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DIBAZHANG
第八章
章末素养提升
再现
素养知识
物理 观念 功 功 定义：力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、
　　　　　　　　　　这三者的乘积。
公式：W=________
单位：　　　，符号为___
正功和负功 (1)当0≤α<时，W 0，力对物体做_____
(2)当<α≤π时，W 0，力对物体做　　　，或称物体
　　　这个力做功
(3)当α=时，W=　　，力对物体_______
力与位移夹角的余弦
Flcos α
焦耳
J
>
正功
<
负功
克服
0
不做功
物理 观念 功 总功 (1)总功等于各个力分别对物体所做功的_______
(2)几个力的　　　对物体所做的功
功率 意义：表示做功　　　的物理量 单位：瓦特，简称瓦，符号是____ 计算公式：P= ，P=________
重力势能 定义：我们把　　　叫作物体的重力势能，常用Ep表示 表达式：Ep=______ 单位：　　　，符号为___
弹性势能 发生　　　　　的物体的各部分之间，由于有　　　的相互作用，也具有　　　，这种势能叫作弹性势能
代数和
合力
快慢
W
Fvcos α
mgh
mgh
焦耳
J
弹性形变
弹力
势能
物理 观念 动能
定义：在物理学中用“　　　”这个量表示物体的动能
表达式：Ek=______
单位：　　　，符号为___
机械能 机械能等于动能与势能之和，E=Ek+Ep
动能 定理 内容：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中____________
表达式：W=________
mv2
mv2
焦耳
J
动能的变化
Ek2-Ek1
物理 观念 机械能守 恒定律 内容：在只有　　　或　　　做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能_________ 表达式：Ek2+Ep2=________
功能关系 几种典型的能关系 重力做功对应重力势能改变，WG=-ΔE重力
弹力做功对应弹性势能改变，W弹=-ΔE弹力
合外力做功对应动能改变，W合=ΔEk
除重力、系统内弹力以外的其他力做功对应机械能改变，W=ΔE
重力
弹力
保持不变
Ek1+Ep1
物理 观念 功能关系 摩擦力做 功与热量 的关系　 作用于系统的滑动摩擦力和物体间相对滑动的距离的乘积，在数值上等于相对滑动过程产生的内能。即Q=F滑l相对，其中F滑必须是滑动摩擦力，l相对必须是两个接触面间相对滑动的距离(或相对路程)
科学 思维 物理 模型 掌握机车启动的两种方式；体会微元法在探究重力做功中的应用；利用动能定理解决动力学问题和变力做功问题；会判断不同物理模型中机械能是否守恒
演绎 推理 通过重力做功与重力势能变化关系，猜想重力势能的影响因素，推导重力势能表达式；利用功的公式、牛顿第二定律和运动学公式推导动能定理；利用能量转化和守恒的观点解释生活现象，分析解决物理问题
科学 探究 经历问题情境，体验科学知识对生活的影响；根据功和能的关系，推导出重力势能的表达式，通过实验探究弹簧弹力做功得出弹性势能的影响因素；在动能定理建立过程中，培养学生从特殊到一般、从低级到高级的探究思路；进一步固化实验是检验理论正确性的依据这一科学思想，并在探究过程中体会实验验证方法；探究机械能守恒定律的适用条件和限制，设计实验验证机械能守恒定律
科学 态度 与责任　 通过探究过程体会物理学的逻辑之美和方法之美，体会数理的巧妙结合，激发学生求知欲和学习兴趣，享受成功的乐趣。从生活中的有关物理现象得出物理结论，激发和培养学生探索自然规律的兴趣；能够意识到科学的社会意义和责任，注重科学实践中的安全和环境保护。通过同伴合作交流学会正确评价他人和自己，增强人际交往的能力。利用动能定理、机械能守恒定律等物理知识分析解决生活实例，培养学生的探究意识和实践能力；通过实验操作、数据处理及误差分析，培养学生实事求是和严谨细致的科学态度
　用长为L的轻质细绳悬挂一个质量为m的小球，其下方有一个倾角为θ的光滑斜面体，斜面体放在水平面上，开始时小球与斜面接触且细绳恰好竖直，如图所示。现在用水平推力F缓慢向左推动斜面体，直至细绳与斜面平行，则在此过程中(重力加速度为g)
A.小球受到的斜面的弹力始终与斜面垂直，故对小球不
　做功
B.细绳对小球的拉力始终与小球的运动方向垂直，故对小球不做功
C.若水平面光滑，则推力做功为mgL(1-cos θ)
D.由于缓慢推动斜面体，故小球所受合力可视为零，小球机械能不变
例1
提能
综合训练
√
根据力做功的条件，斜面弹力对小球做正功，故A
错误；
细绳对小球的拉力始终与小球运动方向垂直，故对
小球不做功，故B正确；
若水平面光滑，取小球和斜面体整体为研究对象，根据能量守恒得F做的功等于系统机械能的增量，斜面体动能和势能不变，小球的动能不变，重力势能增加，所以系统机械能的增量等于小球的重力势能增加量，所以F做的功等于小球重力势能增量，ΔEp=mgh=mgL(1-sin θ)，故C错误；
用水平力F缓慢向左推动斜面体，所以小球的动能不变，重力势能在增加，所以小球在该过程中机械能增加，故D错误。
　(2023·宿迁市高一期中)有一款名叫“跳一跳”的小游戏，游戏要求操作者通过控制棋子(质量为m)脱离平台时的速度，使其能从一个平台跳到旁边的平台上。如图所示的抛物线为棋子在某次跳跃过程中的运动轨迹，不计空气阻力。则下列说法中正确的是(重力加速度为g)
A.棋子从起跳至运动到最高点的过程中，机械能增加mgh
B.棋子离开平台时的动能为mgh
C.棋子从离开平台至运动到最高点的过程中，重力势能增加mgh
D.棋子落到平台上的速度大小为
例2
√
　(2024·江苏省高一期中)如图所示，一根轻质弹簧与质量为m的滑块P连接后，穿在一根光滑竖直杆上，弹簧下端与竖直杆的下端连接，一根轻绳跨过轻质定滑轮将滑块P和重物Q连接起来。图中O、B两点等高，线段OA长为L，与水平方向的夹角θ=37°，重物Q的质量M=5m，把滑块从图中A点由静止释放后沿竖直杆上下运动，当它经过A、B两点时，弹簧对滑块的弹力大小相等，不计定滑轮的摩擦力及空气阻力，在滑块P从A到B的运动过程中(sin 37°=0.6，cos 37°
=0.8，重力加速度为g)
A.滑块P的速度一直增大
B.滑块P在位置B的速度vB=
C.轻绳对滑块P做功0.5mgL
D.P与Q的机械能之和先减小后增大
例3
√
由A、B两点弹簧对滑块的弹力大小相等可知，A点弹簧
处于压缩状态，B点弹簧处于伸长状态，B点P所受合力
竖直向下，则P在从A点到B点过程中必有所受合力方向
竖直向下的阶段，该阶段P的速度减小，故A错误；
滑块P在A、B两点时，弹簧对滑块的弹力大小相等，即弹簧的形变量相等，弹簧的弹性势能相等，到B点时，Q的速度为零，则系统由机
械能守恒可得5mg(L-Lcos 37°)=mg×L+m，解得vB=，故
B正确；
由B项分析知A、B两点弹簧弹性势能相等，即弹簧对P
做功为零，所以细绳对P做的功等于P增加的机械能，
则W=mg×L+m=mgL，故C错误；
由A项分析知，从A点到B点过程中，弹簧对P、Q整体
先做正功后做负功，所以P与Q的机械能之和先增大后减小，故D错误。
　(2024·全国甲卷)如图，一光滑大圆环固定在竖直平面内，质量为m的小环套在大圆环上，小环从静止开始由大圆环顶端经Q点自由下滑至其底部，Q为竖直线与大圆环的切点。则小环下滑过程中对大圆环的作用力大小
A.在Q点最大
B.在Q点最小
C.先减小后增大
D.先增大后减小
例4
√
方法一(分析法)：设大圆环半径为R，小环在大圆环上
某处(P点)与圆环的作用力恰好为零，此时只有小环重
力的分力提供小环所需向心力，可知P点必在Q点上方，
如图所示
设P点和圆心连线与竖直向上方向的夹角为θ，从大圆环顶端到P点过
程，根据机械能守恒定律mgR(1-cos θ)=mv2
在P点，由牛顿第二定律得mgcos θ=m
联立解得cos θ=
从大圆环顶端到P点过程，小环速度较小，小环重力沿
着指向大圆环圆心方向的分力大于小环所需的向心力，
所以大圆环对小环的弹力背离圆心，不断减小，从P点
到最低点过程，小环速度变大，小环重力沿着大圆环直
径方向的分力和大圆环对小环的弹力合力提供向心力，从P点到Q点，小环重力沿大圆环直径的分力逐渐减小，从Q点到最低点，小环重力沿大圆环直径的分力背离圆心，逐渐增大，所以大圆环对小环的弹力逐渐变大，根据牛顿第三定律可知小环下滑过程中对大圆环的作用力大小先减小后增大。
方法二(数学法)：设大圆环半径为R，小环在大圆环上某处时，设该处和圆心的连线与竖直向上方向的夹角为θ(0≤θ≤π)，根据机械能守
恒定律得mgR(1-cos θ)=mv2(0≤θ≤π)
在该处根据牛顿第二定律得
F+mgcos θ=m(0≤θ≤π)
联立解得F=2mg-3mgcos θ
则大圆环对小环作用力的大小为
|F|=|2mg-3mgcos θ|
根据数学知识可知|F|的大小在cos θ=时最小，
由牛顿第三定律可知，小环下滑过程中对大圆环的
作用力大小先减小后增大。故选C。
　如图所示，水平面右端放一质量m=0.1 kg的小物块，给小物块v0=4 m/s的水平初速度使其向左运动，运动d=1 m后将弹簧压缩至最短，反弹回到出发点时物块速度大小v1=2 m/s。若水平面与一长L=3 m的水平传送带平滑连接，传送带以v2=10 m/s的速度顺时针匀速转动。传送带右端又与一竖直平面内的光滑圆轨道的底端平滑连接，圆轨道半径R=0.8 m。当小物块进入圆轨道时会触发闭合装置将圆轨道封闭，弹簧始终处于弹性限度内，取g=10 m/s2，求：
例5
(1)小物块与水平面间的动摩擦因数μ1；
答案　0.3
小物块在水平面上向左运动再返回至出发点的过程中，根据动能定理得
-2μ1mgd=m-m
代入数据得μ1=0.3
(2)弹簧具有的最大弹性势能Ep；
答案　0.5 J
小物块从出发至运动到弹簧压缩至最短的过程，由功能关系得，弹簧具有的最大弹性势能为
Ep=m-μ1mgd=0.5 J
(3)要使小物块进入竖直圆轨道后不脱离圆轨道，传送带与物块间的动摩擦因数μ2应满足的条件。
答案　μ2≤0.2或μ2≥0.6
本题分两种情况讨论：
①设物块在圆轨道最低点速度为v3时，恰好
到达轨道右侧与圆心等高点，由机械能守恒
定律得mgR=m
解得v3=4 m/s。
由于v3=4 m/sμ2'mgL=m-m
解得μ2'=0.2
②设物块在圆轨道最低点速度为v4时，恰好
能通过圆轨道最高点，最高点速度为v5。
在圆轨道最高点有mg=m
解得v5=2 m/s
从圆轨道最低点到最高点的过程，由动能定理得
-2mgR=m-m
解得v4=2 m/s说明物块在传送带上一直做匀加速运动。
由动能定理得μ2″mgL=m-m
解得μ2″=0.6
所以要使物块进入竖直圆轨道后不脱离圆轨
道，传送带与物块间的动摩擦因数μ2应满足
的条件是μ2≤0.2或μ2≥0.6。章末素养提升
物理 观念 功 功 定义：力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、　　　　　　　　　　这三者的乘积。 公式：W=　　　　 单位：　　　　，符号为　　
正功和负功 (1)当0≤α<时，W　　0，力对物体做　　　　 (2)当<α≤π时，W　　0，力对物体做　　　，或称物体　　　这个力做功 (3)当α=时，W=　　，力对物体　　　　
总功 (1)总功等于各个力分别对物体所做功的　　　 (2)几个力的　　　　对物体所做的功
功率 意义：表示做功　　　　的物理量　　　　　单位：瓦特，简称瓦，符号是　　　　 计算公式：P=　　　　，P=　　　　
重力势能 定义：我们把　　　　叫作物体的重力势能，常用Ep表示 表达式：Ep=　　　 单位：　　　　，符号为　　
弹性势能 发生　　　　　　　　的物体的各部分之间，由于有　　　　的相互作用，也具有　　　，这种势能叫作弹性势能
动能 定义：在物理学中用“　　　　”这个量表示物体的动能 表达式：Ek=　　　 单位：　　　　，符号为　　
机械能 机械能等于动能与势能之和，E=Ek+Ep
动能定理 内容：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中　　　　　　　 表达式：W=　　　　　　　
机械能守 恒定律 内容：在只有　　　　或　　　　做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能　　　　　　　　 表达式：Ek2+Ep2=　　　
功能关系 几种典型的 功能关系 重力做功对应重力势能改变，WG=-ΔE重力
弹力做功对应弹性势能改变，W弹=-ΔE弹力
合外力做功对应动能改变，W合=ΔEk
除重力、系统内弹力以外的其他力做功对应机械能改变，W=ΔE
摩擦力做 功与热量 的关系　 作用于系统的滑动摩擦力和物体间相对滑动的距离的乘积，在数值上等于相对滑动过程产生的内能。即Q=F滑l相对，其中F滑必须是滑动摩擦力，l相对必须是两个接触面间相对滑动的距离(或相对路程)
科学 思维 物理模型 掌握机车启动的两种方式；体会微元法在探究重力做功中的应用；利用动能定理解决动力学问题和变力做功问题；会判断不同物理模型中机械能是否守恒
演绎推理 通过重力做功与重力势能变化关系，猜想重力势能的影响因素，推导重力势能表达式；利用功的公式、牛顿第二定律和运动学公式推导动能定理；利用能量转化和守恒的观点解释生活现象，分析解决物理问题
科学 探究 经历问题情境，体验科学知识对生活的影响；根据功和能的关系，推导出重力势能的表达式，通过实验探究弹簧弹力做功得出弹性势能的影响因素；在动能定理建立过程中，培养学生从特殊到一般、从低级到高级的探究思路；进一步固化实验是检验理论正确性的依据这一科学思想，并在探究过程中体会实验验证方法；探究机械能守恒定律的适用条件和限制，设计实验验证机械能守恒定律
科学 态度 与责 任　 通过探究过程体会物理学的逻辑之美和方法之美，体会数理的巧妙结合，激发学生求知欲和学习兴趣，享受成功的乐趣。从生活中的有关物理现象得出物理结论，激发和培养学生探索自然规律的兴趣；能够意识到科学的社会意义和责任，注重科学实践中的安全和环境保护。通过同伴合作交流学会正确评价他人和自己，增强人际交往的能力。利用动能定理、机械能守恒定律等物理知识分析解决生活实例，培养学生的探究意识和实践能力；通过实验操作、数据处理及误差分析，培养学生实事求是和严谨细致的科学态度
例1　用长为L的轻质细绳悬挂一个质量为m的小球，其下方有一个倾角为θ的光滑斜面体，斜面体放在水平面上，开始时小球与斜面接触且细绳恰好竖直，如图所示。现在用水平推力F缓慢向左推动斜面体，直至细绳与斜面平行，则在此过程中(重力加速度为g)(　　)
A.小球受到的斜面的弹力始终与斜面垂直，故对小球不做功
B.细绳对小球的拉力始终与小球的运动方向垂直，故对小球不做功
C.若水平面光滑，则推力做功为mgL(1-cos θ)
D.由于缓慢推动斜面体，故小球所受合力可视为零，小球机械能不变
例2　(2023·宿迁市高一期中)有一款名叫“跳一跳”的小游戏，游戏要求操作者通过控制棋子(质量为m)脱离平台时的速度，使其能从一个平台跳到旁边的平台上。如图所示的抛物线为棋子在某次跳跃过程中的运动轨迹，不计空气阻力。则下列说法中正确的是(重力加速度为g)(　　)
A.棋子从起跳至运动到最高点的过程中，机械能增加mgh
B.棋子离开平台时的动能为mgh
C.棋子从离开平台至运动到最高点的过程中，重力势能增加mgh
D.棋子落到平台上的速度大小为
例3　(2024·江苏省高一期中)如图所示，一根轻质弹簧与质量为m的滑块P连接后，穿在一根光滑竖直杆上，弹簧下端与竖直杆的下端连接，一根轻绳跨过轻质定滑轮将滑块P和重物Q连接起来。图中O、B两点等高，线段OA长为L，与水平方向的夹角θ=37°，重物Q的质量M=5m，把滑块从图中A点由静止释放后沿竖直杆上下运动，当它经过A、B两点时，弹簧对滑块的弹力大小相等，不计定滑轮的摩擦力及空气阻力，在滑块P从A到B的运动过程中(sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，重力加速度为g)(　　)
A.滑块P的速度一直增大
B.滑块P在位置B的速度vB=
C.轻绳对滑块P做功0.5mgL
D.P与Q的机械能之和先减小后增大
例4　(2024·全国甲卷)如图，一光滑大圆环固定在竖直平面内，质量为m的小环套在大圆环上，小环从静止开始由大圆环顶端经Q点自由下滑至其底部，Q为竖直线与大圆环的切点。则小环下滑过程中对大圆环的作用力大小(　　)
A.在Q点最大 B.在Q点最小
C.先减小后增大 D.先增大后减小
例5　如图所示，水平面右端放一质量m=0.1 kg的小物块，给小物块v0=4 m/s的水平初速度使其向左运动，运动d=1 m后将弹簧压缩至最短，反弹回到出发点时物块速度大小v1=2 m/s。若水平面与一长L=3 m的水平传送带平滑连接，传送带以v2=10 m/s的速度顺时针匀速转动。传送带右端又与一竖直平面内的光滑圆轨道的底端平滑连接，圆轨道半径R=0.8 m。当小物块进入圆轨道时会触发闭合装置将圆轨道封闭，弹簧始终处于弹性限度内，取g=10 m/s2，求：
(1)小物块与水平面间的动摩擦因数μ1；
(2)弹簧具有的最大弹性势能Ep；
(3)要使小物块进入竖直圆轨道后不脱离圆轨道，传送带与物块间的动摩擦因数μ2应满足的条件。
答案精析
力与位移夹角的余弦　Flcos α　焦耳　J　>　正功　<
负功　克服　0　不做功　代数和　合力　快慢　W　
Fvcos α　mgh　mgh　焦耳　J　弹性形变　弹力　势能
mv2　mv2　焦耳　J　动能的变化　Ek2-Ek1
重力　弹力　保持不变　Ek1+Ep1
例1　B　[根据力做功的条件，斜面弹力对小球做正功，故A错误；细绳对小球的拉力始终与小球运动方向垂直，故对小球不做功，故B正确；若水平面光滑，取小球和斜面体整体为研究对象，根据能量守恒得F做的功等于系统机械能的增量，斜面体动能和势能不变，小球的动能不变，重力势能增加，所以系统机械能的增量等于小球的重力势能增加量，所以F做的功等于小球重力势能增量，ΔEp=mgh=mgL(1-sin θ)，故C错误；用水平力F缓慢向左推动斜面体，所以小球的动能不变，重力势能在增加，所以小球在该过程中机械能增加，故D错误。]
例2　C
例3　B　[由A、B两点弹簧对滑块的弹力大小相等可知，A点弹簧处于压缩状态，B点弹簧处于伸长状态，B点P所受合力竖直向下，则P在从A点到B点过程中必有所受合力方向竖直向下的阶段，该阶段P的速度减小，故A错误；滑块P在A、B两点时，弹簧对滑块的弹力大小相等，即弹簧的形变量相等，弹簧的弹性势能相等，到B点时，Q的速度为零，则系统由机械能守恒可得5mg(L-Lcos 37°)=mg×L+m，解得vB=，故B正确；由B项分析知A、B两点弹簧弹性势能相等，即弹簧对P做功为零，所以细绳对P做的功等于P增加的机械能，则W=mg×L+m=mgL，故C错误；由A项分析知，从A点到B点过程中，弹簧对P、Q整体先做正功后做负功，所以P与Q的机械能之和先增大后减小，故D错误。]
例4　C　[方法一(分析法)：设大圆环半径为R，小环在大圆环上某处(P点)与圆环的作用力恰好为零，此时只有小环重力的分力提供小环所需向心力，可知P点必在Q点上方，如图所示
设P点和圆心连线与竖直向上方向的夹角为θ，从大圆环顶端到P点过程，根据机械能守恒定律mgR(1-cos θ)=mv2
在P点，由牛顿第二定律得mgcos θ=m
联立解得cos θ=
从大圆环顶端到P点过程，小环速度较小，小环重力沿着指向大圆环圆心方向的分力大于小环所需的向心力，所以大圆环对小环的弹力背离圆心，不断减小，从P点到最低点过程，小环速度变大，小环重力沿着大圆环直径方向的分力和大圆环对小环的弹力合力提供向心力，从P点到Q点，小环重力沿大圆环直径的分力逐渐减小，从Q点到最低点，小环重力沿大圆环直径的分力背离圆心，逐渐增大，所以大圆环对小环的弹力逐渐变大，根据牛顿第三定律可知小环下滑过程中对大圆环的作用力大小先减小后增大。
方法二(数学法)：设大圆环半径为R，小环在大圆环上某处时，设该处和圆心的连线与竖直向上方向的夹角为θ(0≤θ≤π)，根据机械能守恒定律得mgR(1-cos θ)=mv2(0≤θ≤π)
在该处根据牛顿第二定律得
F+mgcos θ=m(0≤θ≤π)
联立解得F=2mg-3mgcos θ
则大圆环对小环作用力的大小为
|F|=|2mg-3mgcos θ|
根据数学知识可知|F|的大小在cos θ=时最小，
由牛顿第三定律可知，小环下滑过程中对大圆环的作用力大小先减小后增大。故选C。]
例5　(1)0.3　(2)0.5 J　(3)μ2≤0.2或μ2≥0.6
解析　(1)小物块在水平面上向左运动再返回至出发点的过程中，根据动能定理得
-2μ1mgd=m-m
代入数据得μ1=0.3
(2)小物块从出发至运动到弹簧压缩至最短的过程，由功能关系得，弹簧具有的最大弹性势能为
Ep=m-μ1mgd=0.5 J
(3)本题分两种情况讨论：
①设物块在圆轨道最低点速度为v3时，恰好到达轨道右侧与圆心等高点，由机械能守恒定律得mgR=m
解得v3=4 m/s。
由于v3=4 m/sμ2'mgL=m-m
解得μ2'=0.2
②设物块在圆轨道最低点速度为v4时，恰好能通过圆轨道最高点，最高点速度为v5。
在圆轨道最高点有mg=m
解得v5=2 m/s
从圆轨道最低点到最高点的过程，由动能定理得
-2mgR=m-m
解得v4=2 m/s说明物块在传送带上一直做匀加速运动。
由动能定理得μ2″mgL=m-m
解得μ2″=0.6
所以要使物块进入竖直圆轨道后不脱离圆轨道，传送带与物块间的动摩擦因数μ2应满足的条件是μ2≤0.2或μ2≥0.6。

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