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第3节　两个三角形的关系
第1讲　全等三角形
(6年8考,2~6分)
　　全等三角形主要考查全等三角形的性质、判定以及相关的计算,其中全等三角形的判定方法是河北省中考的必考内容.河北省中考很少单独考查这个知识点,多出现在解答题的某一小问中,或者在解题过程中需要应用全等知识.预计2025年仍将延续这一特点,是必须且重点需要掌握的内容.
回归教材·过基础——河北中考核心考点梳理
【知识体系】
【考点清单】
考点1全等三角形的概念及性质　(常考点)
概念 能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形
全等三角形的性质 1.全等三角形的对应边①　　　　,对应角②　　　　. 2.全等三角形的周长相等,面积相等. 3.全等三角形对应的角平分线、中线、高都③　　　　
考点2全等三角形的判定　(常考点)
一般三角形全等SSS(三边对应相等) ④　　　　(两边和它们的夹角对应相等) ASA(两角和它们的夹边对应相等) ⑤　　　　(两角和其中一个角的对边对应相等)
直角三角形全等 (1)斜边和一条直角边对应相等(HL). (2)证明两个直角三角形全等同样可以用SSS,SAS,ASA和AAS
【温馨提示】判定一般三角形全等,无论用哪种方法,都要有三组元素对应相等,且其中最少要有一组对应边相等
【基础演练】
1.(北师七下P83第1题变式)如图,∠A=∠D=90°,AC=DB,则△ABC≌△DCB的依据是 (　　)
A.HL B.ASA
C.AAS D.SAS
2.如图,AC⊥BE,DE⊥BE,若△ABC≌△BDE,AC=5,DE=2,则CE的长为 (　　)
A.2.5 B.3 C.3.5 D.4
3.(人教八上P35第5题变式)如图,已知AB=AD,AC=AE,要得到△ABC≌△ADE,不能添加的条件是 (　　)
A.BC=DE
B.∠BAC=∠DAE
C.∠BAD=∠CAE
D.∠B=∠D
真题精粹·重变式——河北6年真题精选及拓展
考向全等三角形的性质和判定　(6年8考)
1.(2023·河北13题2分)在△ABC和△A'B'C'中,∠B=∠B'=30°,AB=A'B'=6,AC=A'C'=4,已知∠C=n°,则∠C'= (　　)
A.30°
B.n°
C.n°或180°-n°
D.30°或150°
2.如图,D是△ABC外一点,连接BD,AD,AD与BC交于点O.有下列三个等式:①BC=AD;②∠ABC=∠BAD;③AC=BD.请从这三个等式中,任选两个作为已知条件,剩下的一个作为结论,组成一个真命题,将你选择的等式或等式的序号填在下面对应的横线上,然后对该真命题进行证明.
已知:　　　　　　　　 ,　　　　　　　. 求证:　　　　　　　　 .
核心突破·拓思维——学科核心素养提升
题型　全等三角形的性质和判定
(2020·河北26题改编)如图1和图2,在△ABC中,AB=AC=6,BC=8.点P从点A出发沿AB→BC匀速移动,到达点C时停止;而点Q在AC边上随点P移动,且始终保持∠APQ=∠ABC,设点P移动的路程为x.
(1)若点P在BC边上,当x=　　　　时,点P与点A的距离最短.
(2)如图3,点P在AB边上时,若PQ经过△ABC的两条角平分线BM与CM的交点M,求四边形PQCB的周长(用含x的式子表示).
(3)点P在BC边上时,在点P的运动过程中,能否使得△ABP≌△PCQ 如果能,直接写出x的值,并给予证明;如果不能,请说明理由.
图1
图2
图3
　　河北省适当控制几何证明题的难度,证明全等三角形往往作为几何综合解答题的第一小题,后面的1~2个小题以推理计算为主,解题过程中用到全等三角形的性质.作为起步问题,较为简单,容易上手,但分值与后面的每个小题相当,是很好的得分题.
一线三等角全等模型
模型分析
1.两个三角形在直线同侧,点P在线段AB上.
　 已知:∠1=∠2=∠3,AP=BD.结论.△CAP≌△PBD.
　　2.两个三角形在直线异侧,点P在AB(或BA)的延长线上.
　 已知:∠1=∠2=∠3,CP=PD.结论.△CAP≌△PBD.
　　　　判定两个三角形全等的解题思路
如图1,在△ABC和△DBE中,BC=BE=6,∠A=∠BDE=60°,DE边交BC边于点F,且∠ABD=∠CBE.
(1)求证:△ABC≌△DBE.
(2)如图2,当点D恰好落在AC边上时,若∠DBF=15°,求CD的长.
　　(1)由题目中的条件能够看出,△DBE可以看作由△ABC绕点B旋转得到.初中阶段所学的平移、旋转(包括中心对称)、轴对称都是全等变换.
(2)在解决与三角形有关的计算题时,常添加高线,利用高的性质解题,或者由此把一个三角形分割为两个直角三角形解题.所添加的高,应尽量不要破坏原题中的条件,使条件的特征和价值更加明显.
参考答案
考点清单
①相等　②相等　③相等　④SAS　⑤AAS
基础演练
1.A　2.B　3.D
真题精粹·重变式
1.C　
2.答案不唯一.已知①,②,求证③.
证明:∵BC=AD,∠ABC=∠BAD.
又∵AB=BA,
∴△ABC≌△BAD,
∴AC=BD.
核心突破·拓思维
例
(1)10.
提示:若点P在BC上,当AP⊥BC时,点P与点A的距离最短,如图所示.
∵AB=AC,
∴BP=BC=4,
∴x=AB+BP=6+4=10.
(2)∵∠APQ=∠ABC,
∴PQ∥BC,
∴∠PMB=∠MBC,∠AQP=∠ACB.
∵∠PBM=∠MBC,
∴∠PMB=∠PBM,
∴PM=PB=6-x.
同理,QC=QM.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∴∠APQ=∠AQP,
∴AP=AQ.
∴AB-AP=AC-AQ,
即PB=QC=QM=6-x.
∴四边形PQCB的周长=4PB+BC=4(6-x)+8=-4x+32.
(3)能.
当x=8时,△ABP≌△PCQ.
证明:∵AB=6,
∴BP=x-AB=8-6=2,PC=BC-BP=8-2=6,
∴AB=PC.
∵∠APC=∠ABC+∠BAP=∠APQ+∠CPQ,∠APQ=∠ABC,
∴∠BAP=∠CPQ.
又∵∠ABC=∠ACB,
∴△ABP≌△PCQ(ASA).
变式训练
(1)证明:∵∠ABD=∠CBE,
∴∠ABD+∠DBC=∠CBE+∠DBC,
即∠ABC=∠DBE.
∵∠A=∠BDE=60°,BC=BE=6,
在△ABC与△DBE中,
∴△ABC≌△DBE(AAS).
(2)∵△ABC≌△DBE,
∴AB=DB.
∵∠A=60°,
∴△ABD是等边三角形,
∴∠ABD=∠ADB=60°,AB=AD.
∵∠DBF=15°,∠ADB=∠DCB+∠DBF,
∴∠DCB=45°.
如图,过点B作BM⊥AC于点M,
∴∠CBM=∠MCB=45°.
∵BC=6,
∴MB=MC=6.
∵∠A=60°,
∴AM=2,AB=4,
∴CD=AC-AD=AM+CM-AD=2+6-4=6-2.

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