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判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)＝()n＝a.(　×　)
(2)分数指数幂可以理解为个a相乘．(　×　)
(3)(－1)＝(－1)＝.(　×　)
(4)函数y＝a－x是R上的增函数．(　×　)
(5)函数(a>1)的值域是(0，＋∞)．(　×　)
(6)函数y＝2x－1是指数函数．(　×　)
无
题型一　指数幂的运算
例1　化简下列各式：
(1)[(0.064)－2.5]－ －π0；
(2)÷(a－)×.
解　(1)原式＝{[()]}－()－1
＝[()3]－[()3]－1
＝－－1＝0.
(2)原式＝÷×
＝a(a－2b)××
＝a×a×a＝a2.
思维升华　(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序．
(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
　化简()·＝________.
答案　
解析　原式＝2×＝21＋3×10－1＝.
题型二　指数函数的图象及应用
例2　(1)已知实数a，b满足等式2 017a＝2 018b，下列五个关系式：①0A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
(2)已知函数f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是(　　)
A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b≥0，c>0
C．2－a<2c D．2a＋2c<2
答案　(1)B　(2)D
解析　(1)如图，观察易知，a，b的关系为a(2)作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图，
∵af(c)>f(b)，结合图象知，
00，
∴0<2a<1.
∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1，
∴f(c)<1，∴0∴1<2c<2，∴f(c)＝|2c－1|＝2c－1，
又∵f(a)>f(c)，∴1－2a>2c－1，
∴2a＋2c<2，故选D.
思维升华　(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除．
(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．
　(1)已知函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象可能是(　　)
(2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．
答案　(1)A　(2)[－1,1]
解析　(1)由f(x)的单调性知0又x＝0时，a－b>1，x＝1时，a1－b<1，∴0对照图象知g(x)的图象可能是A.
(2)曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可知：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．
题型三　指数函数的性质及应用
命题点1　指数函数单调性的应用
例3　(1)下列各式比较大小正确的是(　　)
A．1.72.5>1.73 B．0.6－1>0.62
C．0.8－0.1>1.250.2 D．1.70.3<0.93.1
(2)设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是________．
答案　(1)B　(2)(－3,1)
解析　(1)选项B中，∵y＝0.6x是减函数，
∴0.6－1>0.62.
(2)当a<0时，不等式f(a)<1可化为()a－7<1，
即()a<8，即()a<()－3，
∴a>－3.又a<0，∴－3当a≥0时，不等式f(a)<1可化为<1.
∴0≤a<1，
综上，a的取值范围为(－3,1)．
命题点2　复合函数的单调性
例4　(1)已知函数f(x)＝2(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________．
(2)函数f(x)＝的单调减区间为_____________________________________．
答案　(1)(－∞，4]　(2)(－∞，1]
解析　(1)令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间[，＋∞)上单调递增，在区间(－∞，]上单调递减．而y＝2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)＝2在[2，＋∞)上单调递增，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．
(2)设u＝－x2＋2x＋1，∵y＝u在R上为减函数，
∴函数f(x)＝的减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的增区间．
又u＝－x2＋2x＋1的增区间为(－∞，1]，
∴f(x)的减区间为(－∞，1]．
引申探究
函数f(x)＝的单调增区间是________．
答案　[0，＋∞)
解析　设t＝2x，则y＝t2－2t的单调增区间为[1，＋∞)，
令2x≥1，得x≥0，
∴函数f(x)＝的单调增区间是[0，＋∞)．
命题点3　函数的值域(或最值)
例5　(1)函数y＝x－x＋1在区间[－3,2]上的值域是________．
(2)如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则a的值为________．
答案　(1)　(2)或3
解析　(1)令t＝x，因为x∈[－3,2]，
所以t∈，
故y＝t2－t＋1＝2＋.
当t＝时，ymin＝；当t＝8时，ymax＝57.
故所求函数的值域为.
(2)令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1
＝(t＋1)2－2.
当a>1时，因为x∈[－1,1]，所以t∈[，a]，又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增，
所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(负值舍去)．
当0又函数y＝(t＋1)2－2在[a，]上单调递增，
则ymax＝(＋1)2－2＝14，解得a＝(负值舍去)．
综上，a＝3或a＝.
思维升华　(1)在利用指数函数性质解决相关综合问题时，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．
(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法，要化归于指数函数来解．
　(1)已知函数f(x)＝的值域是[－8,1]，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－3] B．[－3,0)
C．[－3，－1] D．{－3}
(2)已知函数f(x)＝2x－，函数g(x)＝则函数g(x)的最小值是________．
答案　(1)B　(2)0
解析　(1)当0≤x≤4时，f(x)∈[－8,1]，
当a≤x＜0时，f(x)∈[－()a，－1)，
所以[－，－1)?[－8,1]，
即－8≤－＜－1，即－3≤a＜0，
所以实数a的取值范围是[－3,0)．
(2)当x≥0时，g(x)＝f(x)＝2x－为单调增函数，所以g(x)≥g(0)＝0；当x<0时，g(x)＝f(－x)＝2－x－为单调减函数，所以g(x)>g(0)＝0，所以函数g(x)的最小值是0.
1．分数指数幂
(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．于是，在条件a>0，m，n∈N*，且n>1下，根式都可以写成分数指数幂的形式．正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定＝(a>0，m，n∈N*，且n>1).0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．
(2)有理数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
2．指数函数的图象与性质
y＝ax a>1 0图象
定义域 (1)R
值域 (2)(0，＋∞)
性质 (3)过定点(0,1)
(4)当x>0时，y>1；当x<0时，00时，01
(6)在(－∞，＋∞)上是增函数 (7)在(－∞，＋∞)上是减函数
典例　已知函数y＝b＋(a，b为常数，且a>0，a≠1)在区间[－，0]上有最大值3，最小值， 则a，b的值分别为________．
错解展示
解析　令t＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，
∵－≤x≤0，∴－1≤t≤0.
∵≤at≤1，∴b＋≤b＋at≤b＋1，
由得
答案　2,2
现场纠错
解析　令t＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，
∵x∈[－，0]，∴t∈[－1,0]．
①若a>1，函数f(x)＝at在[－1,0]上为增函数，
∴at∈[，1]，b＋∈[b＋，b＋1]，
依题意得解得
②若0∴at∈[1，]，
则b＋∈[b＋1，b＋]，
依题意得
解得
综上①②，所求a，b的值为或
答案　2,2或，
纠错心得　与指数函数、对数函数的单调性有关的问题，要对底数进行讨论.
1．已知函数f(x)＝ax－2＋2的图象恒过定点A，则A的坐标为(　　)
A．(0,1) B．(2,3) C．(3,2) D．(2,2)
答案　B
解析　由a0＝1知，当x－2＝0，即x＝2时，f(2)＝3，即图象必过定点(2,3)．
2．已知a＝()，b＝()，c＝()，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．cC．b答案　D
解析　∵y＝()x是减函数，
∴()>()>()0，
即a>b>1，
又c＝()<()0＝1，
∴c3．计算：×0＋8×－＝________.
答案　2
解析　原式＝×1＋2×2－＝2.
4．函数y＝8－23－x(x≥0)的值域是________．
答案　[0,8)
解析　∵x≥0，∴－x≤0，∴3－x≤3，
∴0<23－x≤23＝8，∴0≤8－23－x<8，
∴函数y＝8－23－x的值域为[0,8)．
1．设2x＝8y＋1,9y＝3x－9，则x＋y的值为(　　)
A．18 B．21 C．24 D．27
答案　D
解析　∵2x＝8y＋1＝23(y＋1)，∴x＝3y＋3，
∵9y＝3x－9＝32y，∴x－9＝2y，
解得x＝21，y＝6，∴x＋y＝27.
2．函数f(x)＝2|x－1|的图象是(　　)
答案　B
解析　∵|x－1|≥0，∴f(x)≥1，排除C、D.
又x＝1时，|f(x)|min＝1，排除A.
故选B.
3．已知a＝40.2，b＝0.40.2，c＝0.40.8，则(　　)
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．b>c>a
答案　A
解析　由0.2<0.8，底数0.4<1知，y＝0.4x在R上为减函数，所以0.40.2>0.40.8，即b>c.
又a＝40.2>40＝1，b＝0.40.2<1，所以a>b.
综上，a>b>c.
4．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域为(　　)
A．[9,81] B．[3,9]
C．[1,9] D．[1，＋∞)
答案　C
解析　由f(x)过定点(2,1)可知b＝2，
因为f(x)＝3x－2在[2,4]上是增函数，
所以f(x)min＝f(2)＝1，f(x)max＝f(4)＝9.
故选C.
5．若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)＞3成立的x的取值范围为(　　)
A．(－∞，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1，＋∞)
答案　C
解析　∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即＝－，整理得(a－1)(2x＋1)＝0，
∴a＝1，∴f(x)＞3即为＞3，
当x>0时，2x－1>0，∴2x＋1>3·2x－3，解得0当x<0时，2x－1<0，∴2x＋1<3·2x－3，无解．
∴x的取值范围为(0,1)．
*6.已知g(x)＝ax＋1，f(x)＝对任意x1∈[－2,2]，存在x2∈[－2,2]，使g(x1)＝f(x2)成立，则a的取值范围是(　　)
A．[－1，＋∞) B．[－1,1]
C．(0,1] D．(－∞，1]
答案　B
解析　由题意可得g(x)，x∈[－2,2]的值域为f(x)，x∈[－2,2]的值域的子集．
经分析知f(x)，x∈[－2,2]的值域是[－4,3]，
当a＝0时，g(x)＝1，符合题意；
当a>0时，g(x)，x∈[－2,2]的值域是[－2a＋1,2a＋1]，
所以则0当a<0时，g(x)，x∈[－2,2]的值域是[2a＋1，－2a＋1]，
所以则－1≤a<0.
综上可得－1≤a≤1.
7．设函数f(x)＝则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________．
答案　(－∞，8]
解析　当x<1时，由ex－1≤2，得x≤1＋ln 2，∴x<1时恒成立；
当x≥1时，由x≤2，得x≤8，∴1≤x≤8.
综上，符合题意的x的取值范围是(－∞，8]．
8．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________．
答案　(0，)
解析　(数形结合法)
由图象可知0<2a<1，∴09．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数且当x≥0时，f(x)＝－＋，则此函数的值域为________．
答案　[－，]
解析　设t＝，当x≥0时，2x≥1，∴0f(t)＝－t2＋t＝－(t－)2＋.
∴0≤f(t)≤，故当x≥0时，f(x)∈[0，]．
∵y＝f(x)是定义在R上的奇函数，
∴当x≤0时，f(x)∈[－，0]．
故函数的值域为[－，]．
10．当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是________．
答案　(－1,2)
解析　原不等式变形为m2－m因为函数y＝x在(－∞，－1]上是减函数，
所以x≥－1＝2，
当x∈(－∞，－1]时，m2－m11．已知函数f(x)＝()|x|－a.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)的最大值等于，求a的值．
解　(1)令t＝|x|－a，则f(x)＝()t，
不论a取何值，t在(－∞，0]上单调递减，
在[0，＋∞)上单调递增，
又y＝()t是单调递减的，
因此f(x)的单调递增区间是(－∞，0]，
单调递减区间是[0，＋∞)．
(2)由于f(x)的最大值是，且＝()－2，
所以g(x)＝|x|－a应该有最小值－2，即g(0)＝－2，
从而a＝2.
12．已知函数f(x)＝.
(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)有最大值3，求a的值．
解　(1)当a＝－1时，f(x)＝，
令t＝－x2－4x＋3，
由于t在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝t在R上单调递减，
所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，
即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，
单调递减区间是(－∞，－2)．
(2)令g(x)＝ax2－4x＋3，则f(x)＝g(x)，
由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1，
因此必有解得a＝1，
即当f(x)有最大值3时，a的值为1.
*13.已知函数f(x)＝－＋3(－1≤x≤2)．
(1)若λ＝，求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)的最小值是1，求实数λ的值．
解　(1)f(x)＝－＋3
＝()2x－2λ·()x＋3(－1≤x≤2)．
设t＝()x，得g(t)＝t2－2λt＋3(≤t≤2)．
当λ＝时，g(t)＝t2－3t＋3
＝(t－)2＋(≤t≤2)．
所以g(t)max＝g()＝，g(t)min＝g()＝.
所以f(x)max＝，f(x)min＝，
故函数f(x)的值域为[，]．
(2)由(1)得g(t)＝t2－2λt＋3
＝(t－λ)2＋3－λ2(≤t≤2)．
①当λ≤时，g(t)min＝g()＝－＋，
令－＋＝1，得λ＝>，
不符合，舍去；
②当<λ≤2时，g(t)min＝g(λ)＝－λ2＋3，
令－λ2＋3＝1，得λ＝(λ＝－<，不符合，舍去)；
③当λ>2时，g(t)min＝g(2)＝－4λ＋7，
令－4λ＋7＝1，得λ＝<2，不符合，舍去．
综上所述，实数λ的值为.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)＝()n＝a.(　 　)
(2)分数指数幂可以理解为个a相乘．(　 　)
(3)(－1)＝(－1)＝.(　 　)
(4)函数y＝a－x是R上的增函数．(　 　)
(5)函数(a>1)的值域是(0，＋∞)．(　 　)
(6)函数y＝2x－1是指数函数．(　 　)
无
题型一　指数幂的运算
例1　化简下列各式：
(1)[(0.064)－2.5]－ －π0；
(2)÷(a－)×.
　化简()·＝________.
题型二　指数函数的图象及应用
例2　(1)已知实数a，b满足等式2 017a＝2 018b，下列五个关系式：①0A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
(2)已知函数f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是(　　)
A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b≥0，c>0
C．2－a<2c D．2a＋2c<2
　(1)已知函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象可能是(　　)
(2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．
题型三　指数函数的性质及应用
命题点1　指数函数单调性的应用
例3　(1)下列各式比较大小正确的是(　　)
A．1.72.5>1.73 B．0.6－1>0.62
C．0.8－0.1>1.250.2 D．1.70.3<0.93.1
(2)设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是________．
命题点2　复合函数的单调性
例4　(1)已知函数f(x)＝2(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________．
(2)函数f(x)＝的单调减区间为_____________________________________．
引申探究
函数f(x)＝的单调增区间是________．
例5　(1)函数y＝x－x＋1在区间[－3,2]上的值域是________．
(2)如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则a的值为________．
　(1)已知函数f(x)＝的值域是[－8,1]，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－3] B．[－3,0)
C．[－3，－1] D．{－3}
(2)已知函数f(x)＝2x－，函数g(x)＝则函数g(x)的最小值是________．
1．分数指数幂
(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．于是，在条件a>0，m，n∈N*，且n>1下，根式都可以写成分数指数幂的形式．正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定＝(a>0，m，n∈N*，且n>1).0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．
(2)有理数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
2．指数函数的图象与性质
y＝ax a>1 0图象
定义域 (1)R
值域 (2)(0，＋∞)
性质 (3)过定点(0,1)
(4)当x>0时，y>1；当x<0时，00时，01
(6)在(－∞，＋∞)上是增函数 (7)在(－∞，＋∞)上是减函数
典例　已知函数y＝b＋(a，b为常数，且a>0，a≠1)在区间[－，0]上有最大值3，最小值， 则a，b的值分别为________．
1．已知函数f(x)＝ax－2＋2的图象恒过定点A，则A的坐标为(　　)
A．(0,1) B．(2,3) C．(3,2) D．(2,2)
2．已知a＝()，b＝()，c＝()，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．cC．b3．计算：×0＋8×－＝________.
4．函数y＝8－23－x(x≥0)的值域是________．
1．设2x＝8y＋1,9y＝3x－9，则x＋y的值为(　　)
A．18 B．21 C．24 D．27
2．函数f(x)＝2|x－1|的图象是(　　)
3．已知a＝40.2，b＝0.40.2，c＝0.40.8，则(　　)
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．b>c>a
4．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域为(　　)
A．[9,81] B．[3,9]
C．[1,9] D．[1，＋∞)
5．若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)＞3成立的x的取值范围为(　　)
A．(－∞，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1，＋∞)
*6.已知g(x)＝ax＋1，f(x)＝对任意x1∈[－2,2]，存在x2∈[－2,2]，使g(x1)＝f(x2)成立，则a的取值范围是(　　)
A．[－1，＋∞) B．[－1,1]
C．(0,1] D．(－∞，1]
7．设函数f(x)＝则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________．
8．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________．
9．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数且当x≥0时，f(x)＝－＋，则此函数的值域为________．
10．当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是________．
11．已知函数f(x)＝()|x|－a.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)的最大值等于，求a的值．
12．已知函数f(x)＝.
(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)有最大值3，求a的值．
*13.已知函数f(x)＝－＋3(－1≤x≤2)．
(1)若λ＝，求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)的最小值是1，求实数λ的值．

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