资源简介

(共75张PPT)
DIERZHANG
第二章
专题强化11　电磁感应中的动量问题
1.会用动量定理、动量守恒定律分析电磁感应的有关问题(重难点)。
2.进一步掌握动量定理、动量守恒定律、能量守恒定律等基本规律(重难点)。
学习目标
一、动量定理在电磁感应中的应用
二、动量守恒定律在电磁感应中的应用
内容索引
专题强化练
动量定理在电磁感应中的应用
一
如图所示，水平固定且足够长的光滑U形金属导轨处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，在导轨上放置金属棒。定值电阻的阻值为R，金属棒的电阻为r，导轨宽度为L。若棒分别以初速度v0、2v0向右运动，
答案　金属棒受到向左的安培力F安==ma，金属棒速度减小，加速度减小，棒做加速度减小的减速运动，最终静止。
(1)请分析棒的运动情况？
(2)两种情况下，从棒开始运动至棒停止过程中，通过R的电荷量q1、q2之比为多少？
答案　当棒的初速度为v0时，由动量定理可得-BLt=0-mv0，q1=t，解得q1=，同理可得q2=，得=。
(3)两种情况，从棒开始运动至棒停止时的位移x1、x2之比为多少？
答案　q1=，ΔΦ=BΔS=BLx1，可得q1=，x1=，同理可得x2=
得==。
在导体单棒切割磁感线做非匀变速运动时，若牛顿运动定律、能量观点不能解决问题，可运用动量定理巧妙求解。
导体棒或金属框在感应电流所引起的安培力作用下做非匀变速直线运动时，
如果导体棒只受安培力作用，则-BIl·Δt=mv2-mv1
若除安培力外还受其他外力，则F·Δt-BIl·Δt=mv2-mv1，
安培力的冲量为I安=BLt=BLq，
通过导体棒或金属框的电荷量为q=Δt=Δt=n·Δt=n，
提炼·总结
磁通量变化量ΔΦ=BΔS=BLx。
由以上式子可将流经棒的电荷量q、棒的位移x、时间t及速度变化结合在一起，即可求q、x或v、t。
　 (多选)如图所示，水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨MN和PQ，两导轨间距为L，导轨电阻均可忽略不计。在M和P之间接有一阻值为R的定值电阻，导体杆ab质量为m、电阻也为R，并始终与导轨垂直且接触良好。整个装置处于方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。现给ab杆一个初速度v0，使杆向右运动，最终ab杆停止在导轨上。下列说法正确的是
A.ab杆将做匀减速运动直到静止
B.ab杆速度减为时，ab杆加速度大小为
C.ab杆速度减为时，通过定值电阻的电荷量为
D.ab杆速度减为时，ab杆通过的位移为
例1
√
√
ab杆在水平方向上受到与运动方向相反的安培
力，安培力大小为FA=，加速度大小为a=
=，由于速度减小，所以ab杆做加速度减小的减速运动直到静止，故A错误；
当ab杆的速度为时，安培力大小为FA'=，所以加速度大小为a==，故B正确；
对ab杆，由动量定理得-BL·Δt=m-mv0，
即BLq=mv0，解得q=
，故C错误；
由q==，解得ab杆通过的位移x==，故D正确。
(2024·济南市高二期末)如图甲所示，两根足够长的光滑金属导轨竖直放置，导轨间的距离L=1 m。质量m=1 kg，电阻r=2 Ω的直导体棒垂直放在导轨上。导轨顶端与R=4 Ω的电阻相连，其余电阻不计，整个装置处在垂直纸面向里的匀强磁场内。从t=0开始，导体棒由静止释放，运动过程中导体棒始终与导轨垂直且接触良好，v-t图像如图乙所示，t=4 s后导体棒做匀速直线运动，重力加速度g
取10 m/s2。求：
(1)磁感应强度B的大小；
例2
答案　 T
t=4 s后导体棒做匀速直线运动，此时的感应电动势为E1=BLv1
感应电流为I1=
根据平衡条件有BI1L=mg
解得B= T
(2)t=2 s时，导体棒的加速度大小；
答案　2 m/s2　
t=2 s时，感应电动势为E2=BLv2
感应电流为I2=
根据平衡条件有mg-BI2L=ma
解得a=2 m/s2
(3)前2 s内，电阻R上产生的焦耳热。
答案　 J
前2 s内，感应电动势的平均值为==
感应电流的平均值为=
根据电流的定义式有q=·t
根据动量定理有mgt-BLt=mv2
根据能量守恒定律有mgx=m+Q总
电阻R上产生的焦耳热Q=Q总
解得Q= J。
拓展　若金属棒下落距离x时速度为v，求金属棒下落的时间t。
答案　+
由动量定理：mg·t-BL·t=mv ①
q=·t= ②
由①②得t=+。
返回
动量守恒定律在电磁感应中的应用
二
如图所示，水平面上有足够长的平行光滑金属导轨MN和PQ，导轨间距为L，电阻不计，导轨所在空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。导轨上放有质量均为m、电阻均为R的金属棒a、b。开始时金属棒b静止，金属棒a获得平行导轨向右的初速度v0。
(1)试分析金属棒a、b的运动情况，两金属棒稳定后分别做什么运动？
答案　金属棒a向右运动切割磁感线，根据右手定则可知在回路中产生逆时针方向的感应电流，根据左手定则可知，a棒受到向左的安培力，b棒受到向右的安培力，a棒在安培力作用下做减速运动，b棒在安培力作用下做加速运动，b棒切割磁感线产生顺时针方向的感应电流；两棒的速度差减小，总电动势E=BL(va-vb)减小，感应电流减小，安培力减小，加速度减小，即a做加速度减小的减速直线运动，b做加速度减小的加速直线运动，两金属棒稳定后均做匀速直线运动。
(2)在运动过程中两金属棒受到安培力的冲量有什么关系？把两棒作为一个系统，该系统的动量怎样变化？
答案　两金属棒所受安培力冲量等大反向，系统的合外力为零，两棒组成的系统动量守恒。
(3)金属棒a、b稳定后的速度？
答案　设最终达到的共同速度为v，由动量守恒定律得mv0=2mv，解得va=vb=v=。
(4)从两金属棒开始运动至稳定的过程中产生的焦耳热？
答案　根据能量守恒定律，整个过程产生的焦耳热Q=m(2m)·v2=
。
1.问题情景：
在相互平行的水平轨道间的双棒做切割磁感线的问题中，若这两棒受的安培力等大反向，且它们受到的外力的合力为0，两棒组成的系统动量守恒。
2.这类问题可以从以下三个观点来分析：
(1)动力学观点：通常情况下一个金属棒做加速度逐渐减小的加速运动，而另一个金属棒做加速度逐渐减小的减速运动，最终两金属棒以共同的速度匀速运动。
提炼·总结
(2)动量观点：如果光滑导轨间距恒定，则两个金属棒的安培力大小相等，通常情况下系统的动量守恒。
(3)能量观点：其中一个金属棒动能的减少量等于另一个金属棒动能的增加量与回路中产生的焦耳热之和。
思考与讨论
在上面的问题中，求金属棒a从初速度v0到两棒共速的过程中，
(1)流过金属棒a的电荷量q；
答案　由动量定理得-BLΔt=m-mv0 ，q=Δt
解得q=
(2)a和b距离的增加量Δx。
答案　根据电荷量的推论公式q==，解得a和b距离的增加量Δx==。
　 如图所示，光滑平行金属导轨的水平部分处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度B=3 T。两导轨间距为L=0.5 m，导轨足够长。金属棒a和b的质量分别为ma=1 kg、mb=0.5 kg，电阻分别为Ra=1 Ω、Rb=2 Ω。b棒静止于导轨水平部分，现将a棒从h=1.8 m高处自静止沿弧形导轨下滑，通过
例3
C点进入导轨的水平部分，已知两棒在运动过程中始终保持与导轨垂直且接触良好，两棒始终不相碰。g取10 m/s2。求：
(1)a棒刚进入磁场时，b棒的加速度；
答案　9 m/s2，方向向右　
a棒沿弧形导轨下滑h过程，根据机械能守恒定律有magh=mav2，得v=6 m/s
a棒进入磁场瞬间感应电动势E=BLv
根据闭合电路欧姆定律I=
对b棒F安=ILB
根据牛顿第二定律有F安=mba
解得a=9 m/s2
由左手定则知，此时b棒加速度的方向向右。
(2)从a棒进入磁场到a棒匀速运动的过程中，流过a棒的电荷量；
答案　 C　
对a、b组成的系统由动量守恒定律得
mav=(ma+mb)v共
解得v共=4 m/s
对b棒，应用动量定理有LBt=mbv共
即BLq=mbv共
解得q= C，故流过a棒的电荷量为 C。
(3)从a棒进入磁场到a棒匀速运动的过程中，a棒中产生的焦耳热。
答案　2 J
a、b棒在水平面内运动过程，由能量守恒定律得mav2-(ma+mb)
=Q
Qa=Q
联立解得Qa=2 J。
电磁感应中不同物理量的求解策略
求加速度：动力学观点；
求焦耳热：能量观点；
系统的初、末速度关系：动量守恒定律；
求电荷量、位移或时间：运用动量定理分析。
总结提升
(多选)如图，方向竖直向下的匀强磁场中有两根位于同一水平面内的足够长的平行金属导轨，两相同的光滑导体棒ab、cd静止在导轨上，t=0时，棒ab以初速度v0向右滑动。运动过程中，ab、cd始终与导轨垂直且
√
例4
√
接触良好，两者速度分别用v1、v2表示，回路中的电流用I表示。下列图像中可能正确的是
以两导体棒为研究对象，在导体棒运动过程
中，两导体棒所受的安培力大小相等，方向
相反，且不受其他水平外力作用，在水平方
向两导体棒组成的系统动量守恒，对系统有mv0=2mv，解得两导体棒运动的末速度为v=v0，棒ab做减速运动，棒cd做加速运动，它们的速度差逐渐减小，产生的感应电流也减小，安培力减小，加速度也减小，即棒ab做加速度减小的减速运动，棒cd做加速度减小的加速运动，稳定时两导体棒的加速度为零，一起向右做匀速运动，选项A正确，B错误；
由上述分析可知，v1-v2逐渐减小且减小得越来越慢，则感应电流也逐渐减小且减小得越来越慢，ab棒和cd棒最后做匀速运动，棒与导轨组成的回路磁通量不变化，不会产生感应电流，选项C正确，D错误。
返回
三
专题强化练
基础对点练
1
2
3
4
5
7
8
6
1.如图所示，在光滑绝缘水平面上，一矩形线圈以一定的初速度穿越匀强磁场区域，已知磁场区域宽度大于线圈宽度，则线圈进、出磁场的两个过程中
A.感应电流的方向相同
B.受到的安培力相等
C.动能的变化量相等
D.速度的变化量相同
√
9
1
2
3
4
5
7
8
6
根据右手定则可知，进入磁场过程中，线圈的
感应电流方向为顺时针，离开磁场时，线圈的
感应电流方向为逆时针，故A错误；
设线圈电阻为R，根据闭合电路欧姆定律可得I=，根据法拉第电磁感应定律有E=BLv，则安培力为F=BIL=，由于线圈进入磁场时，产生感应电流，线圈部分动能转化为内能，则动能减小，线圈速度也减小，即进入磁场时的速度大于离开磁场时的速度，因此，进入磁场时受到的安培力大于离开磁场时受到的安培力，故B错误；
9
1
2
3
4
5
7
8
6
根据动能定理可得W合=F安·x=ΔEk，由于进入和
离开磁场的位移都相同，而进入磁场时的安培
力大于离开磁场时的安培力，则进入磁场时的
动能变化量大于离开磁场时的动能变化量，故C错误；
根据动量定理可得Δp=F安·Δt=BL·Δt=BL·q，而q=·Δt=·Δt=，进入和离开磁场过程中ΔΦ相同，由此可知，进入磁场和离开磁场时的动量的变化量相同，则速度的变化量相同，故D正确。
9
2.(多选)(2024·宝鸡市金台区高二期末)如图所示，平行光滑金属导轨水平放置，间距L=2 m，导轨左端接一阻值R=1 Ω的电阻，图中虚线与导轨垂直，其右侧存在磁感应强度大小为B=0.5 T、方向垂直纸面向里的匀强磁场。质量为m=1 kg的金属棒垂直导轨放置在虚线左侧，距虚线的距离为d=0.5 m。某时刻对金属棒施加一大小为F=4 N的向右的恒力，金属棒在
1
2
3
4
5
7
8
6
磁场中运动s=2 m的距离后速度不再变化，金属棒与导轨的电阻忽略不计，金属棒始终与导轨垂直且接触良好，则金属棒从静止到开始匀速运动的过程中，
9
下列说法正确的是
A.金属棒刚进入磁场时的速度为2 m/s
B.金属棒开始匀速运动的速度为2 m/s
C.金属棒从开始进入磁场到匀速运动的过程中通过
　电阻R的电荷量为2 C
D.金属棒从开始进入磁场到匀速运动的过程中所用时间为1 s
√
1
2
3
4
5
7
8
6
√
√
9
1
2
3
4
5
7
8
6
设金属棒刚进入磁场时速度为v0，根据运动学公式知
=2··d，解得v0=2 m/s，故A正确；
设金属棒匀速运动时速度为v，此时有F与安培力平衡，
即F=BIL=B··L，解得v=4 m/s，故B错误；
金属棒从开始进入磁场到匀速运动的过程中，对金属棒在每小段时间Δt根据动量定理有(F-BIL)·Δt=m·Δv，即FΔt-BLIΔt=m·Δv，其中IΔt为该段时间内通过电路的电荷量q，则两边对金属棒从开始进入磁场到匀速运动的过程
中总时间t进行累积得Ft-BLq总=mv-mv0，同时有q总=t=t===2 C，解得t=1 s，故C、D正确。
9
1
2
3
4
5
7
8
6
3.(多选)如图所示，空间存在方向竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B=0.5 T。在匀强磁场区域内，有一对光滑平行金属导轨处于同一水平面内，导轨足够长，导轨间距为L=1 m，电阻可忽略不计。质量均为m=1 kg、电阻均为R=2.5 Ω的导体棒MN和PQ垂直放置于导轨上，且与导轨接触良好。现给MN一水平向右的初速度v0=4 m/s，下列说法正确的是
A.两棒最终速度都为2 m/s
B.棒MN上产生的热量为4 J
C.通过MN的电荷量为4 C
D.从开始到稳定，回路MNPQ的面积增加了4 m2
√
√
9
1
2
3
4
5
7
8
6
在安培力作用下，MN减速，PQ加速，两棒最终
速度相等，回路中电流为零，由动量守恒定律可
得mv0=2mv1
解得两棒最终速度为v1=2 m/s，A正确；
由能量守恒定律可得，回路产生的焦耳热为Q=m×2m
两棒电阻相等，产生的焦耳热相等，故棒MN上产生的热量为Q1=Q
解得Q1=2 J，B错误；
9
1
2
3
4
5
7
8
6
对棒MN，由动量定理可得-BL·Δt=mv1-mv0
通过MN的电荷量为q=·Δt
联立解得q=4 C，C正确；
整个过程回路产生的平均感应电动势为==
平均感应电流为=
通过MN的电荷量为q=Δt
联立可得q=，解得ΔS=40 m2，故从开始到稳定，回路MNPQ的面积增加了40 m2，D错误。
9
1
2
3
4
5
7
8
6
4.(多选)(2024·湖北省云学名校联盟高二期末)如图所示，平行且光滑的金属导轨MN、PQ放置在垂直纸面向里的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，导轨间距为L、电阻不计。质量为m的导体棒1和质量为2m的导体棒2置于导轨上，两导体棒相距x，导体棒1和导体棒2的电阻分别为R和2R。现在分别给导体棒1和导体棒2向左和向右的初速度v0和2v0，导体棒1和2始终与导轨垂直且接触良好，关于导体棒1和导体棒2以后的运动，下列说法正确的是
A.导体棒1和导体棒2构成的回路，初始时刻电动势为3BLv0
B.初始时刻导体棒2所受安培力大小为
C.当导体棒1的速度为0时，导体棒2的速度为v0
D.很长一段时间后，导体棒1和导体棒2的距离为+x
√
√
9
1
2
3
4
5
7
8
6
根据右手定则可知，初始时刻导体棒1和导体棒2
中产生的感应电流方向分别为向下和向上，所以
总感应电动势大小为E=E1+E2=3BLv0，故A正确；
初始时刻，回路中电流为I==，导体棒2所受安培力大小为F=BIL=，故B错误；
9
1
2
3
4
5
7
8
6
导体棒1和导体棒2所受安培力大小相等、方向
相反，导体棒1和导体棒2组成的系统所受合外
力为零，则系统动量守恒，取向右为正方向，
当导体棒1速度为0时，根据动量守恒定律有2m·2v0-mv0=2mv2，解得v2=v0，故C错误；
9
1
2
3
4
5
7
8
6
很长一段时间后，回路中感应电流为零，导体
棒1和导体棒2会以相同的速度运动，根据动量
守恒定律有2m·2v0-mv0=3mv共，解得v共=v0，对
导体棒2根据动量定理有-BLt=2mv共-2m·2v0，设最终导体棒1和导体棒2的距离为x'，根据法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律有==，解得x'=+x，故D正确。
9
5.(多选)(2023·玉林市高二期末)如图所示，光滑绝缘水平桌面上，虚线MN右侧有竖直向下的匀强磁场，其磁感应强度大小为0.5 T，虚线左侧有一长ab=2 m、宽bc=1 m的矩形金属框abcd，其质量为1 kg、电阻为0.5 Ω，ab边与MN平行。第一次，让金属框沿水平桌面、垂直MN方向以5 m/s的
1
2
3
4
5
7
8
6
能力综合练
初速度冲入磁场区域(如图甲)；第二次，让金属框在平面内转90°然后在水平向右的外力作用下以5 m/s的速度匀速进入磁场区域(如图乙)。
9
下列说法正确的是
A.两次进入磁场的过程中，金属框中的电流方向都为abcda
B.前、后两次进入磁场的过程中，通过金属框横截面的电荷量之比为
　1∶1
C.前、后两次进入磁场的过程中，金属框产生的焦耳热之比为8∶5
D.金属框前、后两次进入磁场过程的时间之比等于5∶8
1
2
3
4
5
7
8
6
√
√
9
1
2
3
4
5
7
8
6
金属框第一次进入磁场时，ab边切割磁感线，根据右手定则可知电流方向为adcba，故A错误；
通过金属框横截面的电荷量为q=IΔt=Δt=，从q的表达式知前、后两次进入磁场的过程中，通过金属框横截面的电荷量之比为1∶1，故B正确；
9
1
2
3
4
5
7
8
6
由动量定理得-BILabt=mv-mv0，即qBLab=mv0-mv，又q== C=2 C，联立解得v=3 m/s，由能量守恒定律知
第一次进入磁场的过程中，产生的焦耳热为Q1=mmv2=8 J。第二次匀速进入磁场的过程中，产生的焦耳热为Q2=qU=qBLadv0=
2×0.5×1×5 J=5 J，则金属框中的焦耳热之比为=，故C正确；
9
1
2
3
4
5
7
8
6
由C项分析可知，金属框第一次完全进入磁场之后的速度 v=3 m/s，假如金属框匀减速进入磁场，则根据公式有
Lbc=t1，解得t1=0.25 s，第二次金属框匀速进入磁场，则运动时间为t2==0.4 s，则有=，根据题意可知，金属框第一次进入磁场时，做加速度减小的减速运动，则实际所用时间t>t1，则金属框前、后两次进入磁场过程的时间之比大于5∶8，故D错误。
9
1
2
3
4
5
6
7
8
6.(2024·绍兴会稽联盟高二期末)如图所示，MN、PQ为间距L=0.5 m、足够长的平行导轨，NQ⊥MN，导轨的电阻均不计。导轨平面与水平面间的夹角θ=37°，N、Q间连接一个R=4 Ω的电阻。有一匀强磁场垂直于导轨平面且方向向上，磁感应强度为B0=1 T。将一根金属棒ab紧靠NQ放置在导轨上，且与导轨接触良好。金属棒的电阻为r=1 Ω、质量为m=0.05 kg，与导轨间的动摩擦因数为μ=0.5。现由静止释放金属棒，当金属棒滑行至
cd处时达到最大速度v，已知在此过程中通过金属棒截面的电荷量q=0.15 C。设金属棒沿导轨向下运动过程中始终与导轨垂直且接触良好。(g=10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8)求：
9
1
2
3
4
5
6
7
8
(1)金属棒的最大速度v的大小；
答案　2 m/s　
金属棒的加速度为零时速度最大，根据平衡条件有mgsin 37°=
μmgcos 37°+B0IL
其中I=
E=B0Lv
解得v=2 m/s
9
1
2
3
4
5
6
7
8
(2)cd离NQ的距离x；
答案　1.5 m　
金属棒滑行至cd处的过程中通过金属棒截面的电荷量q=Δt=Δt===0.15 C
解得x=1.5 m
9
1
2
3
4
5
6
7
8
(3)金属棒滑行至cd处的过程中，电阻R上产生的热量QR；
答案　0.04 J　
金属棒由静止释放到达到最大速度的过程中，根据功能关系得mgxsin 37°-μmgxcos 37°-Q=mv2
解得Q=0.05 J
QR=Q=0.04 J
9
1
2
3
4
5
6
7
8
(4)金属棒从静止滑行至cd处的过程经过的时间t。
答案　1.75 s
金属棒由静止释放滑行到cd处的过程中，根据动量定理得mgsin 37°·t
-μmgcos 37°·t-B0Lt=mv-0
其中q=·t=0.15 C
解得t=1.75 s。
9
1
2
3
4
5
6
7
8
7.(2024·北海市高二期末)如图所示，左侧倾斜的足够长的光滑平行金属导轨与右侧足够长的水平光滑平行金属导轨之间用两段光滑绝缘圆弧轨道(长度可忽略)连接，两倾斜导轨平面与水平面的夹角为θ=37°，两导轨的水平部分在同一水平面内，间距为d，倾斜导轨顶端连接阻值为R的定值电阻。两部分导轨分别处于与导轨平面垂直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中(图中未画出)。质量为3m的金属棒Q静止在圆弧底部，质量为5m的金属棒P从倾斜导轨上某处由静止滑下，当金属棒P到达倾斜导轨底端时速度恰好达到最大。金属
棒P、Q的电阻均为R，两棒发生弹性碰撞且碰撞时间极短，两棒始终与导轨垂直且接触良好，不计金属导轨的电阻。重力加速度为g，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。求：
9
1
2
3
4
5
6
7
8
(1)金属棒P到达倾斜导轨底端时的速度大小；
答案　
金属棒P速度最大时加速度为零，此时有5mgsin 37°=B··d
解得金属棒P到达底端的速度大小为v=
9
1
2
3
4
5
6
7
8
(2)金属棒P、Q碰撞后金属棒P的速度大小；
答案　　
金属棒P和Q碰撞前后，由动量守恒定律可得5mv=5mv1+3mv2
由机械能守恒定律可得×5mv2=×5m+×3m
联立解得金属棒P、Q碰撞后金属棒P的速度大小为v1=，v2=
9
1
2
3
4
5
6
7
8
(3)从金属棒P、Q碰撞后到两棒的运动状态达到稳定的过程中，金属棒P、Q的位移差。
答案　
9
1
2
3
4
5
6
7
8
碰后金属棒P和Q组成的系统，水平方向上所受的合外力为0，则水平方向上动量守恒，两棒的运动状态达到稳定时两金属棒的速度相同，再水平方向上，由动量守恒定律5mv1+3mv2=(5m+3m)v0
解得两金属棒一起做匀速直线运动时的速度大
小为v0=
设两金属棒碰后至一起做匀速直线运动过程中，
两者的位移差为Δx，所经历的时间为Δt，回路的平均电流为==
9
1
2
3
4
5
6
7
8
此过程中，对金属棒P，由动量定理可得Bd·Δt
=5mv0-5mv1
联立解得Δx=。
9
8.(多选)如图所示，两条电阻不计且间距为L=1 m的光滑平行金属导轨水平放置，左端接一阻值为2 Ω的定值电阻R，矩形区域Ⅰ、Ⅱ存在方向垂直水平导轨向上的匀强磁场，磁感应强度的大小均为B=2 T，磁场宽度及两磁场相邻边界之间的距离均为a=0.5 m，现有一质量为m、长度为L、阻值也为2 Ω的金属杆静止在金属导轨左侧某处。某时刻金属杆在F=1 N
1
2
3
4
5
6
7
8
尖子生选练
的恒力作用下开始向右运动并经过磁场区域，金属杆刚进入磁场Ⅰ和刚进入磁场Ⅱ时的速度相等。运动过程中金属杆与导轨保持良好接触且始终垂直，
9
下列说法正确的是
A.金属杆在磁场区域中的加速度沿导轨水平向左，
　做匀减速直线运动
B.金属杆从进入Ⅰ磁场区域到开始进入Ⅱ磁场区域经历的时间为0.5 s
C.金属杆在向右穿过两磁场区域过程中电阻R上产生的总热量为1 J
D.金属杆在向右穿过两磁场区域过程中通过电阻R的总电荷量为0.5 C
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
√
9
1
2
3
4
5
6
7
8
因为金属杆刚进入磁场Ⅰ和刚进入磁场Ⅱ时的
速度相等，且金属杆在两磁场区域之间一定做
加速运动，所以金属杆在磁场Ⅰ中一定做减速运动，根据对称性可知在磁场Ⅱ中也做减速运动。金属杆速度减小，产生的感应电动势减小，感应电流减小，所受安培力减小，所以金属杆所受合外力减小，做加速度减小的减速运动，故A错误；
9
1
2
3
4
5
6
7
8
设金属杆从进入Ⅰ磁场区域到开始进入Ⅱ磁场
区域经历的时间为t，金属杆在磁场Ⅰ中运动的
时间为t1，根据动量定理有Δp=Ft-BLt1=0，根据法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律可得==，解得t=0.5 s，故B正确；
根据功能关系可知金属杆穿过磁场Ⅰ的过程中回路所产生的总热量为Q=F·2a=1 J，此过程中电阻R产生的热量为QR==0.5 J，根据对称性可知，金属杆在向右穿过两磁场区域过程中电阻R上产生的总热量为1 J，故C正确；
9
1
2
3
4
5
6
7
8
根据对称性可知金属杆在向右穿过两磁场区域过程中通过电阻R的总电荷量q=2t1=0.5 C，故D正确。
9
9.(2024·江西省丰城中学高二期末)如图所示，光滑水平导轨置于磁场中，磁场的磁感应强度为B，左侧导轨间距为l，右侧导轨间距为2l，导轨均足够长。质量为m的导体棒ab和质量为2m的导体棒cd均垂直于导轨放置，处于静止状态。ab的电阻为R，cd的电阻为2R，两棒始终在对应的导轨部分运动，两导体棒始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻不计。现瞬间给cd一水平向右的初速度v0，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
则此后的运动过程中下列说法正确的是
A.ab棒最终的速度v0
B.全过程中，通过导体棒cd的电荷量为
C.从cd获得初速度到二者稳定运动，此过程系统产生的焦耳热为m
D.导体棒ab和cd组成的系统动量守恒
1
2
3
4
5
6
7
8
√
9
1
2
3
4
5
6
7
8
当导体棒ab和cd产生的电动势相等时，两棒都
做匀速直线运动，则有Blvab=B·2lvcd，对导体棒
ab，由动量定理可得B·lΔt=mvab，对导体棒cd，
由动量定理可得-B·2lΔt=2mvcd-2mv0，联立解得vab=，vcd=，故A错误；
对导体棒cd，有q=·Δt，又-B·2lΔt=2mvcd-2mv0，联立解得q=，故B错误；
9
1
2
3
4
5
6
7
8
由能量守恒定律得，整个回路产生的焦耳热Q
=×2m×2mm，解得Q=
，故C正确；
导体棒ab和cd的长度不一样，所以受到的安培力大小不相等，系统合力不为零，所以导体棒ab和cd组成的系统动量不守恒，故D错误。
返回
9专题强化11　电磁感应中的动量问题
[学习目标]　1.会用动量定理、动量守恒定律分析电磁感应的有关问题(重难点)。2.进一步掌握动量定理、动量守恒定律、能量守恒定律等基本规律(重难点)。
一、动量定理在电磁感应中的应用
如图所示，水平固定且足够长的光滑U形金属导轨处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，在导轨上放置金属棒。定值电阻的阻值为R，金属棒的电阻为r，导轨宽度为L。若棒分别以初速度v0、2v0向右运动，
(1)请分析棒的运动情况？
(2)两种情况下，从棒开始运动至棒停止过程中，通过R的电荷量q1、q2之比为多少？
(3)两种情况，从棒开始运动至棒停止时的位移x1、x2之比为多少？
____________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________
在导体单棒切割磁感线做非匀变速运动时，若牛顿运动定律、能量观点不能解决问题，可运用动量定理巧妙求解。
导体棒或金属框在感应电流所引起的安培力作用下做非匀变速直线运动时，
如果导体棒只受安培力作用，则-BIl·Δt=mv2-mv1
若除安培力外还受其他外力，则F·Δt-BIl·Δt=mv2-mv1，
安培力的冲量为I安=BLt=BLq，
通过导体棒或金属框的电荷量为q=Δt=Δt=n·Δt=n，
磁通量变化量ΔΦ=BΔS=BLx。
由以上式子可将流经棒的电荷量q、棒的位移x、时间t及速度变化结合在一起，即可求q、x或v、t。
例1　(多选)如图所示，水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨MN和PQ，两导轨间距为L，导轨电阻均可忽略不计。在M和P之间接有一阻值为R的定值电阻，导体杆ab质量为m、电阻也为R，并始终与导轨垂直且接触良好。整个装置处于方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。现给ab杆一个初速度v0，使杆向右运动，最终ab杆停止在导轨上。下列说法正确的是 (　　)
A.ab杆将做匀减速运动直到静止
B.ab杆速度减为时，ab杆加速度大小为
C.ab杆速度减为时，通过定值电阻的电荷量为
D.ab杆速度减为时，ab杆通过的位移为
例2　(2024·济南市高二期末)如图甲所示，两根足够长的光滑金属导轨竖直放置，导轨间的距离L=1 m。质量m=1 kg，电阻r=2 Ω的直导体棒垂直放在导轨上。导轨顶端与R=4 Ω的电阻相连，其余电阻不计，整个装置处在垂直纸面向里的匀强磁场内。从t=0开始，导体棒由静止释放，运动过程中导体棒始终与导轨垂直且接触良好，v-t图像如图乙所示，t=4 s后导体棒做匀速直线运动，重力加速度g取10 m/s2。求：
(1)磁感应强度B的大小；
(2)t=2 s时，导体棒的加速度大小；
(3)前2 s内，电阻R上产生的焦耳热。
____________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________拓展　若金属棒下落距离x时速度为v，求金属棒下落的时间t。
____________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________二、动量守恒定律在电磁感应中的应用
如图所示，水平面上有足够长的平行光滑金属导轨MN和PQ，导轨间距为L，电阻不计，导轨所在空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。导轨上放有质量均为m、电阻均为R的金属棒a、b。开始时金属棒b静止，金属棒a获得平行导轨向右的初速度v0。
(1)试分析金属棒a、b的运动情况，两金属棒稳定后分别做什么运动？
(2)在运动过程中两金属棒受到安培力的冲量有什么关系？把两棒作为一个系统，该系统的动量怎样变化？
(3)金属棒a、b稳定后的速度？
(4)从两金属棒开始运动至稳定的过程中产生的焦耳热？
____________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________
1.问题情景：
在相互平行的水平轨道间的双棒做切割磁感线的问题中，若这两棒受的安培力等大反向，且它们受到的外力的合力为0，两棒组成的系统动量守恒。
2.这类问题可以从以下三个观点来分析：
(1)动力学观点：通常情况下一个金属棒做加速度逐渐减小的加速运动，而另一个金属棒做加速度逐渐减小的减速运动，最终两金属棒以共同的速度匀速运动。
(2)动量观点：如果光滑导轨间距恒定，则两个金属棒的安培力大小相等，通常情况下系统的动量守恒。
(3)能量观点：其中一个金属棒动能的减少量等于另一个金属棒动能的增加量与回路中产生的焦耳热之和。
在上面的问题中，求金属棒a从初速度v0到两棒共速的过程中，
(1)流过金属棒a的电荷量q；
(2)a和b距离的增加量Δx。
____________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________例3　如图所示，光滑平行金属导轨的水平部分处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度B=3 T。两导轨间距为L=0.5 m，导轨足够长。金属棒a和b的质量分别为ma=1 kg、mb=0.5 kg，电阻分别为Ra=1 Ω、Rb=2 Ω。b棒静止于导轨水平部分，现将a棒从h=1.8 m高处自静止沿弧形导轨下滑，通过C点进入导轨的水平部分，已知两棒在运动过程中始终保持与导轨垂直且接触良好，两棒始终不相碰。g取10 m/s2。求：
(1)a棒刚进入磁场时，b棒的加速度；
(2)从a棒进入磁场到a棒匀速运动的过程中，流过a棒的电荷量；
____________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________
(3)从a棒进入磁场到a棒匀速运动的过程中，a棒中产生的焦耳热。
____________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________
电磁感应中不同物理量的求解策略
求加速度：动力学观点；
求焦耳热：能量观点；
系统的初、末速度关系：动量守恒定律；
求电荷量、位移或时间：运用动量定理分析。
例4　(多选)如图，方向竖直向下的匀强磁场中有两根位于同一水平面内的足够长的平行金属导轨，两相同的光滑导体棒ab、cd静止在导轨上，t=0时，棒ab以初速度v0向右滑动。运动过程中，ab、cd始终与导轨垂直且接触良好，两者速度分别用v1、v2表示，回路中的电流用I表示。下列图像中可能正确的是 (　　)
答案精析
一、
(1)金属棒受到向左的安培力F安==ma，金属棒速度减小，加速度减小，棒做加速度减小的减速运动，最终静止。
(2)当棒的初速度为v0时，由动量定理可得-BLt=0-mv0，q1=t，解得q1=，同理可得q2=，得=。
(3)q1=，ΔΦ=BΔS=BLx1，可得q1=，x1=，同理可得x2=
得==。
例1　BD　[ab杆在水平方向上受到与运动方向相反的安培力，安培力大小为FA=，加速度大小为a==，由于速度减小，所以ab杆做加速度减小的减速运动直到静止，故A错误；当ab杆的速度为时，安培力大小为FA'=，所以加速度大小为a==，故B正确；对ab杆，由动量定理得-BL·Δt=m-mv0，即BLq=mv0，解得q=，所以通过定值电阻的电荷量为，故C错误；由q==，解得ab杆通过的位移x==，故D正确。]
例2　(1) T　(2)2 m/s2　(3) J
解析　(1)t=4 s后导体棒做匀速直线运动，此时的感应电动势为E1=BLv1
感应电流为I1=
根据平衡条件有BI1L=mg
解得B= T
(2)t=2 s时，感应电动势为E2=BLv2
感应电流为I2=
根据平衡条件有mg-BI2L=ma
解得a=2 m/s2
(3)前2 s内，感应电动势的平均值为==
感应电流的平均值为=
根据电流的定义式有q=·t
根据动量定理有mgt-BLt=mv2
根据能量守恒定律有mgx=m+Q总
电阻R上产生的焦耳热Q=Q总
解得Q= J。
拓展　+
解析　由动量定理：mg·t-BL·t=mv ①
q=·t= ②
由①②得t=+。
二、
(1)金属棒a向右运动切割磁感线，根据右手定则可知在回路中产生逆时针方向的感应电流，根据左手定则可知，a棒受到向左的安培力，b棒受到向右的安培力，a棒在安培力作用下做减速运动，b棒在安培力作用下做加速运动，b棒切割磁感线产生顺时针方向的感应电流；两棒的速度差减小，总电动势E=BL(va-vb)减小，感应电流减小，安培力减小，加速度减小，即a做加速度减小的减速直线运动，b做加速度减小的加速直线运动，两金属棒稳定后均做匀速直线运动。
(2)两金属棒所受安培力冲量等大反向，系统的合外力为零，两棒组成的系统动量守恒。
(3)设最终达到的共同速度为v，由动量守恒定律得mv0=2mv，解得va=vb=v=。
(4)根据能量守恒定律，整个过程产生的焦耳热
Q=-(2m)·v2=。
思考与讨论
(1)由动量定理得-BLΔt=m-mv0 ，q=Δt
解得q=
(2)根据电荷量的推论公式q==，解得a和b距离的增加量Δx==。
例3　(1)9 m/s2，方向向右　(2) C
(3)2 J
解析　(1)a棒沿弧形导轨下滑h过程，根据机械能守恒定律有magh=mav2，得v=6 m/s
a棒进入磁场瞬间感应电动势E=BLv
根据闭合电路欧姆定律I=
对b棒F安=ILB
根据牛顿第二定律有F安=mba
解得a=9 m/s2，由左手定则知，此时b棒加速度的方向向右。
(2)对a、b组成的系统由动量守恒定律得mav=(ma+mb)v共
解得v共=4 m/s
对b棒，应用动量定理有
LBt=mbv共，即BLq=mbv共
解得q= C，故流过a棒的电荷量为 C。
(3)a、b棒在水平面内运动过程，由能量守恒定律得
mav2-(ma+mb)=Q
Qa=Q，联立解得Qa=2 J。
例4　AC　[以两导体棒为研究对象，在导体棒运动过程中，两导体棒所受的安培力大小相等，方向相反，且不受其他水平外力作用，在水平方向两导体棒组成的系统动量守恒，对系统有mv0=2mv，解得两导体棒运动的末速度为v=v0，棒ab做减速运动，棒cd做加速运动，它们的速度差逐渐减小，产生的感应电流也减小，安培力减小，加速度也减小，即棒ab做加速度减小的减速运动，棒cd做加速度减小的加速运动，稳定时两导体棒的加速度为零，一起向右做匀速运动，选项A正确，B错误；由上述分析可知，v1-v2逐渐减小且减小得越来越慢，则感应电流也逐渐减小且减小得越来越慢，ab棒和cd棒最后做匀速运动，棒与导轨组成的回路磁通量不变化，不会产生感应电流，选项C正确，D错误。]

展开更多......

收起↑