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DILIUZHANG
第六章
专题强化　圆周运动的传动问
　　　　　题和周期性问题
1.熟练掌握描述圆周运动的各物理量之间的关系，掌握圆周运动中传动的特点(重点)。
2.会分析圆周运动中多解的原因，掌握解决圆周运动中多解问题的方法(难点)。
学习目标
一、圆周运动的传动问题
二、圆周运动的周期性和多解问题
专题强化练
内容索引
圆周运动的传动问题
一
1.如图所示，两个轮子用皮带连接，A、B两点分别是位于两个轮子边缘的点，两个轮子的半径分别是R和r，设转动过程中皮带与轮子之间不打滑，求：
(1)A、B两点的线速度大小之比为　　　　；
答案　由于皮带不打滑，所以A和B在相等时间内通过的弧长相等，因而线速度大小相等，即vA∶vB=1∶1。
(2)A、B两点的角速度之比为　　　　；
答案　根据v=ωr，有ωA∶ωB=r∶R。
(3)A、B两点的周期之比为　　　　。
答案　根据T=，有TA∶TB=R∶r。
2.如图所示，A、B两点在同一个圆盘上，它们随圆盘转动的半径分别是r和R，求：
(1)A、B两点的角速度之比为　　　　；
答案　由于A、B同轴转动，相等时间内转过的角度相同，因而角速度相同，即ωA∶ωB=1∶1。
(2)A、B两点的周期之比为　　　　；
答案　根据T=，有TA∶TB=1∶1。
(3)A、B两点的线速度大小之比为　　　　。
答案　根据v=ωr，有vA∶vB=r∶R。
1.皮带传动模型：在皮带不打滑的情况下，皮带和皮带连接的轮子边缘各点　　　　　　　相等；不打滑的摩擦传动或齿轮传动的两轮边缘上各点的　　　　　　相等，而角速度ω=，与半径r成　　　。
2.同轴转动模型：绕同一轴转动的各点　　　　、　　　和　　　相等，而各点的线速度v=ωr，与半径r成　　　。
提炼·总结
线速度的大小
线速度大小
反比
角速度
转速
周期
正比
　(多选)(2023·普洱市高一期末)如图所示为一种齿轮传动装置，忽略齿轮啮合部分的厚度，甲、乙两个轮子的半径之比为1∶3，则在传动的过程中
A.甲、乙两轮的角速度之比为3∶1
B.甲、乙两轮的周期之比为3∶1
C.甲、乙两轮边缘处的线速度之比为3∶1
D.甲、乙两轮边缘上的点相等时间内转过的弧长之比为1∶1
例1
√
√
这种齿轮传动，与不打滑的皮带传动规律相同，即两轮边
缘的线速度大小相等，即线速度之比为1∶1，C错误；
根据线速度的定义v=可知，弧长Δs=vΔt，即甲、乙两轮
边缘上的点相等时间内转过的弧长之比为1∶1，D正确；
根据v=ωr，甲、乙两个轮子的半径之比为1∶3，故甲、乙两轮的角速度之比ω1∶ω2=3∶1，A正确；
周期T=，所以甲、乙两轮的周期之比T1∶T2=1∶3，B错误。
　(2023·六安市高一期中)如图所示是自行车传动结构的示意图，其中A是半径为r1的大齿轮，B是半径为r2的小齿轮，C是半径为r3的后轮，假设脚踏板的转速为n(r/s)，则自行车前进的速度为
A. B.
C. D.
例2
√
自行车前进的速度等于车轮C边缘上的线速度
的大小，轮A和轮B边缘上的线速度大小相等，
根据v=ωr可知ω1r1=ω2r2，则轮B的角速度ω2=
ω1，因为轮B和轮C共轴，则ω2=ω3，根据v车=ω3r3，ω1=2πn，可知v车=ω3r3=，故选C。
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圆周运动的周期性和多解问题
二
如图所示，直径为d的纸质圆筒，以角速度ω绕中心轴匀速转动，把枪口对准圆筒轴线，使子弹穿过圆筒，结果发现圆筒上只有一个弹孔，忽略子弹重力、圆筒的阻力及空气阻力。问：
(1)子弹做什么运动？圆筒做什么运动？
答案　子弹做匀速直线运动，圆筒做匀速圆周运动。
(2)为什么圆筒上只有一个弹孔？
答案　子弹进圆筒时打了一个孔，恰好从这个孔出去，在子弹穿过圆筒过程中，圆筒转过了半圈或整数圈加半圈。
(3)子弹与圆筒的运动时间有何关系？
答案　子弹穿过圆筒的时间与圆筒转过半圈或整数圈
加半圈的时间相等。
(4)子弹的速度v应满足什么条件？
答案　子弹穿过圆筒所用时间t=，圆筒转过的角度θ=2nπ+π(n=0，1，2…)，而ω=，联立可得v=(n=0，1，2…)。
　(2024·临沂市高一月考)如图所示，一位同学玩飞镖游戏。圆盘最上端有一点P，飞镖抛出时与P在同一竖直面内等高，且距P点的距离为L。在飞镖以初速度v0垂直盘面瞄准P点抛出的同时，圆盘绕经过圆心O点的水平轴在竖直平面内匀速转动。忽略空气阻力，重力加速度为g，若飞镖恰好击中P点，求：
(1)圆盘的半径；
例3
答案　
飞镖水平抛出做平抛运动，在水平方向做匀速直线
运动，因此t=，飞镖击中P点时，P恰好在圆盘最
下方，则2r=gt2，解得圆盘的半径r=
(2)圆盘转动角速度的最小值。
答案　
飞镖击中P点，则P点转过的角度满足θ=ωt=π+2kπ(k=0，1，2，…)，
故ω==(k=0，1，2，…)
当k=0时，圆盘转动角速度有最小值ωmin=。
　(2024·内江市高一期中)如图所示，竖直薄壁圆筒内壁光滑，其半径为R，上部侧面A处开有小口，在A处小口的正下方h处亦开有与其大小相同的小口B，小球从A处小口沿切线方向水平射入筒内，使小球紧贴筒内壁运动。要使小球从B处小口处飞出，小球进入A处小口的最小速率v0为(重力加速度为g，不计空气阻力)
A.πR B.πR
C.πR D.2πR
例4
√
小球在竖直方向做自由落体运动，根据h=gt2，可得小球
在筒内的运动时间为t=，在水平方向，以圆周运动的
规律来研究，运动的时间为t=n(n=1，2，3，…)，联立
可得v0==nπR(n=1，2，3，…)，当n=1时，v0有最小值，所以最小速率v0=πR，B正确，A、C、D错误。
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专题强化练
三
答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B D B C B AC A
题号 9 10 11
答案 B R　2nπ(n=1，2，3…) D
对一对
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1.(2023·揭阳市高一期末)如图所示，当用扳手拧螺母时，扳手上的P、Q两点的角速度分别为ωP和ωQ，线速度大小分别为vP和vQ，则
A.ωP<ωQ，vPB.ωP<ωQ，vP=vQ
C.ωP=ωQ，vPD.ωP=ωQ，vP>vQ
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基础强化练
√
答案
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由于P、Q两点属于同轴转动，所以P、Q两点
的角速度是相等的，即ωP=ωQ，同时由题图可
知Q点到螺母的距离比P点到螺母的距离大，根据v=ωr可知Q点的线速度大，即vP答案
2.如图所示的齿轮传动装置中，主动轮的齿数z1=24，从动轮的齿数z2=8，当主动轮以角速度ω顺时针转动时，从动轮的转动情况是
A.顺时针转动，周期为
B.逆时针转动，周期为
C.顺时针转动，周期为
D.逆时针转动，周期为
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√
答案
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主动轮顺时针转动，从动轮逆时针转动，两轮边缘的线
速度大小相等，由齿数关系知，主动轮转一周时，从动
轮转三周，则ω2=3ω，由ω=知，T从=，选项B正确，
A、C、D错误。
答案
3.(2024·无锡市高一期末)如图所示，牛力齿轮翻车通过齿轮传动，将湖水翻入农田。已知A、B齿轮啮合且齿轮之间不打滑，B、C齿轮同轴，若A、B、C三齿轮半径的大小关系为rA>rB>rC，则
A.A齿轮的角速度比C齿轮的角速度大
B.A、B齿轮的角速度大小相等
C.B、C齿轮边缘的线速度大小相等
D.A齿轮边缘的线速度比C齿轮边缘的线速度大
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√
答案
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根据题意可知，A、B齿轮啮合且齿轮之间不打滑，则
A、B齿轮边缘的线速度大小相等，由v=ωr可知，由于
rA>rB，则有ωA<ωB，由于B、C齿轮同轴，B、C齿轮的
角速度大小相等，则有ωA<ωB=ωC，故A、B错误；
由于B、C齿轮同轴，B、C齿轮的角速度大小相等，由v=ωr可知，由于rB>rC，则有vB>vC，可得vA=vB>vC，故C错误，D正确。
答案
4.如图为某一皮带传动装置，主动轮M的半径为r1，从动轮N的半径为r2，已知主动轮做顺时针转动，转速为n1，转动过程中皮带不打滑。下列说法正确的是
A.从动轮做顺时针转动
B.从动轮的角速度为
C.从动轮边缘线速度大小为n1
D.从动轮的转速为n1
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√
答案
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主动轮做顺时针转动，从动轮靠皮带的摩擦力转动，
分析可知从动轮做逆时针转动，故A错误；
由于通过皮带传动，皮带与轮边缘的线速度大小相等，
根据v=n·2πr，得n2r2=n1r1，所以n2=，则从动轮的角速度ω2=2πn2=，故B正确，D错误；
从动轮边缘线速度大小为v2=n2·2πr2=2πn1r1，故C错误。
答案
5.如图所示，甲、乙、丙三个轮子依靠摩擦传动，相互之间不打滑，其半径分别为r1、r2、r3。若甲轮的角速度为ω1，则丙轮的角速度为
A. B.
C. D.
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√
由甲、乙、丙三个轮子依靠摩擦传动，相互之间不打滑，知三者边缘线速度大小相等，其半径分别r1、r2、r3，则ω1r1=ω2r2=ω3r3，解得
ω3=，故C正确。
答案
6.如图所示是自行车传动结构的示意图，其中Ⅰ是半径为r1的牙盘(大齿轮)，Ⅱ是半径为r2的飞轮(小齿轮)，Ⅲ是半径为r3的后轮，若自行车前进的速度为v，则牙盘的周期为
A. B.
C.v D.v
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√
答案
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由题意结合题图可知，飞轮和后轮具有相同的角速度，
后轮的线速度大小为v，可得飞轮的角速度为ω2=ω3=，
牙盘和飞轮靠链条传动，则牙盘和飞轮边缘的线速度大小相等，则牙盘的角速度ω1====，所以牙盘的周期T1==，故选B。
答案
7.(多选)(2023·玉林市高一期中)如图所示，修正带是通过两个齿轮的相互咬合进行工作的，其原理可简化为图中所示的模型。B、A是转动的大小齿轮边缘的两点，C是大轮上的一点。若大轮半径是小轮半径的两倍，小轮中心到A点的距离和大轮中心到C点的距离相等，则A、B、C三点
A.线速度大小之比是2∶2∶1
B.角速度之比是1∶1∶1
C.转速之比是2∶1∶1
D.转动周期之比是2∶1∶1
√
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√
答案
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B、A是转动的大小齿轮边缘的两点，
可知vA=vB，根据v=ωr，rA=rB，可得
ωA=2ωB，由于B、C两点都在大轮上，
可知ωB=ωC，根据v=ωr，rB=2rC可得vB=2vC，则A、B、C三点线速度大小之比为vA∶vB∶vC=2∶2∶1，A、B、C三点角速度之比为A∶ωB∶ωC=2∶1∶1，A正确，B错误；
根据ω=2πn，可知A、B、C三点转速之比为nA∶nB∶nC=ωA∶ωB∶ωC=2∶1
∶1，C正确；
根据T=可知，A、B、C三点转动周期之比为TA∶TB∶TC=1∶2∶2，D错误。
答案
8.(2023·南通市高一期中)无级变速是在变速范围内任意连续变换速度的变速系统。无级变速模型如图所示，主动轮M、从动轮N中间有一滚轮，M的转速一定，各轮间不打滑，通过滚轮位置改变实现无级变速。A、B为滚轮轴上的两点，则
A.滚轮在A处，N的角速度大于M的角速度
B.滚轮边缘与M、N接触点的线速度大小不相等
C.滚轮在B处，N转动周期小于M转动周期
D.滚轮从A到B，N的转速先变小后变大
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能力综合练
√
答案
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由题意可知，ω=2πn和v=ωr，滚轮在A处时，因
滚轮边缘与从动轮N和主动轮M接触点的线速度
大小相等，主动轮M的半径大于从动轮N的半径，
因此N的角速度大于M的角速度，A正确，B错误；
滚轮在B处，因滚轮边缘与从动轮N和主动轮M接触点的线速度大小相等，N转动半径大于M转动半径，由v=ωr可知，N转动角速度小于M转动角速度，由T=可知，N转动周期大于M转动周期，C错误；
答案
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由ω=2πn和v=ωr可得n=，因滚轮边缘与从动
轮N和主动轮M接触点的线速度大小一直相等，
滚轮从A到B，N的转动半径一直变大，则N的转
速一直变小，D错误。
答案
9.(2023·泸州市高一期末)我国物理学家葛正权曾参与研究共同设计了一个装置，半径为R的圆筒B可绕O轴以角速度ω顺时针匀速转动。银原子以一定速率从d点沿虚线经狭缝c射入圆筒内壁。某次实验有一个银原子从d点发出，经过c点时aOcd恰好在一条直线上，圆筒内壁上有一个点b，Oa与Ob的夹角θ=，如图所示。该银原子入射后恰好打到圆筒内壁的b点，重力和阻力忽略不计，则这个银原子的速率可能为
A. B.
C. D.
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√
答案
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银原子从c点射入圆筒到打到圆筒内壁所需要的时间为t=
，根据匀速圆周运动的规律可知b点在该段时间内转过
的角度满足的关系为2kπ+=ωt(k=0，1，2，…)，联立解
得这个银原子的速率为v=(k=0，1，2，…)，把k=0，1，2，…代入解得v=…，故选B。
答案
10.如图所示，半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，在其正上方高h处沿OB方向水平抛出一小球，不计空气阻力，重力加速度为g，要使球与盘只碰一次，且落点为B，B为圆盘边缘上的点，求小球的初速度v的大小及圆盘转动的角速度ω。
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答案　R　2nπ(n=1，2，3…)
答案
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设小球在空中运动时间为t，此时间内圆盘转过θ角，则R=vt，h=gt2
故初速度大小v=R
θ=n·2π(n=1，2，3…)
又因为θ=ωt
则圆盘转动的角速度ω==2nπ(n=1，2，3…)。
答案
11.(2024·浙江省高一期中)如图所示，夜晚电风扇在闪光灯下运转，闪光灯每秒闪60次，风扇转轴O上装有3个扇叶，它们互成120°角。当风扇转动时，观察者感觉扇叶不动，则风扇转速最小是
A.800 r/min B.1 000 r/min
C.1 100 r/min D.1 200 r/min
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√
尖子生选练
答案
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因为电扇叶片有三个，相互夹角为120°，现在观察者
感觉扇叶不动，说明在闪光时间里，扇叶转过三分之
一、或三分之二，或一周……，
即转过的角度为θ=πk(k=1，2，3，…)，由于光源每秒
闪光60次，则转动的角速度为ω== rad/s=40πk(k=1，2，3，…)，则转速为n==×60 (r/min)=1 200k(r/min)(k=1，2，3，…)，所以
k=1时，转速最小为1 200 r/min，故A、B、C错误，D正确。
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答案专题强化　圆周运动的传动问题和周期性问题
[学习目标]　1.熟练掌握描述圆周运动的各物理量之间的关系，掌握圆周运动中传动的特点(重点)。2.会分析圆周运动中多解的原因，掌握解决圆周运动中多解问题的方法(难点)。
一、圆周运动的传动问题
1.如图所示，两个轮子用皮带连接，A、B两点分别是位于两个轮子边缘的点，两个轮子的半径分别是R和r，设转动过程中皮带与轮子之间不打滑，求：
(1)A、B两点的线速度大小之比为　　　　；
(2)A、B两点的角速度之比为　　　　；
(3)A、B两点的周期之比为　　　　。
2.如图所示，A、B两点在同一个圆盘上，它们随圆盘转动的半径分别是r和R，求：
(1)A、B两点的角速度之比为　　　　；
(2)A、B两点的周期之比为　　　　；
(3)A、B两点的线速度大小之比为　　　　。
1.皮带传动模型：在皮带不打滑的情况下，皮带和皮带连接的轮子边缘各点　　　　　　　　相等；不打滑的摩擦传动或齿轮传动的两轮边缘上各点的　　　　　　　　相等，而角速度ω=，与半径r成　　　　。
2.同轴转动模型：绕同一轴转动的各点　　　、　　　　和　　　　相等，而各点的线速度v=ωr，与半径r成　　　　。
例1　(多选)(2023·普洱市高一期末)如图所示为一种齿轮传动装置，忽略齿轮啮合部分的厚度，甲、乙两个轮子的半径之比为1∶3，则在传动的过程中(　　)
A.甲、乙两轮的角速度之比为3∶1
B.甲、乙两轮的周期之比为3∶1
C.甲、乙两轮边缘处的线速度之比为3∶1
D.甲、乙两轮边缘上的点相等时间内转过的弧长之比为1∶1
例2　(2023·六安市高一期中)如图所示是自行车传动结构的示意图，其中A是半径为r1的大齿轮，B是半径为r2的小齿轮，C是半径为r3的后轮，假设脚踏板的转速为n(r/s)，则自行车前进的速度为(　　)
A. B.
C. D.
二、圆周运动的周期性和多解问题
如图所示，直径为d的纸质圆筒，以角速度ω绕中心轴匀速转动，把枪口对准圆筒轴线，使子弹穿过圆筒，结果发现圆筒上只有一个弹孔，忽略子弹重力、圆筒的阻力及空气阻力。问：
(1)子弹做什么运动？圆筒做什么运动？
(2)为什么圆筒上只有一个弹孔？
(3)子弹与圆筒的运动时间有何关系？
(4)子弹的速度v应满足什么条件？
例3　(2024·临沂市高一月考)如图所示，一位同学玩飞镖游戏。圆盘最上端有一点P，飞镖抛出时与P在同一竖直面内等高，且距P点的距离为L。在飞镖以初速度v0垂直盘面瞄准P点抛出的同时，圆盘绕经过圆心O点的水平轴在竖直平面内匀速转动。忽略空气阻力，重力加速度为g，若飞镖恰好击中P点，求：
(1)圆盘的半径；
(2)圆盘转动角速度的最小值。
例4　(2024·内江市高一期中)如图所示，竖直薄壁圆筒内壁光滑，其半径为R，上部侧面A处开有小口，在A处小口的正下方h处亦开有与其大小相同的小口B，小球从A处小口沿切线方向水平射入筒内，使小球紧贴筒内壁运动。要使小球从B处小口处飞出，小球进入A处小口的最小速率v0为(重力加速度为g，不计空气阻力)(　　)
A.πR B.πR
C.πR D.2πR
答案精析
一、
1.(1)由于皮带不打滑，所以A和B在相等时间内通过的弧长相等，因而线速度大小相等，即vA∶vB=1∶1。
(2)根据v=ωr，有ωA∶ωB=r∶R。
(3)根据T=，有TA∶TB=R∶r。
2.(1)由于A、B同轴转动，相等时间内转过的角度相同，因而角速度相同，即ωA∶ωB=1∶1。
(2)根据T=，有TA∶TB=1∶1。
(3)根据v=ωr，有vA∶vB=r∶R。
提炼·总结
1.线速度的大小　线速度大小　反比
2.角速度　转速　周期　正比　
例1　AD　[这种齿轮传动，与不打滑的皮带传动规律相同，即两轮边缘的线速度大小相等，即线速度之比为1∶1，C错误；根据线速度的定义v=可知，弧长Δs=vΔt，即甲、乙两轮边缘上的点相等时间内转过的弧长之比为1∶1，D正确；根据v=ωr，甲、乙两个轮子的半径之比为1∶3，故甲、乙两轮的角速度之比ω1∶ω2=3∶1，A正确；周期T=，所以甲、乙两轮的周期之比T1∶T2=1∶3，B错误。]
例2　C　[自行车前进的速度等于车轮C边缘上的线速度的大小，轮A和轮B边缘上的线速度大小相等，根据v=ωr可知ω1r1=ω2r2，则轮B的角速度ω2=ω1，因为轮B和轮C共轴，则ω2=ω3，根据v车=ω3r3，ω1=2πn，可知v车=ω3r3=，故选C。]
二、
(1)子弹做匀速直线运动，圆筒做匀速圆周运动。
(2)子弹进圆筒时打了一个孔，恰好从这个孔出去，在子弹穿过圆筒过程中，圆筒转过了半圈或整数圈加半圈。
(3)子弹穿过圆筒的时间与圆筒转过半圈或整数圈加半圈的时间相等。
(4)子弹穿过圆筒所用时间t=，圆筒转过的角度θ=2nπ+π(n=0，1，2…)，而ω=，联立可得v=(n=0，1，2…)。
例3　(1)　(2)
解析　(1)飞镖水平抛出做平抛运动，在水平方向做匀速直线运动，因此t=，飞镖击中P点时，P恰好在圆盘最下方，则2r=gt2，解得圆盘的半径r=
(2)飞镖击中P点，则P点转过的角度满足θ=ωt=π+2kπ(k=0，1，2，…)，故ω==(k=0，1，2，…)
当k=0时，圆盘转动角速度有最小值ωmin=。
例4　B　[小球在竖直方向做自由落体运动，根据h=gt2，可得小球在筒内的运动时间为t=，在水平方向，以圆周运动的规律来研究，运动的时间为t=n(n=1，2，3，…)，联立可得v0==nπR(n=1，2，3，…)，当n=1时，v0有最小值，所以最小速率v0=πR，B正确，A、C、D错误。]

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