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DILIUZHANG
第六章
专题强化　竖直面内的圆
　　　　　周运动
1.明确竖直面内圆周运动的轻绳模型和轻杆模型的特点。
2.掌握竖直面内圆周运动的轻绳模型和轻杆模型的临界条件及分析方法(重难点)。
学习目标
一、竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型
二、竖直面内圆周运动的轻杆(管道)模型
专题强化练
内容索引
竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型
一
如图所示，图甲中小球仅受轻绳拉力和重力作用，图乙中小球仅受轨道的弹力和重力作用，在竖直平面内做圆周运动，运动
半径均为L，二者运动规律相同，这类运动称为“轻绳
模型”。重力加速度为g。
(1)小球在最高点的向心力是由什么力提供的？其动力学方程如何？
答案　小球在最高点的向心力是由重力和绳的拉力(轨道的弹力)的合力
提供的，动力学方程：F弹+mg=m。
(2)分析求解小球通过最高点的最小速度。
答案　由于小球过最高点时，绳(轨道)不可能对球有向上的支持力，只
能产生向下的拉力(弹力)，由F弹+mg=m可知，当F弹=0时，v最小，最小速度为v=。
(3)小球通过最高点时，讨论以下三种情况下轻绳拉力
或轨道的弹力情况：
①v=；
答案　当v=时，拉力或弹力为零。
②v>；
答案　当v>时，小球受向下的拉力或弹力。
③v<。
答案　当v<时，小球不能到达圆轨道最高点。
　(2024·盐城市高一期末)如图所示，一质量为m=0.5 kg的小
球，用长为0.4 m的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动。g取
10 m/s2，求：
(1)小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为多大？
例1
答案　2 m/s
在最高点，由牛顿第二定律得
mg+F1=m
由于轻绳对小球只能提供指向圆心的拉力，即F1≥0
联立得v≥
代入数值得v≥2 m/s
所以小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为2 m/s。
(2)当小球在最高点的速度为4 m/s时，轻绳拉力多大？
答案　15 N
将v2=4 m/s代入
mg+F2=m
得F2=15 N
(3)若轻绳能承受的最大张力为50 N，小球的速度不能超过
多大？
答案　6 m/s
由分析可知，小球在最低点时轻绳张力最大，在最低点由牛顿第二定律得
F3-mg=m
将F3=50 N代入得
v3=6 m/s
即小球的速度不能超过6 m/s。
　(2023·德州市高一期末)杂技演员在做“水流星”表演时，在一根细绳的两端系着盛水的杯子，从绳子的中点抡起绳子，让两个杯子在竖直面内做圆周运动，如图所示。杯内水的质量m=0.5 kg，绳长l=60 cm，g=10 m/s2，求：
(1)在最高点水不流出的最小速率；
例2
答案　 m/s
在最高点水不流出的临界条件是重力大小等于水做圆周运动的向心力大小，
即mg=m，r=
解得vmin= m/s
(2)水在最高点速率v=3 m/s时，水对杯底的压力大小。
答案　10 N
因为3 m/s> m/s，所以重力不足以提供水做圆周运动的向心力，所以对于水有FN+mg=m
解得FN=10 N
由牛顿第三定律可知，水对杯底的压力大小为FN'=FN=10 N。
返回
竖直面内圆周运动的轻杆(管道)模型
二
1.如图所示，细杆上固定的小球和在光滑管道内运动的小球仅在重力和杆(管道)的弹力作用下在竖直平面内做圆周运动，这类运动称为“轻杆模型”。
轻杆模型
弹力特征 弹力可能向下，可能向上，也可能等于零
受力示意图
轻杆模型
动力学方程 mg±F=m
临界特征 v=0，即F向=0，此时FN=mg
v= 的意义 F表现为拉力(或压力)还是支持力的临界点
2.小球在最高点时杆上的力(或管道的弹力)随速度的变化。
(1)v=时，mg=m，即重力恰好提供小球所需要的向心力，轻杆(或
管道)与小球间无作用力。
(2)v<时，mg>m，即重力大于小球所需要的向心力，小球受到向上的支持力F，mg-F=m，即F=mg-m，v越大，F越小。
(3)v>时，mg向下的拉力(或压力)F。重力和拉力(或压力)的合力充当向心力，mg+F=
m，即F=m-mg，v越大，F越大。
　长L=0.5 m、质量可忽略的细杆，其一端可绕O点在竖直
平面内转动，另一端固定着一个小球A。A的质量为m=2 kg。
当A通过最高点时，如图所示，求在下列两种情况下小球
对杆的作用力。(g取10 m/s2)
(1)A在最高点的速度为1 m/s；
例3
答案　16 N，方向向下
设小球A在最高点的速度为v0时，与杆之间恰好没有相
互作用力，此时向心力完全由小球的重力提供，根据牛
顿第二定律有mg=m，代入数据解得v0== m/s。
当A在最高点的速度为v1=1 m/s时，因v1受到杆向上的支持力作用，根据牛顿第二定律有mg-F1=m，代入数
据解得F1=16 N，根据牛顿第三定律，小球对杆的作用力大小为16 N，方向向下。
(2)A在最高点的速度为4 m/s。
答案　44 N，方向向上
当A在最高点的速度为v2=4 m/s时，因v2>v0，此时小球A受到杆向下的
拉力作用，根据牛顿第二定律有mg+F2=m，代入数据解得F2=44 N，
根据牛顿第三定律得，小球对杆的作用力大小为44 N，方向向上。
　(2024·绵阳市高一期中)如图所示，质量为m的小球刚好静止在竖直放置的光滑圆管道内的最低点，管道的半径为R(不计内外径之差)，水平线ab过轨道圆心，重力加速度为g，现给小球一向右的初速度，下列说法正确的是
A.若小球刚好能做完整的圆周运动，则它通过最高点时
　的速度为
B.若小球通过最高点时的速度为，则外侧管壁对小球一定有作用力
C.小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球也可能有作用力
D.小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球不一定有作用力
例4
√
因小球在最高点时有支撑物，则若小球刚好能做完整
的圆周运动，则它通过最高点时的速度为零，选项A
错误；
若小球通过最高点时的速度为，则根据FN+mg=m，可得FN=
-mg，则内侧管壁对小球一定有向上的作用力，选项B错误；
小球在水平线ab以下的管道中运动时，向心力指向圆心，有向上的分量，则内侧管壁对小球没有作用力，只有外侧管壁对小球有作用力，选项C错误；
小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球不一定有作用力，例如选项B的情况，选项D正确。
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专题强化练
三
题号 1 2 3 4 5 6
答案 BC A D BCD D (1)　(2)　(3)R
题号 7 8 9
答案 A AC (1)10 N/m　(2)6 N　(3)2 m/s
题号 10
答案 (1)10mg　(2)　(3)g
对一对
答案
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1.(多选)图甲是在笼中表演的摩托飞车，其中某次在竖直面内的表演可简化为图乙所示，将竖直面看作半径为r的圆。已知摩托车和驾驶员(可简化为质点)的总质量为M，重力加速度为g，关于在竖直面内表演的摩托车和驾驶员，下列说法正确的是
A.在最高点受到的最小弹力为Mg
B.在最高点的最小速度为
C.在最低点超重，在最高点失重
D.在最低点失重，在最高点超重
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基础强化练
√
√
答案
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在最高点受到的最小弹力为0，此时由重力
提供向心力，故A错误；
在最高点受到的弹力为0时的速度最小，根
据Mg=M，得v=，故B正确；
在最低点有方向向上的加速度，处于超重状态，在最高点有方向向下的加速度，处于失重状态，故C正确，D错误。
答案
2.(2024·扬州市高一期中)如图所示，质量为m的小球固定在长为L的细杆一端，绕细杆的另一端O点在竖直面内做圆周运动，重力加速度为g，小球转到最高点A时，线速度大小为，则此时小球对细杆的作用力方向和大小分别为
A.向下， B.向上，
C.向上， D.向下，
√
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答案
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设细杆对小球向上的支持力为F，则根据牛顿第二定律
得mg-F=m，代入数据解得F=，根据牛顿第三定律
得小球对细杆的作用力向下，大小为。故选A。
答案
3.(2023·成都市高一期中)如图所示，乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内旋转，重力加速度为g。下列说法正确的是
A.车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，没
　有保险带，人就会掉下来
B.人在最高点时对座位不可能产生大小为mg的压力
C.人在最低点时对座位的压力等于mg
D.人在最低点时对座位的压力大于mg
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√
答案
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在最高点时，只要速度够大，人就会对座位产生一个
向上的作用力，即使没有安全带，人也不会掉下去，
故A错误；
在最高点时，设人随过山车做圆周运动的半径为r，若
人对座位产生的压力为mg，则mg+mg=m，解得v=，故只要速度v=，人在最高点时就对座位产生大小为mg的压力，故B错误；
人在最低点时，受到重力和座位的支持力，两力的合力提供向心力，即FN-mg=F向，解得FN=F向+mg>mg，故C错误，D正确。
答案
4.(多选)(2024·无锡市高一期末)如图，半径为L的细圆管轨道竖直放置，管内壁光滑，管内有一个质量为m的小球做完整的圆周运动，圆管内径远小于轨道半径，小球直径略小于圆管内径，重力加速度为g，下列说法正确的是
A.若小球能在圆管轨道做完整圆周运动，最高点P的速度v
　最小值为
B.经过最低点时小球一定处于超重状态
C.经过最高点P小球可能处于完全失重状态
D.若经过最高点P的速度v增大，小球在P点对管壁压力可能减小
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√
√
√
答案
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由于在最高点圆管能支撑小球，所以小球的速度最小值
为零，故A错误；
小球在最低点，根据牛顿第二定律有FN-mg=ma，加速
度向上，则小球处于超重状态，故B正确；
小球经过最高点P时，若对轨道的压力为零，则重力提供向心力，小球处于完全失重状态，故C正确；
答案
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若过最高点的速度小于，则在P点轨道对小球有向
上的弹力，根据牛顿第二定律可得mg-FN=m，此时经
过最高点P的速度v增大，则小球在P点对管壁的压力减
小，故D正确。
答案
5.(2023·南京市高一月考)无缝钢管的制作原理如图所示，竖直平面内，管状模型置于两个支承轮上，支承轮转动时通过摩擦力带动管状模型匀速转动，铁水注入管状模型后，由于离心作用，紧紧地覆盖在模型的内壁上，冷却后就得到无缝钢管。已知管状模型内壁半径R，g为重力加速度，则下列说法正确的是
A.铁水是由于受到离心力的作用才覆盖在模型内壁上
B.模型各个方向上受到的铁水的作用力相同
C.管状模型转动的角速度ω最大为
D.若最上方的铁水恰好不离开模型内壁，此时仅重力提供向心力
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答案
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铁水是由于离心作用覆盖在模型内壁上的，模型
对它的弹力和重力沿半径方向的合力提供向心力，
故A错误；
模型最下方受到的铁水的作用力最大，最上方受
到的作用力最小，故B错误；
若最上方的铁水恰好不离开模型内壁，此时仅重力提供向心力，则有
mg=mω2R，可得ω=，即管状模型转动的角速度ω最小为，故C错
误，D正确。
答案
6.如图所示，半径为R、内径很小的光滑半圆管竖直放
置，质量为m的小球以某一速度进入管内，不计空气阻
力，重力加速度为g。
(1)若小球通过最高点B时，对下管壁的压力为0.5mg，求小球从管口飞出时的速率v1；
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答案　
答案
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小球通过最高点B时，小球对下管壁有压力，则有
mg-0.5mg=m
解得v1=
答案
(2)若小球通过最高点B时，对上管壁的压力大小为mg，求小球从管口飞出时的速率v2；
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答案　
小球通过最高点B时，小球对上管壁有压力，则有mg+mg=m
解得v2=
答案
(3)若小球第一次以v1飞出管口，第二次以v2飞出管口，求两次落地点间的距离。
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答案　R
从B点飞出，做平抛运动，所以下落时间都相同，根据2R=gt2
得t=2
则有Δx=v2t-v1t=R。
答案
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7.某同学根据打夯机原理制成了如图所示仪器，底座与支架连在一起，支架的上方有一转轴，轴上连有一根轻杆，杆的另一端固定一铁球，球转动半径为r，底座和支架的质量为M，铁球的质量为m，其余各部件的质量都忽略不计，忽略空气阻力和转轴摩擦力，重力加速度为g。使铁球在竖直平面内做圆周运动，若铁球运动到最高点时，底座对地面的压力为零，则此时铁球的速度大小为
A. 　　B. 　　　　　C. 　　D.
√
能力综合练
答案
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铁球在竖直平面内做圆周运动，运动到最高点时，底座
对地面压力为零，根据平衡条件可知杆的拉力为F=Mg，
对铁球由牛顿第二定律有F+mg=m，联立解得v=
，故选A。
答案
8.(多选)(2024·北京市丰台区高一期中)如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m的小球，在竖直面内做圆周运动(不计一切阻力)，小球运动到最高点时绳对小球的拉力为FT，小球在最高点的速度大小为v，其FT-v2图像如图乙所示，则下列说法正确的是
A.轻质绳长为
B.当地的重力加速度为
C.当v2=c时，轻质绳最高点拉力大小为-a
D.若小球在最低点时的速度=b，小球运动到最低点时绳的拉力为6a
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√
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答案
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当小球经过最高点时，根据牛顿第二定
律可得FT+mg=m，整理得FT=m-mg，
结合题图乙可得k==，-mg=-a，解得l
=，g=，故A正确，B错误；
当v2=c时，根据牛顿第二定律，轻质绳最高点拉力大小为FT=m-mg=-a，故C正确；
若小球在最低点时的速度=b，根据牛顿第二定律，小球运动到最
低点时FT1-mg=m，解得绳的拉力为FT1=2a，故D错误。
答案
9.(2024·常州市高一期末)如图所示，光滑圆轨道固定在竖直面内，一轻弹簧一端连接在圆轨道圆心的光滑转轴上，另一端与圆轨道上的小球(可视为质点)相连。开始时小球在圆轨道的最低点处于静止状态，恰好对轨道无压力。现使小球获得水平向右的初速度v0=6 m/s，小球刚好能沿圆轨道通过最高点。已知圆轨道的半径r=0.6 m，轻弹簧原长L0=0.5 m，小球的质量m=0.1 kg，取重力加速度g=10 m/s2，求：
(1)该弹簧的劲度系数k；
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答案　10 N/m
答案
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小球在最低点时：k(r-L0)=mg
解得k=10 N/m
答案
(2)小球获得水平向右的初速度后，轨道的最低点对小球的支持力大小FN；
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答案　6 N
由向心力公式，有：FN+k(r-L0)-mg=m
解得FN=6 N；
答案
(3)小球在最高点的速度大小vmin。
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答案　2 m/s
小球在最高点时：
k(r-L0)+mg=m
即2mg=m
解得vmin=2 m/s。
答案
10.(2023·徐州市高一期末)如图甲所示为一种叫“魔力陀螺”的玩具，其结构可简化为图乙所示。质量为M、半径为R的铁质圆轨道用支架固定在竖直平面内，陀螺在轨道内、外两侧均可以旋转。陀螺的质量为m，其余部分质量不计。陀螺磁芯对轨道的吸引力始终沿轨道的半径方向，大小恒为6mg，g为重力加速度。不计摩擦和空气阻力。
(1)若陀螺在轨道内侧运动到最高点时的速度为
，求此时轨道对陀螺的弹力大小；
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尖子生选练
答案　10mg
答案
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当陀螺在轨道内侧最高点时，设轨道对陀螺的支持力为FN1，陀螺所受的重力为mg，轨道对陀螺的吸引力为F1，最高点的速度为v1，受力分析可知：
mg+FN1-F1=m
解得FN1=10mg
答案
(2)要使陀螺在轨道外侧运动到最低点时不脱离
轨道，求陀螺通过最低点时的最大速度大小；
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答案　　
设陀螺在轨道外侧运动到最低点时，轨道对陀螺的支持力为FN2，陀螺所受的重力为mg，轨道对陀螺的吸引力为F2，
最低点的速度为v2，受力分析可知：F2-FN2-mg=m
由题意可知，当FN2=0时，陀螺通过最低点时的速度为最大值，解得v2=
答案
(3)若陀螺在轨道外侧运动到与轨道圆心等高处时速度为，求固定支架对轨道的作用力大小。
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答案　g
答案
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设陀螺在轨道外侧运动到与轨道圆心等高处时，轨道
对陀螺的支持力为FN3，陀螺所受的重力为mg，轨道
对陀螺的吸引力为F3，
则：Fn=F3-FN3=m，解得FN3=4mg
由牛顿第三定律可知FN3'=FN3，F3'=F3
固定支架对轨道的作用力大小为F=
解得F=g。
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答案专题强化　竖直面内的圆周运动
[学习目标]　1.明确竖直面内圆周运动的轻绳模型和轻杆模型的特点。2.掌握竖直面内圆周运动的轻绳模型和轻杆模型的临界条件及分析方法(重难点)。
一、竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型
如图所示，图甲中小球仅受轻绳拉力和重力作用，图乙中小球仅受轨道的弹力和重力作用，在竖直平面内做圆周运动，运动半径均为L，二者运动规律相同，这类运动称为“轻绳模型”。重力加速度为g。
(1)小球在最高点的向心力是由什么力提供的？其动力学方程如何？
(2)分析求解小球通过最高点的最小速度。
(3)小球通过最高点时，讨论以下三种情况下轻绳拉力或轨道的弹力情况：
①v=；②v>；③v<。
例1　(2024·盐城市高一期末)如图所示，一质量为m=0.5 kg的小球，用长为0.4 m的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动。g取10 m/s2，求：
(1)小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为多大？
(2)当小球在最高点的速度为4 m/s时，轻绳拉力多大？
(3)若轻绳能承受的最大张力为50 N，小球的速度不能超过多大？
例2　(2023·德州市高一期末)杂技演员在做“水流星”表演时，在一根细绳的两端系着盛水的杯子，从绳子的中点抡起绳子，让两个杯子在竖直面内做圆周运动，如图所示。杯内水的质量m=0.5 kg，绳长l=60 cm，g=10 m/s2，求：
(1)在最高点水不流出的最小速率；
(2)水在最高点速率v=3 m/s时，水对杯底的压力大小。
二、竖直面内圆周运动的轻杆(管道)模型
1.如图所示，细杆上固定的小球和在光滑管道内运动的小球仅在重力和杆(管道)的弹力作用下在竖直平面内做圆周运动，这类运动称为“轻杆模型”。
轻杆模型
弹力特征 弹力可能向下，可能向上，也可能等于零
受力示意图
动力学方程 mg±F=m
临界特征 v=0，即F向=0，此时FN=mg
v= 的意义 F表现为拉力(或压力)还是支持力的临界点
2.小球在最高点时杆上的力(或管道的弹力)随速度的变化。
(1)v=时，mg=m，即重力恰好提供小球所需要的向心力，轻杆(或管道)与小球间无作用力。
(2)v<时，mg>m，即重力大于小球所需要的向心力，小球受到向上的支持力F，mg-F=m，即F=mg-m，v越大，F越小。
(3)v>时，mg例3　长L=0.5 m、质量可忽略的细杆，其一端可绕O点在竖直平面内转动，另一端固定着一个小球A。A的质量为m=2 kg。当A通过最高点时，如图所示，求在下列两种情况下小球对杆的作用力。(g取10 m/s2)
(1)A在最高点的速度为1 m/s；
(2)A在最高点的速度为4 m/s。
例4　(2024·绵阳市高一期中)如图所示，质量为m的小球刚好静止在竖直放置的光滑圆管道内的最低点，管道的半径为R(不计内外径之差)，水平线ab过轨道圆心，重力加速度为g，现给小球一向右的初速度，下列说法正确的是(　　)
A.若小球刚好能做完整的圆周运动，则它通过最高点时的速度为
B.若小球通过最高点时的速度为，则外侧管壁对小球一定有作用力
C.小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球也可能有作用力
D.小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球不一定有作用力
答案精析
(1)小球在最高点的向心力是由重力和绳的拉力(轨道的弹力)的合力提供的，动力学方程：F弹+mg=m。
(2)由于小球过最高点时，绳(轨道)不可能对球有向上的支持力，只能产生向下的拉力(弹力)，由F弹+mg=m可知，当F弹=0时，v最小，最小速度为v=。
(3)①当v=时，拉力或弹力为零。
②当v>时，小球受向下的拉力或弹力。
③当v<时，小球不能到达圆轨道最高点。
例1　(1)2 m/s　(2)15 N　(3)6 m/s
解析　(1)在最高点，由牛顿第二定律得
mg+F1=m
由于轻绳对小球只能提供指向圆心的拉力，即F1≥0
联立得v≥
代入数值得v≥2 m/s
所以小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为2 m/s。
(2)将v2=4 m/s代入
mg+F2=m
得F2=15 N
(3)由分析可知，小球在最低点时轻绳张力最大，在最低点由牛顿第二定律得
F3-mg=m
将F3=50 N代入得
v3=6 m/s
即小球的速度不能超过6 m/s。
例2　(1) m/s　(2)10 N
解析　(1)在最高点水不流出的临界条件是重力大小等于水做圆周运动的向心力大小，
即mg=m，r=
解得vmin= m/s
(2)因为3 m/s> m/s，所以重力不足以提供水做圆周运动的向心力，所以对于水有FN+mg=m
解得FN=10 N
由牛顿第三定律可知，水对杯底的压力大小为FN'=FN=10 N。
例3　(1)16 N，方向向下　(2)44 N，方向向上
解析　设小球A在最高点的速度为v0时，与杆之间恰好没有相互作用力，此时向心力完全由小球的重力提供，根据牛顿第二定律有mg=m，代入数据解得v0== m/s。
(1)当A在最高点的速度为v1=1 m/s时，因v1(2)当A在最高点的速度为v2=4 m/s时，因v2>v0，此时小球A受到杆向下的拉力作用，根据牛顿第二定律有mg+F2=m，代入数据解得F2=44 N，根据牛顿第三定律得，小球对杆的作用力大小为44 N，方向向上。
例4　D　[因小球在最高点时有支撑物，则若小球刚好能做完整的圆周运动，则它通过最高点时的速度为零，选项A错误；
若小球通过最高点时的速度为，则根据FN+mg=m，可得FN=-mg，则内侧管壁对小球一定有向上的作用力，选项B错误；
小球在水平线ab以下的管道中运动时，向心力指向圆心，有向上的分量，则内侧管壁对小球没有作用力，只有外侧管壁对小球有作用力，选项C错误；
小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球不一定有作用力，例如选项B的情况，选项D正确。]

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