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DIBAZHANG
第八章
3　动能和动能定理
1.掌握动能的表达式和单位，知道动能是标量。
2.能运用牛顿第二定律和运动学公式推导出动能定理(重点)。
3.理解动能定理，能运用动能定理解决简单的问题(重难点)。
学习目标
一、动能和动能定理
二、动能定理的简单应用
课时对点练
内容索引
动能和动能定理
一
如图所示，光滑水平面上质量为m的物体在水平恒力F的作用下向前运动了一段距离l，速度由v1增加到v2，试推导出这一过程中力F对物体做功的表达式。
答案　W=Fl=F·=F·=m-m。
1.动能
(1)动能的表达式Ek= 。其单位与　　的单位相同，在国际单位制中为　　　，符号为　　。
(2)动能是　　量，没有负值。
(3)动能是状态量，与物体的运动状态相对应。
(4)动能具有相对性，选取不同的参考系，物体的速度大小不同，动能也不同，一般以地面为参考系。
梳理与总结
mv2
功
焦耳
J
标
2.动能定理
(1)力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中　　　　　 。
表达式：W= ，也可写成W=Ek2-Ek1。
如果物体受到几个力的共同作用，W即为合力做的功，它等于________
。
动能的变化
m-m
各个力做
功的代数和
(2)W与ΔEk的关系：合力做功是物体动能变化的原因。
①合力对物体做正功，即W>0，ΔEk>0，表明物体的末动能大于初动能；
②合力对物体做负功，即W<0，ΔEk<0，表明物体的末动能小于初动能。
(3)适用范围：既适用于恒力做功，也适用于变力做功，既适用于直线运动，也适用于曲线运动。
(1)两质量相同的物体，动能相同，速度一定相同。(　　)
(2)物体的动能不变，所受的合外力必定为零。(　　)
(3)合外力对物体做功不等于零，物体的速度一定变化。(　　)
×
×
√
　(2024·泰安市高一期中)改变汽车的质量和速度，就可能使汽车的动能发生改变。下列几种情况中，汽车的动能未发生变化的是
A.质量减半，速度增大到原来的2倍
B.速度减半，质量增大到原来的2倍
C.质量减半，速度增大到原来的4倍
D.速度减半，质量增大到原来的4倍
例1
√
返回
根据动能表达式Ek=mv2，质量减半，速度增大到原来的2倍，动能变为原来的2倍，故A错误；
速度减半，质量增大到原来的2倍，动能变为原来的，故B错误；
质量减半，速度增大到原来的4倍，动能变为原来的8倍，故C错误；
速度减半，质量增大到原来的4倍，动能保持不变，故D正确。
动能定理的简单应用
二
如图所示，质量为m的物块从固定斜面顶端由静止滑下，已知斜面倾角为θ，物块与斜面之间的动摩擦因数为μ，斜面高为h，重力加速度为g。
(1)物块在下滑过程中受哪些力的作用？各个力做的功分
别为多少？
答案　受重力、支持力、摩擦力；重力做功为WG=mgh，支持力做功为WN=0，摩擦力做功为Wf=-μmgcos θ·=-μmg。
(2)物块的动能怎样变化？物块到达斜面底端时的速度为多大？
答案　物块的动能增大，由动能定理得WG+WN+Wf=mv2-0，得物块到达斜面底端的速度大小v=。
　如图，某同学用绳子拉动木箱，使它从静止开始沿粗糙水平路面运动至具有某一速度。木箱获得的动能一定
A.小于拉力所做的功
B.等于拉力所做的功
C.等于克服摩擦力所做的功
D.大于克服摩擦力所做的功
例2
√
设拉力做功为W拉，克服摩擦力做的功为W克，由题意知，W拉-W克=ΔEk，则W拉>ΔEk，A项正确，B项错误；
W克与ΔEk的大小关系不确定，C、D项错误。
　质量m=6×103 kg的飞机，从静止开始沿平直的跑道匀加速滑行，当滑行距离l=7.2×102 m时，达到起飞速度v=60 m/s。
(1)起飞时飞机的动能是多少？
例3
答案　1.08×107 J
飞机起飞时的动能Ek=mv2
代入数值解得Ek=1.08×107 J。
(2)若不计滑行过程中所受的阻力，则飞机受到的牵引力为多大？
答案　1.5×104 N
设飞机受到的牵引力为F，由题意知合外力为F，
由动能定理得Fl=Ek-0，代入数值得F=1.5×104 N。
(3)若滑行过程中受到的平均阻力大小为3.0×103 N，牵引力与第(2)问中求得的值相等，则要达到上述起飞速度，飞机的滑行距离应为多大？
答案　9×102 m
设飞机的滑行距离为l'，滑行过程中受到的平均阻力大小为Ff，由动能定理得(F-Ff)l'=Ek-0
解得l'=9×102 m。
总结提升
应用动能定理解题的一般步骤
1.选取研究对象(通常是单个物体)，明确它的运动过程。
2.对研究对象进行受力分析，明确各个力做功的情况，求出外力做功的代数和。
3.明确物体在初、末状态的动能Ek1、Ek2。
4.列出动能定理的方程W=Ek2-Ek1，结合其他必要的辅助方程求解并验算。
　如图，斜面末端B点与水平面平滑相接，现将一质量m=2 kg、可视为质点的物块在距水平地面高h=0.5 m处的A点以一定初速度释放(速度方向沿斜面向下)，物块运动到水平面上距B点s=1.6 m处的C点停下，已知斜面光滑，物块与水平面之间的动摩擦因数μ=0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，其他阻力忽略不计。(g=10 m/s2)
(1)求物块到达B点时的速度大小；
例4
答案　4 m/s
物块从B点到C点由动能定理可得
-μmgs=0-m
解得vB=4 m/s
(2)求物块在A点的动能；
答案　6 J
物块从A点到B点由动能定理可得
mgh=m-EkA
解得EkA=6 J
(3)若赋予物块向左的水平初速度，使其从C点恰好到
达A点，求水平初速度大小(结果可带根号)。
答案　 m/s
设水平初速度大小为v，从C点到A点由动能定理可得-μmgs-mgh=0-
mv2
解得v= m/s。
总结提升
动能定理的优越性
牛顿运动定律 动能定理
适用条件 只能研究物体在恒力作用下做直线运动的情况 对于物体在恒力或变力作用下做直线运动或曲线运动的情况均适用
应用方法 要考虑运动过程的每一个细节 只考虑各力的做功情况及初、末状态的动能
运算方法 矢量运算 代数运算
总结提升
返回
牛顿运动定律 动能定理
相同点 确定研究对象，对物体进行受力分析和运动过程分析
结论 应用动能定理解题不涉及加速度、时间，不涉及矢量运算，运算简单，不易出错
课时对点练
三
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C C B B C B B
题号 9 10 11 12
答案 C (1)4 m/s　(2)0.8 m (1)4 m/s　(2)300 N　(3)80 J C
对一对
答案
1
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考点一　对动能和动能定理的理解
1.对动能的理解，下列说法正确的是
A.运动速度大的物体，动能一定大
B.动能像重力势能一样有正负
C.质量一定的物体，动能变化时，速度一定变化，但速度变化时，动能
　不一定变化
D.动能不变的物体，一定处于平衡状态
1
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基础对点练
√
答案
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因动能与物体的质量和速度均有关，运动速度大的物体，动能不一定大，A错误；
动能没有负值，B错误；
质量一定的物体，动能变化，则速度的大小一定变化，所以速度一定变化，但速度变化时，如果只是方向改变而大小不变，则动能不变，比如做匀速圆周运动的物体，C正确；
动能不变的物体，速度方向可能变化，故不一定处于平衡状态，D错误。
答案
2.(2024·新课标卷)福建舰是我国自主设计建造的首艘弹射型航空母舰。借助配重小车可以进行弹射测试，测试时配重小车被弹射器从甲板上水平弹出后，落到海面上。调整弹射装置，使小车水平离开甲板时的动能变为调整前的4倍。忽略空气阻力，则小车在海面上的落点与其离开甲板处的水平距离为调整前的
A.0.25倍 B.0.5倍
C.2倍 D.4倍
√
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答案
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动能表达式为Ek=mv2。由题意可知配重小车水平离开甲板时的动能
变为调整前的4倍，则小车离开甲板时速度变为调整前的2倍；
小车离开甲板后做平抛运动，从离开甲板到到达海面上时间不变，根据x=vt，可知小车在海面上的落点与其离开甲板处的水平距离为调整前的2倍。故选C。
答案
3.如图所示，电梯质量为M，在它的水平地板上放置一质量为m的物体。电梯在钢索的拉力作用下竖直向上加速运动，当电梯的速度由v1增加到v2时，上升高度为H，重力加速度为g，物体始终与电梯保持相对静止，则在这个过程中，下列说法或表达式正确的是
A.对物体，动能定理的表达式为WN=m，其中WN为支持力
　做的功
B.对物体，动能定理的表达式为W合=0，其中W合为合力做的功
C.对物体，动能定理的表达式为WN-mgH=m-m
D.对电梯，其所受合力做功为M-M-mgH
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√
答案
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物体受重力和支持力作用，根据动能定理得WN-mgH=
m-m，故选项C正确，A、B错误；
对电梯，所受合力做功等于电梯动能的变化量，故选项
D错误。
答案
考点二　动能定理的简单应用
4.(2024·扬州市高一期中)如图所示，在水平桌面上的A点有一个质量为m的物体以初速度v0被抛出，不计空气阻力，重力加速度为g，当它到达B点时，其动能为
A.m+mgH B.m+mgh
C.mgH-mgh D.m+mg(H-h)
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√
答案
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不计空气阻力，只有重力做功，从A到B过程，由动
能定理有EkB-m=mgh，可得EkB=m+mgh，故
选B。
答案
5.光滑水平面上有一物体，在水平恒力F作用下由静止开始运动，经过时间t1速度达到v，再经过时间t2，速度由v增大到2v，在t1和t2两段时间内，外力F对物体做功之比为
A.1∶2 B.1∶3
C.3∶1 D.1∶4
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√
根据动能定理得，第一段过程：W1=mv2，第二段过程：W2=m(2v)2-mv2=mv2，解得W1∶W2=1∶3，B正确。
答案
6.如图所示，质量为2 g的子弹，以300 m/s的速度射入厚度为5 cm的木板，射穿后的速度是100 m/s，则子弹射穿木板的过程中受到的平均阻力为
A.800 N B.1 200 N
C.1 600 N D.2 000 N
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√
在子弹射穿木板的过程中只有木板对子弹的阻力对子弹做了功，对子
弹分析，根据动能定理得：-Ffl=m-m，代入数据可得Ff=1 600 N，
故选C。
答案
7.如图所示，某人骑自行车下坡，坡长l=500 m，坡高h=8 m，人和车总质量为100 kg，下坡时初速度为4 m/s，人不踏车的情况下，到达坡底时车速为10 m/s，g取10 m/s2，则下坡过程中阻力所做的功为
A.3 800 J B.-3 800 J
C.4 200 J D.-4 200 J
√
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由动能定理有mgh+Wf=m(v2-)，解得Wf=-mgh+m(v2-)=-3 800 J，
故B正确。
答案
8.(2023·常州市高一期末)在篮球比赛中，某位同学获得罚球机会，如图，他站在罚球线处用力将篮球投出，篮球以约为v=1 m/s的速度撞击篮筐，已知篮球质量约为m=0.6 kg，篮筐离地高度约为h=3 m，忽略篮球受到的空气阻力，g取10 m/s2，则该同学罚球时对篮球做的功大约为
A.1 J B.8 J
C.50 J D.100 J
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√
能力综合练
答案
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12
假设该同学的身高为h1=1.8 m，则根据动能定理W-
mg(h-h1)=mv2，代入数据整理可得W=7.5 J，故选B。
答案
9.(2023·宁波市高一期末)将一个质量为m的小球斜向上抛出，抛出时具有的动能为Ek，不计空气阻力。当小球到达最大高度h时，其动能为Ek。则当小球到达h处时，其速度大小为
A. B.
C. D.
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√
答案
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小球从抛出到小球到达最大高度h时，由动能定理得-mgh=Ek-Ek，小球从抛出到小球到达h时，设小球的速度大小为v，由动能定理得-mg×h=mv2-Ek，解得v=，故选C。
答案
10.如图所示，轨道由水平轨道AB和足够长斜面轨道BC平滑连接而成，斜面轨道BC与水平面间的夹角为θ=37° 。质量为m=1 kg 的物块静止在距离B点x0=8 m 的水平轨道上，物块与水平面和斜面间的动摩擦因数均为μ=0.50。现在物块上作用一个大小F=6 N、方向水平向右的拉力，物块到达B点时撤去该拉力。sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，g取10 m/s2。求：
(1)物块到达B点时的速度大小vB；
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答案　4 m/s
根据动能定理Fx0-μmgx0=m，解得vB=4 m/s
答案
(2)物块沿斜面上滑的最大距离xm。
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答案　0.8 m
根据动能定理-mgxmsin 37°-μmgxmcos 37°=0-m，解得xm=0.8 m。
答案
11.如图所示，一质量为m=10 kg的物体，由光滑圆弧轨道上端从静止开始下滑，到达底端后沿水平面向右滑动1 m距离后停止。已知圆弧底端与水平面平滑连接，圆弧轨道半径R=0.8 m，取g=10 m/s2，求：
(1)物体滑至圆弧底端时的速度大小；
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答案　4 m/s
设物体滑至圆弧底端时速度大小为v，由动能定理可知mgR=mv2
得v==4 m/s；
答案
(2)物体滑至圆弧底端时对轨道的压力大小；
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答案　300 N
设物体滑至圆弧底端时受到轨道的支持力大小为FN，根据牛顿第二定
律得FN-mg=m，故FN=mg+m=300 N
根据牛顿第三定律得FN'=FN，所以物体对圆弧轨道底端的压力大小为300 N；
答案
(3)物体沿水平面滑动过程中克服摩擦力做的功。
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答案　80 J
设物体沿水平面滑动过程中摩擦力做的功为Wf，根据动能定理可知
Wf=0-mv2=-80 J
所以物体沿水平面滑动过程中克服摩擦力做的功为80 J。
答案
12.小球P和Q用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，P球的质量大于Q球的质量，悬挂P球的绳比悬挂Q球的绳短。将两球拉起，使两绳均被水平拉直，如图所示，不计空气阻力。将两球由静止释放，在各自轨迹的最低点
A.P球的速度一定大于Q球的速度
B.P球的动能一定小于Q球的动能
C.P球所受绳的拉力一定大于Q球所受绳的拉力
D.P球的向心加速度一定小于Q球的向心加速度
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尖子生选练
答案
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从释放到最低点过程中，由动能定理得mgl=
mv2-0，可得v=，因lP选项A错误；
由EkQ=mQglQ，EkP=mPglP，而mP>mQ，故两球动能大小无法比较，选项B错误；
在最低点对两球进行受力分析，根据牛顿第二定律及向心力公式可
知FT-mg=m=man，得FT=3mg，an=2g，则FTP>FTQ，anP=anQ，C正
确，D错误。
返回
答案3　动能和动能定理
[学习目标]　1.掌握动能的表达式和单位，知道动能是标量。2.能运用牛顿第二定律和运动学公式推导出动能定理(重点)。3.理解动能定理，能运用动能定理解决简单的问题(重难点)。
一、动能和动能定理
如图所示，光滑水平面上质量为m的物体在水平恒力F的作用下向前运动了一段距离l，速度由v1增加到v2，试推导出这一过程中力F对物体做功的表达式。
1.动能
(1)动能的表达式Ek=　　　　。其单位与　　的单位相同，在国际单位制中为　　　　，符号为　　　　。
(2)动能是　　量，没有负值。
(3)动能是状态量，与物体的运动状态相对应。
(4)动能具有相对性，选取不同的参考系，物体的速度大小不同，动能也不同，一般以地面为参考系。
2.动能定理
(1)力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中　　　　　　　　。
表达式：W=　　　　　　　　，也可写成W=Ek2-Ek1。
如果物体受到几个力的共同作用，W即为合力做的功，它等于　　　　　　　　　　　　。
(2)W与ΔEk的关系：合力做功是物体动能变化的原因。
①合力对物体做正功，即W>0，ΔEk>0，表明物体的末动能大于初动能；
②合力对物体做负功，即W<0，ΔEk<0，表明物体的末动能小于初动能。
(3)适用范围：既适用于恒力做功，也适用于变力做功，既适用于直线运动，也适用于曲线运动。
(1)两质量相同的物体，动能相同，速度一定相同。(　　)
(2)物体的动能不变，所受的合外力必定为零。(　　)
(3)合外力对物体做功不等于零，物体的速度一定变化。(　　)
例1　(2024·泰安市高一期中)改变汽车的质量和速度，就可能使汽车的动能发生改变。下列几种情况中，汽车的动能未发生变化的是(　　)
A.质量减半，速度增大到原来的2倍
B.速度减半，质量增大到原来的2倍
C.质量减半，速度增大到原来的4倍
D.速度减半，质量增大到原来的4倍
二、动能定理的简单应用
如图所示，质量为m的物块从固定斜面顶端由静止滑下，已知斜面倾角为θ，物块与斜面之间的动摩擦因数为μ，斜面高为h，重力加速度为g。
(1)物块在下滑过程中受哪些力的作用？各个力做的功分别为多少？
(2)物块的动能怎样变化？物块到达斜面底端时的速度为多大？
例2　如图，某同学用绳子拉动木箱，使它从静止开始沿粗糙水平路面运动至具有某一速度。木箱获得的动能一定(　　)
A.小于拉力所做的功
B.等于拉力所做的功
C.等于克服摩擦力所做的功
D.大于克服摩擦力所做的功
例3　质量m=6×103 kg的飞机，从静止开始沿平直的跑道匀加速滑行，当滑行距离l=7.2×102 m时，达到起飞速度v=60 m/s。
(1)起飞时飞机的动能是多少？
(2)若不计滑行过程中所受的阻力，则飞机受到的牵引力为多大？
(3)若滑行过程中受到的平均阻力大小为3.0×103 N，牵引力与第(2)问中求得的值相等，则要达到上述起飞速度，飞机的滑行距离应为多大？
应用动能定理解题的一般步骤
1.选取研究对象(通常是单个物体)，明确它的运动过程。
2.对研究对象进行受力分析，明确各个力做功的情况，求出外力做功的代数和。
3.明确物体在初、末状态的动能Ek1、Ek2。
4.列出动能定理的方程W=Ek2-Ek1，结合其他必要的辅助方程求解并验算。
例4　如图，斜面末端B点与水平面平滑相接，现将一质量m=2 kg、可视为质点的物块在距水平地面高h=0.5 m处的A点以一定初速度释放(速度方向沿斜面向下)，物块运动到水平面上距B点s=1.6 m处的C点停下，已知斜面光滑，物块与水平面之间的动摩擦因数μ=0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，其他阻力忽略不计。(g=10 m/s2)
(1)求物块到达B点时的速度大小；
(2)求物块在A点的动能；
(3)若赋予物块向左的水平初速度，使其从C点恰好到达A点，求水平初速度大小(结果可带根号)。
动能定理的优越性
牛顿运动定律 动能定理
适用条件 只能研究物体在恒力作用下做直线运动的情况 对于物体在恒力或变力作用下做直线运动或曲线运动的情况均适用
应用方法 要考虑运动过程的每一个细节 只考虑各力的做功情况及初、末状态的动能
运算方法 矢量运算 代数运算
相同点 确定研究对象，对物体进行受力分析和运动过程分析
结论 应用动能定理解题不涉及加速度、时间，不涉及矢量运算，运算简单，不易出错
答案精析
一、
W=Fl=F·=F·=m-m。
梳理与总结
1.(1)mv2　功　焦耳　J　(2)标
2.(1)动能的变化　m-m　各个力做功的代数和
易错辨析
(1)×　(2)×　(3)√
例1　D　[根据动能表达式Ek=mv2，质量减半，速度增大到原来的2倍，动能变为原来的2倍，故A错误；
速度减半，质量增大到原来的2倍，动能变为原来的，故B错误；
质量减半，速度增大到原来的4倍，动能变为原来的8倍，故C错误；
速度减半，质量增大到原来的4倍，动能保持不变，故D正确。]
二、
(1)受重力、支持力、摩擦力；重力做功为WG=mgh，支持力做功为WN=0，摩擦力做功为Wf=-μmgcos θ·=-μmg。
(2)物块的动能增大，由动能定理得WG+WN+Wf=mv2-0，得物块到达斜面底端的速度大小v=。
例2　A　[设拉力做功为W拉，克服摩擦力做的功为W克，由题意知，W拉-W克=ΔEk，则W拉>ΔEk，A项正确，B项错误；W克与ΔEk的大小关系不确定，C、D项错误。]
例3　(1)1.08×107 J　(2)1.5×104 N
(3)9×102 m
解析　(1)飞机起飞时的动能Ek=mv2
代入数值解得Ek=1.08×107 J。
(2)设飞机受到的牵引力为F，由题意知合外力为F，
由动能定理得Fl=Ek-0，代入数值得F=1.5×104 N。
(3)设飞机的滑行距离为l'，滑行过程中受到的平均阻力大小为Ff，由动能定理得(F-Ff)l'=Ek-0
解得l'=9×102 m。
例4　(1)4 m/s　(2)6 J　(3) m/s
解析　(1)物块从B点到C点由动能定理可得
-μmgs=0-m
解得vB=4 m/s
(2)物块从A点到B点由动能定理可得
mgh=m-EkA
解得EkA=6 J
(3)设水平初速度大小为v，从C点到A点由动能定理可得-μmgs-mgh=0-mv2
解得v= m/s。

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