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高 2026 届高二（上）半期考试
数学参考答案
一、单选题
1 2 3 4 5 6 7 8
B C A A B D C A
1．【答案】B【详解】倾斜角为钝角的直线斜率为负数，故选：B．
2 C C : x2 2 2．【答案】【详解】圆 1 y 9，则圆心C1(0,0)，半径 r1 3；圆C2 : (x 4) (y 3)
2 m，
则圆心C2 (4,3)，半径 r2 m；则 C1C
2
2 4 3
2 5 r1 r2 3 m，故 m 2 m 4；
故选：C．
3．【答案】A【详解】由题意：a3 a2 a5 a4 11，故 a2 a4 2a3 22，即 a6 2 22 a6 20；
a a
故等差数列 an 的公差为 d 6 3 3，通项公式为 an 11 3(n 3) 3n 2；故选：A．6 3
4．【答案】A【详解】设线段OP的中点M (x, y)， P(2x, 2y)，故 (2x 2)2 (2y)2 1，
即 (x 1)2 y2
1
，故选：A．
4
b
5．【答案】B【详解】由a b知 1；两条渐近线之间的夹角小于 ，
a 3
b π 3 b
2
2 3
故 0, tan 0, ；故离心率 e 1 1, ，故选：B．a 6 3

a 3
6．【答案】D【详解】 F (0,1)为一个焦点，另一焦点为 F (0, 1)，且 PF PF 4；
9 9
因为 1，所以 A在椭圆外部，所以 PF PA 4 ( PF PA )，
4 3
即求 PF PA 的最小值：由于 PF PA AF 5，当 P、F 、A三点共线时取等号；
所以 PF PA 的最小值为 1；故选：D．
7．【答案】C【详解】由题意：若 A,B在同一支上，则 AB 8 A,Bmin ；如果 在两支上，a
则有 AB 2amin ；
8
存在 4条直线 l满足 AB 2，故 8且 2a 8，解得 a (1, 4)，故选：C．
a
8．【答案】A【详解】设M (x1, y1),N (x2 , y2 )；由题意：直线 l1与 l2之间的距离 d x1 x2 ；
高二数学参考答案 第 1 页 共 8 页
{#{QQABKYQEogigAgBAAQhCAwXSCACQkgGCCYgGwBAAsAAASRNABAA=}#}
F (0,1)，设直线MN : y kx 1，与 x2 4y联立，整理得： x2 4kx 4 0；
由韦达定理： x1 x2 4k , x1x 22 4，则 d x x 16k 16；故 k 0时： d1 2 min 4，故
选：A．
二、多选题
9 10 11
ABD ACD ABD
9 2．【答案】ABD【详解】对于 A、B：令 an n 4n 0解得0 n 4，所以数列 an 前 3
项为负数项，从第 5项开始后面的项均为正数项，故 A正确，B正确；
对于 C：由 (an )min a2 4， fmin (x) f (2) 4，故 C错误；
对于 D： an n
2 3n n(n 4)，n与 n 4同为奇数或同为偶数，故 D正确；故选：ABD．
10．【答案】ACD【详解】由题意： F1AF2为面积是 3的正三角形，
S 3故 F AF (2c)
2 3c2 3且 a 2c，故 c 1，b 3，a 2；
1 2 4
ABF c 12的周长为 4a 8，故 A正确；椭圆 C的离心率 e ，故 B错误；a 2
设 BF1 x，则 BF
2
2 4 x，由 AF1F2 知 BF1F2 ；3 3
2 2 6 6 14
由余弦定理： 4 x 4 x 4x cos BF1F2 x ，所以 BF 4 ，5 2 5 5
S 1 BF F F sin 2 1 6 2 3 3 3 F BF 1 2 1 ，故 C、D正确，故选：ACD．1 2 2 3 2 5 2 5
11．【答案】ABD【详解】y 4 x2 0，两边平方得 x2 y2 4( y 0)，故方程 x 1 y 2
表示的几何图形为半圆，即圆 x2 y2 4位于 x轴上方（包括 x轴上两点）的部分；
y
选项 A： 的几何意义为半圆 x2 y2 4( y 0)上的点与点 (0, 3)的连线的斜率；数形结
x 3

合知其取值范围是 0,
2 5
，故 A正确；
5


选项 B：设3x y t，则 y 3x t，故3x y的几何意义为过半圆 x2 y2 4( y 0)上的
点的斜率为 3的直线系的纵截距；数形结合知其取值范围是[ 6,2 10]，故 B正确；
选项 C：(x 3)2 y2 几何意义为半圆 x2 y2 4(y 0)上的点到 (3,0)的距离的平方；数形结
高二数学参考答案 第 2 页 共 8 页
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合知距离的取值范围是[1,5]，故 (x 3)2 y2的取值范围是[1,25]，故 C错误；
选项 D： x y 4 2 的几何意义为半圆 x2 y2 4(y 0)上的点到直线 x y 4 2 0的距
离的 2倍；
数形结合知距离的取值范围是 2,4 2 ，故 x y 4 2 的取值范围是 2 2,4 2 2 ，故
D正确；故选：ABD．
三、填空题
12 13 14
13,n 1
a n [1, 2]
2n 1,n 2
2
13,n 1
12．【答案】 an 【详解】当 n 1时： a S 13；
2n 1,n 2
1 1
当 n 2时： Sn n
2 14 an Sn S n
2 (n 1)2n 1 2n 1．
13．【答案】 2【详解】动直线 l : x my 2m 1 0 (x 1) m(y 2) 0 恒过定点
Q( 1,2)；
1 1
故原点O到动直线 l : x my 2m 1 0的距离最大时，直线 l OQ，即 kl ，m 2
故m 2．
1 1
14．【答案】[1, 2]【详解】由题意： F ,0 , A ,0 ；
4 4
1 2
设M (x , y )，由抛物线定义： MA x 20 0 0 y0 , MF x
1
0 ( x0 0)；
4 4
MA
当 x0 0时， 1MF ；当
x0 0时，
2
x 1
2
2 1
MA 0
y0 x0 x 4
0
4 1 2 1
x
0 2 1
x
01 1 1
1
(1, 2]
MF x 1 10 x 1
2
4 0 x
1
0
x0 x0 x0
4 4 2 16 16x0 2
MA
；综上： MF 的取值范围是[1, 2]．
高二数学参考答案 第 3 页 共 8 页
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四、解答题
15．【解析】（1）由圆C关于 y轴对称知圆心C在 y轴上，设圆心C(0,a)；…………（2分）
由题意： r ( 3)2 (a 3)2 22 (a 2)2 ，解得 a 2，故C(0,2)，圆的半径为 r 2，
故圆C的标准方程为 x2 (y 2)2 4．……………………………………………………（5分）
2
（2）【法一】若 AB 2，则圆心C到直线 l AB 的距离为 d 22 4 1 3；（7分）
2
若直线 l的斜率不存在：直线 l的方程为 x 3，圆心C到直线 l的距离为 d 3，满足题
意；……………………………………………………………………………………………（9分）
若直线 l的斜率存在：设直线 l的方程为 y 1 k(x 3)，即 kx y 3k 1 0，
2 3k 1 3k 1 3 3
则 d 3，解得 k ，此时直线 l的方程为 y 1 (x 3)，
k 2 1 k 2 1 3 3
即 x 3y 0；综上所述：直线 l的方程为 x 3或 x 3y 0．…………………（13分）
【法二】P( 3,1)在圆C上，即 P( 3,1)与 A、B两点之一重合；……………………（7分）
不妨设 A( 3,1)， B(a,b) AB 2，则 (a 3)2 (b 1)2 4；

与 a2 (b 2)2 4联立解得 a 3 a 0 或 ，即B( 3,3)或B(0,0)；……………（11分）
b 3 b 0
故直线 l的方程为 x 3或 x 3y 0．………………………………………………（13分）
16．【解析】由题意：底面 ABCD是正方形；连接 AC交BD于点O，连接 EO；
由 PA / /平面 EDB，平面 PAC 平面 EDB EO， PA 平面 PAC
知：PA / /EO；又O是 AC中点，故E是 PC中点；……………………………………（3分）

以D为原点，DA,DC,DP分别为 x, y, z轴正方向建立空间直角坐标系D xyz；
不妨设DC 2，则 A 2,0,0 ,B 2,2,0 ,P 0,0,2 ,E 0,1,1 ．……………………………（5分）

（1）若 F是PB的中点，则F 1,1,1 ；故EF 1,0,0 ，DB 2,2,0 ,DE 0,1,1 ；

DB m 2x 2 y 0
设平面 EDB 1 1的法向量为m x1, y1, z1 ，则 ；令 y1 1，得m 1, 1,1 ；
DE m y1 z1 0
高二数学参考答案 第 4 页 共 8 页
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m EF
记 EF与平面 EDB所成角为 ，则 sin
1 3
，故 cos 1 sin2 6 ；
m EF 3 1 3 3
故 EF与平面 EDB 6所成角的余弦值为 ．……………………………………………（8分）
3

（2）DE 0,1,1 ,PB 2,2, 2 ，故DE PB 0，
故DE PB；又 EF PB，DE EF E，DE 平面DEF ，
EF 平面DEF ，故 PB 平面DEF ；…………（11分）

故平面DEF 的法向量 n1 PB 2,2, 2 ；

平面 ABCD的法向量 n2 0,0,1 ；

n1 n2 2 3
记平面DEF 与平面 ABCD的夹角为 ，则 cos
n1 n2 2 3 1 3
故平面DEF 与平面 ABCD 3的夹角的余弦值为 ．……………………………………（15分）
3
2 2 4
【注】也可根据 EF PB求得 F , , （11分），从而得到平面DEF 的法向量．
3 3 3
M (x , y ),N (x , y ) Q(x , y ) x x1 x2 , y y1 y17．【解析】（1）设 21 1 2 2 ， 0 0 ，则 0 2 0
；
2
x 2 y 2 x 2 y 2
由M、N 两点在椭圆上： 1 1 ① 2 2 ② ；
a2 2
1 1
b a2 b2
(x x )(x x ) (y y )(y y )
用①－②得： 1 2 1 2 1 2 1 22 2 0，a b
(y1 y2 )(y1 y
2 2
2 ) 2y0 (y1 y2 ) y0 (y1 y2 )
即 k k
b 3
b 3，故 ；（4分）
(x1 x2 )(x1 x2 ) 2x0 (x1 x2 ) x0 (x

1 x
OM l 2
2 ) a 4 a2 4
2 2
又 F2 (1,0)，故 c 1,b 3,a 2，故椭圆C
x y
的标准方程为 1．………（6分）
4 3
（2）由题意： P 0,m 为线段MN的垂直平分线与 y轴的交点；
由直线 l的斜率为 k(k 0)知MN与 x轴不垂直，即直线MN的方程为 y k x 1 k 0 ，
y k x 1
联立 2 2 ，整理得： (3 4k
2 )x2 8k 2x 4(k 2 3) 0， 0恒成立，
3x 4y 12
2 2
x x 8k , x x 4(k 3)由韦达定理： 1 2 2 1 2 2 ；…………………………………………（8分）3 4k 3 4k
高二数学参考答案 第 5 页 共 8 页
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x x x 4k
2
故 1 20 2 , y0 k x
3k
3 1 2 3 4k 3 4k 2
；
3k 1 4k 2
线段MN的垂直平分线方程为 y x ；
3 4k 2 k 3 4k
2

m k 1
令 x 0： 3 4k 2 3 4k ； ………………………………………………………（11分）
k
3
当 k 0时： 4k 4 3 k 3 3，当且仅当 时取等号，此时 m 0；k 2 12
3
当 k 0时： 4k 4 3 3 3，当且仅当 时取等号，此时 ；
k k 0 m 2 12
3 3
综上所述：m的取值范围是 ,0 0, ．………………………………………（15分）
12 12
1 2 1 118 2 2．【解析】（1）二次函数 y x x 1 (x 2) ，它的图象可以由抛物线 y x 沿向
4 4 4
1
量m (2,0) 2平移得到；抛物线 y x 、即 x2 4y的焦点坐标为 (0,1)，准线方程为 y 1；
4
1 2
所以二次函数 y x x 1的焦点坐标为 F (2,1)，准线方程为 y 1．……………（4分）
4
（2）设P x 1 2 20 , y0 为二次函数 y x x 1上任意一点，则4 x0 2 4y0，
故 PF x0 2
2 y0 1
2 4y0 y
2
0 2y0 1 y
2
0 2y0 1 y0 1；
而 P x0 , y0 到准线 y 1的距离d y0 1 y0 1，故二次函数上任意一点与焦点的距
离和到准线的距离相等．……………………………………………………………………（9分）
1 2
（3）显然直线 l的斜率存在，故设直线 l : y 2 k(x 4)，与 y x x 1联立，整理得：
4
1 2 x x 4(k 1)x (k 1)x (4k 1) 0 1 2；设 A(x1, y1),B(x2 , y2 )，则由韦达定理： 4 x1x2 4(4k 1)
；
………………………………………………………………………………………………（11分）
AQ : y 1 y1 1 y 1直线 (x 4)， x 1x 4 M
x2，故 yM 1 (x 4)；………………（12分）
1 x1 4
2
1
y 1 x
2
1 x1
故 x 1M (yM 1) x 1 (x 4) x 42 2 2 (x2 4) xx 4 x 4 2
x
4 1
(x2 4)
1 1
(x 11 x2 ) x1x2 5，故 xM yM 4，即：点M 在定直线 x y 4 0上．……（17分）4
【注】本题可参考教材 P133“探索与发现”部分．
高二数学参考答案 第 6 页 共 8 页
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a 1
a 1
b2 2
19．【解析】（1）由题意： c 1 ，解得 b 3；故双曲线C
y
的标准方程为 x2a 1
．
3

c 2
c2 a2 b2
………………………………………………………………………………………………（4分）
（2）由（1）知 F2 2,0 ；设直线 l的方程为 x ty 2，由直线 l与双曲线的右支交于 P、Q两
2 2 y y1 y
12t
x 1 2
2
点知 t2
1
；联立 3 ，整理得：(3t2 1) y2 12ty 9

0 3t 1，由韦达定理：
3
；
x ty 2 y1y
9

2 3t2 1
2 2
故 PQ 1 t2 y y 1 t21 2 (y1 y2 )
2 4y1y 1
144t 36 6(t 1)
2 t
2
(3t2 1)2
，
3t2 1 1 3t2
3 1 6(t2 1) 3 9 t2 1 9
点 A到直线PQ距离 d 2 ，故 S APQ 10，…（6分）t 1 2 1 3t2 t2 1 1 3t2 2
t2 1 10
即 4(t2 1) 10(1 3t2 )2，即45t4 32t2 3 0 (9t2 1)(5t2 3) 0，
1 3t2 2
t2 1 t2 3 1 1 1解得 或 （舍去），故 t ；故直线 l的方程为 x y 2，即 y 3x 6或
9 5 3 3 3
y 3x 6．…………………………………………………………………………………（9分）
（3）由题意： A 1,0 ， F2 2,0 ；
y2
当 xP 2时： 22 P 1，解得 yP 3，不妨取 P 2,3 ，则 PF2A ，3 2
tan PAF 32 1

2 1 ，所以 PAF2 ，满足 PF2A 2 PAF2 ；故如果存在实数 ，使4
得 PF2A PAF2恒成立，则 2；…………………………………………………（11分）
当 xP 2时，证明 PF2A 2 PAF2 恒成立：设 P x0 , y 2 20 x0 1, x0 2 ，则3x0 y0 3；
所以 tan PAF
y
02 ， tan PF2A tan
y
PF2x tan PF x 0x 2 ，0 1 x0 2
2y0
2 tan PAF2 x0 1 2y0 x 1
则 tan 2
y
PAF2
0 0
1 tan 2 PAF 22 y 2 x0 2 x0 1 x0 2 ，1 0
x0 1
所以 tan 2 PAF2 tan PF2A，……………………………………………………………（15分）
高二数学参考答案 第 7 页 共 8 页
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又 PAF

2 0, , PF2A 0, ，故 2 PAF2 0, ，所以 PF2 2A 2 PAF2 ；
综上所述：存在实数 2，使得 PF2A PAF2恒成立．…………………………（17分）
高二数学参考答案 第 8 页 共 8 页
{#{QQABKYQEogigAgBAAQhCAwXSCACQkgGCCYgGwBAAsAAASRNABAA=}#}重庆市巴蜀中学教育集团高2026届高二（上）半期考试
数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚。
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需玫动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试卷上作答无效。
3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存。满分150分，考试用时120分钟。
一、单选题
1.下列直线中，倾斜角为钝角的直线是(
A.x-3y+4=0
B.x+3y+4=0
C.x-3=0
D.y+4=0
2.若圆C,:x2+y2=9与圆C2:(x-4)2+(y-3)2=m外切，则m的值是()
A.16
B.8
C.4
D.1
3.已知在等差数列{an}中，a2+a5=a+11且a2+a4=a+2,则数列{an}的通项公式为
A.a,=3n+2
B.a =3n-1
C.a,=3n+5
D.a =2n+3
4.已知点P在圆(x-2)2+y2=1上运动，O为坐标原点，则线段OP的中点的轨迹方程为
Ae-+=月B.c-+y-习
c.(e-+y2=1D.x-2+y2=
,己知双曲线号-=1(@>b>0)的两条渐近线之间的夹角小于子，则双曲线的离心率
的取值范围是()
A.(1 2)
1,3
C.(2,to)
只
0000000
6.已知动点P在椭圆C:兰+亡=1上，F0,,A(-3,3),则PF-PA的最大值为(）
4
3
A.-√3
B.3
C.-3
D.-1
7已知双曲线C:
=(a>0),过左焦点F的直线I与双曲线交于A,B两点.若
4
存在4条直线1满足AB=8,则实数a的取值范围是(
)
A.(1,16)
B.(1,8)
C.(1,4)
D.(1,2)
8.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称
轴的方向射出.反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦
点.在抛物线x2=4y中，一平行于y轴的光线4射向抛物线上的点M,反射后反射光线
经过抛物线的焦点F射向抛物线上的点N,再反射后又沿平行y轴方向的直线2射出.则
直线与2之间的最小距离为（)
陆
A.4
B.2
C.8
D.16
二、多选题
9.若数列{an}的通项公式为an=n2-4n,则下列说法正确的是(
:增○园.
A.该数列有3个负数项
B.该数列有无限多个正数项
交的脑1在1C)9、（C
C.该数列的最小项大于函数f(x)=x2-4x的最小值
1》0门-四A,ò
D.该数列中的所有项均为奇数或4的倍数
C:怎+片=1a>b>0)的左、右焦点分别为R、B,过R的直线1与椭圆相交
10.椭圆C:
于A、B两点，其中A是椭圆的上顶点，△(AF为面积是√5的正三角形，则下列说法正
确的是(
A.△ABF的周长为8
B,椭圆C的离心率为5
2
0000000

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