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DIQIZHANG
第七章
2　万有引力定律
1.能运用开普勒第三定律和牛顿运动定律推导行星与太阳之间作用力的表达式。
2.体会从行星运动规律到万有引力定律的建立过程。
3.理解万有引力定律的内容、含义及适用条件(重点)。
4.认识万有引力定律的普遍性，并能用来解决实际问题(重难点)。
学习目标
一、行星与太阳间的引力
二、月—地检验
课时对点练
三、万有引力定律
内容索引
行星与太阳间的引力
一
行星与太阳间引力的得出过程
4π2k
G
(1)太阳与行星间引力的方向沿着两者的连线。(　　)
(2)太阳与行星间的引力公式F=G中，G与太阳、行星都没有关系。(　　)
(3)太阳对行星的引力大小等于行星对太阳的引力大小。(　　)
(4)太阳对行星的引力与行星的质量成正比，与太阳的质量无关。
(　　)
√
√
√
×
返回
月—地检验
二
如图甲所示，秋天苹果成熟后会从树上落下来；如图乙所示为月球绕着地球在公转。
(1)为什么苹果从树上落向地面而不飞向太空？
答案　苹果受到地球的吸引力而落向地面。
(2)从地面附近，物体都受到重力作用，即受到地球的吸引力，那么月球受到地球的吸引力吗？
答案　月球受到地球的吸引力。
(3)如果月球受到地球的吸引力，为什么月球不会落到地球的表面，而是环绕地球运动？
答案　月球受到地球的吸引力，提供月球绕地球做圆周运动的向心力。
1.检验目的：检验地球绕太阳运动、月球绕地球运动的力与地球对树上苹果的吸引力是否为　　　　　的力。
2.检验方法：(1)假设地球与月球间的作用力和太阳与行星间的作用力是
同一种力，它们的表达式也应该满足F=　　　　　，根据牛顿第二定律，
月球绕地球做圆周运动的向心加速度a月=　　　 。
梳理与总结
同一性质
G
G
(2)假设地球对苹果的吸引力也是同一种力，同理可知，苹果的自由落体
加速度a苹= 。
(3)= ，由于r≈60R，所以= 。
(4)结论：地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从　　　的规律。
G
相同
　 (2023·重庆市高一期中)牛顿进行了著名的月—地检验，验证了使苹果下落的力和使月球绕地球运动的力是同一种性质的力，同样遵从“平方反比”规律。在进行月—地检验时，不需要用到的物理量是
A.月球公转的周期 B.地球的半径
C.地表的重力加速度 D.地球自转的周期
例1
√
在进行月—地检验时，需要用到的物理量除了地球的半径和月地距离外，还需要的是月球公转的周期以及地表的重力加速度，不需要地球自转的周期。故选D。
返回
万有引力定律
三
1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的_____
上，引力的大小与物体的 成正比、与它们之间_____
　　　　　成反比。
2.表达式：F=　　　　，其中G叫作引力常量。
3.引力常量
牛顿得出了万有引力与物体质量及它们之间距离的关系，但没有测出引力常量G的值。
英国物理学家　　　　　通过实验推算出引力常量G的值。通常取G=
　　　　　 N·m2/kg2。
连线
质量m1和m2的乘积
距离r
的二次方
G
卡文迪什
6.67×10-11
4.对万有引力定律的理解
(1)普遍性：宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着相互吸引的力。
(2)相互性：两个有质量的物体之间的万有引力是一对　　　　　　　　 。
(3)宏观性：地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用。
(4)适用范围：只适用于可以看作　　　的两个物体间的相互作用；若是两个均匀的球体，应是两　　　间的距离。
作用力和反作用力
质点
球心
我们知道，任何两个物体间一定存在万有引力，试通过计算说明万有引力的宏观性。
已知一个篮球的质量为0.6 kg，它所受的重力有多大？试估算操场上相距1 m的两个篮球之间的万有引力。它们的万有引力和重力之比为多少？(g取10 m/s2，引力常量G=6.67×10-11N·m2/kg2，计算结果均保留两位有效数字)
思考与讨论
答案　篮球的重力G篮=mg=6.0 N；万有引力为F=G=G≈2.4×10-11 N。万有引力和重力之比为=4.0×10-12。
(1)由于天体间距离很远，在研究天体间的引力时可以将它们视为质点。(　　)
(2)由万有引力定律F=可知，r→0时，F→∞。(　　)
(3)一个均匀球体与球外一个质点间适用于万有引力定律，其中r为球心到质点间的距离。(　　)
(4)不能看作质点的两物体间不存在相互作用的引力。(　　)
√
×
√
×
　(2024·深圳市高一期中)甲、乙两个质点间的万有引力大小为F，若甲质点的质量不变，乙质点的质量增大为原来的4倍，同时它们间的距离减为原来的，则甲、乙两个质点间的万有引力大小将变为
A. B.
C.3F D.9F
例2
√
由万有引力定律得F=，F'==，解得F'=9F，故A、B、
C错误，D正确。
　如图所示为两个半径分别为r1=0.40 m、r2=0.60 m且质量分布均匀的实心球，质量分别为m1=4.0 kg，m2=1.0 kg，两球间距离为r0=1.0 m，引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2，则两球间万有引力的大小为
A.6.67×10-11 N
B.2.668×10-10 N
C.小于6.67×10-11 N
D.不能确定
例3
√
根据万有引力定律可得F=G=6.67×10-11× N=
6.67×10-11 N，故A正确，B、C、D错误。
　一个质量均匀分布的球体，半径为2r，在其内部挖去一个半径为r的球形空穴，其表面与球面相切，如图所示。已知挖去小球的质量为m，在球心和空穴中心连线上，距球心d=6r处有一质量为m2的质点，求：(引力常量为G)
(1)被挖去的小球挖去前对m2的万有引力为多大？
例4
答案　G
被挖去的小球挖去前对m2的万有引力大小为F2=G=G
(2)剩余部分对m2的万有引力为多大？
答案　G
将挖去的小球填入空穴中，由V=πR3、m=ρV可知，大球的质量为8m，则挖去小球前大球对m2的万有引力大小为F1=G=G
故剩余部分对m2的万有引力大小为F=F1-F2=G。
返回
课时对点练
四
对一对
答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 AD D D A B C A D
题号 9 10 11 12
答案 B B F D
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考点一　对太阳和行星间引力的理解　月—地检验
1.(多选)把行星绕太阳的运动看成匀速圆周运动，关于太阳对行星的引力，下列说法中正确的是
A.太阳对行星的引力等于行星做匀速圆周运动的向心力
B.太阳对行星的引力大小与行星的质量成正比，与行星和太阳间的距离
　成反比
C.太阳对行星的引力规律是由实验得出的
D.太阳对行星的引力规律是由开普勒定律、牛顿运动定律和行星绕太阳
　做匀速圆周运动的规律推导出来的
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基础对点练
√
√
答案
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太阳对行星的引力等于行星围绕太阳做匀速圆周运动的向心力，它的大小与行星和太阳质量的乘积成正比，与行星和太阳间的距离的平方成反比，A正确，B错误；
太阳对行星的引力规律是由开普勒定律、牛顿运动定律和匀速圆周运动规律推导出来的，C错误，D正确。
答案
2.(2024·辽宁省高一期中)牛顿在建立万有引力定律的过程中进行了著名的“月—地检验”。已知月地距离约为地球半径的60倍，若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”是否遵循同样的规律，需要验证
A.地球吸引苹果的力约为地球吸引月球的力的
B.地球吸引苹果的力约为地球吸引月球的力的
C.月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的
D.月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的
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√
答案
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根据万有引力定律和牛顿第二定律可得=ma，可得a=∝，已知月地距离约为地球半径的60倍，所以想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”是否遵循同样的规律，需要验证月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的。故选D。
答案
考点二　万有引力定律　引力常量
3.关于万有引力及其计算公式F=G，下列说法正确的是
A.万有引力只存在于质量很大的两个物体之间
B.根据公式知，r趋近于0时，F趋于无穷大
C.计算地球对卫星的引力时，r是指卫星到地球表面的距离
D.卡文迪什测出了引力常量G
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√
答案
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万有引力定律适用于任何两个可以看成质点的物体之间或均质球体之间的引力计算，故A错误；
当r趋近于0时，两物体不能看成质点，万有引力公式不再适用，故B错误；
计算地球对卫星的引力时，r是指卫星到地球球心的距离，故C错误；
卡文迪什测出了引力常量G，故D正确。
答案
4.(2024·广西卷)潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相同。图中a、b和c处单位质量的海水受月球引力大小在
A.a处最大
B.b处最大
C.c处最大
D.a、c处相等，b处最小
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√
根据万有引力公式F=G，可知题图中a处单位质量的海水受到月
球的引力最大，故选A。
答案
5.(2024·台州市高一期中)若“神舟十七号”在地面时受地球的万有引力为F，则当其上升到离地面距离等于地球半径时所受地球的万有引力为
A. B.
C. D.
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√
由万有引力定律得，“神舟十七号”在地面时受地球的万有引力为
F=G，其上升到离地面距离等于地球半径时，即r=R+h=2R，此时所受地球的万有引力为F'=G=，故选B。
答案
6.(2024·上海市高一期末)从平原到高原过程中，地球对汽车的引力F随高度h的变化关系图像可能是
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√
设地球质量为M，地球半径为R，汽车质量为m，根据万有引力定律
可得F=，故选C。
答案
7.已知地球的半径为R，火箭上升到距地面高度H处所受的引力为它在地面所受引力的一半(设火箭质量不变)，则火箭离地面的高度H为
A.(-1)R B.
C.R D.2R
√
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设地球质量为M，火箭质量为m，火箭在地球表面受到的万有引力为
F1=，火箭在离地面高度H处受到的万有引力为F2=，又F2=F1，联立解得H=(-1)R，A正确，B、C、D错误。
答案
8.(2023·重庆市高一期末)华中科技大学引力中心团队对引力常量的精密测量研究，为我国自主探测全球重力场提供了重要技术支撑。已知太阳的质量约为2.0×1030 kg，地球质量约为6.0×1024 kg，地球到太阳的距离约为1.5×1011 m，取引力常量为G=6.67×10-11 N·m2/kg2。则地球所受太阳的引力大小约为
A.5.3×1031 N B.5.3×1033 N
C.3.6×1020 N D.3.6×1022 N
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√
答案
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根据万有引力定律可得地球所受太阳的引力大小F=G=6.67×10-11
× N≈3.6×1022 N，故选D。
答案
9.(2020·全国卷Ⅰ)火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为
A.0.2 B.0.4
C.2.0 D.2.5
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√
能力综合练
万有引力表达式为F=G，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值为==0.4，故选B。
答案
10.(2024·杭州市高一期中)地球质量大约是月球质量的81倍，一个飞行器在地球与月球之间。当地球对它的引力大小是月球对它的引力大小4倍时，该飞行器距地心的距离与距月心的距离之比为
A.2∶9 B.9∶2
C.1∶9 D.9∶1
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√
设地球的质量为M，月球的质量为m，飞行器的质量为m'，飞行器距地心的距离为r1，距月心的距离为r2，由万有引力定律可得F1∶F2=
∶=∶=4∶1，解得r1∶r2=9∶2，故选B。
答案
11.(2024·海口市高一期中)如图所示，一个质量均匀分布的半径为R的球体对球外质点P的万有引力为F。如果在球体中央挖去半径为r的一部分球体，且r=，则原球体剩余部分对质点P的万有引力
大小为多大？
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答案　F
答案
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设原球体的质量为M，质点P的质量为m0，球心与质
点P的距离为L。根据m=ρπr3可知，挖去部分的球体
的质量m=M，没挖去前，原球体对质点P的万有引
力F=G，挖去的部分对质点P的万有引力F'==F，则原球体剩余部分对质点P的万有引力F″=F-F'=F。
答案
12.(2023·合肥市高一期末)2020年12月1日，嫦娥五号探测器实施月面“挖土”成功，“挖土”采用了钻取和表取两种模式。假设月球可看作质量分布均匀的球体，其质量为M，半径为R。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零，引力常量为G，忽略月球自转。某次钻取中质量为m的钻尖进入月球表面以下h深处，则此时月球对钻尖的万有引力为
A.0 B.G
C.G D.G
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√
尖子生选练
答案
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6
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11
12
设月球密度为ρ，则以月球球心为球心，以R-h为半径的月球内部球
体质量为M'，==，月球对钻尖的万有引力为F=
G=G，故选D。
返回
答案2　万有引力定律
[学习目标]　1.能运用开普勒第三定律和牛顿运动定律推导行星与太阳之间作用力的表达式。2.体会从行星运动规律到万有引力定律的建立过程。3.理解万有引力定律的内容、含义及适用条件(重点)。4.认识万有引力定律的普遍性，并能用来解决实际问题(重难点)。
一、行星与太阳间的引力
行星与太阳间引力的得出过程
(1)太阳与行星间引力的方向沿着两者的连线。(　　)
(2)太阳与行星间的引力公式F=G中，G与太阳、行星都没有关系。(　　)
(3)太阳对行星的引力大小等于行星对太阳的引力大小。(　　)
(4)太阳对行星的引力与行星的质量成正比，与太阳的质量无关。(　　)
二、月—地检验
如图甲所示，秋天苹果成熟后会从树上落下来；如图乙所示为月球绕着地球在公转。
(1)为什么苹果从树上落向地面而不飞向太空？
(2)从地面附近，物体都受到重力作用，即受到地球的吸引力，那么月球受到地球的吸引力吗？
(3)如果月球受到地球的吸引力，为什么月球不会落到地球的表面，而是环绕地球运动？
1.检验目的：检验地球绕太阳运动、月球绕地球运动的力与地球对树上苹果的吸引力是否为　　　的力。
2.检验方法：(1)假设地球与月球间的作用力和太阳与行星间的作用力是同一种力，它们的表达式也应该满足F=　　　　，根据牛顿第二定律，月球绕地球做圆周运动的向心加速度a月=　　　　。
(2)假设地球对苹果的吸引力也是同一种力，同理可知，苹果的自由落体加速度a苹=　　　　。
(3)=　　　　，由于r≈60R，所以=　　　　。
(4)结论：地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从　　　　的规律。
例1　(2023·重庆市高一期中)牛顿进行了著名的月—地检验，验证了使苹果下落的力和使月球绕地球运动的力是同一种性质的力，同样遵从“平方反比”规律。在进行月—地检验时，不需要用到的物理量是(　　)
A.月球公转的周期
B.地球的半径
C.地表的重力加速度
D.地球自转的周期
三、万有引力定律
1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的　　　　　　上，引力的大小与物体的　　　　　　　　成正比、与它们之间　　　　　　　　成反比。
2.表达式：F=　　　　　　　　，其中G叫作引力常量。
3.引力常量
牛顿得出了万有引力与物体质量及它们之间距离的关系，但没有测出引力常量G的值。
英国物理学家　　　　　通过实验推算出引力常量G的值。通常取G=　　　　　　 N·m2/kg2。
4.对万有引力定律的理解
(1)普遍性：宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着相互吸引的力。
(2)相互性：两个有质量的物体之间的万有引力是一对　　　　　　　　　　　　。
(3)宏观性：地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用。
(4)适用范围：只适用于可以看作　　　　的两个物体间的相互作用；若是两个均匀的球体，应是两　　　　间的距离。
我们知道，任何两个物体间一定存在万有引力，试通过计算说明万有引力的宏观性。
已知一个篮球的质量为0.6 kg，它所受的重力有多大？试估算操场上相距1 m的两个篮球之间的万有引力。它们的万有引力和重力之比为多少？(g取10 m/s2，引力常量G=6.67×10-11N·m2/kg2，计算结果均保留两位有效数字)
(1)由于天体间距离很远，在研究天体间的引力时可以将它们视为质点。(　　)
(2)由万有引力定律F=可知，r→0时，F→∞。(　　)
(3)一个均匀球体与球外一个质点间适用于万有引力定律，其中r为球心到质点间的距离。(　　)
(4)不能看作质点的两物体间不存在相互作用的引力。(　　)
例2　(2024·深圳市高一期中)甲、乙两个质点间的万有引力大小为F，若甲质点的质量不变，乙质点的质量增大为原来的4倍，同时它们间的距离减为原来的，则甲、乙两个质点间的万有引力大小将变为(　　)
A. B.
C.3F D.9F
例3　如图所示为两个半径分别为r1=0.40 m、r2=0.60 m且质量分布均匀的实心球，质量分别为m1=4.0 kg，m2=1.0 kg，两球间距离为r0=1.0 m，引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2，则两球间万有引力的大小为(　　)
A.6.67×10-11 N
B.2.668×10-10 N
C.小于6.67×10-11 N
D.不能确定
例4　一个质量均匀分布的球体，半径为2r，在其内部挖去一个半径为r的球形空穴，其表面与球面相切，如图所示。已知挖去小球的质量为m，在球心和空穴中心连线上，距球心d=6r处有一质量为m2的质点，求：(引力常量为G)
(1)被挖去的小球挖去前对m2的万有引力为多大？
(2)剩余部分对m2的万有引力为多大？
答案精析
一、
4π2k　　G
易错辨析
(1)√　(2)√　(3)√　(4)×
二、
(1)苹果受到地球的吸引力而落向地面。
(2)月球受到地球的吸引力。
(3)月球受到地球的吸引力，提供月球绕地球做圆周运动的向心力。
梳理与总结
1.同一性质
2.G　G　(2)G　(3)　　(4)相同
例1　D　[在进行月—地检验时，需要用到的物理量除了地球的半径和月地距离外，还需要的是月球公转的周期以及地表的重力加速度，不需要地球自转的周期。故选D。]
三、
1.连线　质量m1和m2的乘积　距离r的二次方
2.G
3.卡文迪什　6.67×10-11
4.(2)作用力和反作用力　(4)质点　球心
思考与讨论
篮球的重力G篮=mg=6.0 N；万有引力为F=G=G≈2.4×10-11 N。万有引力和重力之比为=4.0×10-12。
易错辨析
(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
例2　D　[由万有引力定律得F=，F'==，解得F'=9F，故A、B、C错误，D正确。]
例3　A　[根据万有引力定律可得F=G=6.67×10-11× N=6.67×10-11 N，故A正确，B、C、D错误。]
例4　(1)G　(2)G
解析　(1)被挖去的小球挖去前对m2的万有引力大小为F2=G=G
(2)将挖去的小球填入空穴中，由V=πR3、m=ρV可知，大球的质量为8m，则挖去小球前大球对m2的万有引力大小为F1=G=G
故剩余部分对m2的万有引力大小为F=F1-F2=G。

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