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(共71张PPT)
DIERZHANG
第二章
2　法拉第电磁感应定律
1.理解并掌握法拉第电磁感应定律，能够运用法拉第电磁感应定律定量计算感应电动势的大小(重点)。
2.能够运用E=Blv或E=Blvsin θ计算导体切割磁感线时产生的感应电动势(重点)。
3.理解动生电动势产生的原理。
4.会推导、计算导体转动切割磁感线时的感应电动势(重难点)。
学习目标
一、电磁感应定律
二、导体棒切割磁感线时的感应电动势
内容索引
三、导体棒转动切割时的感应电动势
课时对点练
电磁感应定律
一
我们可以通过实验探究电磁感应现象中感应电流大小的决定因素和遵循的物理规律。
如图所示，将条形磁体从同一高度插入线圈的实验中。
(1)快速插入和缓慢插入，磁通量的变化量ΔΦ相同吗？指针偏转角度相同吗？
答案　磁通量的变化量ΔФ相同，但磁通量变化的快慢不同，快速插入比缓慢插入时指针偏转角度大。
(2)分别用同种规格的一根磁体和并列的两根磁体以相同速度快速插入，磁通量的变化量ΔΦ相同吗？指针偏转角度相同吗？
答案　用并列的两根磁体快速插入时磁通量的变化量较大，磁通量变化率也较大，指针偏转角度较大。
(3)如果在条形磁体插入线圈的过程中，将线圈与电流表断开，线圈两端的电动势是否随着电流一起消失？
答案　如果电路没有闭合，电动势依然存在。
(4)在线圈匝数一定的情况下，感应电动势的大小取决于什么？
答案　在线圈匝数一定的情况下，感应电动势的大小取决于的大小。
1.感应电动势
在　　　　　现象中产生的电动势叫作感应电动势。产生感应电动势的那部分导体相当于　　　。
2.法拉第电磁感应定律
(1)内容：闭合电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的__________
________成正比。
(2)公式：E=　　　，其中n为线圈的匝数。
梳理与总结
电磁感应
电源
磁通量的
变化率
n
(3)在国际单位制中，磁通量的单位是　　　　　，感应电动势的单位是
_______。
注意：公式只表示感应电动势的大小。至于感应电流的方向，可由楞次定律判定。
3.公式E=n求解的是一个回路中某段时间内的平均电动势，只有在磁通量随时间均匀变化时，瞬时电动势才等于平均电动势。
韦伯(Wb)
伏(V)
(1)在电磁感应现象中，有感应电流，就一定有感应电动势；反之，有感应电动势，就一定有感应电流。(　　)
(2)线圈中磁通量越大，线圈中产生的感应电动势一定越大。(　　)
(3)线圈中磁通量的变化量ΔΦ越小，线圈中产生的感应电动势一定越小。(　　)
(4)线圈中磁通量变化得越快，线圈中产生的感应电动势一定越大。
(　　)
×
×
×
√
　如图甲所示，有一个圆形线圈，匝数n=1 000匝，面积S=200 cm2，线圈的电阻r=1 Ω，线圈外接一个阻值R=4 Ω的电阻，其余电阻不计，把线圈放入一方向垂直于线圈平面向里的匀强磁场中，磁感应强度大小随时间变化的规律如图乙所示(规定垂直线圈平面向里为磁感应强度的正方向)，求：
例1
(1)前4 s内的感应电动势的大小以及通过电阻R的电流方向；
答案　1 V　自下而上
前4 s内磁通量的变化量
ΔΦ=Φ2-Φ1=S(B2-B1)=200×10-4×
(0.4-0.2) Wb=4×10-3 Wb
由法拉第电磁感应定律得E=n=
1 000× V=1 V
由楞次定律知，线圈中产生逆时针方向的感应电流，则通过电阻R的电流方向自下而上。
(2)前5 s内的平均感应电动势。
答案　0
前5 s内磁通量的变化量
ΔΦ'=Φ2'-Φ1=S(B2'-B1)=200×10-4×(0.2-0.2) Wb=0
由法拉第电磁感应定律得=n=0。
拓展　(1)0~4 s内感应电动势E1及4~6 s内感应电动势E2的大小关系为
　　　　；
(2)t=6 s时，穿过线圈的磁通量　 　，线圈中的感应电动势__________
(均选填“等于零”或“不等于零”)。
E1等于零
不等于零
(2023·包头市第四中学高二月考)穿过同一闭合回路的磁通量Φ随时间t变化的图像分别如图中的①~④所示，下列关于回路中感应电动势的说法正确的是
A.图①回路产生恒定不变的感应电动势
B.图②回路产生的感应电动势一直在变大
C.图③回路0~t1时间内产生的感应电动势
　大于t1~t2时间内产生的感应电动势
D.图④回路产生的感应电动势先变大后变小
针对训练1
√
根据法拉第电磁感应定律可知感应电动势与磁通量的变化率成正比，即E=n，结合数学知识可知：穿过闭合回路的磁通量Φ随时间t变化的图像的斜率k=；题图①中磁通量Φ不变，无感应电动势；题图②中磁通量Φ随时间t均匀增大，图像的斜率k不变，即产生的感应电动势不变；
题图③中回路在0~t1时间内磁通量Φ随时间t变化的图像的斜率为k1，在t1~t2时间内磁通量Φ随时间t变化的图像的斜率为k2，从图像中发现：k1大于|k2|，所以在0~t1时间内产生的感应电动势大于在t1~t2时间内产生的感应电动势；题图④中磁通量Φ随时间t变化的图像的斜率的绝对值先变小后变大，所以感应电动势先变小后变大。故选C。
1.磁通量Φ、磁通量的变化量ΔΦ及磁通量的变化率的比较：
总结提升
磁通量Φ(Φ=BS) 磁通量的变化量ΔΦ(ΔΦ=Φ2-Φ1) 磁通量的变化率
物理意义 某时刻穿过磁场中某个面的磁感线条数 在某一过程中，穿过某个面的磁通量变化的多少 穿过某个面的磁通量变化的快慢
2.若已知Φ-t图像，则图线上某一点的切线斜率与该时刻的感应电动势大小成正比。
3.(1)当ΔΦ仅由B的变化引起时，E=n·S，其中S为线圈在磁场中的有效面积，其中的绝对值||叫作磁感应强度的变化率，等于B-t图像上对应点的切线的斜率。
(2)当ΔΦ仅由S的变化引起时，E=nB。
(3)当B、S同时变化时，=n≠n。
总结提升
返回
导体棒切割磁感线时的感应电动势
二
推导：
(1)在Δt时间内，由原来的位置MN移到M1N1，这个过程中闭合电路的面积变化量是ΔS=　　 。
(2)穿过闭合电路的磁通量的变化量则是ΔΦ= 　　=　　　。
(3)根据法拉第电磁感应定律E=求得感应电动势E=　 。
1.如图所示，把平行导轨放在磁感应强度为B的匀强磁场中，通过一电阻相连，所在平面跟磁感线垂直。导体棒MN放在导轨上，两导轨间距为l，MN以速度v向右匀速运动。试根据法拉第电磁感应定律求产生的感应电动势。
lvΔt
BΔS
BlvΔt
Blv
2.如图所示，如果导线的运动方向与导线本身是垂直的，但与磁感线方向有一个夹角θ，将速度v分解为两个分量；垂直于磁感线的分量v1=______和平行于磁感线的分量v2= ，则导线产生的感应电动势为E=_____
= 。
vsin θ
vcos θ
Blv1
Blvsin θ
如图，导体棒CD在匀强磁场中向右运动。自由电荷会随着导体棒运动，并因此受到洛伦兹力。
(1)导体棒中自由电荷相对于纸面的运动大致沿什么方向？(为了方便，可以认为导体棒中的自由电荷是正电荷。)
思考与讨论
答案　导体棒中自由电荷(正电荷)随导体棒向右运动，由左手定则可判断正电荷受到沿棒向上的洛伦兹力作用。因此，正电荷一边向上运动，一边随导体棒向右匀速运动，所以正电荷相对于纸面的运动是斜向右上方的。
(2)导体棒一直运动下去，自由电荷是否总会沿着导体棒运动？为什么？导体棒哪端的电势比较高？
(以上讨论不必考虑自由电荷的热运动。)
答案　不会。当导体棒中的自由电荷受到的洛伦兹力与静电力平衡时不再定向移动，导体棒两端产生一个稳定的电势差，即为导体棒两端产生的感应电动势。因为正电荷会聚集在C端，所以C端电势高。
(3)在上述过程中，洛伦兹力做功吗？
答案　自由电荷参与了两个方向的运动，随着导体棒向右运动的速度vx和沿着导体棒向上运动的速度vy，相应的有沿着棒方向的洛伦兹力Fy和垂直棒方向的洛伦兹力Fx。如图所示，自由电荷合速度的方向指向右上方。Fx和Fy的合力方向与自由电荷的合速度方向垂直，洛伦兹力不做功。洛伦兹力不做功，不提供能量，只是起传递能量的作用。
1.由于导体运动而产生的电动势叫作动生电动势。
2.导线垂直于磁场方向运动，B、l、v两两垂直时，感应电动势E= 。
3.导线运动的方向与磁感线方向夹角为θ时，感应电动势E= 。
梳理与总结
Blv
Blvsin θ
4.若导线是弯折的，或l与v不垂直时，E=Blv中的l应为导线两端点在与v垂直的方向上的投影长度，即有效切割长度。
图甲中的有效切割长度为：l=sin θ；
图乙中的有效切割长度为：l= 　　 =　　；
图丙中的有效切割长度为：沿v1的方向运动时，l=　　　；沿v2的方向运动时，l=　　。
2R
R
R
　如图所示，两根平行光滑金属导轨MN和PQ放置在水平面内，其间距L=0.2 m，磁感应强度大小B=0.5 T的匀强磁场垂直导轨平面向下，两导轨之间连接的电阻R=4.8 Ω，在导轨上有一金属棒ab，其接入电路的电阻r=1.2 Ω，金属棒与导轨始终垂直且接触良好，在ab棒上施加垂直ab棒的水平拉力使其以速度v=12 m/s向右匀速运动，设金属导轨足够长且电阻不计。求：
(1)金属棒ab产生的感应电动势大小；
例2
答案　1.2 V
设金属棒中产生的感应电动势大小为E，则E=BLv
代入数值得E=1.2 V。
(2)水平拉力的大小F；
答案　0.02 N
设流过电阻R的电流大小为I，
则I=
代入数值得I=0.2 A
因棒匀速运动，则拉力等于安培力，有
F=F安=BIL=0.02 N。
(3)金属棒a、b两点间的电势差。
答案　0.96 V
a、b两点间的电势差为Uab=IR
代入数值得Uab=0.96 V。
　　(2024·荆州市高二期末)如图所示，abcd为水平固定放置的“　　”形金属导轨，导轨的间距为l，导轨的左端接上阻值为R的定值电阻，匀强磁场方向竖直向下，金属杆MN倾斜放置在导轨上，现让金属杆在外力的作用下以速度v在导轨上匀速滑行，回路中的电流为I，MN与导轨的夹角始终为θ，速度v始终与MN垂直，导轨与金属杆足够长，滑行的过程中两者始终接触良好，导轨、金属杆以及导线的电阻均忽略不计，下列说法正确的是
A.定值电阻R的电流由c指向b
B.匀强磁场的磁感应强度大小为
C.金属杆MN切割磁感线的有效长度为l
D.一段时间t内，回路中磁通量的变化量为IRtsin θ
针对训练 2
√
由右手定则可知，金属杆MN的电流方向由N指向M，
则定值电阻R的电流由b指向c，故A错误；
金属杆MN切割磁感线的有效长度为，故C错误；
由法拉第电磁感应定律可得E=B··v=，由闭合电路欧姆定律可得I=，综合解得B=，故B正确；
一段时间t内，回路的面积增加量为ΔS=，回路中磁通量的变化量为ΔΦ=BΔS，综合可得ΔΦ=IRt，故D错误。
返回
导体棒转动切割时的感应电动势
三
如图所示，长为l的金属棒ab，绕b端在垂直于匀强磁场的平面内以角速度ω匀速转动，磁感应强度大小为B。
(1)试推导ab棒所产生的感应电动势大小；
答案　方法一　棒上各处速率不同，故不能直接用公式E=Blv求。由v=ωr可知，棒上各点的线速度跟半径成正比，故可用棒的中点的速度作为平均切割速度代入公式计算。
所以=，E=Bl=Bl2ω。
方法二　设经过Δt时间ab棒扫过的扇形面积为ΔS，则
ΔS=lωΔtl=l2ωΔt
磁通量的变化量为ΔΦ=BΔS=Bl2ωΔt
所以E==Bl2ω。
(2)试判断a、b两点电势的高低。
答案　由右手定则知，ab切割磁感线，相当于电源，则a为电源的正极，b为电源的负极，a点的电势高于b点的电势。
相对位置 转轴位置
端点 中点 任意位置
导体棒ab长为l，垂直放于磁感应强度为B的匀强磁场，匀速转动的角速度为ω Eab=Bl=Blv中=Bl2ω Eab=0 Eab=Bω-Bω

梳理与总结
　(2024·西安市高二期末)如图所示是圆盘发电机的示意图，铜盘安装在水平的铜轴上，它的盘面恰好与匀强磁场垂直，两块铜片C、D分别与转动轴和铜盘的边缘接触。若铜盘半径为L，匀强磁场的磁感应强度为B，回路的总电阻为R，从左往右看，铜盘以角速度ω沿顺时针方向匀速转动。则
A.由于穿过铜盘的磁通量不变，故回路中无感应电流
B.回路中感应电流大小不变，为
C.回路中感应电流方向不变，为D→C→R→D
D.若铜盘转动的角速度变为原来的2倍，则电流在R上的热功率也变为原
　来的2倍
例3
√
将铜盘看成由无数条幅向分布的导体棒组成的，铜盘在外力的作用下这些导体棒转动切割磁感线，从而产生感应电动势，出现感应电流，故A错误；
根据右手定则可知，电流从D点流出，流向C点，因此电流方向为从D向R再到C，即为C→D→R→C，故C错误；
根据法拉第电磁感应定律可知，感应电动势E=BL=BL2ω，产生的感应电动势大小不变，感应电流大小不变，由闭合电路的欧姆定律可知，感应电流大小为I==，故B正确；
电流在R上的热功率P=I2R=，铜盘转动的角速度变为原来的2倍，则电流在R上的热功率变为原来的4倍，故D错误。
法拉第电磁感应定律的三个表达式的比较
总结提升
返回
情景图
研究 对象 回路(不一定闭合)磁场变化或面积变化 一段直导线(或等效成直导线)切割磁感线 绕一端转动的一段导体棒
表达式 E=n E=Blv E=Bl2ω
四
课时对点练
基础对点练
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考点一　法拉第电磁感应定律的理解和基本应用
1.(2024·北京市海淀区高二期末)下列关于电磁感应现象说法正确的是
A.穿过闭合电路的磁通量越大，闭合电路中的感应电动势越大
B.穿过闭合电路的磁通量为零时，感应电动势一定为零
C.穿过闭合电路的磁通量变化越大，闭合电路中的感应电动势越大
D.穿过闭合电路的磁通量变化越快，闭合电路中的感应电动势越大
√
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穿过闭合电路的磁通量变化越快，磁通量变化率越大，根据法拉第电磁感应定律E=n，可知感应电动势越大，D正确；
穿过闭合电路的磁通量越大，磁通量变化率不一定大，则闭合电路中的感应电动势不一定大，故A错误；
磁通量为零时，磁通量可能在变，则感应电动势不为零，故B错误；
磁通量的变化大，即ΔΦ大，但磁通量的变化率不一定大，故闭合电路中的感应电动势不一定大，故C错误。
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2.(多选)(2023·湖北省云学新高考联盟高二联考)某实验小组探究“影响感应电动势大小的因素”。实验装置如图所示，线圈的两端与电压表相连。分别使线圈距离上管口5 cm、10 cm、15 cm和20 cm。强磁体从长玻璃管上端均由静止下落，加速穿过线圈。对比这四次实验，在强磁体穿过线圈的极短时间内，下列说法正确的是
A.线圈内磁通量的变化量相同
B.电压表的示数依次变大
C.强磁体所受磁场力都是先向上后向下
D.高度相同时，电压表的示数与线圈所围面积无关
√
√
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线圈内磁通量的变化量与强磁体的磁感应强度和线圈面积有关，可知四次实验线圈内磁通量的变化量相同，产生的感应电动势大小与线圈所围面积有关，A正确，D错误；
线圈距离上管口越远，强磁体穿过线圈时的速度越大，引起的磁通量的变化率越大，则产生的感应电动势越大，电压表示数越大，B正确；
由于强磁体一直向下落，由楞次定律的推论“来拒去留”可知，强磁体所受磁场力一直向上，C错误。
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3.(2023·湖北卷)近场通信(NFC)器件应用电磁感应原理进行通讯，其天线类似一个压平的线圈，线圈尺寸从内到外逐渐变大。如图所示，一正方形NFC线圈共3匝，其边长分别为1.0 cm、1.2 cm和1.4 cm，图中线圈外线接入内部芯片时与内部线圈绝缘。若匀强磁场垂直通过此线圈，磁感应强度变化率为103 T/s，则线圈产生的感应电动势最接近
A.0.30 V B.0.44 V
C.0.59 V D.4.3 V
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根据法拉第电磁感应定律可知E==S=103×(1.02+
1.22+1.42)×10-4 V=0.44 V，故选B。
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4.如图甲所示，一线圈匝数为100，横截面积为0.01 m2，匀强磁场与线圈轴线成30°角向右穿过线圈。若在2 s时间内磁感应强度随时间的变化关系如图乙所示，则该段时间内线圈两端a、b之间的电势差Uab为
A.- V
B.2 V
C. V
D.从0均匀变化到2 V
√
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与线圈轴线成30°角向右穿过线圈的磁感应强度均匀增加，故产生恒定的感应电动势，根据法拉第电磁感应定律，有
E=n=nScos 30°
由题图乙可知= Wb/s=2 Wb/s
代入数据得E= V
根据楞次定律及安培定则知a点的电势低于b点的电势，则Uab=- V，故A正确。
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考点二　导线切割磁感线时的感应电动势
5.(2024·杭州市高二期末)我国自主研制的C919飞机机长38.9米、翼展35.8米，北京地区地磁场的竖直分量约为4.5×10-5 T，水平分量约为3.0×10-5 T。该机在北京郊区水平试飞速度为声速(约330 m/s)的0.8倍。有关C919飞机的说法正确的是
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A.C919飞机往北飞的时候，西面机翼的电势较低。两侧机翼的最大电势
　差约为0.43 V
B.C919飞机往南飞的时候，西面机翼的电势较低。两侧机翼的最大电势　
　差约为0.26 V
C.无论C919飞机往哪个方向飞，都是左边机翼的电势较低。两侧机翼的
　最大电势差约为0.26 V
D.无论C919飞机往哪个方向飞，都是右边机翼的电势较低。两侧机翼的
　最大电势差约为0.43 V
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北京地区地磁场的竖直分量竖直向下，当飞机在北半球水平飞时，飞机机翼切割磁感线产生感应电动势，由右手定则可知，机翼左端的电势比右端的电势高。无论C919飞机往哪个方向飞，都是右边机翼的电势较低。由法拉第电磁感应定律E=BLv，可得两翼尖间的电势差U=E=4.5×10-5×35.8×0.8×330 V≈0.43 V，故选D。
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6.(2024·北京市朝阳区高二期末)如图所示，在竖直向下的匀强磁场中，将一根水平放置的金属棒ab以某一水平速度v0抛出，金属棒在运动过程中始终保持水平，不计空气阻力。下列图中能正确反映金属棒在运动过程中产生的感应电动势大小E随时间t变化情况的是
√
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金属棒做平抛运动，水平速度大小和方向均不变，即在磁场中切割磁感线的速度不变，则在运动过程中产生的感应电动势大小和方向均不变，故选A。
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考点三　导体棒转动切割时的感应电动势
7.(2023·四川省峨眉第二中学高二期中)如图所示，导体棒AB的长为2R，绕O点以角速度ω沿逆时针方向匀速转动，OB长为R，且O、B、A三点在一条直线上，有一磁感应强度为B的匀强磁场充满转动平面且与转动平面垂直(未画出)，那么AB两端的电势差大小为
A.2BωR2 B.3BωR2
C.4BωR2 D.5BωR2
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AB两端的电势差大小等于导体棒AB中感应电动势的大小，为E=B×2R=B×2R×=4BωR2，故选C。
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8.(2024·广州市高二期中)近期小朋友热衷玩的一种夜光飞行器的实物和模型如图所示。假设该飞行器在北半球的地磁极上空，该处地磁场的方向竖直向下，磁感应强度为B。飞行器的螺旋桨叶片远端在固定的水平圆环内转动，在螺旋桨转轴和叶片的远端b之间连接有一个发光二极管D，已知叶片长度为L，转动的频率为f，从上向下看叶片是按顺时针方向转动的。用E表示每个叶片中的感应电动势，螺旋桨转轴和叶片均为导体。则
A.E=πBL2f，图示连接的二极管不会发光
B.E=2πBL2f，图示连接的二极管不会发光
C.E=πBL2f，图示连接的二极管可以发光
D.E=2πBL2f，图示连接的二极管可以发光
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根据法拉第电磁感应定律，叶片转动时产生的感应电动势为E=BLωL
=BL2=πBL2f，从上向下看叶片是按顺时针方向转动的，通过右手定则，可以判断出b端相当于电源的正极，与二极管的正负极相反，电路不通，故二极管不会发光，故B、C、D错误，A正确。
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9.(多选)(2023·忻州市第一中学高二期末)如图所示，一导线弯成半径为a的半圆形闭合回路。虚线MN右侧有磁感应强度大小为B的匀强磁场，方向垂直于回路所在的平面。回路以速度v 向右匀速进入磁场，直径CD段导线始终与MN垂直。从D点到达边界开始到C点进入磁场为止，下列结论正确的是
A.感应电流方向不变
B.CD段直导线始终不受安培力
C.感应电动势最大值E=Bav
D.感应电动势平均值=πBav
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能力综合练
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闭合回路进入磁场的过程中，穿过闭合回路的磁通量一直在变大，由楞次定律可知，感应电流的方向不变，A正确；
从D点到达边界开始到C点进入磁场为止，穿过闭合
回路的磁通量一直在变大，故回路中始终存在感应电流，CD段与磁场方向垂直，所以CD段直导线始终受安培力，B错误；
从D点到达边界开始到C点进入磁场的过程可以理解为部分电路切割磁感线的运动，在切割的过程中，切割的有效长度先增大后减小，最大有效长度等于半圆的半径，即最大感应电动势为E=Bav，C正确；
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根据法拉第电磁感应定律可知，感应电动势的平均值为===，D错误。
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10.(2024·广东省高二月考)如图所示，直角三角形金属框abc放置在匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向平行于ab边向上。当金属框绕ab边以角速度ω逆时针转动(俯视)时，a、b、c三点的电势分别为φa、φb、φc。已知bc边的长度为l。下列判断正确的是
A.φa>φc，金属框中无电流
B.φb>φc，金属框中电流方向沿abca
C.Ubc=-Bl2ω，金属框中无电流
D.Uac=Bl2ω，金属框中电流方向沿acba
√
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金属框abc平面与磁场方向平行，转动过程中穿过金属框的磁通量始终为零，所以无感应电流产生，故B、D错误；
转动过程中bc边和ac边均切割磁感线，产生感应电动势，由右手定则判断φa<φc，φb<φc，故A错误；
由=BL得，Ubc=-Bl2ω，故C正确。
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11.如图所示，匀强磁场中有一由半圆弧及其直径构成的导线框，半圆直径与磁场边缘重合，磁场方向垂直于半圆面(纸面)向里，磁感应强度大小为B0。使该线框从静止开始绕过圆心O、垂直于半圆面的轴以角速度ω逆时针匀速转动半周，线框中产生感应电流。现使线框保持图中所示位置静止，磁感应强度随时间线性变化。为了产生与线框转动半周过程中同样大小的电流，磁感应强度随时间的变化率的大小应为
A. B.
C. D.
√
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设半圆的半径为L，导线框的电阻为R，当线框以角速度ω匀速转动时产生的感应电动势E1=B0ωL2。当线框不动，而磁感应强度随时间变化时E2=πL2·=B0ωL2=πL2·=，故C正确。
13
12.如图所示，导轨OM和ON都在纸面内，导体AB可在导轨上无摩擦滑动且接触良好，AB⊥ON，ON水平，若AB以5 m/s的速度从O点开始沿导轨匀速向右滑动，导体与导轨都足够长，匀强磁场的磁感应强度大小为0.2 T。问：(结果可用根式表示)
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尖子生选练
(1)第3 s末夹在导轨间的导体长度是多少？此时导体切割磁感线产生的感应电动势多大？
答案　5 m　5 V
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第3 s末，夹在导轨间导体的长度为：
l=vt·tan 30°=5×3× m=5 m
此时E=Blv=0.2×5×5 V=5 V。
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(2)0~3 s内回路中的磁通量变化了多少？此过程中的平均感应电动势为多少？
答案　 Wb　 V
0~3 s内回路中磁通量的变化量
ΔΦ=BΔS=0.2××15×5 Wb= Wb
0~3 s内回路中产生的平均感应电动势为：== V= V。
13
13.(多选)(2023·东莞市高二期末)磁悬浮列车是高速低耗交通工具，如图甲所示，它的驱动系统简化为如图乙所示的物理模型。固定在列车底部的正方形金属线框的边长为L，匝数为N，总电阻为R；水平面内平行长直导轨间存在磁感应强度均为B、方向交互相反，边长均为L的正方形组合匀强磁场。当磁场以速度v匀速向右移动时，可驱动停在轨道上的列车，则
A.图示时刻线框中感应电流沿顺时针方向
B.列车运动的方向与磁场移动的方向相反
C.列车速度为v'时线框中的感应电动势大小为NBL(v-v')
D.列车速度为v'时线框受到的安培力大小为
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尖子生选练
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线框相对磁场向左运动，根据右手定则
可知图示时刻线框中感应电流沿顺时针
方向，A正确；
根据左手定则，列车受到向右的安培力，因此列车运动的方向与磁场移动的方向相同，B错误；
由于左右两个边产生的感应电动势顺次相加，根据法拉第电磁感应定律得E=2NBLΔv=2NBL(v-v')，C错误；
列车速度为v'时线框受到的安培力大小为F=2NBIL=，D正确。
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132　法拉第电磁感应定律
[学习目标]　1.理解并掌握法拉第电磁感应定律，能够运用法拉第电磁感应定律定量计算感应电动势的大小(重点)。2.能够运用E=Blv或E=Blvsin θ计算导体切割磁感线时产生的感应电动势(重点)。3.理解动生电动势产生的原理。4.会推导、计算导体转动切割磁感线时的感应电动势(重难点)。
一、电磁感应定律
我们可以通过实验探究电磁感应现象中感应电流大小的决定因素和遵循的物理规律。
如图所示，将条形磁体从同一高度插入线圈的实验中。
(1)快速插入和缓慢插入，磁通量的变化量ΔΦ相同吗？指针偏转角度相同吗？
(2)分别用同种规格的一根磁体和并列的两根磁体以相同速度快速插入，磁通量的变化量ΔΦ相同吗？指针偏转角度相同吗？
(3)如果在条形磁体插入线圈的过程中，将线圈与电流表断开，线圈两端的电动势是否随着电流一起消失？
(4)在线圈匝数一定的情况下，感应电动势的大小取决于什么？
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1.感应电动势
在　　　　　　　　现象中产生的电动势叫作感应电动势。产生感应电动势的那部分导体相当于　　　　。
2.法拉第电磁感应定律
(1)内容：闭合电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的　　　　　　　　　　　成正比。
(2)公式：E=　　　　　　，其中n为线圈的匝数。
(3)在国际单位制中，磁通量的单位是　　　　　　　　　，感应电动势的单位是　　　　。
注意：公式只表示感应电动势的大小。至于感应电流的方向，可由楞次定律判定。
3.公式E=n求解的是一个回路中某段时间内的平均电动势，只有在磁通量随时间均匀变化时，瞬时电动势才等于平均电动势。
(1)在电磁感应现象中，有感应电流，就一定有感应电动势；反之，有感应电动势，就一定有感应电流。 (　　)
(2)线圈中磁通量越大，线圈中产生的感应电动势一定越大。 (　　)
(3)线圈中磁通量的变化量ΔΦ越小，线圈中产生的感应电动势一定越小。 (　　)
(4)线圈中磁通量变化得越快，线圈中产生的感应电动势一定越大。 (　　)
例1　如图甲所示，有一个圆形线圈，匝数n=1 000匝，面积S=200 cm2，线圈的电阻r=1 Ω，线圈外接一个阻值R=4 Ω的电阻，其余电阻不计，把线圈放入一方向垂直于线圈平面向里的匀强磁场中，磁感应强度大小随时间变化的规律如图乙所示(规定垂直线圈平面向里为磁感应强度的正方向)，求：
(1)前4 s内的感应电动势的大小以及通过电阻R的电流方向；
(2)前5 s内的平均感应电动势。
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拓展　(1)0~4 s内感应电动势E1及4~6 s内感应电动势E2的大小关系为________；
(2)t=6 s时，穿过线圈的磁通量　　　　　　　，线圈中的感应电动势　　　　　　(均选填“等于零”或“不等于零”)。
针对训练1　(2023·包头市第四中学高二月考)穿过同一闭合回路的磁通量Φ随时间t变化的图像分别如图中的①~④所示，下列关于回路中感应电动势的说法正确的是 (　　)
A.图①回路产生恒定不变的感应电动势
B.图②回路产生的感应电动势一直在变大
C.图③回路0~t1时间内产生的感应电动势大于t1~t2时间内产生的感应电动势
D.图④回路产生的感应电动势先变大后变小
1.磁通量Φ、磁通量的变化量ΔΦ及磁通量的变化率的比较：
磁通量Φ(Φ=BS) 磁通量的变化量ΔΦ(ΔΦ=Φ2-Φ1) 磁通量的变化率
物理 意义 某时刻穿过磁场中某个面的磁感线条数 在某一过程中，穿过某个面的磁通量变化的多少 穿过某个面的磁通量变化的快慢
2.若已知Φ-t图像，则图线上某一点的切线斜率的绝对值与该时刻的感应电动势大小成正比。
3.(1)当ΔΦ仅由B的变化引起时，E=n·S，其中S为线圈在磁场中的有效面积，其中叫作磁感应强度的变化率，等于B-t图像上对应点的切线的斜率。
(2)当ΔΦ仅由S的变化引起时，E=nB。
(3)当B、S同时变化时，=n≠n。
二、导体棒切割磁感线时的感应电动势
1.如图所示，把平行导轨放在磁感应强度为B的匀强磁场中，通过一电阻相连，所在平面跟磁感线垂直。导体棒MN放在导轨上，两导轨间距为l，MN以速度v向右匀速运动。试根据法拉第电磁感应定律求产生的感应电动势。
推导：
(1)在Δt时间内，由原来的位置MN移到M1N1，这个过程中闭合电路的面积变化量是ΔS=　　　　　。
(2)穿过闭合电路的磁通量的变化量则是ΔΦ=　　　　　=　　　　　　。
(3)根据法拉第电磁感应定律E=求得感应电动势E=　　　　。
2.如图所示，如果导线的运动方向与导线本身是垂直的，但与磁感线方向有一个夹角θ，将速度v分解为两个分量；垂直于磁感线的分量v1=　　　　　　和平行于磁感线的分量v2=　　　　　，则导线产生的感应电动势为E=　　　　=　　　　　　　　。
如图，导体棒CD在匀强磁场中向右运动。自由电荷会随着导体棒运动，并因此受到洛伦兹力。
(1)导体棒中自由电荷相对于纸面的运动大致沿什么方向？(为了方便，可以认为导体棒中的自由电荷是正电荷。)
(2)导体棒一直运动下去，自由电荷是否总会沿着导体棒运动？为什么？导体棒哪端的电势比较高？
(以上讨论不必考虑自由电荷的热运动。)
(3)在上述过程中，洛伦兹力做功吗？
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1.由于导体运动而产生的电动势叫作动生电动势。
2.导线垂直于磁场方向运动，B、l、v两两垂直时，感应电动势E=　　　　。
3.导线运动的方向与磁感线方向夹角为θ时，感应电动势E=　　　　　　　　。
4.若导线是弯折的，或l与v不垂直时，E=Blv中的l应为导线两端点在与v垂直的方向上的投影长度，即有效切割长度。
图甲中的有效切割长度为：l=sin θ；
图乙中的有效切割长度为：l=　　　　=　　　　；
图丙中的有效切割长度为：沿v1的方向运动时，l=　　　　；沿v2的方向运动时，l=　　　　。
例2　如图所示，两根平行光滑金属导轨MN和PQ放置在水平面内，其间距L=0.2 m，磁感应强度大小B=0.5 T的匀强磁场垂直导轨平面向下，两导轨之间连接的电阻R=4.8 Ω，在导轨上有一金属棒ab，其接入电路的电阻r=1.2 Ω，金属棒与导轨始终垂直且接触良好，在ab棒上施加垂直ab棒的水平拉力使其以速度v=12 m/s向右匀速运动，设金属导轨足够长且电阻不计。求：
(1)金属棒ab产生的感应电动势大小；
(2)水平拉力的大小F；
(3)金属棒a、b两点间的电势差。
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针对训练2　(2024·荆州市高二期末)如图所示，abcd为水平固定放置的“”形金属导轨，导轨的间距为l，导轨的左端接上阻值为R的定值电阻，匀强磁场方向竖直向下，金属杆MN倾斜放置在导轨上，现让金属杆在外力的作用下以速度v在导轨上匀速滑行，回路中的电流为I，MN与导轨的夹角始终为θ，速度v始终与MN垂直，导轨与金属杆足够长，滑行的过程中两者始终接触良好，导轨、金属杆以及导线的电阻均忽略不计，下列说法正确的是 (　　)
A.定值电阻R的电流由c指向b
B.匀强磁场的磁感应强度大小为
C.金属杆MN切割磁感线的有效长度为l
D.一段时间t内，回路中磁通量的变化量为IRtsin θ
三、导体棒转动切割时的感应电动势
如图所示，长为l的金属棒ab，绕b端在垂直于匀强磁场的平面内以角速度ω匀速转动，磁感应强度大小为B。
(1)试推导ab棒所产生的感应电动势大小；
(2)试判断a、b两点电势的高低。
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相对位置 转轴位置
端点 中点 任意位置
导体棒ab长为l，垂直放于磁感应强度为B的匀强磁场，匀速转动的角速度为ω Eab=Bl=Blv中=Bl2ω Eab=0 Eab=Bω-Bω
例3　(2024·西安市高二期末)如图所示是圆盘发电机的示意图，铜盘安装在水平的铜轴上，它的盘面恰好与匀强磁场垂直，两块铜片C、D分别与转动轴和铜盘的边缘接触。若铜盘半径为L，匀强磁场的磁感应强度为B，回路的总电阻为R，从左往右看，铜盘以角速度ω沿顺时针方向匀速转动。则 (　　)
A.由于穿过铜盘的磁通量不变，故回路中无感应电流
B.回路中感应电流大小不变，为
C.回路中感应电流方向不变，为D→C→R→D
D.若铜盘转动的角速度变为原来的2倍，则电流在R上的热功率也变为原来的2倍
法拉第电磁感应定律的三个表达式的比较
情景图
研究 对象 回路(不一定闭合)磁场变化或面积变化 一段直导线(或等效成直导线)切割磁感线 绕一端转动的一段导体棒
表达式 E=n E=Blv E=Bl2ω
答案精析
一、
(1)磁通量的变化量ΔФ相同，但磁通量变化的快慢不同，快速插入比缓慢插入时指针偏转角度大。
(2)用并列的两根磁体快速插入时磁通量的变化量较大，磁通量变化率也较大，指针偏转角度较大。
(3)如果电路没有闭合，电动势依然存在。
(4)在线圈匝数一定的情况下，感应电动势的大小取决于的大小。
梳理与总结
1.电磁感应　电源
2.(1)磁通量的变化率　(2)n　(3)韦伯(Wb)　伏(V)
易错辨析(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
例1　(1)1 V　自下而上　(2)0
解析　(1)前4 s内磁通量的变化量
ΔΦ=Φ2-Φ1=S(B2-B1)=200×10-4×(0.4-0.2) Wb=4×10-3 Wb
由法拉第电磁感应定律得
E=n=1 000× V=1 V
由楞次定律知，线圈中产生逆时针方向的感应电流，则通过电阻R的电流方向自下而上。
(2)前5 s内磁通量的变化量
ΔΦ'=Φ2'-Φ1=S(B2'-B1)=200×10-4×(0.2-0.2) Wb=0
由法拉第电磁感应定律得=n=0。
拓展　(1)E1针对训练1　C
二、
1.(1)lvΔt　(2)BΔS　BlvΔt
(3)Blv
2.vsin θ　vcos θ　Blv1　Blvsin θ
思考与讨论
(1)导体棒中自由电荷(正电荷)随导体棒向右运动，由左手定则可判断正电荷受到沿棒向上的洛伦兹力作用。因此，正电荷一边向上运动，一边随导体棒向右匀速运动，所以正电荷相对于纸面的运动是斜向右上方的。
(2)不会。当导体棒中的自由电荷受到的洛伦兹力与静电力平衡时不再定向移动，导体棒两端产生一个稳定的电势差，即为导体棒两端产生的感应电动势。因为正电荷会聚集在C端，所以C端电势高。
(3)自由电荷参与了两个方向的运动，随着导体棒向右运动的速度vx和沿着导体棒向上运动的速度vy，相应的有沿着棒方向的洛伦兹力Fy和垂直棒方向的洛伦兹力Fx。如图所示，自由电荷合速度的方向指向右上方。Fx和Fy的合力方向与自由电荷的合速度方向垂直，洛伦兹力不做功。洛伦兹力不做功，不提供能量，只是起传递能量的作用。
梳理与总结
2.Blv
3.Blvsin θ
4.　2R　R　R
例2　(1)1.2 V　(2)0.02 N　(3)0.96 V
解析　(1)设金属棒中产生的感应电动势大小为E，则E=BLv
代入数值得E=1.2 V。
(2)设流过电阻R的电流大小为I，
则I=，代入数值得I=0.2 A
因棒匀速运动，则拉力等于安培力，有
F=F安=BIL=0.02 N。
(3)a、b两点间的电势差为Uab=IR
代入数值得Uab=0.96 V。
针对训练2　B
三、
(1)方法一　棒上各处速率不同，故不能直接用公式E=Blv求。由v=ωr可知，棒上各点的线速度跟半径成正比，故可用棒的中点的速度作为平均切割速度代入公式计算。
所以=，E=Bl=Bl2ω。
方法二　设经过Δt时间ab棒扫过的扇形面积为ΔS，则
ΔS=lωΔtl=l2ωΔt
磁通量的变化量为
ΔΦ=BΔS=Bl2ωΔt
所以E==Bl2ω。
(2)由右手定则知，ab切割磁感线，相当于电源，则a为电源的正极，b为电源的负极，a点的电势高于b点的电势。
例3　B　[将铜盘看成由无数条幅向分布的导体棒组成的，铜盘在外力的作用下这些导体棒转动切割磁感线，从而产生感应电动势，出现感应电流，故A错误；根据右手定则可知，电流从D点流出，流向C点，因此电流方向为从D向R再到C，即为C→D→R→C，故C错误；根据法拉第电磁感应定律可知，感应电动势E=BL=BL2ω，产生的感应电动势大小不变，感应电流大小不变，由闭合电路的欧姆定律可知，感应电流大小为I==，故B正确；电流在R上的热功率P=I2R=，铜盘转动的角速度变为原来的2倍，则电流在R上的热功率变为原来的4倍，故D错误。]

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