
B.h越高，摩托车做圆周运动的向心力将越大
C.h越高，摩托车做圆周运动的周期将越小
D.h越高，摩托车做圆周运动的线速度将越大
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答案
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杂技演员以及摩托车所受的重力和支持力的合力提
供向心力，向心力F=mgtan θ，对侧壁的压力FN'=
FN=，其中θ是表演台的侧壁与地面的夹角，可
知向心力和对侧壁的压力均与h无关，故A、B错误；
向心力F=mr，由于F为定值，则T2与r成正比，当h越大时，r越大，
所以周期T也越大，故C错误；
向心力F=m，由于F为定值，则v2与r成正比，当h越大时，r越大，
所以线速度v也越大，故D正确。
答案
10.(多选)(2024·西安市高一期中)如图所示，一根细线下端拴一个金属小球P，细线的上端固定在金属块Q上，Q放在带小孔(小孔光滑)的水平桌面上，小球在某一水平面内做匀速圆周运动(圆锥摆)。现使小球改到一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动(图中P'位置)，两次金属块Q都静止在桌面上的同一点，Q、O之间的细线水平，则后一种情况与原来相比较，下列判断正确的是
A.Q受到桌面的支持力变大
B.Q受到桌面的静摩擦力变大
C.小球P运动的线速度变大
D.小球P运动的角速度变大
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√
√
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答案
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Q受到桌面的支持力总等于Q的重力，则不变，故A
错误；
Q受到桌面的静摩擦力等于细线的拉力，若细线与竖
直方向夹角为θ，
则F=，当θ变大时细线的拉力变大，则Q受到桌面的静摩擦力变
大，故B正确；
设细线长度为l，则有mgtan θ=mω2r，r=lsin θ，解得ω2=，当小
球位置升高时，θ变大，则角速度变大，故D正确；
线速度为v=ωlsin θ，θ、ω变大，则线速度变大，C正确。
答案
11.(2023·无锡市江阴高级中学高一期末)如图甲，一半径为r=0.2 m的滚筒洗衣机内有一件质量为m=0.5 kg的衣服(示意图如图乙)，衣服贴着内壁跟着圆筒以角速度ω=20 rad/s绕中心轴做匀速圆周运动，重力加速度g=10 m/s2，若此时衣服恰好不下滑，求：
(1)衣服对桶壁的压力大小；
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答案　40 N
答案
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衣服所受弹力F=mω2r=40 N
由牛顿第三定律知，衣服对桶壁的压力大小为F'=F=40 N
答案
(2)衣服与桶壁之间的动摩擦因数。
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答案　
衣服竖直方向受力平衡，Ff=mg=5 N
而Ff=μF
解得μ=。
答案
12.(2024·枣庄市高一期中)智能呼啦圈轻便美观，深受大众喜爱，腰带外侧带有轨道，将带有滑轮的短杆(大小忽略不计)穿入轨道，短杆的另一端悬挂一根带有配重的轻绳，其简化模型如图所示，可视为质点的配重质量为0.5 kg，绳长为0.5 m，悬挂点P到腰带中心点O的距离为0.2 m，水平固定好腰带，通过人体微小扭动，使配重随短杆
做水平匀速圆周运动，绳子与竖直方向夹角为θ，运
动过程中腰带可看成不动，重力加速度g取10 m/s2，
sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，
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尖子生选练
答案
下列说法正确的是
A.若使用者觉得锻炼不够充分，决定增大转速，腰
　带受到的合力变大
B.当使用者掌握好锻炼节奏后能够使θ稳定在37°，
　此时配重的角速度为5 rad/s
C.使用者使用一段时间后成功减肥，再次使用时将腰带调小，若仍保持
　转速不变，则θ变小
D.当用力转动使θ从37°增加到53°时，配重运动的周期变大
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答案
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运动过程中腰带可看成不动，腰带合力始终为
零，故A错误；
对配重根据牛顿第二定律有mgtan θ=mω2(Lsin θ
+r)，解得ω=，
当θ=37°，代入数据解得ω= rad/s，故B错误；
答案
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使用者使用一段时间后成功减肥，再次使用时
将腰带调小，若仍保持转速不变，即角速度不
变，对配重根据牛顿第二定律有mgtan θ=mω2
(Lsin θ+r)，可得ω==，由于
r变小，若θ不变，可得ω变大，不满足角速度不变要求；若θ变大，可得ω变大，不满足角速度不变要求；则为了满足角速度不变，θ一定变小，故C正确；
答案
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根据B中结论，当θ=53°时，ω= rad/s，
根据T=，可知周期变小，故D错误。
返回
答案3　向心加速度
[学习目标]　1.通过生活中的实例，理解向心加速度的概念。2.掌握向心加速度和线速度、角速度的关系，能够运用向心加速度公式求解有关问题(重点)。3.会应用动力学方法分析匀速圆周运动问题(难点)。
一、对向心加速度的理解
如图甲所示，地球绕太阳做匀速圆周运动(近似的)；如图乙所示，光滑水平桌面上一个小球在细线的牵引下绕桌面上的图钉做匀速圆周运动。
(1)分析地球和小球的受力情况，说明地球和小球的加速度方向；
(2)地球和小球加速度的作用是什么？
(3)地球和小球的加速度方向变化吗？匀速圆周运动是一种什么性质的运动呢？
1.定义：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向　　　　　，这个加速度叫作向心加速度。常用an表示。
2.方向：始终指向　　　　　。
3.作用：改变速度的　　　　，不改变速度的　　　　　。
4.说明：匀速圆周运动加速度的　　　　　时刻改变，所以匀速圆周运动不是匀变速运动，而是　　　　　　　　　　。
5.变速圆周运动：变速圆周运动的加速度　　　　　　　　　　；可分解为　　　　　　　　　　和
　　　　　　　　　　分析。向心加速度改变速度　　　　　，切向加速度改变速度　　　　　。
(1)物体做匀速圆周运动时，其向心加速度是恒定的。(　　)
(2)物体做匀速圆周运动时，在相等时间内速度变化量是相同的。(　　)
(3)圆周运动的加速度一定指向圆心。(　　)
(4)向心加速度的方向始终与速度方向垂直。(　　)
二、向心加速度的大小
根据牛顿第二定律和向心力表达式，试推导向心加速度的表达式。
1.向心加速度公式
(1)an==　　　　　。
(2)由于v=ωr，所以向心加速度也可以写成an=　　　　　。
(3)由于ω==2πf，所以向心加速度也可以写成an=　　　　　=　　　　　。
2.向心加速度公式不仅适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动，v为某位置的线速度，且无论物体做的是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，其向心加速度的方向都指向圆心。
从公式an=看，向心加速度与圆周运动的半径成反比；从公式an=ω2r看，向心加速度与半径成正比。这两种说法是否矛盾？为什么？
例1　(2023·嘉兴市高一期中)某同学在研究圆周运动时做摆臂动作，用手机内置的速度传感器测定手的速度。该同学先用刻度尺测量手臂伸直时的长度(刻度尺的零刻度线与肩平齐)，如图所示，然后他水平伸直手臂，手握手机，将手臂以肩为轴自然下摆。若当手臂摆到竖直位置时，手机显示的速度大小约为0.65 m/s，则此时手机的向心加速度大小约为(　　)
A.0.65 m/s2 B.1.3 m/s2
C.2 m/s2 D.6.5 m/s2
例2　如图所示，甲、乙两物体分别静置于赤道和纬度为45°的地面上，甲、乙两物体随地球自转的线速度大小分别为v1和v2，向心加速度大小分别为a1和a2，地球可视为均匀的球体，下列关系式正确的是(　　)
A.v1∶v2=1∶1 B.v1∶v2=1∶
C.a1∶a2=2∶1 D.a1∶a2=∶1
三、圆周运动的动力学问题分析
如图所示，在长为L的细绳下端拴一个质量为m的小球，细绳的上端固定，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细绳就沿圆锥面旋转，这样就成了一个圆锥摆。
(1)什么力提供了小球做匀速圆周运动的向心力？(忽略空气阻力)
(2)当细绳与竖直方向成θ角时，小球运动的向心加速度大小为多少？(重力加速度为g)
例3　长为L的细线，下端拴一质量为m的小球，上端固定，让小球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，细线与竖直方向成θ角时，求：(重力加速度为g)
(1)细线上的拉力大小；
(2)小球运动的线速度的大小和角速度的大小。
思考：从上面角速度大小的结果中我们可以看出做圆锥摆运动的小球的角速度ω与什么因素有关？
例4　(2023·南京市高一期中)如图所示，质量未知的A、B两小球在内壁光滑的锥形容器内沿水平面做匀速圆周运动，锥形容器的中心轴线竖直，下列说法正确的是(　　)
A.A、B两球受到容器壁的弹力大小相等
B.A、B两球具有大小相同的向心加速度
C.A、B两球的角速度大小相等
D.A球的线速度比B球的线速度小
分析匀速圆周运动问题的基本步骤
1.明确研究对象，对研究对象进行受力分析，画出受力示意图。
2.确定物体做圆周运动的轨道平面、圆心、半径。
3.找出向心力的来源，利用平行四边形定则或正交分解法，计算出沿半径方向的合力F合。
4.利用牛顿第二定律列方程F合=Fn=mω2r=m=mr。
5.解方程求出待求物理量。
拓展学习：用运动学方法分析匀速圆周运动向心加速度
1.向心加速度的方向
第一步，画出物体经过 A、B两点时的速度方向，如图甲所示。
第二步，平移vA至B点，如图乙所示。
第三步，作出物体由A点到B点的速度变化量Δv，如图丙所示。
第四步，假设由A到B的时间极短， A到B的距离将非常小，作出此时的Δv，如图丁所示。
从运动学角度分析也可以发现：物体做匀速圆周运动时的加速度指向圆心。
2.向心加速度的大小
由图丁可知，当Δt足够小时，θ就足够小，θ角所对的弦和弧的长度就近似相等。
因此，θ=，由角速度定义知：θ=ωΔt，可得： Δv=vωΔt
根据加速度定义式a=，由v=ωr得向心加速度大小的表达式为an=ω2r，an =。
答案精析
一、
(1)地球只受到太阳引力作用，方向指向圆心，加速度方向指向圆心。小球受到重力、支持力、拉力作用，合力指向圆心，故加速度的方向指向圆心。
(2)由于速度大小没有发生变化，故加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。
(3)由于地球和小球的加速度总是沿半径指向圆心，故加速度方向是变化的。匀速圆周运动是一种变加速曲线运动。
梳理与总结
1.圆心　2.圆心　3.方向　大小　
4.方向　变加速曲线运动　
5.不指向圆心　向心加速度　切向加速度　方向　大小
易错辨析
(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
二、
已知向心力表达式Fn=m=mω2r，根据牛顿第二定律Fn=man，得an==ω2r。
梳理与总结
1.(1)ω2r　(2)ωv　(3)r　4π2f2r
思考与讨论
不矛盾，在线速度一定的情况下，向心加速度与半径成反比，在角速度一定的情况下，向心加速度与半径成正比。
例1　A　[根据题意，由题图可知，手机转动的半径约为0.65 m，由公式an=可得，手臂摆到竖直位置时手机的向心加速度大小约为an==0.65 m/s2，故选A。]
例2　D　[甲、乙两物体分别静置于赤道和纬度为45°的地面上，轨道半径关系为==
甲、乙两物体随地球一起自转，角速度相同，由线速度与角速度的关系知==
故A、B错误；由向心加速度a=ω2R知
==
故C错误，D正确。]
三、
(1)小球受重力和细绳的拉力作用，重力和拉力的合力提供小球做匀速圆周运动的向心力(如图所示)。
(2)根据牛顿第二定律：mgtan θ=man得an=gtan θ。
例3　(1)　(2)　
解析　(1)小球受重力及细线的拉力的作用，如图所示，
由平衡条件可知，竖直方向：
FTcos θ=mg，
故拉力FT=。
(2)小球做匀速圆周运动的半径r=Lsin θ，向心力Fn=FTsin θ=mgtan θ，又Fn=m，
故小球的线速度大小v=。
由Fn=mrω2
联立解得ω=。
思考：与圆心到细线上端的高度有关。
例4　B　[对小球受力分析，小球受到重力和支持力，它们的合力提供向心力，设圆锥的半顶角为θ，则有FN=，A、B两球的质量未知，受到容器壁的弹力大小不一定相等，故A错误；根据牛顿第二定律，有=ma=m=mrω2，解得a=，ω=，v=，由于A球的轨道半径较大，所以A球的角速度较小，线速度较大，A、B两球具有大小相同的向心加速度，故B正确，C、D错误。]

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