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1、判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若∥，则A，B，C三点共线．(　√　)
(2)向量b在向量a方向上的投影是向量．(　×　)
(3)若a·b＞0，则a和b的夹角为锐角；若a·b＜0，则a和b的夹角为钝角．(　×　)
(4)在△ABC中，若·<0，则△ABC为钝角三角形．(　×　)
(5)已知平面直角坐标系内有三个定点A(－2，－1)，B(0，10)，C(8,0)，若动点P满足：＝＋t(＋)，t∈R，则点P的轨迹方程是x－y＋1＝0.(　√　)
2、已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4)，B(5,2)，C(－1，－4)，则该三角形为(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
答案　B
解析　＝(2，－2)，＝(－4，－8)，＝(－6，－6)，
∴||＝＝2，||＝＝4，
||＝＝6，
∴||2＋||2＝||2，
∴△ABC为直角三角形．
3、已知在△ABC中，||＝10，·＝－16，D为边BC的中点，则||等于(　　)
A．6 B．5
C．4 D．3
答案　D
解析　在△ABC中，由余弦定理可得AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝BC2，又·＝||·||·cos A＝－16，所以AB2＋AC2＋32＝100，AB2＋AC2＝68.又D为边BC的中点，所以＋＝2，两边平方得4||2＝68－32＝36，解得||＝3，故选D.
4、若向量a，b满足|a|＝|2a＋b|＝2，则a在b方向上投影的最大值是(　　)
A. B．－
C. D．－
答案　B
解析　由题意得|2a＋b|2＝4|a|2＋4|a||b|cos〈a，b〉＋|b|2＝16＋8|b|cos〈a，b〉＋|b|2＝4，则cos〈a，b〉＝＝－(＋)≤－2 ＝－，当且仅当|b|＝2时等号成立，所以向量a在向量b方向上投影的最大值是|a|cos〈a，b〉＝－.
5、平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足·＝4，则点P的轨迹方程是____________．
答案　x＋2y－4＝0
解析　由·＝4，得(x，y)·(1,2)＝4，
即x＋2y＝4.
无
题型一　向量在平面几何中的应用
命题点1　向量和平面几何知识的综合
例1　(1)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB＝________.
(2)已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为________．
答案　(1)　(2)5
解析　(1)在平行四边形ABCD中，取AB的中点F，则＝，∴＝＝－，
又∵＝＋，
∴·＝(＋)·(－)
＝2－·＋·－2
＝||2＋||||cos 60°－||2
＝1＋×||－||2＝1.
∴||＝0，又||≠0，∴||＝.
(2)以D为原点，分别以DA，DC所在直线为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC＝a，DP＝y.
则D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，y)，
＝(2，－y)，＝(1，a－y)，
则＋3＝(5,3a－4y)，
即|＋3|2＝25＋(3a－4y)2，
由点P是腰DC上的动点，知0≤y≤a.
因此当y＝a时，|＋3|2取最小值25.
故|＋3|的最小值为5.
命题点2　三角形的“四心”
例2　已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
答案　C
解析　由原等式，得－＝λ(＋)，即＝λ(＋)，根据平行四边形法则，知＋是△ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量的2倍，所以点P的轨迹必过△ABC的重心．
引申探究
1．在本例中，若动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则如何选择？
答案　A
解析　由条件，得－＝λ，即＝λ，而和分别表示平行于，的单位向量，故＋平分∠BAC，即平分∠BAC，所以点P的轨迹必过△ABC的内心．
2．在本例中，若动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则如何选择？
答案　D
解析　由条件，得＝λ(＋)，从而·＝λ(＋)
＝λ·＋λ·＝0，
所以 ⊥，
则动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心．
命题点3　平面向量数量积与余弦定理
例3　在△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD垂直BC于点D，E，F分别为AB，AC的中点，若·＝6，则BC等于(　　)
A．2 B．10
C．2 D．14
答案　A
解析　由题意，知DE＝AE，DF＝AF，
∵·＝||·||·cos∠EDF
＝||·||·
＝＝＝6，
∴||＝，∴BC＝2.
【同步练习】
(1)在△ABC中，已知向量与满足(＋)·＝0，且·＝，则△ABC为(　　)
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰非等边三角形
D．三边均不相等的三角形
(2)在△ABC中，＝(，)，＝(1，)，则△ABC的面积为________．
答案　(1)A　(2)1－
解析　(1)，分别为平行于，的单位向量，由平行四边形法则可知＋为∠BAC的角平分线．因为(＋)·＝0，所以∠BAC的角平分线垂直于BC，所以AB＝AC.
又·＝··cos∠BAC＝，
所以cos∠BAC＝，又0<∠BAC<π，
故∠BAC＝，所以△ABC为等边三角形．
(2)cos∠BAC＝＝，
∴sin∠BAC＝，
∴S△ABC＝||·||·sin∠BAC＝1－.
题型二　向量在解析几何中的应用
命题点1　向量与解析几何知识的综合
例4　(1)已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，且A，B，C三点共线，当k<0时，若k为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________________．
(2)设O为坐标原点，C为圆(x－2)2＋y2＝3的圆心，且圆上有一点M(x，y)满足·＝0，则＝___________.
答案　(1)2x＋y－3＝0　(2)±
解析　(1)∵＝－＝(4－k，－7)，
＝－＝(6，k－5)，且∥，
∴(4－k)(k－5)＋6×7＝0，
解得k＝－2或k＝11.
由k<0可知k＝－2，则过点(2，－1)且斜率为－2的直线方程为y＋1＝－2(x－2)，即2x＋y－3＝0.
(2)∵·＝0，∴OM⊥CM，
∴OM是圆的切线，设OM的方程为y＝kx，
由＝，得k＝±，即＝±.
命题点2　轨迹问题
例5　已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且(＋)·(－)＝0.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任意一条直径，求·的最值．
解　(1)设P(x，y)，则Q(8，y)．
由(＋)·(－)＝0，
得||2－||2＝0，
即(x－2)2＋y2－(x－8)2＝0，
化简得＋＝1.
∴点P在椭圆上，其方程为＋＝1.
(2)∵＝＋，＝＋，
又＋＝0.
∴·＝2－2＝x2＋(y－1)2－1
＝16(1－)＋(y－1)2－1＝－y2－2y＋16
＝－(y＋3)2＋19.
∵－2≤y≤2.
∴当y＝－3时，·的最大值为19，
当y＝2时，·的最小值为12－4.
综上，·的最大值为19；
·的最小值为12－4.
【同步练习】
(1)如图所示，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值为________．
(2)如图，已知F1，F2为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，点P在第一象限，且满足||＝a，(＋)·＝0，线段PF2与双曲线C交于点Q，若＝5，则双曲线C的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
答案　(1)－　(2)B
解析　(1)∵圆心O是直径AB的中点，
∴＋＝2，∴(＋)·＝2·，
∵与共线且方向相反，
∴当大小相等时，·最小．由条件知，当PO＝PC＝时，最小值为－2××＝－.
(2)由(＋)·＝0，可得||＝||＝2c，
则点P(x，y)(x>0，y>0)满足
解得
又＝5，解得Q(c－，)，
又Q在双曲线C上，代入双曲线方程化简得80c4－168a2c2＋85a4＝0，则(4c2－5a2)(20c2－17a2)＝0，又c>a，所以4c2－5a2＝0,4(a2＋b2)－5a2＝0，则a＝2b，则双曲线C的渐近线方程为y＝±x＝±x，故选B.
题型四 函数与方程思想在向量中的应用
例6 (1)设e1，e2为单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R.若e1，e2的夹角为，则的最大值等于______．
(2)在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.
解析　(1)因为b≠0，所以b＝xe1＋ye2，x≠0或y≠0.
当x＝0，y≠0时，＝0；
当x≠0时，|b|2＝(xe1＋ye2)2＝x2＋y2＋xy，
＝＝，
不妨设＝t，则＝，
当t＝－时，t2＋t＋1取得最小值，
此时取得最大值4，
所以的最大值为2.
综上，的最大值为2.
(2)由＝λ＋μ，得＝λ·(＋)＋μ·(＋)，得(－1)＋＋(＋)＝0，得(－1)＋＋(＋)(＋)＝0，得(λ＋μ－1)＋(λ＋)＝0.
又因为，不共线，
所以由平面向量基本定理得解得所以λ＋μ＝.
答案　(1)2　(2)
1．向量在平面几何中的应用
(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：
问题类型 所用知识 公式表示
线平行、点共线等问题 共线向量定理 a∥b a＝λb x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0
垂直问题 数量积的运算性质 a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0， 其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量
夹角问题 数量积的定义 cos θ＝(θ为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量
长度问题 数量积的定义 |a|＝＝，其中a＝(x，y)，a为非零向量
(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：
平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题．
2．平面向量在物理中的应用
(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．
(2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ为F与s的夹角)．
3．向量与相关知识的交汇
平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)，解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题．
【知识拓展】
1．若G是△ABC的重心，则＋＋＝0.
2．若直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，则向量(A，B)与直线l垂直，向量(－B，A)与直线l平行．
题型五　平面向量与三角函数
命题点1　向量与三角恒等变换的结合
例1　已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0<β<α<π.且a＋b＝(0,1)，则α＝________，β＝________.
答案　　
解析　因为a＋b＝(0,1)，
所以
由此得cos α＝cos(π－β)．
由0<β<π，得0<π－β<π，
又0<α<π，故α＝π－β.
代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝.
又α>β，所以α＝，β＝.
命题点2　向量与三角函数的结合
例2　已知向量a＝(sin x，)，b＝(cos x，－1)．
(1)当a∥b时，求tan 2x的值；
(2)求函数f(x)＝(a＋b)·b在[－，0]上的值域．
解　(1)∵a∥b，∴sin x·(－1)－·cos x＝0，
即sin x＋cos x＝0，tan x＝－，
∴tan 2x＝＝.
(2)f(x)＝(a＋b)·b＝a·b＋b2
＝sin xcos x－＋cos2x＋1
＝sin 2x－＋cos 2x＋＋1
＝sin(2x＋)．
∵－≤x≤0，∴－π≤2x≤0，－≤2x＋≤，
∴－≤sin(2x＋)≤，
∴f(x)在[－，0]上的值域为[－，]．
命题点3　向量与解三角形的结合
例3　已知函数f(x)＝a·b，其中a＝(2cos x，－sin 2x)，b＝(cos x,1)，x∈R.
(1)求函数y＝f(x)的单调递减区间；
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝，且向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，求边长b与c的值．
解　(1)f(x)＝2cos2x－sin 2x＝1＋cos 2x－sin 2x＝1＋2cos(2x＋)，
令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，
解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴函数y＝f(x)的单调递减区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
(2)∵f(A)＝1＋2cos(2A＋)＝－1，
∴cos(2A＋)＝－1，
又<2A＋<，
∴2A＋＝π，即A＝.
∵a＝，
∴由余弦定理得
a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－3bc＝7. ①
∵向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，
∴2sin B＝3sin C，
由正弦定理得2b＝3c， ②
由①②得b＝3，c＝2.
【同步练习】(1)函数y＝sin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是
最高点、最低点，O为坐标原点，且·＝0，则函数f(x)的最小正周期是______．
(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知c＝6，sin A－sin C＝sin(A－B)，若1≤a≤6，则sin C的取值范围是________．
答案　(1)3　(2)[，1]
解析　(1)由图象可知，M(，1)，N(xN，－1)，
所以·＝(，1)·(xN，－1)＝xN－1＝0，
解得xN＝2，
所以函数f(x)的最小正周期是2×＝3.
(2)由sin A－sin C＝sin(A－B)，得
sin A＝sin C＋sin(A－B)＝sin(A＋B)＋sin(A－B)＝2sin Acos B，
又sin A≠0，所以cos B＝.
当a＝6cos B＝3∈[1,6]时，sin C＝1；
当a＝1时，b2＝a2＋c2－2accos B＝1＋36－2×1×6×＝31，
所以b＝，于是＝，
得sin C＝；
当a＝6时，△ABC为等边三角形，
则sin C＝，>，
从而得到sin C的取值范围是[，1]．
题型六　向量与学科知识的交汇
命题点1　向量与不等式相结合
例4　(1)设e1，e2是平面内两个不共线的向量，＝(a－1)e1＋e2，＝be1－2e2(a>0，b>0)，若A，B，C三点共线，则＋的最小值是(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
(2)已知x，y满足若＝(x,1)，＝(2，y)，且·的最大值是最小值的8倍，则实数a的值是________．
答案　(1)B　(2)
解析　(1)因为A，B，C三点共线，
所以(a－1)×(－2)＝1×b，所以2a＋b＝2.
因为a>0，b>0，所以＋＝·(＋)＝2＋＋≥2＋2 ＝4(当且仅当＝，即a＝，b＝1时取等号)．
(2) 因为＝(x,1)，＝(2，y)，所以·＝2x＋y，令z＝2x＋y，依题意，不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示(含边界)，观察图象可知，当直线z＝2x＋y过点C(1,1)时，zmax＝2×1＋1＝3，目标函数z＝2x＋y过点F(a，a)时，zmin＝2a＋a＝3a，所以3＝8×3a，解得a＝.
命题点2　向量与数列结合
例5　设数列{xn}的各项都为正数且x1＝1.如图，△ABC所在平面上的点Pn (n∈N*)均满足△PnAB与△PnAC的面积比为3∶1，若(2xn＋1)＋＝xn＋1，则x5的值为(　　)
A．31 B．33
C．61 D．63
答案　A
解析　在(2xn＋1)＋＝xn＋1中，令＝(2xn＋1)，作出图形如图所示，则(2xn＋1)＋＝
＝xn＋1，所以＝xn＋1，
＝xn＋1.又＝＝，
所以＝＝，则＝＝，所以xn＋1＝2xn＋1，xn＋1＋1＝2(xn＋1)，故{xn＋1}构成以2为首项、2为公比的等比数列，所以x5＋1＝2×24＝32，则x5＝31，故选A.
【同步练习】(1)已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(，1)，则z＝·的最大值为(　　)
A．3 B．4
C．3 D．4
(2)角A，B，C为△ABC的三个内角，向量m满足|m|＝，且m＝(sin，cos )，当角A最大时，动点P使得||，||，||成等差数列，则的最大值是(　　)
A. B. C. D.
答案　(1)B　(2)A
解析　(1)由线性约束条件
画出可行域如图阴影部分所示(含边界)，目标函数z＝·＝x＋y，将其化为y＝－x＋z，结合图象可知，当直线z＝x＋y过点(，2)时，z最大，将点(，2)代入z＝x＋y，得z的最大值为4.
(2)设BC＝2a，BC的中点为D.
由题意得|m|2＝(sin )2＋(cos )2
＝1－cos(B＋C)＋[1＋cos(B－C)]
＝－cos Bcos C＋sin Bsin C＝，
则cos Bcos C＝sin Bsin C，化简得tan Btan C＝，则tan A＝－tan(B＋C)＝－＝－(tan B＋tan C)≤－×2＝－，当且仅当tan B＝tan C＝时，等号成立，所以当角A最大时，A＝，B＝C＝，则易得AD＝.因为||，||，||成等差数列，所以2||＝||＋||，则点P在以B，C为焦点，以2||＝4a为长轴的椭圆上，由图(图略)易得当点P为椭圆的与点A在直线BC的异侧的顶点时，||取得最大值，此时||＝＝a，则||＝||＋||＝，所以＝＝，故选A.
题型六　和向量有关的创新题
例6　称d(a，b)＝|a－b|为两个向量a，b间的“距离”．若向量a，b满足：①|b|＝1；②a≠b；③对任意的t∈R，恒有d(a，tb)≥d(a，b)，则(　　)
A．a⊥b B．b⊥(a－b)
C．a⊥(a－b) D．(a＋b)⊥(a－b)
答案　B
解析　由于d(a，b)＝|a－b|，
因此对任意的t∈R，恒有d(a，tb)≥d(a，b)，
即|a－tb|≥|a－b|，
即(a－tb)2≥(a－b)2，t2－2ta·b＋(2a·b－1)≥0对任意的t∈R都成立，因此有(－2a·b)2－4(2a·b－1)≤0，
即(a·b－1)2≤0，
得a·b－1＝0，
故a·b－b2＝b·(a－b)＝0，
故b⊥(a－b)．
思维升华　解答创新型问题，首先需要分析新定义(新运算)的特点，把新定义(新运算)所叙述的问题的本质弄清楚，然后应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义(新运算)信息题难点的关键所在．
【同步练习】定义一种向量运算“ ”：a b＝(a，b是任意的两个向量)．对于同一平面内向量a，b，c，e，给出下列结论：
①a b＝b a；
②λ(a b)＝(λa) b(λ∈R)；
③(a＋b) c＝a c＋b c；
④若e是单位向量，则|a e|≤|a|＋1.
以上结论一定正确的是________．(填上所有正确结论的序号)
答案　①④
解析　当a，b共线时，a b＝|a－b|＝|b－a|＝b a，当a，b不共线时，a b＝a·b＝b·a＝b a，故①是正确的；
当λ＝0，b≠0时，λ(a b)＝0，(λa) b＝|0－b|≠0，故②是错误的；
当a＋b与c共线时，存在a，b与c不共线，(a＋b) c＝|a＋b－c|，a c＋b c＝a·c＋b·c，显然|a＋b－c|≠a·c＋b·c，故③是错误的；
当e与a不共线时，|a e|＝|a·e|<|a|·|e|<|a|＋1，当e与a共线时，设a＝ue，u∈R，|a e|＝|a－e|＝|ue－e|＝|u－1|≤|u|＋1，故④是正确的．
综上，结论一定正确的是①④.
例7 已知A，B，C，D是函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0＜φ＜)一个周期内的图象上的四个点，如图所示，A，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，则ω，φ的值为(　　)
A．ω＝2，φ＝ B．ω＝2，φ＝
C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝
―→―→
―→
解析　由E为该函数图象的一个对称中心，作点C的对称点M，作MF⊥x轴，垂足为F，如图．B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，知OF＝.
又A，所以AF＝＝＝，所以ω＝2.同时函数y＝sin(ωx＋φ)图象可以看作是由y＝sin ωx的图象向左平移得到，故可知＝＝，即φ＝.
答案　A
一、向量与平面几何综合问题的解法
(1)坐标法
把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．
(2)基向量法
适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．
二、向量在解析几何中的“两个”作用
(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．
(2)工具作用：利用a⊥b a·b＝0(a，b为非零向量)，a∥b a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法．
三、向量最值
求向量模的最值或范围问题往往将模表示成某一变量的函数，采用求函数值域的方法确定最值或范围；在向量分解问题中，经常需要用已知向量来表示其他向量，此时可通过三点共线建立向量之间的关系，比较基向量的系数建立方程组求解．
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足2·＝a2－(b＋c)2，acos B＋bcos A＝2csin C，b＝2，则△ABC的面积为(　　)
A. B. C．3 D．6
答案　C
解析　由已知得2bc·cos A＝a2－(b＋c)2，
又a2＝b2＋c2－2bc·cos A，∴cos A＝－，
∵0又sin Acos B＋cos Asin B＝2sin2C,0可得C＝，∴B＝C＝，b＝c＝2，
∴S△ABC＝bcsin A＝3.
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若20a＋15b＋12c＝0，则△ABC最小角的正弦值等于(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　∵20a＋15b＋12c＝0，
∴20a(－)＋15b＋12c＝0，
∴(20a－15b)＋(12c－20a)＝0，
∵与不共线，
∴
∴△ABC最小角为角A，
∴cos A＝
＝＝，
又0∴sin A＝，故选C.
3. 函数y＝tan(－)(0A．－8 B．－4
C．4 D．8
答案　D
解析　因为函数y＝tan(－)(0所以点A的坐标是(2,0)．
因为点A是对称中心，所以点A是线段BC的中点，
所以＋＝2，
所以(＋)·＝2·＝2()2＝2×4＝8.故选D.
4．设向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，定义一种运算：a b＝(a1，a2) (b1，b2)＝(a1b1，a2b2)．已知向量m＝(，4)，n＝(，0)．点P在y＝cos x的图象上运动，点Q在y＝f(x)的图象上运动，且满足＝m ＋n(其中O为坐标原点)，则y＝f(x)在区间[，]上的最大值是(　　)
A．4 B．2 C．2 D．2
答案　A
解析　设＝(x0，y0)，＝(x，y)，由题意可得y0＝cos x0，＝(x，y)＝m ＋n＝(，4) (x0，y0)＋(，0)＝(x0,4y0)＋(，0)＝(x0＋，4y0)，即x＝x0＋，y＝4y0，即x0＝2x－，y0＝y，所以y＝cos(2x－)，即y＝4cos(2x－)．因为点Q在y＝f(x)的图象上运动，所以f(x)＝4cos(2x－)，当≤x≤时，0≤2x－≤，所以当2x－＝0时，f(x)取得最大值4.
5．记max{x，y}＝min{x，y}＝设a，b为平面向量，则(　　)
A．min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|}
B．min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|}
C．max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2
D．max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2
答案　D
解析　由于|a＋b|，|a－b|与|a|，|b|的大小关系与夹角大小有关，故A，B错．当a，b夹角为锐角时，|a＋b|>|a－b|，此时，|a＋b|2>|a|2＋|b|2；当a，b夹角为钝角时，|a＋b|<|a－b|，此时，|a－b|2>|a|2＋|b|2；当a⊥b时，|a＋b|2＝|a－b|2＝|a|2＋|b|2，故选D.
6．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝60°，C为弧AB上与A，B不重合的一个动点，且＝x＋y，若u＝x＋λy(λ>0)存在最大值，则λ的取值范围为(　　)
A．(1,3) B．(，3)
C．(，1) D．(，2)
答案　D
解析　设∠BOC＝α，则∠AOC＝－α，
因为＝x＋y，
所以
即
解得x＝－cos α＋cos(－α)＝sin α，
y＝cos α－sin α，
所以u＝sin α＋λ(cos α－sin α)＝(－λ)sin α＋λcos α＝ sin(α＋β)，
其中tan β＝，
因为0<α<，要使u存在最大值，只需满足β>，
所以>，
整理得>0，解得<λ<2，故选D.
7. 若函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是这段图象的最高点和最低点，且·＝0(O为坐标原点)，则A等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　由题意知M(，A)，N(，－A)，
又∵·＝×－A2＝0，
∴A＝.
8．已知在△ABC中，＝a，＝b，a·b<0，S△ABC＝，|a|＝3，|b|＝5，则∠BAC＝________.
答案　150°
解析　∵·<0，∴∠BAC为钝角，
又∵S△ABC＝|a||b|sin∠BAC＝，
∴sin∠BAC＝，
又0°≤∠BAC<180°，
又0°≤9．已知在平面直角坐标系中，O(0,0)，M(1,1)，N(0,1)，Q(2，3)，动点P(x，y)满足不等式0≤·≤1,0≤·≤1，则z＝·的最大值为________．
答案　3
解析　∵＝(x，y)，＝(1,1)，＝(0,1)，＝(2,3)，
∴·＝x＋y，·＝y，·＝2x＋3y，
即在条件下，求z＝2x＋3y的最大值，由线性规划知识，得当x＝0，y＝1时，zmax＝3.
10．(2016·温州一模)已知△ABC中，||＝1，·＝2，点P为线段BC上的动点，动点Q满足＝＋＋，则·的最小值为________．
答案　－
解析　设＝λ，λ∈[0,1]，则＝－＝－λ，＝－λ，＝(1－λ)，所以＝(－λ)－λ＋(1－λ)＝＋(1－3λ)，所以·＝[＋(1－3λ)]·(－λ)＝－λ·－λ(1－3λ)2＝3λ2－3λ，当λ＝时，·取得最小值－.
11．设非零向量a，b的夹角为θ，记f(a，b)＝acos θ－bsin θ，若e1，e2均为单位向量，且e1·e2＝，则向量f(e1，e2)与f(e2，－e1)的夹角为________．
答案　
解析　由e1·e2＝，
可得 cos〈e1，e2〉＝＝，
又〈e1，e2〉∈[0，π]，
故〈e1，e2〉＝，〈e2，－e1〉＝π－〈e2，e1〉＝.
f(e1，e2)＝e1cos －e2sin
＝e1－e2，
f(e2，－e1)＝e2cos －(－e1)·sin ＝e1－e2.
f(e1，e2)·f(e2，－e1)＝(e1－e2)·(e1－e2)＝－e1·e2＝0.
所以f(e1，e2)⊥f(e2，－e1)，
故向量f(e1，e2)与f(e2，－e1)的夹角为.
12．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos，sin)，n＝(cos，－sin)，且m与n的夹角为.
(1)求角C；
(2)已知c＝，S△ABC＝，求a＋b的值．
解　(1)∵m·n＝cos2－sin2＝cos C，
又m·n＝|m|·|n|·cos＝，0∴C＝.
(2)∵S△ABC＝absin C＝absin＝ab，
∴ab＝，
∴ab＝6，
由余弦定理得cos C＝，
即＝＝，解得a＋b＝.
13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知·＝·，sin A＝.
(1)求sin C的值；
(2)设D为AC的中点，若△ABC的面积为8，求BD的长．
解　(1)由·＝·得·(＋)＝0，
即(－)·(＋)＝||2－||2＝0，
∴||＝||，
∴A＝B，A与B都是锐角，
∴cos A＝＝，
∴sin C＝sin(π－A－B)＝sin(A＋B)＝sin 2A
＝2sin Acos A＝.
(2)由S＝absin C＝a2＝8，
得a＝b＝6，
∴CD＝3，BC＝6，
又cos C＝cos(π－2A)＝－cos 2A
＝－(1－2sin2A)＝，
在△BCD中，由余弦定理得
BD2＝CD2＋BC2－2CD·BCcos C＝32＋62－2·3·6·＝41，
∴BD＝.1、判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若∥，则A，B，C三点共线．(　　)
(2)向量b在向量a方向上的投影是向量．(　　)
(3)若a·b＞0，则a和b的夹角为锐角；若a·b＜0，则a和b的夹角为钝角．(　　)
(4)在△ABC中，若·<0，则△ABC为钝角三角形．(　　)
(5)已知平面直角坐标系内有三个定点A(－2，－1)，B(0，10)，C(8,0)，若动点P满足：＝＋t(＋)，t∈R，则点P的轨迹方程是x－y＋1＝0.(　　)
2、已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4)，B(5,2)，C(－1，－4)，则该三角形为(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
3、已知在△ABC中，||＝10，·＝－16，D为边BC的中点，则||等于(　　)
A．6 B．5
C．4 D．3
4、若向量a，b满足|a|＝|2a＋b|＝2，则a在b方向上投影的最大值是(　　)
A. B．－
C. D．－
5、平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足·＝4，则点P的轨迹方程是____________．
无
题型一　向量在平面几何中的应用
命题点1　向量和平面几何知识的综合
例1　(1)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB＝________.
(2)已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则
|＋3|的最小值为________．
命题点2　三角形的“四心”
例2　已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
引申探究
1．在本例中，若动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则如何选择？
2．在本例中，若动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则如何选择？
命题点3　平面向量数量积与余弦定理
例3　在△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD垂直BC于点D，E，F分别为AB，AC的中点，若·＝6，则BC等于(　　)
A．2 B．10
C．2 D．14
【同步练习】
(1)在△ABC中，已知向量与满足(＋)·＝0，且·＝，则△ABC为(　　)
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰非等边三角形
D．三边均不相等的三角形
(2)在△ABC中，＝(，)，＝(1，)，则△ABC的面积为________．
题型二　向量在解析几何中的应用
命题点1　向量与解析几何知识的综合
例4　(1)已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，且A，B，C三点共线，当k<0时，若k为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________________．
(2)设O为坐标原点，C为圆(x－2)2＋y2＝3的圆心，且圆上有一点M(x，y)满足·＝0，则＝___________.
命题点2　轨迹问题
例5　已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且(＋)·(－)＝0.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任意一条直径，求·的最值．
【同步练习】
(1)如图所示，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值为________．
(2)如图，已知F1，F2为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，点P在第一象限，且满足||＝a，(＋)·＝0，线段PF2与双曲线C交于点Q，若＝5，则双曲线C的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
题型四 函数与方程思想在向量中的应用
例6 (1)设e1，e2为单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R.若e1，e2的夹角为，则的最大值等于______．
(2)在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.
1．向量在平面几何中的应用
(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：
问题类型 所用知识 公式表示
线平行、点共线等问题 共线向量定理 a∥b a＝λb x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0
垂直问题 数量积的运算性质 a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0， 其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量
夹角问题 数量积的定义 cos θ＝(θ为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量
长度问题 数量积的定义 |a|＝＝，其中a＝(x，y)，a为非零向量
(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：
平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题．
2．平面向量在物理中的应用
(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．
(2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ为F与s的夹角)．
3．向量与相关知识的交汇
平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)，解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题．
【知识拓展】
1．若G是△ABC的重心，则＋＋＝0.
2．若直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，则向量(A，B)与直线l垂直，向量(－B，A)与直线l平行．
题型五　平面向量与三角函数
命题点1　向量与三角恒等变换的结合
例1　已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0<β<α<π.且a＋b＝(0,1)，则α＝________，β＝________.
命题点2　向量与三角函数的结合
例2　已知向量a＝(sin x，)，b＝(cos x，－1)．
(1)当a∥b时，求tan 2x的值；
(2)求函数f(x)＝(a＋b)·b在[－，0]上的值域．
命题点3　向量与解三角形的结合
例3　已知函数f(x)＝a·b，其中a＝(2cos x，－sin 2x)，b＝(cos x,1)，x∈R.
(1)求函数y＝f(x)的单调递减区间；
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝，且向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，求边长b与c的值．
【同步练习】(1)函数y＝sin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是
最高点、最低点，O为坐标原点，且·＝0，则函数f(x)的最小正周期是______．
(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知c＝6，sin A－sin C＝sin(A－B)，若1≤a≤6，则sin C的取值范围是________．
题型六　向量与学科知识的交汇
命题点1　向量与不等式相结合
例4　(1)设e1，e2是平面内两个不共线的向量，＝(a－1)e1＋e2，＝be1－2e2(a>0，b>0)，若A，B，C三点共线，则＋的最小值是(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
(2)已知x，y满足若＝(x,1)，＝(2，y)，且·的最大值是最小值的8倍，则实数a的值是________．
命题点2　向量与数列结合
例5　设数列{xn}的各项都为正数且x1＝1.如图，△ABC所在平面上的点Pn (n∈N*)均满足△PnAB与△PnAC的面积比为3∶1，若(2xn＋1)＋＝xn＋1，则x5的值为(　　)
A．31 B．33
C．61 D．63
【同步练习】(1)已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(，1)，则z＝·的最大值为(　　)
A．3 B．4
C．3 D．4
(2)角A，B，C为△ABC的三个内角，向量m满足|m|＝，且m＝(sin，cos )，当角A最大时，动点P使得||，||，||成等差数列，则的最大值是(　　)
A. B. C. D.
题型六　和向量有关的创新题
例6　称d(a，b)＝|a－b|为两个向量a，b间的“距离”．若向量a，b满足：①|b|＝1；②a≠b；③对任意的t∈R，恒有d(a，tb)≥d(a，b)，则(　　)
A．a⊥b B．b⊥(a－b)
C．a⊥(a－b) D．(a＋b)⊥(a－b)
【同步练习】定义一种向量运算“ ”：a b＝(a，b是任意的两个向量)．对于同一平面内向量a，b，c，e，给出下列结论：
①a b＝b a；
②λ(a b)＝(λa) b(λ∈R)；
③(a＋b) c＝a c＋b c；
④若e是单位向量，则|a e|≤|a|＋1.
以上结论一定正确的是________．(填上所有正确结论的序号)
例7 已知A，B，C，D是函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0＜φ＜)一个周期内的图象上的四个点，如图所示，A，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，则ω，φ的值为(　　)
A．ω＝2，φ＝ B．ω＝2，φ＝
C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝
一、向量与平面几何综合问题的解法
(1)坐标法
把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．
(2)基向量法
适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．
二、向量在解析几何中的“两个”作用
(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．
(2)工具作用：利用a⊥b a·b＝0(a，b为非零向量)，a∥b a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法．
三、向量最值
求向量模的最值或范围问题往往将模表示成某一变量的函数，采用求函数值域的方法确定最值或范围；在向量分解问题中，经常需要用已知向量来表示其他向量，此时可通过三点共线建立向量之间的关系，比较基向量的系数建立方程组求解．
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足2·＝a2－(b＋c)2，acos B＋bcos A＝2csin C，b＝2，则△ABC的面积为(　　)
A. B. C．3 D．6
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若20a＋15b＋12c＝0，则△ABC最小角的正弦值等于(　　)
A. B. C. D.
3. 函数y＝tan(－)(0A．－8 B．－4
C．4 D．8
4．设向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，定义一种运算：a b＝(a1，a2) (b1，b2)＝(a1b1，a2b2)．已知向量m＝(，4)，n＝(，0)．点P在y＝cos x的图象上运动，点Q在y＝f(x)的图象上运动，且满足＝m ＋n(其中O为坐标原点)，则y＝f(x)在区间[，]上的最大值是(　　)
A．4 B．2 C．2 D．2
5．记max{x，y}＝min{x，y}＝设a，b为平面向量，则(　　)
A．min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|}
B．min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|}
C．max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2
D．max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2
6．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝60°，C为弧AB上与A，B不重合的一个动点，且＝x＋y，若u＝x＋λy(λ>0)存在最大值，则λ的取值范围为(　　)
A．(1,3) B．(，3)
C．(，1) D．(，2)
7. 若函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是这段图象的最高点和最低点，且·＝0(O为坐标原点)，则A等于(　　)
A. B.
C. D.
8．已知在△ABC中，＝a，＝b，a·b<0，S△ABC＝，|a|＝3，|b|＝5，则∠BAC＝________.
9．已知在平面直角坐标系中，O(0,0)，M(1,1)，N(0,1)，Q(2，3)，动点P(x，y)满足不等式0≤·≤1,0≤·≤1，则z＝·的最大值为________．
10．已知△ABC中，||＝1，·＝2，点P为线段BC上的动点，动点Q满足＝＋＋，则·的最小值为________．
11．设非零向量a，b的夹角为θ，记f(a，b)＝acos θ－bsin θ，若e1，e2均为单位向量，且e1·e2＝，则向量f(e1，e2)与f(e2，－e1)的夹角为________．
12．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos，sin)，n＝(cos，－sin)，且m与n的夹角为.
(1)求角C；
(2)已知c＝，S△ABC＝，求a＋b的值．
13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知·＝·，sin A＝.
(1)求sin C的值；
(2)设D为AC的中点，若△ABC的面积为8，求BD的长．

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