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判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(　×　)
(2)logax·logay＝loga(x＋y)．(　×　)
(3)函数y＝log2x及y＝log3x都是对数函数．(　×　)
(4)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　×　)
(5)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．(　√　)
(6)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，，函数图象只在第一、四象限．(　√　)
无
题型一　对数的运算
例1　(1)已知loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n＝________.
(2)计算：＝________.
答案　(1)12　(2)1
解析　(1)∵loga2＝m，loga3＝n，∴am＝2，an＝3，
∴a2m＋n＝(am)2·an＝22×3＝12.
(2)原式
＝
＝
＝
＝＝＝＝1.
思维升华　对数运算的一般思路
(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．
(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．
　(1)计算：log2＝________，＝________.
(2)2(lg)2＋lg ·lg 5＋＝________.
答案　(1)－　3　(2)1
解析　(1)log2＝log22 ＝－，
＝×＝3×＝3.
(2)原式＝2×(lg 2)2＋lg 2×lg 5＋
＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋1－lg 2
＝lg 2＋1－lg 2＝1.
题型二　对数函数的图象及应用
例2　(1)已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，且a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是(　　)
A．a>1，c>1 B．a>1,0C．01 D．0(2)当0A．(0，) B．(，1)
C．(1，) D．(，2)
答案　(1)D　(2)B
解析　(1)由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，∴0(2)构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，当a>1时不满足条件，当0，所以a的取值范围为(，1)．
思维升华　(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
　(1)若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是(　　)
(2)已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是(　　)
A．(1,10) B．(5,6)
C．(10,12) D．(20,24)
答案　(1)B　(2)C
解析　(1)由题意y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过(3,1)点，可解得a＝3.选项A中，y＝3－x＝()x，显然图象错误；选项B中，y＝x3，由幂函数图象性质可知正确；选项C中，y＝(－x)3＝－x3，显然与所画图象不符；选项D中，y＝log3(－x)的图象与y＝log3x的图象关于y轴对称，显然不符，故选B.
(2)方法一　不妨设a方法二　作出f(x)的大致图象(图略)．由图象知，要使f(a)＝f(b)＝f(c)，不妨设a由图知10题型三　对数函数的性质及应用
命题点1　比较对数值的大小
例3　已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．c＜a＜b D．c＜b＜a
答案　C
解析　由f(x)＝2|x－m|－1是偶函数可知m＝0，
所以f(x)＝2|x|－1.
所以a＝，
b＝＝4，
c＝f(0)＝2|0|－1＝0，所以c命题点2　解对数不等式
例4　(1)若loga<1，则a的取值范围是________．
(2)已知函数f(x)＝则不等式f(x)>1的解集为________．
答案　(1)(0，)∪(1，＋∞)　(2)(－1，)
解析　(1)当a>1时，函数y＝logax在定义域内为增函数，所以loga当0由loga故0综上，a的取值范围为(0，)∪(1，＋∞)．
(2)若x≤0，则不等式f(x)>1可转化为3x＋1>1 x＋1>0 x>－1，∴－1若x>0，则不等式f(x)>1可转化为logx>1 x<，
∴0综上，不等式f(x)>1的解集是(－1，)．
命题点3　和对数函数有关的复合函数
例5　已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．
(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；
(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
解　(1)因为f(1)＝1，所以log4(a＋5)＝1，
因此a＋5＝4，a＝－1，这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．
由－x2＋2x＋3>0，得－1函数f(x)的定义域为(－1,3)．
令g(x)＝－x2＋2x＋3，
则g(x)在(－1,1)上递增，在(1,3)上递减．
又y＝log4x在(0，＋∞)上递增，
所以f(x)的单调递增区间是(－1,1)，
单调递减区间是(1,3)．
(2)假设存在实数a，使f(x)的最小值为0，
则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1，
即解得a＝.
故存在实数a＝使f(x)的最小值为0.
思维升华　(1)对数值大小比较的主要方法
①化同底数后利用函数的单调性；
②化同真数后利用图象比较；
③借用中间量(0或1等)进行估值比较．
(2)解决与对数函数有关的复合函数问题，首先要确定函数的定义域，根据“同增异减”原则判断函数的单调性，利用函数的最值解决恒成立问题．
　(1)设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是(　　)
A．[－1,2] B．[0,2]
C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)
(2)已知f(x)＝ln(x＋－a)，若对任意的m∈R，均存在x0>0使得f(x0)＝m，则实数a的取值范围是__________．
答案　(1)D　(2)[4，＋∞)
解析　(1)当x≤1时，21－x≤2，解得x≥0，
所以0≤x≤1；当x>1时，1－log2x≤2，
解得x≥，所以x>1.综上可知x≥0.
(2)由题意知，函数f(x)的值域为R，
∴t＝x＋－a的值域为[0，＋∞)，
由x>0，知x＋≥a.
∴实数a的取值范围是[4，＋∞)．
1．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
2．对数的性质与运算法则
(1)对数的运算法则
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM (n∈R)．
(2)对数的性质
①N＝N；②logaaN＝N(a>0，且a≠1)．
(3)对数的换底公式
logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
3．对数函数的图象与性质
a>1 0图象
性质 定义域：(0，＋∞)
值域：R
过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
当x>1时，y>0 当01时，y<0 当00
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
4.反函数
指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线__y＝x__对称．
【知识拓展】
1．换底公式的两个重要结论
(1)logab＝；
(2)logambn＝logab.
其中a>0且a≠1，b>0且b≠1，m，n∈R.
2．对数函数的图象与底数大小的比较
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0典例　(1)若a>b>0,0A．logacC．accb
(2)若a＝20.3，b＝logπ3，c＝log4cos 100，则(　　)
A．b>c>a B．b>a>c
C．a>b>c D．c>a>b
(3)若实数a，b，c满足loga2A．aC．c解析　(1)对A：logac＝，logbc＝，
∵0而a>b>0，所以lg a>lg b，
但不能确定lg a、lg b的正负，
所以它们的大小不能确定，所以A错；
对B：logca＝，logcb＝，
而lg a>lg b，两边同乘以一个负数改变不等号方向，所以选项B正确；
对C：由y＝xc在第一象限内是增函数，
即可得到ac>bc，所以C错；
对D：由y＝cx在R上为减函数，
得ca(2)因为20.3>20＝1,0＝logπ1log4cos 100b>c，故选C.
(3)由loga2答案　(1)B　(2)C (3)A
1．设函数f(x)＝|ln x|(e为自然对数的底数)，满足f(a)＝f(b)(a≠b)，则(　　)
A．ab＝ee B．ab＝e
C．ab＝ D．ab＝1
答案　D
解析　∵|ln a|＝|ln b|且a≠b，∴ln a＝－ln b，∴ab＝1.
2．函数f(x)＝lg(|x|－1)的大致图象是(　　)
答案　B
解析　由函数f(x)＝lg(|x|－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，值域为R.又当x>1时，函数单调递增，所以只有选项B正确．
3．已知a＝，b＝，c＝，则(　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．a>c>b D．c>a>b
答案　C
解析　c＝＝，
∵log3>log33＝1且<3.4，
∴log3∵log43.61，
∴log43.6∴log23.4>log3>log43.6.
由于y＝5x为增函数，∴>>.
即>>，故a>c>b.
4．函数y＝的定义域为________．
答案　(，1]
解析　由log0.5(4x－3)≥0且4x－3>0，得1．函数y＝的定义域是(　　)
A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．[－1,1)∪(1，＋∞)
答案　C
解析　要使有意义，需满足x＋1>0且x－1≠0，得x>－1且x≠1.
2．设a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，则(　　)
A．bC．c答案　B
解析　∵a＝log37，∴1∵b＝21.1，∴b>2.
∵c＝0.83.1，∴0即c3．函数y＝2log4(1－x)的图象大致是(　　)
答案　C
解析　函数y＝2log4(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除A、B；又函数y＝2log4(1－x)在定义域内单调递减，排除D.故选C.
4．已知函数f(x)＝则f(2 018)等于(　　)
A．2 019 B．2 018
C．2 017 D．2 016
答案　A
解析　由已知f(2 018)＝f(2 017)＋1
＝f(2 016)＋2＝f(2 015)＋3
＝…＝f(1)＋2 017＝log2(5－1)＋2 017＝2 019.
5．若直线x＝m(m>1)与函数f(x)＝logax，g(x)＝logbx的图象及x轴分别交于A，B，C三点．若AB＝2BC，则(　　)
A．b＝a2或a＝b2 B．a＝b－1或a＝b3
C．a＝b－1或b＝a3 D．a＝b3
答案　C
解析　当a>1>b时，则A(m，logam)，B(m，logbm)，C(m,0)，
由AB＝2BC，得|logam－logbm|＝2|logbm|，
即logam－logbm＝－2logbm，
所以logam＝－logbm，
即＝－，所以a＝b－1；
当b>a>1时，由AB＝2BC，
得|logam－logbm|＝2|logbm|，
即logam－logbm＝2logbm，
所以logam＝3logbm，即＝，
所以b＝a3，所以a＝b－1或b＝a3，故选C.
6．若函数f(x)＝loga(x2＋x)(a>0，且a≠1)在区间(， ＋∞)内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为(　　)
A．(0，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(，＋∞)
答案　A
解析　令M＝x2＋x，当x∈(，＋∞)时，M∈(1，＋∞)，f(x)>0，所以a>1，所以函数y＝logaM为增函数，
又M＝(x＋)2－，因此M的单调递增区间为(－，＋∞)．
又x2＋x>0，所以x>0或x<－，
所以函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．
7．lg＋2lg 2－－1＝________.
答案　－1
解析　lg ＋2lg 2－－1＝lg ＋lg 22－2
＝lg －2＝1－2＝－1.
8．函数f(x)＝log2·(2x)的最小值为________．
答案　－
解析　f(x)＝log2·log(2x)＝log2x·2log2(2x)＝log2x(1＋log2x)．
设t＝log2x(t∈R)，则原函数可以化为
y＝t(t＋1)＝(t＋)2－(t∈R)，
故该函数的最小值为－，
故f(x)的最小值为－.
9．已知函数f(x)＝loga(2x－a)在区间[，]上恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是________．
答案　(，1)
解析　当0所以loga(－a)>0，即0<－a<1，
解得当a>1时，函数f(x)在区间[，]上是增函数，
所以loga(1－a)>0，即1－a>1，
解得a<0，此时无解．
综上所述，实数a的取值范围是(，1)．
*10.已知函数f(x)＝则f(f(－2))＝________；若f(x)≥2，则实数x的取值范围是________．
答案　2　(－∞，－4]∪[1，＋∞)
解析　∵f(－2)＝log22＝1，∴f(f(－2))＝f(1)＝2.
当x≥0时，由2x≥2，得x≥1；
当x<0时，由log2(－x)≥2，得－x≥4，∴x≤－4.
∴实数x的取值范围是(－∞，－4]∪[1，＋∞)．
*11.设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，且a≠1)，且f(1)＝2.
(1)求a的值及f(x)的定义域；
(2)求f(x)在区间[0，]上的最大值．
解　(1)∵f(1)＝2，
∴loga4＝2(a>0，且a≠1)，∴a＝2.
由得－1∴函数f(x)的定义域为(－1,3)．
(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)
＝log2(1＋x)(3－x)
＝log2[－(x－1)2＋4]，
∴当x∈(－1,1]时，f(x)是增函数；
当x∈(1,3)时，f(x)是减函数．
故函数f(x)在[0，]上的最大值是f(1)＝log24＝2.
12．设x∈[2,8]时，函数f(x)＝loga(ax)·loga(a2x)(a>0且a≠1)的最大值是1，最小值是－，求a的值．
解　由题意知f(x)＝(logax＋1)(logax＋2)
＝[(logax)2＋3logax＋2]＝(logax＋)2－.
当f(x)取最小值－时，logax＝－.
又∵x∈[2,8]，∴a∈(0,1)．
∵f(x)是关于logax的二次函数，
∴函数f(x)的最大值必在x＝2或x＝8时取得．
若(loga2＋)2－＝1，则a＝2－，
此时f(x)取得最小值时，
x＝＝ [2,8]，舍去．
若(loga8＋)2－＝1，则a＝，
此时f(x)取得最小值时，x＝＝2∈[2,8]，
符合题意，∴a＝.
13．已知函数f(x)＝－log2.
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断并证明f(x)的奇偶性；
(3)求证：f(x)在(0,1)内是减函数，并求使关系式f(x)(1)解　函数f(x)有意义，需
解得－1∴函数定义域为{x|－1(2)解　函数f(x)为奇函数．
∵f(－x)＝－－log2＝－＋log2
＝－f(x)，
又由(1)知f(x)的定义域关于原点对称，
∴f(x)为奇函数．
(3)证明　设0x1x2>0，x2－x1>0，∴－>0. ①
又－＝，
1－x1>0,1－x2>0，x1－x2<0，
∴0<<，
∴log2由①②得f(x1)－f(x2)＝(－)＋(log2－log2)>0，
∴f(x)在(0,1)内为减函数，又f(x)∴使f(x)(1)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(　 　)
(2)logax·logay＝loga(x＋y)．(　 　)
(3)函数y＝log2x及y＝log3x都是对数函数．(　 　)
(4)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　 　)
(5)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．(　 　)
(6)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，，函数图象只在第一、四象限．(　 　)
无
题型一　对数的运算
例1　(1)已知loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n＝________.
(2)计算：＝________.
　(1)计算：log2＝________，＝________.
(2)2(lg)2＋lg ·lg 5＋＝________.
题型二　对数函数的图象及应用
例2　(1)已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，且a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是(　　)
A．a>1，c>1 B．a>1,0C．01 D．0(2)当0A．(0，) B．(，1)
C．(1，) D．(，2)
　(1)若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是(　　)
(2)已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是(　　)
A．(1,10) B．(5,6)
C．(10,12) D．(20,24)
题型三　对数函数的性质及应用
命题点1　比较对数值的大小
例3　已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．c＜a＜b D．c＜b＜a
答案　C
命题点2　解对数不等式
例4　(1)若loga<1，则a的取值范围是________．
(2)已知函数f(x)＝则不等式f(x)>1的解集为________．
命题点3　和对数函数有关的复合函数
例5　已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．
(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；
(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
　(1)设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是(　　)
A．[－1,2] B．[0,2]
C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)
(2)已知f(x)＝ln(x＋－a)，若对任意的m∈R，均存在x0>0使得f(x0)＝m，则实数a的取值范围是__________．
1．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
2．对数的性质与运算法则
(1)对数的运算法则
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM (n∈R)．
(2)对数的性质
①N＝N；②logaaN＝N(a>0，且a≠1)．
(3)对数的换底公式
logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
3．对数函数的图象与性质
a>1 0图象
性质 定义域：(0，＋∞)
值域：R
过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
当x>1时，y>0 当01时，y<0 当00
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
4.反函数
指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线__y＝x__对称．
【知识拓展】
1．换底公式的两个重要结论
(1)logab＝；
(2)logambn＝logab.
其中a>0且a≠1，b>0且b≠1，m，n∈R.
2．对数函数的图象与底数大小的比较
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0典例　(1)若a>b>0,0A．logacC．accb
(2)若a＝20.3，b＝logπ3，c＝log4cos 100，则(　　)
A．b>c>a B．b>a>c
C．a>b>c D．c>a>b
(3)若实数a，b，c满足loga2A．aC．c1．设函数f(x)＝|ln x|(e为自然对数的底数)，满足f(a)＝f(b)(a≠b)，则(　　)
A．ab＝ee B．ab＝e
C．ab＝ D．ab＝1
2．函数f(x)＝lg(|x|－1)的大致图象是(　　)
3．已知a＝，b＝，c＝，则(　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．a>c>b D．c>a>b
4．函数y＝的定义域为________．
1．函数y＝的定义域是(　　)
A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．[－1,1)∪(1，＋∞)
2．设a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，则(　　)
A．bC．c3．函数y＝2log4(1－x)的图象大致是(　　)
4．已知函数f(x)＝则f(2 018)等于(　　)
A．2 019 B．2 018
C．2 017 D．2 016
5．若直线x＝m(m>1)与函数f(x)＝logax，g(x)＝logbx的图象及x轴分别交于A，B，C三点．若AB＝2BC，则(　　)
A．b＝a2或a＝b2 B．a＝b－1或a＝b3
C．a＝b－1或b＝a3 D．a＝b3
6．若函数f(x)＝loga(x2＋x)(a>0，且a≠1)在区间(， ＋∞)内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为(　　)
A．(0，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(，＋∞)
7．lg＋2lg 2－－1＝________.
8．函数f(x)＝log2·(2x)的最小值为________．
9．已知函数f(x)＝loga(2x－a)在区间[，]上恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是________．
*10.已知函数f(x)＝则f(f(－2))＝________；若f(x)≥2，则实数x的取值范围是________．
*11.设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，且a≠1)，且f(1)＝2.
(1)求a的值及f(x)的定义域；
(2)求f(x)在区间[0，]上的最大值．
12．设x∈[2,8]时，函数f(x)＝loga(ax)·loga(a2x)(a>0且a≠1)的最大值是1，最小值是－，求a的值．
13．已知函数f(x)＝－log2.
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断并证明f(x)的奇偶性；
(3)求证：f(x)在(0,1)内是减函数，并求使关系式f(x)

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