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2025届普通高等学校招生全国统一考试
大联考（高三）
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，且，则实数的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．已知命题“”是假命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，且，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．若，则使成立的一个充分不必要条件为（ ）
A． B． C． D．
5．函数图象的对称中心是（ ）
A． B． C． D．
6．已知角，其终边上有一点，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．图象的一条对称轴是
C．图象的一个对称中心是
D．在上的值域为
10．若等边三角形的边长为为的中点，且交于点，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．若点为的中点，则
C．为定值
D．的最小值为
11．在三棱台中，平面，则下列说法正确的是（ ）
A． B．平面
C．三棱台的体积为 D．直线与所成角的余弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若复数满足为虚数单位，为的共轭复数，则_______．
13．已知角的终边不重合，且，则_______．
14．已知四棱锥的5个顶点都在球的球面上，且平面，则球的表面积为_______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
在中，三个内角所对的边分别为为边上一点，满足．
（1）若，求的值；
（2）若，求的面积．
16．（15分）如图，三棱柱各棱长均相等，为棱上一点，为棱的中点，平面．
（1）求的值；
（2）若平面将三棱柱分为两部分，较小部分的体积为，较大部分的体积为，求的值．
17．（15分）已知函数的一个极值点为．
（1）求的值；
（2）若过点可作曲线的三条不同的切线，求实数的取值范围．
18．（17分）如图，已知圆锥的底面圆周上有三点，为底面圆的直径，且为的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）若，求二面角的正弦值．
19．（17分）已知函数．
（1）若，证明：；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．2025届普通高等学校招生全国统一芳试
青桐鸣大联考（高三）
数学参考答案
1.B【解析】由log2(x-1)f(2-x)=1g[/(1-x)2+10+1-x],
1<2",解得M=(1,2"十1)：
故f(x)+f(2-x)=lg[(x-1)2+10
由题意得N=(-∞，1]U[9,+o∞)，
(x一1)2]=1，故f(x)图象的对称中心
又MUV=R,故2"+1≥9，解得m≥3，
故m的最小值为3.
为1号)：
故选B.
故选B.
2.A【解析】由题意知，x∈R,x2一mx十
6.D
【解析】因为o行-如语
m≥0为真命题，故△=m2一4m≤0，解得
19π
0m4.
Ecos(6+）=2cos20
<0,又0∈
故选A.
3.C【解析】由题意得，
1+2a=a+2b
0,2x.则0∈（经），因为cas6+
a
@1+站+经1+2。·6
得-m(任+)-8s器
sin 10
a b
2b.2a=5,当且
故0=2k元
仅当a=6=专时等号成立，故。+名的最
20k∈Z.
19π
小值为5.
故当及=0时，得0”
故选C.
故选D.
4.C【解析】取a=b=4,
+名<1成立但
7.D
【解折由>0解得一3<3又
a十b≤4不成立，故排除A.
因为了(-x)=(-xn3
取a=6-么+君≥4成立相e十6
n +2=f(x),故f(x)为偶函数.
x3I
3一x
4不成立，故排除B.
取Hx1x2,且0≤x1若a+6≤8，则)3+x1_3十x2=6(x1-x2）
a+b≤4；反之若a+b≤4，取a=3,b=1,则
因为3--3-=8-8x)<0
a2十b2≤8不成立，故C正确，
所u1放0h
3十x1∠
对于a=1,6=4,0十6≥4成立，a十6≤4
3十x1∠x2n3一x2
3+x2,故0≤xln3-x1
3十x2
不成立，故D错误
n3一x
即f(x1)故选C.
即f(x)在[0,3)上单调递增，
5.B【解析】因为f(x)=lg[√/(x-1)2+10十
又f(x)为偶函数，故f(x)=f(x),
x-1],
由f(x+2)>f(3.x-2),得f(x十2)>
·数学答案（第1页，共6页）·
「-3(石，-3).C错误；
f(3x-2),即-3<3x-2<3,
解得
|x+2>3x-2,
0x<1.
故选D.
f(x)的值域为[一2√3,2一√3]，故D正确.
8.A【解析】令f(x)=e-x-1,故f'(x)=
故选AD,
e一1，令f'(x)=0,解得x=0,分析得当
10.BCD【解析】当X=3时，A方=A店+
x=0时，f(x)取最小值，即f(x)≥f(0)=
0,即e≥x+1,故e≥一x+1,当0号C-A)=号店+号C.放A错误：
1时有e<亡放e<品即
1
119
若点M为BE的中点，则Bi=2配=
a2×(公i+号B)=丽+励，
令g)=lx+1D千2>0.
又MA,D三点共线：故+1.可得
则g'(x)=
1
4
x+1
(x+2)2
入=号故B正确：
x2
AD·AB+AD·AC=AD·(AB+AC),
(x+1)(x+2》>0,故g(x)在(0，+o)上
取BC的中点为Q,则AQ⊥BC,AD·
单调递增，故g(x)>g(0)=0,
(AB+AC)=AD·2AQ=(AQ+QD)·
即1n(x+1)>2十x,
2.x
2AQ=2AQ=2×(22-12)=6,故C
正确；
2X2
取BE的中点为H,则D店·D序=(Di+
取x希则（层+小>西
HB)·(D方+HE)=Di-HB2,其中
2+
-i≥（兮）=
37、19
所以1+1n3518,即c>b,
33
综上a正确。
故选A.
故选BCD.
9.AD【解析】原式整理可得f(x)=sin2x一
11.ABC【解析】由AA1⊥平面ABC可得，
5(cos2x+1)=2in(2x-）-5,
AA1⊥BC,又AB⊥BC,故可知BC⊥平面
ABB1A1,又AB:C平面ABB1A1,则
可知T-经=，故A正确：
BC⊥AB1,A正确：
C
当x=号时，2x一
zx=kπ+5(k∈Z),故B错误；
当x=君时，2x-号=0.故对称中心为
·数学答案（第2页，共6页）·

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