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2024-2025学年山东省名校考试联盟高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若直线的方程为，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.给出下列关于空间向量的命题，其中正确的结论是( )
A. 若与所在的直线是异面直线，则与一定不共面
B. 非零向量，，满足与，与，与都是共面向量，则，，必共面
C. 两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则
D. 与是平面上互不平行的向量，点，点，则与、一定不共面
3.圆：与圆：的位置关系是( )
A. 内切 B. 外切 C. 相交 D. 外离
4.已知圆：上有，两点，若满足，则( )
A. B. C. D.
5.在空间直角坐标系中，已知，，，，，若线段与平面交于点，则的值为( )
A. B. C. D.
6.已知直线：，其中，都是正实数，，下列结论正确的是( )
A. 当时，直线的一个方向向量为
B. 当变化时，所对应的直线均过同一个定点
C. 当时，坐标原点到直线的距离的最小值为
D. 所有直线组成的平面区域可覆盖整个直角坐标平面
7.直角坐标系中直线上的横坐标分别为，的两点、，沿轴将坐标平面折成大小为的二面角，若折叠后、两点间的距离是，则的大小为( )
A. B. C. D.
8.在平面直角坐标系中，第一象限内的动点，若点在直线上，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知是空间的一个基底，则下列向量共面的是( )
A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，
10.下列命题中正确的是( )
A. 过点，且在轴上的截距是在轴上截距的倍的直线方程为
B. 若，在直线的两侧，则的取值范围为
C. 若三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为
D. 过定点的直线截圆：所得的弦长为，则直线方程为和
11.如图，内接于圆，为圆的直径，，，平面，为的中点，若三棱锥的体积为，则下列结论正确的有( )
A. 异面直线与所成角的余弦值为
B. 直线与平面所成的角的余弦值为
C. 点到平面的距离为
D. 平面与平面所成的角的大小为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，在长方体中，以点为原点，，，所在的直线分别轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，若向量的坐标为，则向量的坐标为______．
13.嫁接是一种营养生殖方式，是植物的人工繁殖方法之一，即把一株植物的枝或芽接在另一株植物的茎或根上，使接在一起的两个部分长成一个完整的植株已知某段圆柱形的树枝通过利用刀具进行斜辟，形成两个椭圆形截面，如图所示，其中，分别为两个截面椭圆的长轴，且，，，都位于圆柱的同一个轴截面上，是圆柱截面圆的一条直径，设上、下两个截面椭圆的离心率分别为，，若，，则的值是______．
14.以坐标原点为圆心的圆与轴的负半轴交于点，直线与圆相交于、两点其中点在轴的右侧，以为直径的圆与相交于、两点，若直线与的斜率互为倒数，且，则圆的方程为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆过点，，圆心在直线上．
求圆的标准方程．
若为轴上的一个动点，过作圆的两条切线、，切点为、，求证：直线过定点．
16.本小题分
如图，是三棱柱的棱的中点．
若，求的值；
若，，平面，点在棱上，使，求的值．
17.本小题分
如图，在底面为正方形的多面体中，四边形为矩形，是线段的中点，且，，．
求证：平面平面；
若二面角的大小为，求的值；
当取何值时，与平面所成的角最大？
18.本小题分
已知长度为的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，点满足记点的轨迹为曲线．
求曲线的方程；
直线与曲线相交于、两点，点，若点恰好是的垂心，求直线的方程．
19.本小题分
“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在世纪由赫尔曼闵可夫斯基提出来的如图是抽象的城市路网，其中线段是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，所以在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用表示，称“曼哈顿距离”，也叫“折线距离”，即，因此“曼哈顿两点间距离公式”：若，，则
点，，求的值；
写出到定点的“曼哈顿距离”为的点的轨迹方程．
已知点，直线：，求点到直线的“曼哈顿距离”最小值；
我们把到两定点，的“曼哈顿距离”之和为常数的点的轨迹叫“曼哈顿椭圆”．
(ⅰ)求“曼哈顿椭圆”的方程；
(ⅱ)根据“曼哈顿椭圆”的方程，研究“曼哈顿椭圆”性质中的范围、对称性，并说明理由．
参考答案
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15.解：由，，圆心在直线上．
可得的中点，，
所以线段的中垂线斜率为，
所以线段的中垂线方程为：，
联立，可得，即圆心点坐标为，
圆的半径，
所以圆的标准方程为：；
依题意，设点，因为、与圆相切，连结、，可知，，
所以，
，
所以，以为圆心，以、为半径的圆的方程为：，
联立，两式作差并化简得直线的方程为：，
当时，，所以，直线过定点．
另解：依题意，设点，因为、与圆相切，连结、，
可知，，，则点，在以为直径的圆上，
由点，可知为直径的圆的方程为，
联立，可得直线的方程为：，
当时，，所以，直线过定点．
16.解：因为是三棱柱的棱的中点，
因为，
而，所以，，，
所以；
假设存在点，使，
设，
，
由题意设，
又，，
则，又因为平面，，平面，
所以，，所以，
因为，可得，
由可得，
即，
解，
所以，
即，解得，
即时，，
则．
17.解：证明：如图，设，则是线段的中点，连接，
由得，
又矩形中，是线段的中点，则，，
所以为平行四边形，则，
因为四边形为矩形，则，故，
又，、平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面．
因为平面，，则平面，且，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
因为，，是线段的中点，
则，，，，，，
从而，，，，
设平面的法向量为，
则，则，
令，则，，
从而平面的一个法向量为，
易知平面的一个法向量为，
因为二面角的平面角为，
则，
整理得，而，所以．
由可知，
平面的一个法向量为，
设与平面所成的角为，
，
因为，当且仅当，即时等号成立，
则，
所以当时，与平面所成的角最大，最大为．
18.解：设点，，，
则，，又，
所以，，
则，，又，
所以，
整理得：，
即曲线的方程为：；
因为为的垂心，故有，，
又，所以，
故设直线的方程为，，，
联立，消去化简得：，
则，解得：，
则，，
又，，
由，得，
即，
所以，
所以，
化简得：，
解得：或舍去，
故直线的方程为：．
19.解：因为“曼哈顿两点间距离公式”为：若，，
则，
又，，
所以；
到定点的“曼哈顿距离”为的点的轨迹方程为．
设直线：上任意一点坐标为，
因为“曼哈顿两点间距离公式”为：若，，
则，
所以，
当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时，
综上所述，的最小值为．
设“曼哈顿椭圆”上任意一点为，则，
即，
即，
所以“曼哈顿椭圆”的方程为；
(ⅱ)由方程，得，
因为，
所以，即，
所以或或，
解得，
由方程，得，
即，
所以，所以，
所以“曼哈顿椭圆”的范围为，，
将点代入得，，
即，方程不变，
所以“曼哈顿椭圆”关于轴对称，
将点代入得，，
即，方程不变，
所以“曼哈顿椭圆”关于轴对称，
将点代入得，，
即，方程不变，
所以“曼哈顿椭圆”关于原点对称，
所以“曼哈顿椭圆”关于轴，轴，原点对称．

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