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(共49张PPT)
DIQIZHANG
第七章
3　万有引力理论的成就
1.掌握“称量地球的质量”和计算天体的质量的基本思路(重难点)。
2.掌握计算天体密度的基本思路(重难点)。
3.认识万有引力定律的科学成就，体会科学的迷人魅力。
学习目标
一、天体质量的计算
二、天体密度的计算
课时对点练
三、发现未知天体　预言哈雷彗星回归
内容索引
天体质量的计算
一
1.卡文迪什在实验室测出了引力常量G的值，他称自己的实验是“称量地球的重量”。
(1)选哪个物体为研究对象？需要忽略的次要因素是什么？他“称量”的依据是什么？
答案　选地球表面的物体为研究对象，若忽略地球自转的影响，在地球表面上物体受到的重力等于地球对物体的万有引力，G值的确定使万有引力定律具有了实际的计算意义。
(2)若已知地球表面重力加速度g，地球半径R，引力常量G，求地球的质量。
答案　由mg=G得，M=。
2.如果知道地球绕太阳的公转周期T，地球与太阳中心间距r，引力常量G，能求出太阳的质量吗？如果能，请写出表达式。
答案　能。由=m地r知m太=。
计算中心天体质量的两种方法
1.重力加速度法
已知中心天体的半径R和中心天体表面的重力加速度g，以及引力常量G，
根据物体的重力近似等于中心天体对物体的万有引力，有 ，解得中心天体质量为M= 。
提炼·总结
mg=G
2.“卫星”环绕法
已知两天体间距离r，将天体围绕中心天体的运动近似看成匀速圆周运
动，周期为T，引力常量为G，其所需的向心力都来自万有引力，由_____
=mr，可得M= 。
注意：上面两种求中心天体质量的方法中，“R”与“r”意义不同，R为中心天体半径，r为轨道半径，两种方法中的M若为同一天体，r=R+h。当环绕法选择近地卫星时，r=R。
1.根据环绕卫星的周期、轨道半径及引力常量G，用“卫星”环绕法能测出“卫星”的质量吗？
思考与讨论
答案　不能。只能测出被环绕的中心天体的质量，而不能测出“卫星”质量。
2.用行星环绕法估算太阳的质量，换用不同行星的相关数据进行估算，结果会相近吗？为什么？
答案　结果会相近，虽然不同行星与太阳间的距离r和绕太阳公转的周
期T各不相同，但根据开普勒第三定律，所有行星的均相同。
　(2023·湖州市高一期中)如果你站在月球上，由静止释放质量为m的物体，物体在t秒内下落了h米，若已知月球的半径为R、引力常量为G，根据以上给出的物理量得出月球的质量为
A. B.
C. D.
例1
√
物体做自由落体运动有h=gt2，根据万有引力与重力的关系G=mg，解得月球的质量为M=，故选B。
总结提升
已知星球表面的重力加速度g和星球半径R可以计算星球质量。未知星球表面的重力加速度通常这样给出：让小球做自由落体、平抛、竖直上抛等运动，从而计算出该星球表面的重力加速度。
　(2023·扬州市高一期中)若火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动N圈，用时为t，已知火星的半径为R，引力常量为G，忽略火星的自转，求：
(1)探测器在轨道上运动的周期T；
例2
答案　
探测器在轨道上运动的周期T=
(2)火星的质量M；
答案　
根据万有引力提供向心力，有G=m
得M==
(3)火星表面的重力加速度g。
答案　
忽略火星的自转，火星表面质量为m'的物体所受万有引力等于重力，
有G=m'g
得g==。
返回
天体密度的计算
二
若天体的半径为R，则天体的密度ρ=
(1)将M=代入上式得ρ=。
(2)将M=代入上式得ρ=。
(3)当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则ρ=。
　假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，已知引力常量为G，忽略该天体自转。
(1)若卫星距该天体表面的高度为h，测得卫星在该处做圆周运动的周期为T1，则该天体的密度是多少？
例3
答案　
设卫星的质量为m，天体的质量为M。
卫星距天体表面的高度为h时，有G=m(R+h)，可得M=
天体的体积为V=πR3
故该天体的密度为ρ===
(2)若卫星贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T2，则该天体的密度是多少？
答案　
卫星贴近天体表面运动时有G=mR，可得M=，故ρ==
=。
　(2023·内江市高一期末)我国成功发射“嫦娥三号”探测器，实现了我国航天器首次在地外天体软着陆和巡视探测活动，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，月球半径为R0，月球表面处重力加速度为g0。地球
和月球的半径之比为=4，表面重力加速度之比为=6，地球和月球的密度之比为
A. B. C.4 D.6
例4
√
在星球表面，有mg=G，其中M=ρV=ρ·πR3，联立解得ρ=，故地球和月球的密度之比=·=6×=，故A、C、D错误，B正确。
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发现未知天体　预言哈雷彗星回归
三
在18世纪，人们发现了天王星后，发现根据万有引力定律计算出来的天王星的运动轨道与实际观测的结果总有一些偏差。天王星的轨道偏差是天文观测数据不准确？是万有引力定律的准确性有问题？还是天王星轨道外面还有一颗未发现的行星？
答案　在天王星轨道外还有一颗未发现的新星——海王星。
1.英国的　　　　和法国的　　　　根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出　　　　的轨道。
2.使用“计算、预测和观察”的方法，近100年来，人们发现了　　　　、阋神星等几个较大的天体。
3.英国天文学家哈雷计算了哈雷彗星的周期约为　　年，并成功预言了其回归的时间。
4.　　　　的发现和　　　　　的“按时回归”确立了　　　　　定律的地位。
梳理与总结
亚当斯
勒维耶
海王星
冥王星
76
海王星
哈雷彗星
万有引力
　(多选)万有引力理论不仅能够解释已知的事实，更重要的是能够预言未知的现象。下列说法正确的是
A.卡文迪什被称为“可以称量地球质量的人”
B.哈雷依据万有引力定律预言了哈雷彗星的回归时间
C.牛顿用月球和太阳的万有引力解释了潮汐现象
D.天王星被称为“笔尖上发现的行星”
例5
√
√
√
卡文迪什用实验的方法测出引力常量G，从而可以算出地球的质量，因此卡文迪什被称为“可以称量地球质量的人”，A正确；
英国天文学家哈雷依据万有引力定律计算彗星轨道，准确预言了哈雷彗星的回归时间，B正确；
牛顿利用月球和太阳对海水的万有引力解释了潮汐现象，C正确；
“笔尖上发现的行星”是海王星，D错误。
返回
课时对点练
四
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A C D A A B BD
题号 9 10 11 12
答案 B C (1)　(2)　(3) C
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1.(2021·广东卷)2021年4月，我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行，若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是
A.核心舱的质量和绕地半径
B.核心舱的质量和绕地周期
C.核心舱的绕地角速度和绕地周期
D.核心舱的绕地线速度和绕地半径
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
基础对点练
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
根据万有引力提供核心舱做匀速圆周运动的向心力，有G=m=
mω2r=mr，可得M===，则已知核心舱的质量和绕地半
径、已知核心舱的质量和绕地周期或已知核心舱的绕地角速度和绕地周期，都不能计算出地球的质量；若已知核心舱的绕地线速度和绕地半径可计算出地球的质量，故选D。
答案
2.(2023·山东省高一期中)已知地球到太阳的距离与地球到月球的距离之比为P，地球绕太阳公转周期与月球绕地球公转周期之比为Q，则太阳与地球的质量之比为
A. B. C. D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
根据题意，由万有引力提供向心力有=mr，解得M=，则有太阳与地球的质量之比为==，故选A。
答案
3.“嫦娥三号”携带“玉兔”探测车在月球虹湾成功软着陆，在实施软着陆过程中，“嫦娥三号”离月球表面某高度处最后一次悬停，确认着陆点。若总质量为M的“嫦娥三号”在最后一次悬停时，反推发动机对其提供反推力大小为F，方向竖直向上，引力常量为G，月球半径为R，则月球的质量为
A. B.
C. D.
√
1
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3
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6
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12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
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11
12
当“嫦娥三号”在最后一次悬停时，由平衡条件可
知Mg=F，在月球表面G=Mg，解得m月=，
故选C。
答案
4.(2024·海南卷)“嫦娥六号”进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为
A. B.
C. D.(1+k)3
1
2
3
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5
6
7
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11
12
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
设月球半径为R，质量为M，对“嫦娥六号”，根据万有引力提供向心力
G=m·(k+1)R
月球的体积V=πR3
月球的平均密度ρ=
联立解得ρ=(1+k)3，故选D。
答案
5.(2024·北京市海淀区高一期中)一艘宇宙飞船飞近某一不知名的行星，并进入靠近该行星表面的圆轨道，若航天员要测定该行星的平均密度，只需测定(引力常量G已知)
A.飞船运行的周期 B.飞船的环绕半径
C.行星的体积 D.飞船的绕行速度
1
2
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5
6
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10
11
12
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
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10
11
12
设该行星的半径为R，平均密度为ρ，质量为M，宇宙飞船运行的周期为T；
由万有引力提供向心力可得=mR，又M=ρ·πR3，联立可得ρ=，可知若航天员要测定该行星的平均密度，只需测定飞船运行
的周期，故A正确，B、C、D错误。
答案
6.(2023·玉溪市第三中学开学考试)我国在西昌卫星发射中心使用“长征二号”丁运载火箭，成功将“遥感三十六号”卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，若已知该卫星在预定轨道上绕地球做匀速圆周运动，其线速度大小为v，角速度为ω，引力常量为G，则地球的质量为
A. B.
C. D.
1
2
3
4
5
6
7
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11
12
√
卫星做圆周运动的轨道半径r=，根据万有引力提供向心力有G=
m，联立解得M=，故选A。
答案
7.土星最大的卫星叫“泰坦”，每16天绕土星一周，其公转轨道半径为1.2×106 km。已知引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2，则土星的质量约为
A.5×1017 kg B.5×1026 kg
C.7×1033 kg D.4×1036 kg
√
1
2
3
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5
6
7
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9
10
11
12
由万有引力提供向心力得G=m()2r，则M=，代入数据得M≈5
×1026 kg，故选B。
答案
8.(多选)(2023·岳阳市高一期末)“嫦娥五号”探测器绕月球做匀速圆周运动时，轨道半径为r，速度大小为v。已知月球半径为R，引力常量为G，忽略月球自转的影响。下列选项正确的是
A.月球平均密度为
B.月球平均密度为
C.月球表面重力加速度为
D.月球表面重力加速度为
1
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12
√
能力综合练
√
答案
1
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5
6
7
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10
11
12
由万有引力提供向心力，可得G=m，解得M=，月球体积V=πR3，所以月球平均密度为ρ==，故A错误，B正确；
在月球表面，有G=mg，可解得月球表面重力加速度为g==，
故C错误，D正确。
答案
9.(2023·安庆市高一期中)在某星球上将一物体竖直向上抛出，物体运动的x-t图像是如图所示的抛物线，已知该星球的半径是地球半径的2倍，地球表面重力加速度取10 m/s2，忽略此星球和地球的自转的影响，设地球质量为M，则该星球的质量为
A.M B.M
C.2M D.M
1
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12
√
答案
1
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11
12
由题图可知，5 s时上升的位移最大，为50 m，
可得h=g't2，解得g'=4 m/s2，设地球半径为R，
在地球表面满足g=G，在该星球表面满足g'=
G，联立解得M'=M，故选B。
答案
10.(2023·连云港市海头高级中学高一期末)理论表明：黑洞质量M和半径R的关系为=，其中c为光速，G为引力常量。若观察到黑洞周围有一星体绕它做匀速圆周运动，速率为v，轨道半径为r，则可知
A.该黑洞的质量M= B.该黑洞的质量M=
C.该黑洞的半径R= D.该黑洞的半径R=
1
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12
√
答案
1
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根据星体受到的万有引力提供向心力，有=m，则M=，A、
B错误；
根据=，M=，联立解得R=，C正确，D错误。
答案
11.(2023·扬州市高一期末)在某质量分布均匀的星球表面，以速度v0竖直上抛一质量为m的物体(引力视为恒力，阻力可忽略)，经过时间t落到星球表面。已知该星球半径为R，引力常量为G，忽略星球自转的影响，求：
(1)该星球表面的重力加速度的大小；
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答案　
设星球表面的重力加速度大小为g，对物体，有v0=g·，解得g=
答案
(2)该星球的质量；
1
2
3
4
5
6
7
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11
12
答案　
对星球表面的物体m，有G=mg，故星球质量M=
答案
(3)该星球的密度。
1
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3
4
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答案　
星球的密度ρ=，解得ρ=。
答案
12.(2023·宁波市高一月考)若某载人宇宙飞船绕地球做圆周运动的周期为T，由于地球遮挡，航天员发现有时间会经历“日全食”过程，如图所示。已知引力常量为G，太阳光可看作平行光，则地球的平均密度ρ为
A. B.
C. D.
1
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3
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12
尖子生选练
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
设地球质量为M，飞船运动半径为r，对飞船研究可知
G=mr，解得M=，航天员有时间看不见日
光，则飞船在内转过的角度为60°，由几何关系可
知R=，又地球的平均密度ρ=，V=πR3，联立解得ρ
=，故选C。
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答案3　万有引力理论的成就
[学习目标]　1.掌握“称量地球的质量”和计算天体的质量的基本思路(重难点)。2.掌握计算天体密度的基本思路(重难点)。3.认识万有引力定律的科学成就，体会科学的迷人魅力。
一、天体质量的计算
1.卡文迪什在实验室测出了引力常量G的值，他称自己的实验是“称量地球的重量”。
(1)选哪个物体为研究对象？需要忽略的次要因素是什么？他“称量”的依据是什么？
(2)若已知地球表面重力加速度g，地球半径R，引力常量G，求地球的质量。
2.如果知道地球绕太阳的公转周期T，地球与太阳中心间距r，引力常量G，能求出太阳的质量吗？如果能，请写出表达式。
计算中心天体质量的两种方法
1.重力加速度法
已知中心天体的半径R和中心天体表面的重力加速度g，以及引力常量G，根据物体的重力近似等于中心天体对物体的万有引力，有　　　　　　　　，解得中心天体质量为M=　　　　。
2.“卫星”环绕法
已知两天体间距离r，将天体围绕中心天体的运动近似看成匀速圆周运动，周期为T，引力常量为G，其所需的向心力都来自万有引力，由　　　　=mr，可得M=　　　　　　　　　　　　。
注意：上面两种求中心天体质量的方法中，“R”与“r”意义不同，R为中心天体半径，r为轨道半径，两种方法中的M若为同一天体，r=R+h。当环绕法选择近地卫星时，r=R。
1.根据环绕卫星的周期、轨道半径及引力常量G，用“卫星”环绕法能测出“卫星”的质量吗？
2.用行星环绕法估算太阳的质量，换用不同行星的相关数据进行估算，结果会相近吗？为什么？
例1　(2023·湖州市高一期中)如果你站在月球上，由静止释放质量为m的物体，物体在t秒内下落了h米，若已知月球的半径为R、引力常量为G，根据以上给出的物理量得出月球的质量为(　　)
A. B.
C. D.
已知星球表面的重力加速度g和星球半径R可以计算星球质量。未知星球表面的重力加速度通常这样给出：让小球做自由落体、平抛、竖直上抛等运动，从而计算出该星球表面的重力加速度。
例2　(2023·扬州市高一期中)若火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动N圈，用时为t，已知火星的半径为R，引力常量为G，忽略火星的自转，求：
(1)探测器在轨道上运动的周期T；
(2)火星的质量M；
(3)火星表面的重力加速度g。
二、天体密度的计算
若天体的半径为R，则天体的密度ρ=
(1)将M=代入上式得ρ=。
(2)将M=代入上式得ρ=。
(3)当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则ρ=。
例3　假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，已知引力常量为G，忽略该天体自转。
(1)若卫星距该天体表面的高度为h，测得卫星在该处做圆周运动的周期为T1，则该天体的密度是多少？
(2)若卫星贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T2，则该天体的密度是多少？
例4　(2023·内江市高一期末)我国成功发射“嫦娥三号”探测器，实现了我国航天器首次在地外天体软着陆和巡视探测活动，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，月球半径为R0，月球表面处重力加速度为g0。地球和月球的半径之比为=4，表面重力加速度之比为=6，地球和月球的密度之比为(　　)
A. B.
C.4 D.6
三、发现未知天体　预言哈雷彗星回归
在18世纪，人们发现了天王星后，发现根据万有引力定律计算出来的天王星的运动轨道与实际观测的结果总有一些偏差。天王星的轨道偏差是天文观测数据不准确？是万有引力定律的准确性有问题？还是天王星轨道外面还有一颗未发现的行星？
1.英国的　　　　　　和法国的　　　　　根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出　　　　　　的轨道。
2.使用“计算、预测和观察”的方法，近100年来，人们发现了　　　　、阋神星等几个较大的天体。
3.英国天文学家哈雷计算了哈雷彗星的周期约为　　　　年，并成功预言了其回归的时间。
4.　　　　　　的发现和　　　　　　　　的“按时回归”确立了　　　　　　　　定律的地位。
例5　(多选)万有引力理论不仅能够解释已知的事实，更重要的是能够预言未知的现象。下列说法正确的是(　　)
A.卡文迪什被称为“可以称量地球质量的人”
B.哈雷依据万有引力定律预言了哈雷彗星的回归时间
C.牛顿用月球和太阳的万有引力解释了潮汐现象
D.天王星被称为“笔尖上发现的行星”
答案精析
一、
1.(1)选地球表面的物体为研究对象，若忽略地球自转的影响，在地球表面上物体受到的重力等于地球对物体的万有引力，G值的确定使万有引力定律具有了实际的计算意义。
(2)由mg=G得，M=。
2.能。由=m地r知m太=。
提炼·总结
1.mg=G　
2.　　
思考与讨论
1.不能。只能测出被环绕的中心天体的质量，而不能测出“卫星”质量。
2.结果会相近，虽然不同行星与太阳间的距离r和绕太阳公转的周期T各不相同，但根据开普勒第三定律，所有行星的均相同。
例1　B　[物体做自由落体运动有h=gt2，根据万有引力与重力的关系G=mg，解得月球的质量为M=，故选B。]
例2　(1)　(2)　(3)
解析　(1) 探测器在轨道上运动的周期T=
(2)根据万有引力提供向心力，有G=m
得M==
(3)忽略火星的自转，火星表面质量为m'的物体所受万有引力等于重力，有G=m'g
得g==。
二、
例3　(1)　(2)
解析　设卫星的质量为m，天体的质量为M。
(1)卫星距天体表面的高度为h时，
有G=m(R+h)，可得M=
天体的体积为V=πR3
故该天体的密度为ρ===
(2)卫星贴近天体表面运动时有G=mR，可得M=，故ρ===。
例4　B　[在星球表面，有mg=G，其中M=ρV=ρ·πR3，联立解得ρ=，故地球和月球的密度之比=·=6×=，故A、C、D错误，B正确。]
三、
在天王星轨道外还有一颗未发现的新星——海王星。
梳理与总结
1.亚当斯　勒维耶　海王星
2.冥王星
3.76
4.海王星　哈雷彗星　万有引力
例5　ABC　[卡文迪什用实验的方法测出引力常量G，从而可以算出地球的质量，因此卡文迪什被称为“可以称量地球质量的人”，A正确；英国天文学家哈雷依据万有引力定律计算彗星轨道，准确预言了哈雷彗星的回归时间，B正确；牛顿利用月球和太阳对海水的万有引力解释了潮汐现象，C正确；“笔尖上发现的行星”是海王星，D错误。]

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