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(共53张PPT)
DIQIZHANG
第七章
专题强化　天体运动的分析与计算　
　　　　　万有引力和重力的关系
1.掌握星体绕中心天体做圆周运动的物理量与轨道半径的关系(重难点)。
2.明确地球表面的万有引力和重力的关系(难点)。
学习目标
一、天体运动参量的分析与计算
二、万有引力和重力的关系
专题强化练
内容索引
天体运动参量的分析与计算
一
1.一般卫星(或行星)的运动可看成匀速圆周运动，其所需向心力与万有引力的关系可写为：
G=m　　=m=m　　=mr。
an
ω2r
2.根据1中的关系式推导向心加速度大小an、线速度大小v、角速度ω、周期T与轨道半径r的关系。
“一定四定”，越高越　　(选填“快”或“慢”)。
慢
=
3.忽略地球自转时，mg=G，整理可得：GM=　　 ，当GM未知时，可用 替换后进行有关计算，此式被称为“黄金代换公式”。
gR2
gR2
有人根据公式v=ωr说：人造地球卫星的轨道半径增大2倍，卫星的速度
也增大2倍。但由公式v=可知，轨道半径增大时，人造地球卫星
的速度是减小的。应当怎样正确理解这个问题？
思考与讨论
答案　当角速度ω不变时，根据公式v=ωr，轨道半径增大2倍，速度v也增大2倍。但对于人造地球卫星来讲，当轨道半径增大时，角速度会改
变。所以第一种说法不正确；因公式v=中，当轨道半径r增大时，
引力常量G和地球质量都不变，因此人造地球卫星的速度减小。
　如图所示，是在同一平面不同轨道上的三颗质量相同的人造地球卫星，均绕地球做匀速圆周运动。关于各物理量的关系，下列说法不正确的是
A.线速度大小vA>vB>vC
B.周期TA>TB>TC
C.向心加速度大小aA>aB>aC
D.角速度ωA>ωB>ωC
例1
√
由题意可得=m=mr=mω2r=ma，则a=，v=
，ω=，T=，由题图可知rA得TAvB>vC，aA>aB>aC，ωA>ωB>ωC，故
选B。
　(2020·浙江7月选考)火星探测任务“天问一号”的标识如图所示。若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3∶2，则火星与地球绕太阳运动的
A.轨道周长之比为2∶3
B.线速度大小之比为∶
C.角速度大小之比为2∶3
D.向心加速度大小之比为9∶4
例2
√
轨道周长C=2πr，与半径成正比，故轨道周长之比为3∶2，故A
错误；
根据万有引力提供向心力有=m，得v=，则=
=，故B错误；
由万有引力提供向心力有=mω2r，得ω=，则==，故C
正确；
由=ma，得a=，则==，故D错误。
　2022年6月5日，我国成功发射神舟十四号载人飞船，3名航天员进驻核心舱。假设神舟十四号在飞行的过程中绕地球沿圆轨道运行，地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，飞船绕地球运行的周期为T。
(1)求飞船离地面的高度h；
例3
答案　-R
飞船绕地球沿圆轨道运行，根据万有引力提供向心力有
G=m(R+h)；
在地球表面，根据万有引力近似等于重力有
G=m'g，
解得飞船离地面的高度为h=-R。
(2)如图所示，卫星A与神舟十四号载人飞船B在同一轨道平面，已知卫星A运行方向与B相同，A的轨道半径为B的2倍，某时刻A、B相距最近，则至少经过多长时间它们再一次相距最近？
答案　T
根据开普勒第三定律有=，
又rA=2rB，解得TA=2T，
设经过t时间它们再一次相距最近，则有
t-t=2π，
解得t=T。
返回
总结提升
两颗卫星在同一轨道平面内同向绕地球做匀速圆周
运动时，a卫星的角速度为ωa，b卫星的角速度为ωb。
若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，
相距最近，如图所示。
内轨道所转过的圆心角与外轨道所转过的圆心角之差为π的整数倍时就是出现最近或最远的时刻。
(1)两卫星相距最近的条件：ωa·Δt-ωb·Δt=2nπ(n=1，2，3…)
(2)两卫星相距最远的条件：ωa·Δt-ωb·Δt=(2n+1)π(n=0，1，2，3…)
万有引力和重力的关系
二
如图所示，人分别站在地球(地球可视为规则的球体)的北极处(位置A)、北半球某位置(位置B)、赤道上某位置(位置C)。
(1)同一个人在地球不同位置受到的万有引力大小是否相等？
答案　根据万有引力定律F=G可知，同一个人在地球的不同位置，受到的万有引力大小相等。
(2)人在地球上随地球自转所需的向心力来源是什么？人在A、B、C三位置需要的向心力大小、方向是否相同？
人在位置A所需向心力为零，在位置C所需向心力指向地心，在位置B所需向心力垂直指向地轴。
答案　人在位置B、C随地球自转，万有引力和支持力的合力提供人随地球转动需要的向心力； 根据F向 =
mω2R可知，同一人在位置B、C需要的向心力大小不同。
(3)人在A、B、C三位置的重力与万有引力有何关系？
答案　重力是由于地球吸引而受到的力。人在A位置时的重力与万有引力相等，当人在位置B、C时，重力为万有引力的一个分力；人静止在地球表面时，所受重力和支持力等大反向。
1.在地球上不同的纬度，万有引力和重力的关系不同。(地球质量为M，物体质量为m，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，地球自转角速度为ω，引力常量为G)
提炼·总结
(1)如图甲所示，在赤道上：重力和向心力在一条直线上，mg= 。
(2)如图乙所示，在两极上：F向 =0，mg= 。
(3)如图丙所示，在其他位置，重力是万有引力的一个分力，mg
(选填“>”“<”或“=”)。越靠近南北两极g 值越 。
2.由于物体随地球自转所需的向心力很小，常认为万有引力近似等于重力，即mg= 。
-mω2R
<
大
为什么高山上的自由落体加速度比山下地面的小？
思考与讨论
答案　地球表面重力加速度g=，M为地球质量，R为地球半径，地球上空h 高度，万有引力等于重力，即=mg'，所以h 高度处的重力加速度g'=，则g'　(多选)(2023·邯郸市高一期中)关于万有引力和重力的关系，下列说法正确的是
A.地面附近的物体所受到的重力就是万有引力
B.若地球自转角速度变大，则赤道上物体所受重力变小
C.物体所受重力方向总是与万有引力方向相同
D.在地球上，万有引力等于重力与向心力的矢量和
例4
√
√
地面附近的物体所受到的重力是由于万有引力而产生的，它只是万有引力的一个分力，故重力并不是万有引力，A错误；
若地球自转角速度变大，由-mg=mω2R可知，赤道上物体所受重力变小，B正确；
万有引力的方向指向地心，而重力的方向竖直向下，两个方向不同，只有在南北两极和赤道上，方向才一致，C错误；
在地球上，万有引力等于重力与向心力的矢量和，D正确。
　(2024·铜川市高一期中)假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g，地球的半径为R，则地球的自转周期为
A.2π B.2π
C.2π D.2π
例5
√
地球表面的重力加速度在两极处的大小为g0，地球半径为R，则G
=mg0，地球表面的重力加速度在赤道处的大小为g，地球自转的周期
为T，则G-mg=mR()2，联立解得T=2π，故选B。
返回
专题强化练
三
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C AD D BC C A C D
题号 9 10 11
答案 ACD (1)3g　(2)1.09年 C
对一对
答案
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1.(2023·江苏卷)设想将来发射一颗人造卫星，能在月球绕地球运动的轨道上稳定运行，该轨道可视为圆轨道。该卫星与月球相比，一定相等的是
A.质量
B.向心力大小
C.向心加速度大小
D.受到地球的万有引力大小
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基础强化练
√
答案
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根据G=ma，可得a=，可知能否在该轨道运行与质量无关，则该卫星质量与月球质量不一定相同，则向心力大小及所受地球的万有引力大小不一定相同；因该卫星与月球的轨道半径相同，可知向心加速度大小相同，故选C。
答案
2.(多选)(2024·衡阳市高一期中)《夸父逐日》最早出自《山海经·海外北经》，反映了古代先民与自然灾害做斗争的事实。若夸父“逐日”的足迹遍及全球，且未离开地面，则对于夸父“逐日”的过程，下列说法正确的是
A.夸父所受的重力竖直向下
B.夸父在赤道时所受的重力最大
C.夸父所受的重力和万有引力始终相等
D.夸父在两极时随地球转动所需的向心力最小
√
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√
答案
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地面所有物体所受地球的万有引力按其作用效果分解为重力和向心力，向心力使物体随地球一起绕地轴自转，所以说重力是地球对物体的万有引力的一个分力，方向竖直向下。万有引力、重力和向心力三个力遵循力的平行四边形定则，万有引力的方向指向地心，物体由赤道向两极移动时，万有引力大小不变，向心力减小，重力增大，当物体到达两极时，所需向心力最小，为零，其所受的重力等于万有引力。故选A、D。
答案
3.(2022·广东卷)“祝融号”火星车需要“休眠”以度过火星寒冷的冬季。假设火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一，且火星的冬季时长约为地球的1.88倍。火星和地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动。下列关于火星、地球公转的说法正确的是
A.火星公转的线速度比地球的大
B.火星公转的角速度比地球的大
C.火星公转的半径比地球的小
D.火星公转的加速度比地球的小
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√
答案
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由题意可知，火星的公转周期大于地球的公转周期，根据G=mr，可得T=2π，
可知火星的公转半径大于地球的公转半径，故C错误；
根据G=m，可得v=，结合C选项解析，可知火星公转的线速
度小于地球公转的线速度，故A错误；
根据ω=可知火星公转的角速度小于地球公转的角速度，故B错误；
根据G=ma，可得a=，可知火星公转的加速度小于地球公转的加
速度，故D正确。
答案
4.(多选)(2023·南阳市高一期末)人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，当轨道半径增大到2倍时，如果人造地球卫星的质量不变，则该卫星
A.周期变为原来的
B.线速度大小变为原来的
C.向心力大小变为原来的
D.向心加速度大小变为原来的
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√
√
答案
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根据G=mr，T=2π，周期变为原来的2倍，故A错误；
根据G=m，v=，故B正确；
根据F向=G，故C正确；
根据G=ma，a=，故D错误。
答案
5.(2022·河北卷)2008年，我国天文学家利用国家天文台兴隆观测基地的2.16米望远镜，发现了一颗绕恒星HD173416运动的系外行星HD173416b，2019年，该恒星和行星被国际天文学联合会分别命名为“羲和”和“望舒”，天文观测得到恒星羲和的质量是太阳质量的2倍，若将望舒与地球的公转均视为匀速圆周运动，且公转的轨道半径相等。则望舒与地球公转速度大小的比值为
A.2 B.2
C. D.
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√
答案
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行星望舒绕恒星羲和公转和地球绕太阳公转都是由万有引力提供向心
力，有G=m，解得公转的线速度大小为v=，其中中心天体
的质量之比为2∶1，公转的轨道半径相等，则望舒与地球公转速度大小的比值为，故选C。
答案
6.(2023·江苏省苏州中学高一期中)如图所示，在某电影中，太空电梯高耸入云，在地表与太空间高速穿梭。太空电梯上升到某高度时，质量为75 kg的人重力为480 N。已知地球半径为6 371 km，不考虑地球自转，地球表面重力加速度g=10 m/s2，则此时太空电梯距离地面的高度约为
A.1 593 km B.3 584 km
C.7 964 km D.9 955 km
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答案
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不考虑地球自转，万有引力等于重力，设此时太空电梯处的重力加速
度为g'，则g'==6.4 m/s2，则有=mg'，=mg，联立解得：h≈
1 593 km，故选A。
答案
7.(2024·重庆市高一期中)假设某星球可视为质量均匀分布的球体，已知该星球表面的重力加速度在两极的大小为g1，在赤道的大小为g2，星球自转的周期为T，引力常量为G，则该星球的密度为
A. B.·
C.· D.·
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答案
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在两极有G=mg1，在赤道有G-mg2=mR，星球的密度为ρ=，V=πR3，联立可得ρ=·，故选C。
答案
8.(2023·连云港市期末)2022年11月1日，梦天实验舱成功对接天和核心舱前向端口，标志中国空间站可以根据需要扩展规模。若中国空间站离地面高度为h，地球半径为R，地表重力加速度为g，引力常量为G，轨道可视为圆，忽略地球自转的影响，下列说法正确的是
A.中国空间站不受万有引力作用
B.根据题知条件，不能够求出中国空间站绕地球飞行的周期
C.根据题知条件，可以求出地球的质量为
D.根据题知条件，中国空间站的线速度的大小为
能力综合练
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答案
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中国空间站绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，故A错误；
设地球质量为M，在地球表面，根据G=mg，可得地球的质量M=，故C错误；
根据万有引力提供向心力可得G=m'=m'(R+h)，解得中国空间站的线速度大小v=，中国空间站绕地球飞行的周期T=2π，故D正确，B错误。
答案
9.(多选)(2023·银川一中高一期中)由于地球自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同。已知地球表面两极处的重力加速度大小为g0，在赤道处的重力加速度大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G。假设地球可视为质量均匀分布的球体。下列说法正确的是
A.质量为m的物体在地球北极受到的重力大小为mg0
B.质量为m的物体在地球赤道上受到的万有引力大小为mg
C.地球的半径为
D.地球自转的角速度为
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物体在两极，万有引力等于重力，有=mg0，故A正确；
物体在地球赤道上，有G-mg=m()2R，又F万=G=mg0，解得R=，故B错误，C正确；
由ω=，故D正确。
答案
10.(2024·南京市高一期末)如图所示，当木星在绕日公转过程中运行到日、地连线延长线上时，会形成“木星冲日”现象(木星和地球在太阳同侧)。已知地球质量为M，半径为R，公转半径为r，地表重力加速度为g，公转周期为1年。假设木星质量是300M，半径是10R，公转半径是5r，不考虑木星和地球的自转，不计木星和地球间的引力，≈2.4，求：
(1)木星表面的重力加速度为多大；
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答案　3g
答案
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行星对表面物体的万有引力等于物体在表面时受到的
重力，有
G=mg
解得g=
已知地球质量为M，半径为R，而木星质量是300M，半径是10R，则木星表面的重力加速度为
g木=g=3g
答案
(2)木星冲日平均多少年出现一次。
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答案　1.09年
根据开普勒第三定律有=
可得T木=5T地≈12年
设从木星冲日到下次木星冲日的时间间隔为t，则
-=1
解得t= 年≈1.09年。
答案
11.(2022·山东卷)“羲和号”是我国首颗太阳探测科学技术试验卫星。如图所示，该卫星围绕地球的运动视为匀速圆周运动，轨道平面与赤道平面接近垂直。卫星每天在相同时刻，沿相同方向经过地球表面A点正上方，恰好绕地球运行n圈。已知地球半径为R，自转周期为T，地球表面重力加速度为g，则“羲和号”卫星轨道距地面高度为
A.(-R B.(
C.(-R D.(
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尖子生选练
答案
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地球表面的重力加速度为g，根据牛顿第二定律有
=mg，可得GM=gR2，
根据题意可知，卫星的运行周期为T'=，
根据牛顿第二定律，万有引力提供卫星运动的向心力，
则有
=m'(R+h)；
联立以上式子解得h=-R，故选C。
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答案专题强化　天体运动的分析与计算　万有引力和重力的关系
[学习目标]　1.掌握星体绕中心天体做圆周运动的物理量与轨道半径的关系(重难点)。2.明确地球表面的万有引力和重力的关系(难点)。
一、天体运动参量的分析与计算
1.一般卫星(或行星)的运动可看成匀速圆周运动，其所需向心力与万有引力的关系可写为：
G=m　　　　=m=m　　　　=mr。
2.根据1中的关系式推导向心加速度大小an、线速度大小v、角速度ω、周期T与轨道半径r的关系。
=
“一定四定”，越高越　　　(选填“快”或“慢”)。
3.忽略地球自转时，mg=G，整理可得：GM=　　　　，当GM未知时，可用　　　　替换后进行有关计算，此式被称为“黄金代换公式”。
有人根据公式v=ωr说：人造地球卫星的轨道半径增大2倍，卫星的速度也增大2倍。但由公式v=可知，轨道半径增大时，人造地球卫星的速度是减小的。应当怎样正确理解这个问题？
例1　如图所示，是在同一平面不同轨道上的三颗质量相同的人造地球卫星，均绕地球做匀速圆周运动。关于各物理量的关系，下列说法不正确的是(　　)
A.线速度大小vA>vB>vC
B.周期TA>TB>TC
C.向心加速度大小aA>aB>aC
D.角速度ωA>ωB>ωC
例2　(2020·浙江7月选考)火星探测任务“天问一号”的标识如图所示。若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3∶2，则火星与地球绕太阳运动的(　　)
A.轨道周长之比为2∶3
B.线速度大小之比为∶
C.角速度大小之比为2∶3
D.向心加速度大小之比为9∶4
例3　2022年6月5日，我国成功发射神舟十四号载人飞船，3名航天员进驻核心舱。假设神舟十四号在飞行的过程中绕地球沿圆轨道运行，地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，飞船绕地球运行的周期为T。
(1)求飞船离地面的高度h；
(2)如图所示，卫星A与神舟十四号载人飞船B在同一轨道平面，已知卫星A运行方向与B相同，A的轨道半径为B的2倍，某时刻A、B相距最近，则至少经过多长时间它们再一次相距最近？
两颗卫星在同一轨道平面内同向绕地球做匀速圆周运动时，a卫星的角速度为ωa，b卫星的角速度为ωb。
若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，相距最近，如图所示。
内轨道所转过的圆心角与外轨道所转过的圆心角之差为π的整数倍时就是出现最近或最远的时刻。
(1)两卫星相距最近的条件：ωa·Δt-ωb·Δt=2nπ(n=1，2，3…)
(2)两卫星相距最远的条件：ωa·Δt-ωb·Δt=(2n+1)π(n=0，1，2，3…)
二、万有引力和重力的关系
如图所示，人分别站在地球(地球可视为规则的球体)的北极处(位置A)、北半球某位置(位置B)、赤道上某位置(位置C)。
(1)同一个人在地球不同位置受到的万有引力大小是否相等？
(2)人在地球上随地球自转所需的向心力来源是什么？人在A、B、C三位置需要的向心力大小、方向是否相同？
(3)人在A、B、C三位置的重力与万有引力有何关系？
1.在地球上不同的纬度，万有引力和重力的关系不同。(地球质量为M，物体质量为m，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，地球自转角速度为ω，引力常量为G)
(1)如图甲所示，在赤道上：重力和向心力在一条直线上， mg=　　　　　　　　　　　　。
(2)如图乙所示，在两极上：F向 =0，mg=　　　　。
(3)如图丙所示，在其他位置，重力是万有引力的一个分力， mg　 (选填“>”“<”或“=”)。越靠近南北两极g 值越　　。
2.由于物体随地球自转所需的向心力很小，常认为万有引力近似等于重力，即mg=　　　　。
为什么高山上的自由落体加速度比山下地面的小？
例4　(多选)(2023·邯郸市高一期中)关于万有引力和重力的关系，下列说法正确的是(　　)
A.地面附近的物体所受到的重力就是万有引力
B.若地球自转角速度变大，则赤道上物体所受重力变小
C.物体所受重力方向总是与万有引力方向相同
D.在地球上，万有引力等于重力与向心力的矢量和
例5　(2024·铜川市高一期中)假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g，地球的半径为R，则地球的自转周期为(　　)
A.2π B.2π
C.2π D.2π
答案精析
一、
1.an　ω2r
2.　　　　慢
3.gR2　gR2　
思考与讨论
当角速度ω不变时，根据公式v=ωr，轨道半径增大2倍，速度v也增大2倍。但对于人造地球卫星来讲，当轨道半径增大时，角速度会改变。所以第一种说法不正确；因公式v=中，当轨道半径r增大时，引力常量G和地球质量都不变，因此人造地球卫星的速度减小。
例1　B　[由题意可得=m=mr=mω2r=ma，则a=，v=，ω=，T=，由题图可知rAvB>vC，aA>aB>aC，ωA>ωB>ωC，故选B。]
例2　C　[轨道周长C=2πr，与半径成正比，故轨道周长之比为3∶2，故A错误；根据万有引力提供向心力有=m，得v=，则==，故B错误；由万有引力提供向心力有=mω2r，得ω=，则==，故C正确；由=ma，得a=，则==，故D错误。]
例3　(1)-R　(2)T
解析　(1)飞船绕地球沿圆轨道运行，根据万有引力提供向心力有G=m(R+h)；
在地球表面，根据万有引力近似等于重力有
G=m'g，
解得飞船离地面的高度为h=-R。
(2)根据开普勒第三定律有=，
又rA=2rB，解得TA=2T，
设经过t时间它们再一次相距最近，则有
t-t=2π，
解得t=T。
二、
(1)根据万有引力定律 F= G可知，同一个人在地球的不同位置，受到的万有引力大小相等。
(2)人在位置B、C随地球自转，万有引力和支持力的合力提供人随地球转动需要的向心力； 根据F向 =mω2R可知，同一人在位置B、C需要的向心力大小不同。人在位置A所需向心力为零，在位置C所需向心力指向地心，在位置B所需向心力垂直指向地轴。
(3)重力是由于地球吸引而受到的力。人在A位置时的重力与万有引力相等，当人在位置B、C时，重力为万有引力的一个分力；人静止在地球表面时，所受重力和支持力等大反向。
提炼·总结
1.(1)-mω2R　(2)　(3)<　大
2.　
思考与讨论
地球表面重力加速度g=，M为地球质量，R为地球半径，地球上空h 高度，万有引力等于重力，即=mg'，所以h 高度处的重力加速度g'=，则g'例4　BD　[地面附近的物体所受到的重力是由于万有引力而产生的，它只是万有引力的一个分力，故重力并不是万有引力，A错误；
若地球自转角速度变大，由-mg=mω2R可知，赤道上物体所受重力变小，B正确；
万有引力的方向指向地心，而重力的方向竖直向下，两个方向不同，只有在南北两极和赤道上，方向才一致，C错误；
在地球上，万有引力等于重力与向心力的矢量和，D正确。]
例5　B　[地球表面的重力加速度在两极处的大小为g0，地球半径为R，则G=mg0，地球表面的重力加速度在赤道处的大小为g，地球自转的周期为T，则G-mg=mR()2，联立解得T=2π，故选B。]

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