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分课时教学设计
第八课时《6.3.2 角的比较与运算（第二课时）——角的平分线》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课主要学习角的平分线和角度的四则运算。角平分线是本章重要的几何基础知识，也是后续学习图形与几何必备的知识基础。
学习者分析 学生在学习本节课之前，已经了解了线段的中点、角的加减运算等知识，这为本节课的进行，在学习方法上做好了类比铺垫，这些已有的知识经验是学生学好这节课的基础和关键。
教学目标 1.通过类比线段的中点的学习过程，构建角的平分线学习过程的思路，体会不同学习内容之间研究方法的一致性和可迁移性，体会类比思想。 2.理解角的平分线的概念及数量关系，并会用文字、图形和符号语言进行描述，体会数形结合思想。
教学重点 角的平分线。
教学难点 通过类比构建角的平分线的研究思路，用文字、图形和符号语言描述角的平分线。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1.通过类比线段的中点的学习过程，构建角的平分线学习过程的思路，体会不同学习内容之间研究方法的一致性和可迁移性，体会类比思想。 2.理解角的平分线的概念及数量关系，并会用文字、图形和符号语言进行描述，体会数形结合思想。学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。环节二：新知导入教师活动2： 1．角的比较： （1）__________； （2）__________． 答案：度量法；叠合法 2．角的和、差： ∠AOC 是∠AOB 与∠BOC 的和，记作_______________________； ∠AOB 是∠AOC 与∠BOC 的差，记作_______________________； 类似地，∠AOC－∠AOB＝_______． 答案：∠AOC＝∠AOB＋∠BOC； ∠AOB＝∠AOC－∠BOC； ∠BOC 3．点 M 把线段 AB 分成相等的两条线段 AM 与 MB，点 M 叫做线段 AB 的_______． 答案：中点 类似地，还有线段的三等分点、四等分点等。 AM＝MN＝NB＝ AB AM＝MN＝NP＝PB＝AB 导言：上节课我们通过类比得到了角的比较与运算的研究内容和研究思路。请你类比线段中点的究过程，思考接下来对于角大致要研究哪些内容，怎么研究。学生活动2： 学生积极回答老师提出的问题活动意图说明： 通过复习角的比较与角的和差、线段的中点等内容，为继续学习角的知识做好准备环节三：新知讲解教师活动3： 思考1：我们知道，线段的中点把线段分成两条相等的线段。类似地，在下图中，如果∠AOB=∠BOC，那么射线OB把∠ AOC分成两个相等的角。你能梳理射线OB的特证，尝试给射线OB起一个适当的名称吗？ 预设：位于∠AOC的内部（端点O除外） 并且将∠AOC分成两个相等的角 归纳：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线。 填空：OB是∠AOC的平分线时， ∠AOC＝2∠AOB＝2_______ ∠AOB＝∠BOC ＝ _______ 答案：∠BOC，∠AOC 符号语言： ∵OB是∠AOC的平分线 ∴ ∠AOC＝2∠AOB＝2∠BOC (或∠AOB＝∠BOC ＝ ∠AOC) 反之也成立： ∵ ∠AOC＝2∠AOB＝2∠BOC (或∠AOB＝∠BOC＝ ∠AOC) ∴OB是∠AOC的平分线 思考2：我们通过角平分线可以把这个角分成两个相等的角，那么能不能这个角三等分呢？ OB是∠AOC的平分线 ∠AOB＝∠BOC ＝ ∠AOC 预设：OB、OC是∠AOD的三等分线 ∠AOB＝∠BOC ＝∠COD ＝ ∠AOD 探究：仿照下图，在一张半透明的纸上通过折纸作角的平分线。 例1：如图，∠AOB＝90°，∠BOC＝60°，OD 是∠AOC 的角平分线，求∠BOD 的度数． 解：因为∠AOB＝90°，∠BOC＝60°， 所以∠AOC＝∠AOB－∠BOC ＝90°－60°＝30°． 因为 OD 是∠AOC 的角平分线， 所以∠DOC＝∠AOC＝×30°＝15°， 所以∠BOD＝∠DOC＋∠BOC＝15°＋60°＝75°． 归纳：利用角平分线求角的大小 （1）利用角平分线进行计算时，要灵活运用角平分线的几种不同的表达方式． （2）在计算角的大小时，常常要用到等量代换，即用已知角代替与它相等的未知角． 例2：把一个周角7等分，每一份是多少度的角（精确到分） 分析：度、分、秒是六十进制的，不能整除时要把剩余的度数化成分。 解：360 ÷7＝51 +3 ÷7 ＝51 +180′÷7 ≈51 26′ 答：每份是51 26′. 归纳：角度的四则运算 学生活动3： 学生认真观察、思考，归纳，然后动手操作体会角平分线的数量关系，并回想线段中点的符号语言来类比得出角平分线的符号语言，并应用角平分线解决有关角的计算问题活动意图说明： 理解角平分线的概念，掌握角平分线的数量关系、符号语言表达，并运用所学知识解决有关角的计算问题。环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系。
板书设计 课题：6.3.2 角的比较与运算（第二课时） ——角的平分线一、角的平分线 二、角度的四则运算教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，OP是∠AOB的平分线，则下列说法错误的是（　　） A．∠AOB＝2∠AOP B．∠AOP＝∠AOB C．∠AOB＝∠BOP D．∠AOP＝∠BOP 答案：C 2.如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB,若∠COB=35°,则∠AOD等于多少度？ 解：∵OC是∠DOB的角平分线，且∠COB=35° ∴∠BOD=2∠COB=2×35°=70° 又∵∠AOB是平角 ∴∠AOD=∠AOB－∠BOD =180°－70° =110° 3.计算311 ÷8，结果用度分秒表示。 解：311 ÷8 =38 +7 ÷8 =38 +420′÷8 =38 +52′+4′÷8 =38 +52′+240′′÷8 =38 52′30′′ 选做题： 4.如图，∠AOB＝90 ，OC平分∠AOB，OE平分∠AOD，若∠EOC＝60 ，∠AOC＝___， ∠AOE＝____， ∠EOD＝____． 答案：45 ，15 ，15 【综合拓展类作业】 5．如图，点O在直线上，已知，且射线平分，，求的度数． 解：∵， ∴，即， ∵射线平分， ∴，则， ∵， ∴， ∴．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，OC平分∠AOD，OD平分∠BOC，下列结论不成立的是( ) A.∠AOC＝∠BOD B.∠COD＝∠AOB C.∠AOC＝ ∠AOD D.∠BOC＝2∠BOD 答案：B 2．如图，直线、相交于点，射线平分，．若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 答案：C 3．下列度分秒的换算中，正确的是（　 　） A． B． C． D． 答案：D 选做题： 4.如图，已知∠DOE＝70 ,OD平分∠AOB，OE平分∠BOC, 求∠AOC的度数. 解：∵OD平分∠AOB， OE平分∠BOC， ∴∠AOB＝2∠DOB, ∠BOC＝2∠BOE， ∴ ∠AOC＝∠AOB＋∠BOC ＝2∠DOB+2∠BOE ＝2（∠DOB+∠BOE） ＝2∠DOE ＝2 × 70 ＝140 . 【综合拓展类作业】 5．三角尺的直角顶点P在直线上，点A，B在直线的同侧． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若平分，平分，求的度数． 解：（1）由题意知． ∴， ∴． （2）∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴．
教学反思 在教学过程中，重视情境创设，让学生经历求知过程。并采用问题教学模式，旨在引导学生积极参与，探索解题思路，通过合作学习促进深度参与。同时，有效利用多媒体教学，提升课堂效益，利用动态展示帮助抽象思维能力较弱的学生，促进从直觉思维向抽象思维的过渡。
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第六章 几何图形初步
6.3.2 角的比较与运算(第二课时)
——角的平分线
1.通过类比线段的中点的学习过程，构建角的平分线学习过程的思路，体会不同学习内容之间研究方法的一致性和可迁移性，体会类比思想。
2.理解角的平分线的概念及数量关系，并会用文字、图形和符号语言进行描述，体会数形结合思想。
　　1．角的比较：
　 （1）__________；
　 （2）__________．
　　2．角的和、差：
　　∠AOC 是∠AOB 与∠BOC 的和，记作_______________________；
　　∠AOB 是∠AOC 与∠BOC 的差，记作_______________________；
　　类似地，∠AOC－∠AOB＝_______．
∠AOB＝∠AOC－∠BOC
∠AOC＝∠AOB＋∠BOC
度量法
叠合法
∠BOC
A
C
B
O
3．点 M 把线段 AB 分成相等的两条线段 AM 与 MB，点 M 叫做线段 AB 的_______．
AM＝MB＝AB
中点
类似地，还有线段的三等分点、四等分点等。
AM＝MN＝NB＝ AB
AM＝MN＝NP＝PB＝AB
思考1：我们知道，线段的中点把线段分成两条相等的线段。类似地，在下图中，如果∠AOB=∠BOC，那么射线OB把∠ AOC分成两个相等的角。你能梳理射线OB的特证，尝试给射线OB起一个适当的名称吗？
一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线。
位于∠AOC的内部（端点O除外）
并且将∠AOC分成两个相等的角
符号语言：
∵OB是∠AOC的平分线
∴ ∠AOC＝2∠AOB＝2∠BOC
(或∠AOB＝∠BOC ＝ ∠AOC)
反之也成立：
∵ ∠AOC＝2∠AOB＝2∠BOC (或∠AOB＝∠BOC＝ ∠AOC)
∴OB是∠AOC的平分线
∠AOC＝2∠AOB＝2_______
∠AOB＝∠BOC ＝ _______
OB是∠AOC的平分线
∠BOC
∠AOC
思考2：我们通过角平分线可以把这个角分成两个相等的角，那么能不能这个角三等分呢？
OB是∠AOC的平分线
OB、OC是∠AOD的三等分线
∠AOB＝∠BOC ＝ ∠AOC
∠AOB＝∠BOC ＝∠COD ＝ ∠AOD
探究：仿照下图，在一张半透明的纸上通过折纸作角的平分线。
　　例1：如图，∠AOB＝90°，∠BOC＝60°，OD 是∠AOC 的角平分线，求∠BOD 的度数．
　　解：因为∠AOB＝90°，∠BOC＝60°，　　
　　所以∠AOC＝∠AOB－∠BOC
　　　　　　　＝90°－60°＝30°．
　　因为 OD 是∠AOC 的角平分线，
　　所以∠DOC＝∠AOC＝×30°＝15°，
　　所以∠BOD＝∠DOC＋∠BOC＝15°＋60°＝75°．
A
C
B
O
D
利用角平分线求角的大小
（1）利用角平分线进行计算时，要灵活运用角平分线的几种不同的表达方式．
（2）在计算角的大小时，常常要用到等量代换，即用已知角代替与它相等的未知角．
例2：把一个周角7等分，每一份是多少度的角（精确到分）
解：360 ÷7＝51 +3 ÷7
＝51 +180′÷7
≈51 26′
答：每份是51 26′.
分析：度、分、秒是六十进制的，不能整除时要把剩余的度数化成分。
　角度的四则运算
运算 法则
加法运算 先同级相加，再对分、秒进行化简
减法运算 从低位算起，若同级不够减，则向上一位借1作60
乘法运算 当一个角度与一个正整数相乘时，先用正整数分别与度、分、秒相乘，再把所得的积相加后化简
除法运算 当一个角度与一个正整数相除时，从高位算起，余数乘60化为下一级再运算
【知识技能类作业】必做题：
1.如图，OP是∠AOB的平分线，则下列说法错误的是（　　）
A．∠AOB＝2∠AOP
B．∠AOP＝∠AOB
C．∠AOB＝∠BOP
D．∠AOP＝∠BOP
C
【知识技能类作业】必做题：
2.如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB,若∠COB=35°,则∠AOD等于多少度？
A
B
O
D
C
解：∵OC是∠DOB的角平分线，且∠COB=35°
∴∠BOD=2∠COB=2×35°=70°
又∵∠AOB是平角
∴∠AOD=∠AOB－∠BOD
=180°－70°
=110°
【知识技能类作业】必做题：
3.计算311 ÷8，结果用度分秒表示。
解：311 ÷8=38 +7 ÷8
=38 +420′÷8
=38 +52′+4′÷8
=38 +52′+240′′÷8
=38 52′30′′
【知识技能类作业】选做题：
4.如图，∠AOB＝90 ，OC平分∠AOB，OE平分∠AOD，若∠EOC＝60 ，∠AOC＝___， ∠AOE＝____， ∠EOD＝____．
45
15
15
【综合拓展类作业】
5．如图，点O在直线上，已知，且射线平分，，求的度数．
解：∵，
∴，即，
∵射线平分，
∴，则，
∵，
∴，
∴．
角的比较与运算
角度的四则运算
角的平分线
定义
表示方法
【知识技能类作业】必做题：
1.如图，OC平分∠AOD，OD平分∠BOC，下列结论不成立的是( )
A.∠AOC＝∠BOD
B.∠COD＝ ∠AOB
C.∠AOC＝ ∠AOD
D.∠BOC＝2∠BOD
B
2．如图，直线、相交于点，射线平分，．若，则的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【知识技能类作业】必做题：
C
【知识技能类作业】必做题：
3．下列度分秒的换算中，正确的是（　 　）
A． B．
C． D．
D
【知识技能类作业】选做题：
解：∵OD平分∠AOB， OE平分∠BOC，
∴∠AOB＝2∠DOB, ∠BOC＝2∠BOE，
∴ ∠AOC＝∠AOB＋∠BOC
＝2∠DOB+2∠BOE
＝2（∠DOB+∠BOE）
＝2∠DOE
＝2 × 70
＝140 .
4.如图，已知∠DOE＝70 , OD平分∠AOB，OE平分∠BOC, 求∠AOC的度数.
【综合拓展类作业】
5．三角尺的直角顶点P在直线上，点A，B在直线的同侧．
(1)如图①，若，求的度数；
(2)如图②，若平分，平分，求的度数．
解：（1）由题意知．
∴，
∴．
【综合拓展类作业】
5．三角尺的直角顶点P在直线上，点A，B在直线的同侧．
(1)如图①，若，求的度数；
(2)如图②，若平分，平分，求的度数．
（2）∵平分，平分，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴．

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