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(共45张PPT)
DILIUZHANG
第六章
专题强化　水平面内的圆周
　　　　　运动的临界问题
1.知道水平面内的圆周运动的几种常见模型，并会分析它们的临界条件(重点)。
2.掌握圆周运动临界问题的分析方法(重难点)。
学习目标
物体做圆周运动时，若物体的线速度大小、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态。
1.水平面内圆周运动常见的临界问题：
(1)物体恰好(没有)发生相对滑动，静摩擦力达到　　　　。
(2)物体恰好要离开接触面，物体与接触面之间的弹力为　　。
(3)绳子恰好断裂，绳子的张力达到　　　承受值。
(4)绳子刚好伸直，绳子的张力恰好为　　。
最大值
0
最大
0
2.解题关键：
(1)在圆周运动问题中，当出现“恰好”“最大”“至少”“取值范围”等字眼时，说明运动过程中存在临界点。
(2)分析临界状态的受力，列出临界条件下的牛顿第二定律方程。
一、摩擦力的临界问题
二、弹力的临界问题
专题强化练
内容索引
摩擦力的临界问题
一
　(2023·广州市高一期中)如图所示，水平转台上放着A、B、C三个物体，质量分别为2m、m、m，离转轴的距离分别为R、R、2R，与转台间的动摩擦因数相同。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当转台旋转时，下列说法中正确的是
A.若三个物体均未滑动，则B物体的向心加速度最大
B.若三个物体均未滑动，则B物体受的摩擦力最大
C.若转速增加，则C物体最先滑动
D.若转速增加，则A物体比B物体先滑动
例1
√
三个物体均未滑动时，角速度相同，根据a=ω2r可知，
半径越大向心加速度越大，故C的向心加速度最大，故
A错误；
物体做匀速圆周运动，由摩擦力提供向心力，故有FfA
=2mω2R，FfB=mω2R，FfC=2mω2R，故B受到的摩擦力最小，故B错误；
物体恰好不滑动时，最大静摩擦力提供向心力，因此μmg=mω2r，解
得ω=，因此C物体最先达到临界值，最先滑动，A、B同时滑动，
故C正确，D错误。
　(2023·合肥市高一期末)如图所示，水平转盘上放有质量为m的物体，当物体到转轴的距离为r时，连接物体和转轴的细绳刚好被水平拉直(绳上张力为零)。物体和转盘间的最大静摩擦力是其正压力的μ倍，重力加速度为g。求：
(1)当转盘的角速度ω1=时，细绳的拉力FT1的大小；
例2
答案　0
设转动过程中物体与转盘间恰好达到最大静摩擦力时
转动的角速度为ω0，此时FT0=0，则μmg=mr，解
得ω0=。
因为ω1=<ω0，所以物体所需向心力小于物体与转盘间的最大静摩
擦力，则物体与转盘产生的摩擦力还未达到最大静摩擦力，细绳的拉力仍为0，即FT1=0。
(2)当转盘的角速度ω2=时，细绳的拉力FT2的大小。
答案　
因为ω2=>ω0，所以物体所需向心力大于物体与转
盘间的最大静摩擦力，则细绳将对物体施加拉力FT2，
由牛顿第二定律得FT2+μmg=mr，解得FT2=。
返回
二
弹力的临界问题
　质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，如图所示，若两绳均伸直，绳b水平且长为l，绳a与水平方向成θ角。当轻杆绕竖直轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，下列说法正确的是(重力加速度为g)
A.a绳的张力可能为零
B.a绳的张力随角速度ω的增大而增大
C.当角速度ω>时，b绳中有弹力
D.若b绳突然被剪断，则a绳的张力一定发生变化
例3
√
小球做匀速圆周运动，在竖直方向上的合力为零，水平
方向上的合力提供向心力，所以a绳在竖直方向上的分
力与重力相等，可知a绳的张力不可能为零，故A错误；
根据竖直方向上受力平衡得Fasin θ=mg，解得Fa=，可知a绳的张
力不变，故B错误；
当b绳拉力为零时，有=mlω2，解得ω=，可知当角速度ω>时，b绳中有弹力，故C正确；
由于b绳可能没有弹力，故b绳突然被剪断，a绳的张力可能不变，故D错误。
　如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角θ=60°，一条长度为L的绳(质量不计)，一端固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量为m的小球(可看成质点)，小球以角速度ω绕圆锥体的轴线在水平面内做匀速圆周运动，重力加速度为g。求：
(1)小球静止时所受拉力和支持力大小；
例4
答案　mg　mg
对小球受力分析可知
FT=mgcos θ=mg
FN=mgsin θ=mg
(2)小球刚要离开锥面时的角速度；
答案　
小球刚要离开锥面时FN=0，由重力和拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律有
mgtan θ=mr
r=Lsin θ
解得ω0==
(3)小球以ω1=的角速度转动时所受拉力和支持力的
大小。
答案　3mg　0
因为ω1=>ω0=
说明小球已离开锥面，FN1=0
设绳与竖直方向的夹角为α，如图所示
则有FT1sin α=mLsin α，
解得FT1=3mg。
返回
专题强化练
三
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B D B C (1)　(2)μmg D
题号 7 8 9 10
答案 B AC (1)　(2) (1)　(2)π
对一对
答案
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1.(2023·南通市高一期末)一个杯子放在水平餐桌转盘上随转盘做匀速圆周运动，角速度恒定，则
A.杯子受重力、支持力、摩擦力和向心力作用
B.杯子受到的摩擦力方向始终指向转盘中心
C.杯子离转盘中心越近越容易做离心运动
D.若给杯子中加水，杯子更容易做离心运动
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基础强化练
√
答案
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杯子受到重力、支持力和摩擦力三个力，向心力不是杯子的实际受力，故A错误；
杯子做匀速圆周运动，向心力由摩擦力提供，始终指向转盘中心，故B正确；
杯子做匀速圆周运动Fn=Ff=mω2r，离转盘中心越近，所需向心力越小，越不容易达到最大静摩擦力，越不容易做离心运动，故C错误；
根据Ff=mω2r≤μmg可知，给杯子中加水，杯子不会更容易做离心运动，故D错误。
答案
2.某同学用硬塑料管和铁质螺丝帽研究匀速圆周运动。如图所示，该同学将螺丝帽套在塑料管上，手握塑料管使其保持竖直并在水平面内做半径为r的匀速圆周运动。假设螺丝帽与塑料管间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。下列分析正确的是
A.若塑料管转动速度增大，螺丝帽受到的摩擦力越大
B.当螺丝帽恰好不下滑时，手转动塑料管的角速度ω=
C.若塑料管的转动速度持续增大，螺丝帽最终会沿塑料管上滑
D.若塑料管的转动速度持续增大，地面对人的支持力始终不变
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√
答案
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螺丝帽受到的摩擦力始终不变，等于重力，若塑料管转动速
度增大，螺丝帽不会沿塑料管上滑，A、C错误；
对螺丝帽根据牛顿第二定律得FN=mω2r，根据平衡条件得μFN
=mg，解得ω=，B错误；
因系统无竖直方向加速度，无论转速多大，地面对人的支持力等于系统总重力，D正确。
答案
3.(2024·绵阳市期中)在光滑水平面上，有一转轴垂直于此平面，交点O的上方h处固定一细绳，绳的另一端连接一质量为m的小球B，绳长l>h，重力加速度为g，小球可随转轴转动在光滑水平面上做匀速圆周运动，如图所示，要使小球不离开水平面，转轴角速度的最大值是
A. B.
C. D.
√
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答案
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小球不离开水平面的临界条件是水平面对小球的支持力
为零，设此时细绳与转轴的夹角为θ，有mgtan θ=mω2lsin θ，
有几何关系有h=lcos θ，整理有ω=，故选B。
答案
4.如图所示，水平圆盘上放置A、B两物体(可看作质点)，质量分别为m和M，A放在圆盘中心轴处，且A、B用一根长为L的水平轻绳相连，轻绳刚好被拉直。两物体与圆盘间的动摩擦因数均为μ，重力加速度为g，现让圆盘转速从零开始逐渐增大，要使A、B与圆盘均不发生相对滑动，则圆盘转动的角速度不能超过
A. B.
C. D.
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√
答案
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设A、B与圆盘均恰好不发生相对滑动时绳子的拉
力为FT，则有FT+μMg=Mω2L，FT=μmg，联立解得
ω=，即要使A、B与圆盘均不发生相对滑动，则圆盘转动的角速度不能超过，故选C。
答案
5.如图为某游乐设施，水平转盘中央有一根可供游客抓握
的绳子，质量为m的游客，到转轴的距离为r，游客和转盘
间的动摩擦因数为μ，设游客受到的最大静摩擦力等于滑
动摩擦力，已知重力加速度为g。
(1)当游客不抓握绳子时，为保证游客不滑动，转盘的角速度最大不能超过多少？
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答案　
答案
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当游客受到的摩擦力达到最大静摩擦力时恰好不滑动
μmg=mr
得ω0=
答案
(2)当转盘的角速度ω=时，游客抓住水平绳子可使自
己不滑动，则人拉绳的力至少是多大？
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答案　μmg
由题意有FT+μmg=mω2r
得FT=μmg
由牛顿第三定律得：FT'=FT=μmg。
答案
6.(2024·南充市高一期中)如图，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO'的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g，若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度。下列说法正确的是
A.a、b所受的摩擦力大小始终相等
B.a一定比b先开始滑动
C.当ω=时，a所受摩擦力的大小为kmg
D.当ω=时，a所受摩擦力的大小为0.5kmg
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能力综合练
√
答案
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a、b做圆周运动的角速度相等，相对静止时，靠静摩
擦力提供向心力，根据Ff=mω2r，a、b做圆周运动的
半径不相等，可知静摩擦力大小不等，故A错误；
根据kmg=mω2r，得发生相对滑动的临界角速度ω=，由于b的转动
半径较大，则b发生相对滑动的临界角速度较小，可知b一定比a先开始滑动，故B错误；
答案
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当ω=时，小于a的临界角速度，可知a所受的
摩擦力未达到最大，则摩擦力大小Ff1=mω2l=kmg，
故C错误；
同理，当ω=时，a所受摩擦力的大小为Ff2=mω2l=0.5kmg，故D正确。
答案
7.(2023·扬州市高一期中)如图所示，两个用相同材料制成的靠摩擦传动的轮P和Q水平放置，两轮之间不打滑，两轮半径RP=60 cm，RQ=30 cm。当主动轮P匀速转动时，在P轮边缘上放置的小物块恰能相对P轮静止，若将小物块放在Q轮上，欲使物块相对Q轮也静止，则物块距Q轮转轴的最大距离为
A.10 cm B.15 cm
C.20 cm D.30 cm
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答案
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相同材料制成的靠摩擦传动的轮P和Q，则
边缘线速度大小相等，则ωPRP=ωQRQ，解
得=，对于在P边缘的物块，最大静摩
擦力提供向心力，即mRP=Ffmax，当在Q轮上恰要滑动时，设此时半径为R，mR=Ffmax，解得R=15 cm。故选B。
答案
8.(多选)(2023·广州市高一期中)如图所示为一种圆锥筒状转筒，左右各系着一短一长的绳子挂着相同的小球，转筒静止时绳子平行圆锥面，当转筒中心轴开始缓慢加速转动，不计空气阻力，则下列说法正确的是
A.角速度慢慢增大，绳长的球先离开圆锥筒
B.角速度达到一定值时两球同时离开圆锥筒
C.两球都离开圆锥筒后，它们的高度相同
D.两球都离开圆锥筒时两绳中的拉力大小相同
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√
√
答案
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设绳子与竖直方向的夹角为θ，小球刚好离开圆锥筒时，
圆锥筒对小球的支持力为0，有mgtan θ=mω2lsin θ，解得
ω=，绳子越长的球其角速度的临界值越小，越容
易离开圆锥筒，故A正确，B错误；
两小球都离开圆锥筒后，小球都只受重力与绳子的拉力，两小球都随圆锥筒一起转动，有相同的角速度，小球的高度h=lcos θ，代入上式解得h=，故C正确；
答案
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由以上分析可知，绳长的小球先离开圆锥筒，绳短的小球离开圆锥筒时，两绳与竖直方向的夹角不同，绳中拉力大小不同，故D错误。
答案
9.如图所示，水平转盘上放有质量为m的物块，物块到转轴的距离为r。一段绳的一端与物块相连，另一端系在圆盘中心上方r处，绳恰好伸直，物块和转盘间的动摩擦因数为μ，设物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知重力加速度为g。
(1)当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，绳上恰好有张力，
求ω1的值；
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答案　
答案
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当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，绳上恰好有张
力，静摩擦力达到最大值，则此时物块所需向心力
恰好完全由最大静摩擦力提供，
则μmg=mr，解得：ω1=。
答案
(2)当水平转盘以角速度ω2匀速转动时，物块恰好离开转盘，求ω2的值。
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答案　
物块恰好离开转盘，则FN=0，物块只受重力和绳的拉力，如图所示，
mgtan θ=mr
tan θ=
联立解得：ω2=。
答案
10.(2023·南通市高一期末)如图所示，一质量为m的小球用长度均为L的两轻绳a、b连接，绳a的另一端固定在竖直细杆的P点，绳b的另一端固定在杆上距P点为L的Q点。当杆绕其竖直中心轴匀速转动时，将带动小球在水平面内做匀速圆周运动。不计空气阻力，重力加速度
为g。
(1)当绳b刚好拉直(无弹力)时，求小球的线速度大小v；
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尖子生选练
答案　
答案
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圆周运动的半径r=Lcos 30°
小球所受的合力提供向心力mgtan 60°=m
解得v=
答案
(2)若两绳能承受的最大拉力均为4mg，求小球绕杆做圆周
运动的最小周期T。
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答案　π
竖直方向Fasin 30°=Fbsin 30°+mg
水平方向Facos 30°+Fbcos 30°=mr
当小球做圆周运动的周期减小时，a绳先达到最大拉力Fa=4mg
解得T=π。
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答案专题强化　水平面内的圆周运动的临界问题
[学习目标]　1.知道水平面内的圆周运动的几种常见模型，并会分析它们的临界条件(重点)。2.掌握圆周运动临界问题的分析方法(重难点)。
物体做圆周运动时，若物体的线速度大小、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态。
1.水平面内圆周运动常见的临界问题：
(1)物体恰好(没有)发生相对滑动，静摩擦力达到　　　　。
(2)物体恰好要离开接触面，物体与接触面之间的弹力为　　　　。
(3)绳子恰好断裂，绳子的张力达到　　　承受值。
(4)绳子刚好伸直，绳子的张力恰好为　　。
2.解题关键：
(1)在圆周运动问题中，当出现“恰好”“最大”“至少”“取值范围”等字眼时，说明运动过程中存在临界点。
(2)分析临界状态的受力，列出临界条件下的牛顿第二定律方程。
一、摩擦力的临界问题
例1　(2023·广州市高一期中)如图所示，水平转台上放着A、B、C三个物体，质量分别为2m、m、m，离转轴的距离分别为R、R、2R，与转台间的动摩擦因数相同。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当转台旋转时，下列说法中正确的是(　　)
A.若三个物体均未滑动，则B物体的向心加速度最大
B.若三个物体均未滑动，则B物体受的摩擦力最大
C.若转速增加，则C物体最先滑动
D.若转速增加，则A物体比B物体先滑动
例2　(2023·合肥市高一期末)如图所示，水平转盘上放有质量为m的物体，当物体到转轴的距离为r时，连接物体和转轴的细绳刚好被水平拉直(绳上张力为零)。物体和转盘间的最大静摩擦力是其正压力的μ倍，重力加速度为g。求：
(1)当转盘的角速度ω1=时，细绳的拉力FT1的大小；
(2)当转盘的角速度ω2=时，细绳的拉力FT2的大小。
二、弹力的临界问题
例3　质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，如图所示，若两绳均伸直，绳b水平且长为l，绳a与水平方向成θ角。当轻杆绕竖直轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，下列说法正确的是(重力加速度为g)(　　)
A.a绳的张力可能为零
B.a绳的张力随角速度ω的增大而增大
C.当角速度ω>时，b绳中有弹力
D.若b绳突然被剪断，则a绳的张力一定发生变化
例4　如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角θ=60°，一条长度为L的绳(质量不计)，一端固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量为m的小球(可看成质点)，小球以角速度ω绕圆锥体的轴线在水平面内做匀速圆周运动，重力加速度为g。求：
(1)小球静止时所受拉力和支持力大小；
(2)小球刚要离开锥面时的角速度；
(3)小球以ω1=的角速度转动时所受拉力和支持力的大小。
答案精析
1.(1)最大值　(2)0　(3)最大　(4)0
例1　C　[三个物体均未滑动时，角速度相同，根据a=ω2r可知，半径越大向心加速度越大，故C的向心加速度最大，故A错误；物体做匀速圆周运动，由摩擦力提供向心力，故有FfA=2mω2R，FfB=mω2R，FfC=2mω2R，故B受到的摩擦力最小，故B错误；物体恰好不滑动时，最大静摩擦力提供向心力，因此μmg=mω2r，解得ω=，因此C物体最先达到临界值，最先滑动，A、B同时滑动，故C正确，D错误。]
例2　(1)0　(2)
解析　设转动过程中物体与转盘间恰好达到最大静摩擦力时转动的角速度为ω0，此时FT0=0，则μmg=mr，解得ω0=。
(1)因为ω1=<ω0，所以物体所需向心力小于物体与转盘间的最大静摩擦力，则物体与转盘产生的摩擦力还未达到最大静摩擦力，细绳的拉力仍为0，即FT1=0。
(2)因为ω2=>ω0，所以物体所需向心力大于物体与转盘间的最大静摩擦力，则细绳将对物体施加拉力FT2，由牛顿第二定律得FT2+μmg=mr，解得FT2=。
例3　C　[小球做匀速圆周运动，在竖直方向上的合力为零，水平方向上的合力提供向心力，所以a绳在竖直方向上的分力与重力相等，可知a绳的张力不可能为零，故A错误；根据竖直方向上受力平衡得Fasin θ=mg，解得Fa=，可知a绳的张力不变，故B错误；当b绳拉力为零时，有=mlω2，解得ω=，可知当角速度ω>时，b绳中有弹力，故C正确；由于b绳可能没有弹力，故b绳突然被剪断，a绳的张力可能不变，故D错误。]
例4　(1)mg　mg　(2)　(3)3mg　0
解析　(1)对小球受力分析可知
FT=mgcos θ=mg
FN=mgsin θ=mg
(2)小球刚要离开锥面时FN=0，由重力和拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律有
mgtan θ=mr
r=Lsin θ
解得ω0==
(3)因为ω1=>ω0=
说明小球已离开锥面，FN1=0
设绳与竖直方向的夹角为α，
如图所示
则有FT1sin α=mLsin α，
解得FT1=3mg。

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