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(共55张PPT)
DIYIZHANG
第一章
专题强化3　带电粒子在有界匀强磁
　　　　　 场中的运动
学习目标
会分析带电粒子在直线边界、平行边界、圆形边界等有界匀强磁场中的运动。
一、单边直线边界
二、平行边界
专题强化练
三、圆形边界
内容索引
四、多边形边界或三角形边界
单边直线边界
一
粒子进出磁场具有对称性，从某一直线边界射入的粒子，再从这一边界射出时，速度与边界的夹角相等，如图(a)、(b)、(c)所示，d为粒子进出磁场的位置相距的距离。
2R
2Rsin θ
2Rsin θ
　(2023·宿迁市高二期末)如图所示，在边界PQ上方有垂直纸面向里的匀强磁场，一对比荷相同的正、负离子同时从边界上的O点沿与PQ成θ(θ<)角的方向以相同的速度v射入磁场中，不计离子重力及离子间的相互作用，则正、负离子
A.在磁场中的运动时间相同
B.在磁场中运动的位移相同
C.出边界时两者的速度相同
D.正离子出边界点到O点的距离更大
例1
√
两离子在磁场中运动周期为T=，则知两个离子
做匀速圆周运动的周期相等。根据左手定则分析可
知，正离子逆时针偏转，负离子顺时针偏转，作出
两离子的运动轨迹，如图所示，两离子重新回到边界时，正离子的速度偏向角为2π-2θ，轨迹的圆心角也为2π-2θ，运动时间t1=T，同理，负离子运动时间t2=T，正、负离子在磁场中的运动时间不相等，故A错误；
根据洛伦兹力提供向心力，则有qvB=，得r=
，由题意可知r相同，根据几何知识可得，重
新回到边界的位置与O点距离s=2rsin θ，r、θ相
同，则s相同，故两离子在磁场中运动的位移大小相同，方向不同，故B、D错误；
两离子在磁场中均做匀速圆周运动，速度沿轨迹的切线方向，根据圆的对称性可知，重新回到边界时速度大小与方向相同，故C正确。
返回
二
平行边界
如图所示，带电粒子以不同速度进入双边平行直线边界且垂直纸面向里的匀强磁场，其运动轨迹可能不同，可能从同一侧离开磁场，也可能从另一侧离开磁场，往往存在临界条件。
Rsin θ
2R2
(R-d)2+L2
R+Rcos θ
x2+(R-d)2　
d+Rcos θ
　 (2024·长治市高二期末)如图，在(0≤x≤L)区域内存在匀强磁场，方向垂直于纸面向外。一带电荷量为+q、质量为m的粒子从y轴上P点，以速率v沿x轴的正方向射入磁场，从磁场右边界上某点离开磁场，并经过x轴
例2
答案　L　
上的Q(2L，0)点，此时速度方向与x轴正方向的夹角为45°。不计粒子的重力，求粒子穿过磁场右边界时的纵坐标值和磁场磁感应强度的大小。
粒子运动轨迹如图所示。
设粒子在磁场中的运动半径为r，粒子穿过磁场右边界时的纵坐标值为y，根据几何关系有y=(2L-L)tan 45°=L
r==L
根据洛伦兹力提供向心力有qvB=m
解得磁场磁感应强度的大小为B=。
返回
圆形边界
三
1.粒子进出磁场具有对称性
在圆形磁场区域内，沿半径方向射入的粒子，必沿半径方向射出，如图甲所示。
2.在圆形磁场区域内，不沿半径方向射入的粒子，入射速度方向与半径的夹角为θ，出射速度方向与半径的夹角也为θ，如图乙所示。
　 (多选)(2024·汕头市金山中学高二期末)两个比荷相等的带电粒子a、b，以不同的速率va、vb对准圆心O沿着AO方向射入垂直纸面向里的圆形匀强磁场区域，两粒子射出磁场时的速度偏转角分别为120°、60°，其运动轨迹如图所示。不计粒子的重力，则下列说法正确的是
A.a粒子带正电，b粒子带负电
B.粒子射入磁场中的速率va∶vb=1∶3
C.粒子在磁场中的运动时间ta∶tb=2∶1
D.若将磁感应强度变为原来的，其他条件不变，
　a粒子在磁场中运动的时间将变为原来的
例3
√
√
根据左手定则，b粒子向上偏转，带正电，a粒子向下
偏转，带负电，故A错误；
设a、b粒子运动轨迹的圆心分别为Oa、Ob，如图所示，
根据洛伦兹力提供向心力，有qvB=m，解得r=，设
粒子的圆周运动半径分别为ra、rb，圆形磁场区域半径为R，根据几何关系有ra=Rtan 30°，rb====，故B正确；
根据T=可知两粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期相等。由题知两粒子在磁场中的运动轨迹所对应的圆心角分别为120°和60°，则可得粒子在磁场中的运动时间之比为==，故C正确；
将磁感应强度变为原来的，其他条件不变，可得此时a粒子的运动半径变为R，由几何知识可得，a粒子在磁场中运动轨迹对应的圆心角为90°，由于a粒子做匀速圆周运动的周期变为T'=T，则a粒子在磁场中运动的时间将变为ta'=T'=T，可得==，故D错误。
　(2024·运城市高二期末)如图所示，ACD为一半圆形区域，其中O为圆心，AD为直径，∠AOC=90°，半圆形区域内存在着垂直该平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一带电粒子(不计重力)从圆弧的P点以速度v沿平行于直径AD方向射入磁场，运动一段时间从C点离开磁场时，速度方向偏转了60°，设P点到AD的距离为d。下列说法中正确的是
A.该粒子带正电
B.该粒子的比荷为
C.该粒子在磁场中运动时间为
D.直径AD长度为4d
例4
√
由左手定则可判断，粒子带负电；过P点和C点作
速度方向的垂线，交点即为轨迹圆圆心O'。如图，
由几何关系可知，OCO'P为菱形，∠COP=∠CO'P
=60°，=2d==r，洛伦兹力提供向心力qvB=m=；粒子在磁场中运动时间为t==×==×=；直径AD的长度等于磁场区域半径的2倍，即4d，故选D。
返回
多边形边界或三角形边界
四
　如图所示，正六边形abcdef区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场。一带电粒子从a点沿ad方向射入磁场，粒子从b点离开磁场，在磁场中的运动时间为t1；如果只改变粒子射入磁场的速度大小，粒子从c点离开磁场，在磁场中的运动时间为t2。不计粒子重力，则t1与t2之比为
A.1∶2
B.2∶1
C.1∶3
D.3∶1
例5
√
根据周期公式T=可知，只改变速度大小，粒子
在磁场中做匀速圆周运动的周期相同。粒子两次运
动轨迹如图所示，粒子进入磁场时速度方向与ab方
向的夹角为60°，与ac方向的夹角为30°。由几何
知识知，当粒子从a点进入磁场，从b点离开磁场时，
速度偏转角为θ1=2×60°=120°，所以轨迹所对应的圆心角为120°，可得粒子在磁场中的运动时间为t1=T=；
同理，当粒子从a点进入磁场，从c点离开磁场时，速度偏转角为θ2=2×30°=60°，所以轨迹所对应的圆心角为60°，可得粒子在磁场中的运动时间为t2=T=，因此t1∶t2=2∶1，选项B正确。
返回
多边形边界磁场对带电粒子的运动限制较多，但可以根据出射点的位置把磁场看成直线边界或三角形边界，如本题中带电粒子从b、c点离开磁场，就可以看成是直线边界磁场问题，根据直线边界磁场中粒子射入磁场和射出磁场的对称性，很容易就能得出粒子运动轨迹所对应的圆心角。
总结提升
专题强化练
五
1.如图所示，在第Ⅰ象限内有垂直纸面向里的匀强磁场，一对质量与电荷量都相等的正、负粒子分别以相同速率沿与x轴成30°角的方向从原点射入磁场，不计粒子重力，则正、负粒子在磁场中运动的时间之比为
A.1∶2 B.2∶1
C.1∶ D.1∶1
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基础强化练
√
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由洛伦兹力提供向心力有qvB=，又T=，解得T=，则正、负粒子在磁场中的运动周期相等，正、负粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，正粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角为120°，负粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角为60°，故时间之比为2∶1，B正确。
2.如图所示，空间有一圆柱形匀强磁场区域，该区域的横截面的半径为R，磁场方向垂直于横截面。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子以速率v0沿横截面的某直径射入磁场，离开磁场时速度方向偏离入射方向60°。不计粒子重力，该磁场的磁感应强度大小为
A. B.
C. D.
√
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粒子的运动轨迹如图所示，粒子做匀速圆周运动的轨道半径r==R
根据洛伦兹力提供向心力得
qv0B=m，解得B=，故A正确。
3.(多选)如图所示，直角三角形ABC中存在垂直纸面向里的匀强磁场，比荷相同的两个带电粒子沿AB方向射入磁场，分别从AC边上的P、Q两点射出，不计粒子重力，则
A.从P射出的粒子速度大
B.从Q射出的粒子速度大
C.从P射出的粒子在磁场中运动的时间长
D.两粒子在磁场中运动的时间一样长
√
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√
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作出两带电粒子各自的运动轨迹，如图所示，根据
圆周运动特点知，两粒子分别从P、Q点射出时，
速度方向与AC边的夹角相等，故可判定两粒子从P、
Q点射出时，半径RP射出的粒子速度大，A错误，B正确；
由T==得，两粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期相等，根据图示，可知两轨迹对应的圆心角相等，由t=T得两粒子在磁场中的运动时间相等，C错误，D正确。
4.如图，边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面(abcd所在平面)向外。ab边中点有一电子发射源O，可向磁场内沿垂直于ab边的方向发射电子。已知电子的比荷为k。则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为
A.kBl，kBl B.kBl，kBl
C.kBl，kBl D.kBl，kBl
√
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电子从a点射出时，其运动轨迹如图线①，轨
迹半径为ra=，由洛伦兹力提供向心力，有
evaB=m=k，解得va=；电子从d点
射出时，运动轨迹如图线②，由几何关系有=l2+(rd-)2，解得rd=，由洛伦兹力提供向心力，有evdB=m=k，解得vd=，选项B正确。
5.如图所示，在圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，ab是圆的直径。一带电粒子从a点垂直磁场射入，速度大小为v1、方向与ab成30°角时，恰好从b点飞出磁场，且粒子在磁场中运动的时间为t；若同一带电粒子从a点沿ab方向射入磁场，也经时间t飞出磁场，则其速度大小为
A.v1 B.v1
C.v1 D.v1
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画出两种情况下带电粒子的运动轨迹如图所示，由题
意，同一粒子在磁场中偏转时间均为t，则两种情况下
带电粒子的偏转角均为60°；设圆的半径为R，由几何
关系可以确定带电粒子在两种情况下做匀速圆周运动
的半径分别为r1=2R，r2=Rtan 60°=R，由洛伦兹力提供向心力有qvB=m，则v===，所以当粒子沿ab方向射入时，v2=v1，A、B、D错误，C正确。
6.如图所示，直线MN上方存在着垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，质量为m、电荷量为-q(q>0)的粒子1在纸面内以速度v1=v0从O点射入磁场，其方向与NM的夹角α=30°；质量为m、电荷量为+q的粒子2在纸面内以速度v2=v0也从O点射入磁场，其方向与MN的夹角β=60°。已知粒子1、2同时到达磁场MN边界上的A、B两点(图中未画出)，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。求：
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(1)两粒子在磁场边界上的穿出点A、B之间的距离d；
答案　
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粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，有qvB=m，则r=，得r1=，r2=
故d=OA+OB=2r1sin 30°+2r2sin 60°=。
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(2)两粒子进入磁场的时间间隔Δt。
答案　
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粒子1做匀速圆周运动的圆心角θ1=
粒子2做匀速圆周运动的圆心角θ2=
粒子做匀速圆周运动的周期T==
粒子1在匀强磁场中运动的时间t1=T
粒子2在匀强磁场中运动的时间t2=T
所以Δt=t1-t2=。
7.如图所示的扇形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，AO与OB垂直，圆弧的半径为R。一个质量为m、电荷量为q的带负电的粒子从圆心O点以大小为的速度射入磁场，结果粒子刚好从AB弧的中点C射出，不计粒子的重力，
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能力综合练
则下列说法正确的是
A.粒子在磁场中运动的时间为
B.粒子从O点射入速度与OB边的夹角为30°
C.只改变粒子射入磁场时速度的方向，使粒子从AC
　段圆弧射出，则粒子在磁场中运动时间变长
D.只改变粒子射入磁场时速度的方向，使粒子从CB段圆弧射出，则粒
　子在磁场中运动时间变短
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粒子在磁场中运动的半径r==R，则由几何关系可知，粒子在磁场中转过的角度为60°，运动的时间为t=T=T=，选项A正确；
由几何关系可知粒子从O点射入速度与OB边的夹角为75°，选项B错误；
只改变粒子射入磁场时速度的方向，使粒子从AC(CB)段圆弧射出，则粒子在磁场中转过的角度仍为60°，粒子在磁场中运动时间不变，选项C、D错误。
8.(多选)(2024·运城市高二期末)如图所示，在纸面内半径为R的圆形区域中充满了垂直于纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，一点电荷从图中A点以速度v0沿水平方向垂直磁场入射，速度方向与半径方向的夹角为30°，经磁场偏转后刚好能从C点(未画出)反向射出，不计点电荷的重力，下列说法正确的是
A.该点电荷离开磁场时速度方向的反向延长线通过O点
B.该点电荷在磁场中的运动时间为
C.该点电荷的比荷为
D.若磁场反向，则该点电荷在磁场中运动的时间为
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√
√
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由对称性，因点电荷射入磁场时初速度方向不是沿
半径方向，则该点电荷离开磁场时速度方向的反向
延长线也不会通过O点，选项A错误；
点电荷在磁场中的运动轨迹如图(a)所示，由几何
关系可知，该点电荷在磁场中的运动半径r=R，则运动时间为t==
，选项B正确；
根据qv0B=m=，选项C正确；
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若磁场反向，点电荷在磁场中的运动轨迹如图(b)，设点电荷在磁场中运动轨迹所对的圆心角为2θ，则由几何关系和正弦定理有=，解得tan θ=
<1=tan 45°，则2θ<，该点电荷在磁场中运动的时间t<，选项D错误。
9.在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图所示。一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿-x方向射入磁场，它恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿+y方向飞出。
(1)请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷；
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答案　负电荷　
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由粒子的运动轨迹(如图)，利用左手定则可知，该粒子带负电荷。粒子由A点射入，由C点飞出，其速度方向改变了90°，则粒子轨迹半径R=r，又qvB=m
=。
(2)若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B'，该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°，求磁感应强度B'的大小及此次粒子在磁场中运动所用时间t。
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答案　B　
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设粒子从D点飞出磁场，运动轨迹如图，速度方向改变了60°，故AD弧所对圆心角为60°，由几何知识可知，粒子做匀速圆周运动的半径R'==r，又R'=，所以B'=B，此次粒子在磁场中运动所用时间t=T=×=。
10.(2023·温州市高二期末)如图所示，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，O为圆心，A、C、D为圆形区域边界上的三点，∠AOC=90°，∠AOD=60°。现有一对质量相等、电荷量不等的正、负粒子，从A点沿AO方向以相同大小的速度垂直磁场射入，一个从C点离开磁场，另一个从D点离开磁场，粒子的重力及相互作用力均不计。求：
(1)从C点离开磁场的粒子的电性；
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答案　负电
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若粒子从C点离开磁场，其在A点受到的洛伦兹力必水平向左，根据左手定则可知，粒子带负电；
(2)从C点和D点离开磁场的两个粒子的电荷量之比；
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答案　
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设磁场圆的半径为R，带电粒子的运动轨迹如图所示
根据洛伦兹力提供向心力，有qvB=m，可得q=
由图可知rC=R
=tan 30°
所以==
(3)从C点和D点离开磁场的两个粒子在磁场中运动的时间之比。
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答案　
带电粒子在磁场中运动的时间为t=T，T==·=。
返回专题强化3　带电粒子在有界匀强磁场中的运动
[学习目标]　会分析带电粒子在直线边界、平行边界、圆形边界等有界匀强磁场中的运动。
一、单边直线边界
粒子进出磁场具有对称性，从某一直线边界射入的粒子，再从这一边界射出时，速度与边界的夹角相等，如图(a)、(b)、(c)所示，d为粒子进出磁场的位置相距的距离。
例1　(2023·宿迁市高二期末)如图所示，在边界PQ上方有垂直纸面向里的匀强磁场，一对比荷相同的正、负离子同时从边界上的O点沿与PQ成θ(θ<)角的方向以相同的速度v射入磁场中，不计离子重力及离子间的相互作用，则正、负离子 (　　)
A.在磁场中的运动时间相同
B.在磁场中运动的位移相同
C.出边界时两者的速度相同
D.正离子出边界点到O点的距离更大
二、平行边界
如图所示，带电粒子以不同速度进入双边平行直线边界且垂直纸面向里的匀强磁场，其运动轨迹可能不同，可能从同一侧离开磁场，也可能从另一侧离开磁场，往往存在临界条件。
例2　(2024·长治市高二期末)如图，在(0≤x≤L)区域内存在匀强磁场，方向垂直于纸面向外。一带电荷量为+q、质量为m的粒子从y轴上P点，以速率v沿x轴的正方向射入磁场，从磁场右边界上某点离开磁场，并经过x轴上的Q(2L，0)点，此时速度方向与x轴正方向的夹角为45°。不计粒子的重力，求粒子穿过磁场右边界时的纵坐标值和磁场磁感应强度的大小。
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三、圆形边界
1.粒子进出磁场具有对称性
在圆形磁场区域内，沿半径方向射入的粒子，必沿半径方向射出，如图甲所示。
2.在圆形磁场区域内，不沿半径方向射入的粒子，入射速度方向与半径的夹角为θ，出射速度方向与半径的夹角也为θ，如图乙所示。
例3　(多选)(2024·汕头市金山中学高二期末)两个比荷相等的带电粒子a、b，以不同的速率va、vb对准圆心O沿着AO方向射入垂直纸面向里的圆形匀强磁场区域，两粒子射出磁场时的速度偏转角分别为120°、60°，其运动轨迹如图所示。不计粒子的重力，则下列说法正确的是 (　　)
A.a粒子带正电，b粒子带负电
B.粒子射入磁场中的速率va∶vb=1∶3
C.粒子在磁场中的运动时间ta∶tb=2∶1
D.若将磁感应强度变为原来的，其他条件不变，a粒子在磁场中运动的时间将变为原来的
例4　(2024·运城市高二期末)如图所示，ACD为一半圆形区域，其中O为圆心，AD为直径，∠AOC=90°，半圆形区域内存在着垂直该平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一带电粒子(不计重力)从圆弧的P点以速度v沿平行于直径AD方向射入磁场，运动一段时间从C点离开磁场时，速度方向偏转了60°，设P点到AD的距离为d。下列说法中正确的是 (　　)
A.该粒子带正电
B.该粒子的比荷为
C.该粒子在磁场中运动时间为
D.直径AD长度为4d
四、多边形边界或三角形边界
例5　如图所示，正六边形abcdef区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场。一带电粒子从a点沿ad方向射入磁场，粒子从b点离开磁场，在磁场中的运动时间为t1；如果只改变粒子射入磁场的速度大小，粒子从c点离开磁场，在磁场中的运动时间为t2。不计粒子重力，则t1与t2之比为 (　　)
A.1∶2 B.2∶1
C.1∶3 D.3∶1
多边形边界磁场对带电粒子的运动限制较多，但可以根据出射点的位置把磁场看成直线边界或三角形边界，如本题中带电粒子从b、c点离开磁场，就可以看成是直线边界磁场问题，根据直线边界磁场中粒子射入磁场和射出磁场的对称性，很容易就能得出粒子运动轨迹所对应的圆心角。
答案精析
一、
2R　2Rsin θ　2Rsin θ
例1　C　[两离子在磁场中运动周期为T=，则知两个离子做匀速圆周运动的周期相等。根据左手定则分析可知，正离子逆时针偏转，负离子顺时针偏转，作出两离子的运动轨迹，如图所示，两离子重新回到边界时，正离子的速度偏向角为2π-2θ，轨迹的圆心角也为2π-2θ，运动时间t1=T，同理，负离子运动时间t2=T，正、负离子在磁场中的运动时间不相等，故A错误；根据洛伦兹力提供向心力，则有qvB=，得r=，由题意可知r相同，根据几何知识可得，重新回到边界的位置与O点距离s=2rsin θ，r、θ相同，则s相同，故两离子在磁场中运动的位移大小相同，方向不同，故B、D错误；两离子在磁场中均做匀速圆周运动，速度沿轨迹的切线方向，根据圆的对称性可知，重新回到边界时速度大小与方向相同，故C正确。
]
二、
Rsin θ　(R1-d)2+L2　2R2
R+Rcos θ　x2+(R-d)2
d+Rcos θ
例2　L　
解析　粒子运动轨迹如图所示。
设粒子在磁场中的运动半径为r，粒子穿过磁场右边界时的纵坐标值为y，根据几何关系有
y=(2L-L)tan 45°=L
r==L
根据洛伦兹力提供向心力有qvB=m
解得磁场磁感应强度的大小为B=。
三、
例3　BC　[根据左手定则，b粒子向上偏转，带正电，a粒子向下偏转，带负电，故A错误；设a、b粒子运动轨迹的圆心分别为Oa、Ob，如图所示，根据洛伦兹力提供向心力，有qvB=m，解得r=，设粒子的圆周运动半径分别为ra、rb，圆形磁场区域半径为R，根据几何关系有ra=Rtan 30°，rb=，可得粒子射入磁场中的速率之比为===，故B正确；根据T=可知两粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期相等。由题知两粒子在磁场中的运动轨迹所对应的圆心角分别为120°和60°，则可得粒子在磁场中的运动时间之比为==，故C正确；将磁感应强度变为原来的，其他条件不变，可得此时a粒子的运动半径变为R，由几何知识可得，a粒子在磁场中运动轨迹对应的圆心角为90°，由于a粒子做匀速圆周运动的周期变为T'=T，则a粒子在磁场中运动的时间将变为ta'=T'=T，可得==，故D错误。
]
例4　D　[由左手定则可判断，粒子带负电；过P点和C点作速度方向的垂线，交点即为轨迹圆圆心O'。如图，由几何关系可知，OCO'P为菱形，∠COP=∠CO'P=60°，=2d==r，洛伦兹力提供向心力qvB=m，联立解得=；粒子在磁场中运动时间为t==×==×=；直径AD的长度等于磁场区域半径的2倍，即4d，故选D。
]
例5　B　[根据周期公式T=可知，只改变速度大小，粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期相同。粒子两次运动轨迹如图所示，粒子进入磁场时速度方向与ab方向的夹角为60°，与ac方向的夹角为30°。由几何知识知，当粒子从a点进入磁场，从b点离开磁场时，速度偏转角为θ1=2×60°=120°，所以轨迹所对应的圆心角为120°，可得粒子在磁场中的运动时间为t1=T=；同理，当粒子从a点进入磁场，从c点离开磁场时，速度偏转角为θ2=2×30°=60°，所以轨迹所对应的圆心角为60°，可得粒子在磁场中的运动时间为t2=T=，因此t1∶t2=2∶1，选项B正确。
]

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