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专题 实际问题与一元一次方程—方案选择问题
方案选择问题的解题思路
1.理解问题背景
仔细阅读题目，明确问题所涉及的实际场景，例如购物、收费、行程、工程等。
确定已知条件和需要求解的问题，通常是在多个方案中选择最优方案。
分析各个方案的费用或数量关系
对于每个方案，找出其费用计算方式或数量关系表达式。
一般用变量（如设）来表示相关的数量，如购买数量、使用时间等，然后根据题目条件列出每个方案对应的方程或函数表达式。
3.建立方案比较的方法
通过列出的方程或表达式，找到比较不同方案的方法。
常见的比较方法有：
费用相等时求临界值：令两个方案的费用相等，解出变量的值，这个值就是两个方案费用相同的临界点。
直接比较费用大小：在不同的取值范围内，分别比较各个方案费用的大小。
常见类型及例题解析
1.购物方案选择
例题：某商场有两种促销方案。方案A：购物满100元返30元现金；方案B：所有商品打八折。问购买标价为多少元的商品时，两种方案的优惠相同？
解析：设商品标价为元。
方案A的实际花费：当时，设（为满100的次数，为不满100的余数），实际花费。
方案B的实际花费：。
令，即，，。
当时，。
所以当商品标价为150元时，两种方案优惠相同。
电话计费方案选择
例题：某移动通讯公司有两种手机卡，A卡：月租费30元，每分钟通话费0.3元；B卡：无月租费，每分钟通话费0.4元。一个月通话多少分钟时，两种卡费用相同？
解析：设一个月通话分钟。
A卡的费用。
B卡的费用。
令，即，解得。
所以一个月通话300分钟时，两种卡费用相同。
行程方案选择
例题：从A地到B地，有两种出行方式。方式一：乘坐公交车，票价5元；方式二：乘坐出租车，起步价10元（3公里内），超过3公里后每公里加收2元。若两地距离为公里，当为多少时，两种出行方式费用相同？
解析：当时，公交车费用5元，出租车费用10元，此时两种方式费用不同。
当时，设距离公里。
公交车费用。
出租车费用。
令，即，解得（不符合，舍去）。
说明在本题设定下，公交车和出租车费用不会相同（如果有不同的费用结构设定可能会有不同结果）。
工程方案选择
例题：一项工程，甲队单独做需要天完成，每天费用1000元；乙队单独做需要天完成，每天费用800元。若工程必须在天内完成（且），有两种方案：方案一，甲队单独做天，剩下的由乙队做；方案二，乙队单独做天，剩下的由甲队做。如何选择方案使总费用最少？
解析：甲队的工作效率为，乙队的工作效率为。
方案一：甲队做天的工作量为，乙队做天的工作量为，总费用。
方案二：乙队做天的工作量为，甲队做天的工作量为，总费用。
根据工程完成条件和，解出和关于、、的表达式，代入和，然后比较和的大小来选择方案。
总结
1.在解决方案选择问题时，关键是准确地列出每个方案对应的费用或数量关系表达式。
2.通过比较这些表达式，找到临界值或判断不同取值范围内的最优方案。
3.要注意题目中的条件限制，如变量的取值范围等，确保解答符合实际情况。
练习
1.为了防治“新型冠状病毒”，某中学拟向厂家购买消毒剂和红外线测温枪，积极做好教室消毒和师生的测温工作。
(1)若按原价购买一瓶消毒剂和一支红外线测温枪共需要400元，已知一支测温枪的价格比一瓶消毒剂的价格的6倍还贵15元，求每瓶消毒剂和每支测温枪的价格。
(2)由于采购量大，厂家推出两种购买方案（如下表）：
购买方案 红外线测温枪 消毒剂 优惠
A 9折 8.5折 每购100瓶消毒剂送1支测温枪
B 8折 8.5折 无
若学校有75个班级，计划每班配置1支红外线测温枪和20瓶消毒剂，则学校选择哪种购买方案的总费用更低？
2.“元旦”假期，某学校的3位老师带领x名学生去冰雪大世界游玩，有两家旅行社可供选择，定价都是每人300元。其中甲旅行社的优惠方案是老师全价，学生七折优惠；乙旅行社的优惠方案是不分老师和学生一律八折优惠。
(1)这3位老师和x名学生选择甲旅行社所需费用为____元，选择乙旅行社所需费用为____元；（用含x的式子表示）
(2)若这3位老师带领10名学生去游玩，他们选择哪家旅行社比较划算？
(3)若他们选择甲、乙两家旅行社所付的费用一样，求这3位老师共带了几名学生去游玩？
3.当今社会，随着生活水平的提高，人们越来越重视自己的身心健康，开始注重锻炼身体。某公司计划购买50个羽毛球拍和x个羽毛球，某体育用品商店每个羽毛球拍定价80元，每个羽毛球定价5元，经协商拟定了如下两种优惠方案（两种优惠方案不可混用）：
方案一：每买一个羽毛球拍就赠送2个羽毛球；
方案二：羽毛球拍和羽毛球都按定价的90%付款。
(1)若x = 100，请计算哪种方案划算；
(2)若x＞100，请用含x的代数式分别把两种方案的费用表示出来；
(3)请你帮助公司写出x取值不同时的所有划算的购买方案。
4.新学年，学校为了更新体育器材，计划购买10副乒乓球拍和若干盒乒乓球（大于10盒），已知甲乙两家体育用品商店的标价相同，一副乒乓球拍的标价为60元，一盒乒乓球的标价是20元，现了解到两家体育用品商店都在做促销活动，甲店：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球；乙店：所有商品均打八折。
(1)若学校购买乒乓球30盒，则在甲店购买球拍和球的总费用为____元，在乙店购买球拍和球的总费用为____元；
(2)学校经过测算，求出去甲店购买与去乙店购买所付的总费用相同，求学校计划购买乒乓球多少盒？
(3)依据（2）的购买数量，选择在甲、乙两家体育用品商店同时购买所需器材，请你设计一种最省钱的购买方案。
5.甲地欲往乙地运输一批水果，有火车和汽车两种运输方式，运输过程中的损耗均为200元/时，其它主要参考数据如下：
运输工具 途中平均速度（千米/时） 运费（元/千米） 装卸费（元）
火车 100 15 2000
汽车 80 20 900
(1)如果运往乙地，汽车的费用比火车的费用多1100元，求甲、乙两地间的路程；（费用包含损耗、运费和装卸费）
(2)如果运往丙地，已知甲、丙两地间的路程为1000千米，通过计算选择哪种运输方式比较合算。
6.下表是两种移动电话计费方式表，用方式一每月租费30元，此外根据累计通话时间按0.3元/min加收通话费；用方式二不收月租费，根据累计通话时间按0.4元/min收取通话费。
方式 费用
方式一 方式二
月租费 30元/月 0元
本地通话费 0.3元/min 0.4元/min
(1)一个月内在本地通话200min和350min，按方式一或方式二应分别计费多少元？
(2)对于本地通话时间，会出现两种计费方式收费一样多的情况吗？
(3)当通话时间不等于(2)中所求的时间时，哪种计费更划算？
7.运城市今年冬天天气寒冷，小刚为爷爷奶奶准备了两种过冬方案。
方案一：在运城过冬，需缴纳每平方米16元的取暖费；
方案二：去海南过冬，需租一套每月500元的住房，租房3个月，运城的住房暖气报停，但要缴纳每平方米6元的基础热费。
设小刚家住房面积是x平方米。
(1)则方案一需要费用____元；方案二需要费用____元（用含x的代数式表示）；
(2)若小刚家的住房面积是140m ，请你帮他算算选择哪种方案费用较少？请说明理由；
(3)小刚家住房面积是多少平方米时，两种方案所需费用相同？
参考答案
1.(1)设每瓶消毒剂的价格为元，则每支测温枪的价格为元。
根据题意可得。
解方程得，，。
则每支测温枪的价格为元。
(2)学校需要购买支红外线测温枪和瓶消毒剂。
方案A：
红外线测温枪费用：元。
消毒剂费用：元。
送，取整送支测温枪，总费用为元。
方案B：
红外线测温枪费用：元。
消毒剂费用：元。
总费用为元。
因为，所以选择方案B总费用更低。
2.(1)甲旅行社所需费用为元；乙旅行社所需费用为元。
(2)当时，甲旅行社费用：元。
乙旅行社费用：元。
因为，所以选择甲旅行社比较划算。
(3)令。
移项得。
，解得。
所以当带名学生时，两家旅行社费用一样。
3.(1)方案一：购买个羽毛球拍送个羽毛球，费用为元。
方案二：费用为元。
因为，所以方案一划算。
(2)方案一：费用。
方案二：费用。
(3)令，即。
移项得。
，解得。
当时，两种方案费用相同。
当时，方案一划算；当时，方案二划算。
4.(1)甲店：元。
乙店：元。
(2)设学校计划购买乒乓球盒。
甲店费用：。
乙店费用：。
令，即。
移项得。
，解得。
(3)在甲店买副乒乓球拍，送盒乒乓球，在乙店买盒乒乓球。
总费用为元。
5.(1)设甲、乙两地间的路程为千米。
火车费用：。
汽车费用：。
根据题意得。
化简得。
，，解得千米。
(2)运往丙地路程为千米。
火车费用：元。
汽车费用：元。
因为，所以选择火车运输比较合算。
6.(1)通话分钟：
方式一：元。
方式二：元。
通话分钟：
方式一：元。
方式二：元。
(2)设通话时间为分钟时，两种计费方式收费一样多。
则。
移项得。
，解得分钟。
(3)当分钟时，方式二划算；当分钟时，方式一划算。
7.(1)方案一需要费用元；方案二需要费用元。
(2)当时，方案一费用：元。
方案二费用：元。
因为，所以选择方案一费用较少。
(3)令。
移项得。
，解得平方米。

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