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第2节　三角形与特殊三角形
第1讲　三角形的基本性质
(6年10考,2~4分)
　　三角形是其他图形的基础,是河北省每年必考的内容.一是以简单的计算为主,多在选择题、填空题中进行考查,二是在题目中作为情境或铺垫性内容进行考查,是解决后续问题的基础,尤其是内角和定理及其推论是求角度的关键知识.预计2025年仍将延续这一特点.因此,必须在熟练掌握的基础上灵活运用.
回归教材·过基础——河北中考核心考点梳理
【知识体系】
【考点清单】
考点1三角形的分类及边、角关系　(常考点)
三角形的分类 (1)按角的关系分类 三角形 (2)按边的关系分类 三角形
三边关系 三角形任意两边之和①　　　　第三边,任意两边之差②　　　　第三边
角的关系 1.内角和定理:三角形的内角和等于③　　　　;推论:直角三角形的两锐角④　　　　. 2.外角的性质: (1)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. (2)三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角
考点2三角形中的重要线段　(常考点)
角平分线1.角平线上的点到角两边的距离相等. 2.三个内角的三条角平分线相交于一点,这个点叫作三角形的内心,内心到三角形三边的距离⑤　　　　
中线1.将三角形的面积等分. 2.三角形三条中线的交点叫作三角形的重心
高1.锐角三角形的三条高相交于三角形内部;直角三角形的三条高相交于直角顶点;钝角三角形的三条高相交于三角形的⑥　　　　. 2.三角形的三条高所在直线的交点叫作三角形的垂心
中位线三角形的中位线平行于第三边,且⑦　　　　第三边的一半
【基础演练】
1.(人教八上P4第2题变式)若一个三角形的两边长分别为3 cm、7 cm,则它的第三边的长可能是 (　　)
A.2 cm B.3 cm
C.8 cm D.11 cm
2.下列说法正确的是 (　　)
A.三角形的高所在的直线交于一点,这一点不在三角形内就在三角形外
B.三角形的角平分线是射线
C.三角形的三条中线交于一点
D.三角形的一条角平分线能把三角形分成两个面积相等的三角形
3.将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起,则∠α的度数是 (　　)
A.165° B.120° C.150° D.135°
真题精粹·重变式——河北6年真题精选及拓展
考向1三角形的稳定性　
1.(2018·河北1题3分)下列图形具有稳定性的是 (　　)
考向2三角形的内角与外角　(6年5考)
2.(2021·河北13题2分)定理:
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
已知:如图,∠ACD是△ABC的外角.求证:∠ACD=∠A+∠B.
　　证法1:∵∠A+∠B+∠ACB=180°(三角形内角和定理),
又∵∠ACD+∠ACB=180°(平角定义),
∴∠ACD+∠ACB=∠A+∠B+∠ACB(等量代换),
∴∠ACD=∠A+∠B(等式性质).
证法2:∵∠A=76°,∠B=59°,
且∠ACD=135°(量角器测量所得).
又∵135°=76°+59°(计算所得),
∴∠ACD=∠A+∠B(等量代换).
下列说法正确的是 (　　)
A.证法1还需证明其他形状的三角形,该定理的证明才完整
B.证法1用严谨的推理证明了该定理
C.证法2用特殊到一般法证明了该定理
D.证法2只要测量一百个三角形进行验证,就能证明该定理
3.(2021·河北18题4分)如图,这是可调躺椅示意图,AE与BD的交点为C,且∠A,∠B,∠E保持不变.为了舒适,需调整∠D的大小,使∠EFD=110°,则图中∠D应　　　　(填“增加”或“减少”)　　　　度.
4.变考法——求两点间的距离 如图,这是可调躺椅示意图(数据如图),AE与BD的交点为C,且∠A,∠B保持不变.为了舒适,需调整∠E和∠D的大小,若在图中标记的角度状态下,椅座DF的长为40 cm,椅背EF的长为80 cm,则点D和点E之间的距离为　　　　　　cm.
考向3三角形的三边关系　(6年2考)
5.(2022·河北13题2分)平面内,将长分别为
1,5,1,1,d的线段,顺次首尾相接组成凸五边形(如图),则d可能是 (　　)
A.1 B.2
C.7 D.8
6.(2021·河北12题3分)如图,直线l,m相交于点O.P为这两直线外一点,且OP=2.8.若点P关于直线l,m的对称点分别是点P1,P2,则P1,P2之间的距离可能是 (　　)
A.0 B.5
C.6 D.7
7.变设问——结合三边关系求中位线 如图,直线l,m相交于点O,P为这两直线外一点,且OP=2.8.若点P关于直线l,m的对称点分别是点P1,P2,PP1交直线l于点A,PP2交直线m于点B,则A,B之间的距离可能是 (　　) A.0 B.1.8 C.3 D.3.5
考向4三角形中的重要线段　(6年3考)
8.(2022·河北2题3分)如图,将△ABC折叠,使AC边落在AB边上,展开后得到折痕l,则l是△ABC的 (　　)
A.中线
B.中位线
C.高线
D.角平分线
核心突破·拓思维——学科核心素养提升
题型1　三角形的三边关系
(2024·邯郸二模)老师布置了一份家庭作业:用三根小木棍首尾相连拼出一个三角形,三根小木棍的长度分别为5 cm,9 cm,10.5 cm,并且只能对10.5 cm的小木棍进行裁切(裁切后,参与拼图的小木棍的长度为整数).同学们最多能拼出不同的三角形的个数为 (　　)
A.4 B.5 C.6 D.7
　　三角形的三边关系处理策略
题型2　三角形的内角和定理及其推论
一副三角板按如图所示的方式放置,则∠1+∠2的度数为 (　　)
A.30°
B.45°
C.60°
D.75°
　　不论∠BEC与∠A的大小如何变化,根据三角形外角的性质,总能得到∠BEC=∠1+∠2+∠A.
参考答案
考点清单
①大于　②小于　③180°　④互余
⑤相等　⑥外部　⑦等于
基础演练
1.C　2.C　3.A
真题精粹·重变式
1.A　2.B
3.减小　10　4.40　
5.C　6.B　7.B　8.D
核心突破·拓思维
例1　C　
提示:设从10.5 cm的小木棍上裁剪的线段长度为x cm,
则9-5由题意可知x≤10.5,∴4∴x的值为5 cm,6 cm,7 cm,8 cm,9 cm,10 cm,
∴同学们最多能拼出6个不同的三角形,故选C.
例2　B　
提示:如图,延长BE交AC于点D.
∵∠BEC是△CDE的外角,
∴∠2+∠CDE=∠BEC=90°.
同理,∠1+∠A=∠CDE,
∴∠2+∠1+∠A=90°,
∴∠1+∠2=45°,故选B.

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