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第2节　代数式与整式
(每年3~5题,7~19分)
　　整式是河北省中考的必考内容,在各种题型中均有体现,难度通常较小,属于“送分题”.最近几年整式的分值呈总体上升态势.考查的重点是灵活运用幂的运算性质、多项式的运算法则与乘法公式进行计算、求值或探索算式规律,强调基本算理算法和各种运算之间的关系.预测2025年中考对整式的考查:在选择填空题中,知识点相对单一;在解答题中,则有可能与几何图形、方程、概率等不同领域知识综合,特别是利用整式运算进行代数推理的问题.
回归教材·过基础——河北中考核心考点梳理
【知识体系】
【考点清单】
考点1代数式　(常考点)
定义用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的①　　　　连接而成的式子,单独的一个数或一个字母也是代数式
求代数式的值用具体数值代替代数式中的字母,计算得出的结果,叫作求代数式的值
代数式的书写1.若数字因式是带分数,要化成假分数. 2.式子中出现除法时,要写成分数的形式. 3.列出的代数式若含有加号、减号且有单位时,必须将代数式用括号括起来再加单位
考点2整式的有关概念
单项式表示数字与字母积的代数式,单独的一个数或一个字母也叫单项式.其中的数字因数叫作单项式的系数,所有字母的指数②　　　　叫作单项式的次数
多项式几个单项式的和.多项式中的每一项叫作多项式的项,次数最高的项的次数叫作多项式的次数
整式单项式和多项式统称为整式
同类项所含字母相同并且相同字母的③　　　　也相同的项叫作同类项,所有的常数项都是同类项
考点3整式的运算　(常考点)
整式的加减运算1.合并同类项法则:同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母的指数不变. 2.去括号法则:若括号外是“+”,则括号里的各项都不变号;若括号外是“-”,则括号里的各项都④　　　　. 3.整式的加减运算法则:先去括号,再合并同类项
幂运算法则 1.同底数幂的乘法:am·an=⑤　　　　. 2.同底数幂的除法:am÷an=⑥　　　　(a≠0). 3.幂的乘方:(am)n=⑦　　　　. 4.积的乘方:(ab)n=⑧　　　　 m,n都是整数
整式的乘除运算 1.单项式×单项式:把它们的系数、同底数幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式. 2.单项式×多项式:m(a+b+c)=⑨　　　　. 3.多项式×多项式:(m+n)(a+b)=⑩　　　　. 4.单项式÷单项式:把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式. 5.多项式÷单项式:(am+bm+cm)÷m=　　　　
6.乘法公式 平方差公式:(a+b)(a-b)=　　　　
完全平方公式:(a±b)2=　　　　
混合运算 应先算乘除,后算加减,若为化简求值,一般步骤为化简、代入替换、计算
考点4因式分解
定义把一个多项式化成几个整式的积的形式
常用方法1.提公因式法:　　　　=m(a+b+c). 2.公式法:a2-b2=(a+b)(a-b), a2±2ab+b2=(a±b)2. 3.十字相乘法:x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
常用变形公式a2+b2 =　　　　. a2+b2=　　　　
一般步骤1.若有公因式,必先提公因式. 2.提公因式后,看是否能用公式法分解. 3.检查各因式能否继续分解
【基础演练】
1.(冀教七上P111第2题变式)已知a=-2,b=1,c=-1,下列各式最小的是 (　　)
A.a+b+c B.a+b-c
C.a-b+c D.a-b-c
2.下列说法中正确的是 (　　)
A.2不是单项式
B.-的系数是-
C.3πr2的次数是3
D.多项式5a2-6ab+12的次数是4
3.计算(-am)n得a6,则m与n的值可以是 (　　)
A.m=2,n=3 B.m=2,n=4
C.m=3,n=2 D.m=3,n=3
4.下列计算正确的是 (　　)
A.m+m=m2
B.(-3x)2=6x2
C.(m+2n)2=m2+4n2
D.(m+3)(m-3)=m2-9
5.(冀教七下P149习题第3题(3)变式)因式分解:3x2-12=　　　　.
真题精粹·重变式——河北6年真题精选及拓展
考向1代数式　(6年5考)
1.(2023·河北1题3分)代数式-7x的意义可以是 (　　)
A.-7与x的和 B.-7与x的差
C.-7与x的积 D.-7与x的商
2.(2024·河北9题3分)若x和y互为倒数,则x+2y-的值是 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
3.(2024·河北18题4分)如图,约定:上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数.
示例:,即4+3=7.
则(1)用含x的式子表示m=　　　　.
(2)当y=-2时,n的值为　　　　.
4.(2023·河北18题4分)根据表中的数据,写出a的值为　　　　,b的值为　　　　.
x结果代数式 2 n
3x+1 7 b
a 1
5.(2023·河北20题8分)某书店新进了一批图书,甲、乙两种书的进价分别为4元/本、10元/本.现购进m本甲种书和n本乙种书,共付款Q元.
(1)用含m,n的代数式表示Q.
(2)若共购进5×104本甲种书及3×103本乙种书,用科学记数法表示Q的值.
考向2整式的运算　(6年13考)
6.(2024·河北1题3分)计算a3÷a得a ,则“ ”是 (　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
7.(2024·河北2题3分)下列运算正确的是 (　　)
A.a7-a3=a4 B.3a2·2a2=6a2
C.(-2a)3=-8a3 D.a4÷a4=a
8.(2023·河北2题3分)不一定相等的一组是 (　　)
A.a+b与b+a B.3a与a+a+a
C.a3与a·a·a D.3(a+b)与3a+b
9.(2023·河北2题3分)墨迹覆盖了等式“x3x=x2(x≠0)”中的运算符号,则被覆盖的是 (　　)
A.+ B.- C.× D.÷
10.(2024·河北6题3分)小明总结了以下结论:
①a(b+c)=ab+ac;
②a(b-c)=ab-ac;
③(b-c)÷a=b÷a-c÷a(a≠0);
④a÷(b+c)=a÷b+a÷c(a≠0).
其中一定成立的个数是 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
11.(2024·河北8题2分)若a,b是正整数,且满足=,则a与b的关系正确的是 (　　)
A.a+3=8b B.3a=8b
C.a+3=b8 D.3a=8+b
12.(2023·河北9题3分)若=8×10×12,则k= (　　)
A.12 B.10 C.8 D.6
13.变设问——求最大值 若=n2 ,m,n都为正整数,则n的最大值为 (　　) A.2　　　B.3　　　C.6　　　D.8
14.(2023·河北11题2分)若k为正整数,则()k= (　　)
A.k2k B.k2k+1
C.2kk D.k2+k
15.变考法——融入同类项求和 若a为正整数,则()2+()2=(　　) A.a2a B.2aa C.a2+a D.2a2a
16.变设问——求最小值 若=3m (k>1,k,m都为正整数),则m的最小值为 (　　) A.3 B.4 C.6 D.9
17.(2024·河北17题3分)若7-2×7-1×70=7p,则p的值为　　　　.
18.(2023·河北21题9分)现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张,卡片的边长如图1所示(a>1).某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙),如图2和图3所示,其面积分别为S1,S2.
图1
图2
图3
(1)请用含a的式子分别表示S1,S2,当a=2时,求S1+S2的值.
(2)比较S1与S2的大小,并说明理由.
19.(2023·河北21题8分)有一电脑程序:每按一次按键,屏幕的A区就会自动加上a2,同时B区就会自动减去3a,且均显示化简后的结果.已知A,B两区初始显示的分别是25和-16,如图所示.
如,第一次按键后,A,B两区分别显示如下:
(1)从初始状态按2次后,分别求A,B两区显示的结果.
(2)从初始状态按4次后,计算A,B两区代数式的和,请判断这个和能为负数吗 说明理由.
20.(2024·河北21题9分)已知整式A=(n2-1)2+(2n)2,整式B>0.
尝试:化简整式A.
发现:A=B2,求整式B.
联想:由上可知,B2=(n2-1)2+(2n)2,当n>1时,n2-1,2n,B为直角三角形的三边长如图所示.填写下表中B的值:
直角三角形的三边n2-12nB
勾股数组Ⅰ8　　　　
勾股数组Ⅱ35　　　　
考向3因式分解　(6年2考)
21.(2023·河北3题3分)对于①x-3xy=x(1-3y),②(x+3)·(x-1)=x2+2x-3,从左到右的变形,表述正确的是 (　　)
A.都是因式分解
B.都是乘法运算
C.①是因式分解,②是乘法运算
D.①是乘法运算,②是因式分解
22.(2023·河北6题3分)若k为任意整数,则(2k+3)2-4k2的值总能 (　　)
A.被2整除
B.被3整除
C.被5整除
D.被7整除
考向4乘法公式的几何意义　(6年1考)
23.(2023·河北17题4分)现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片(边长如图所示).
(1)取甲、乙纸片各1块,其面积和为　　　　.
(2)嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形,先取甲纸片1块,再取乙纸片4块,还需取丙纸片　　　　块.
考向5代数推理　(6年2考)
24.(2024·河北15题2分)“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法,可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算.淇淇受其启发,设计了如图1所示的“表格算法”,图1表示132×23,运算结果为3 036.图2表示一个三位数与一个两位数相乘,表格中部分数据被墨迹覆盖,根据图2中现有数据进行推断,下列选项正确的是 (　　)
A.“20”左边的数是16
B.“20”右边的“□”表示5
C.运算结果小于6 000
D.运算结果可以表示为4 100a+1 025
25.(2024·河北22题9分)发现　两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数,且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和.
验证　如(2+1)2+(2-1)2=10为偶数,请把10的一半表示为两个正整数的平方和.
探究　设“发现”中的两个已知正整数为m,n,请论证“发现”中的结论是正确的.
26.改变两数间的探究关系 发现　两个连续偶数的平方差,一定是偶数,且这个偶数等于这两个偶数之间的奇数的四倍,例如:42-22=12,则42-22可以表示为哪一个奇数的四倍 验证　若两个连续偶数的平方差刚好是9的四倍,求这两个偶数. 探究　n表示两个连续偶数中较小的数,用含n的等式表示“发现”中的结论,并证明.
核心突破·拓思维——学科核心素养提升
题型1　代数推理问题
(2024·邯郸模拟)发现　任意两个连续偶数的平方和是4的奇数倍.
验证　(1)22+42的结果是4的几倍
(2)设两个连续偶数较小的一个为2n(n为整数),请论证“发现”中的结论.
拓展　任意三个连续偶数的平方和是4的倍数吗 　　　　(填“是”或“不是”).
(2024·石家庄一模)【发现】两个正整数之和与这两个正整数之差的平方差一定是4的倍数.
【验证】(2+1)2-(2-1)2=　　　　.
【证明】设两个正整数为m,n,请验证“【发现】”中的结论正确.
【拓展】已知(x+y)2=100,xy=24,求(x-y)2的值.
　　不同于其他省市中考试题从多个算式或图形中总结规律的命题思路,河北省中考试卷上会直接给出结论,然后通过特例验证和推理证明确认结论的正确性,是落实《义务教育数学课程标准(2024年版)》中加强代数推理要求的具体表现.
审题:分析题设和结论及关系
↓
验证:代入具体数值进行运算
↓
证明:借助整式运算完成推理
↓
拓展:把所得结论进行迁移、延伸、推广
【验证】三种方法
↓
(1)按照有理数混合运算顺序,直接计算
↓
(2)利用乘法公式中的完全平方公式计算
↓
(3)利用因式分解中的平方差公式计算
【证明】
↓
类比【验证】的后两种方法证明
【拓展】三个步骤
↓
(1)把x与y分别看作【证明】中的m,n
↓
(2)利用所得结论写出(x+y)2,xy,(x-y)2之间的关系式
↓
(3)直接代入求解
题型2　图形中的整式问题
嘉嘉和琪琪玩纸片拼图游戏,他们利用图1中的三种类型的纸片可以拼出一些图形来解释某些等式.例如:由图2,我们可以得到(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2.
(1)用1张边长为a的正方形卡片,6张边长分别为a,b的长方形卡片,9张边长为b的正方形卡片,拼成一个正方形,则这个正方形的边长为　　　　.
(2)琪琪用5个长为b,宽为a的长方形按照如图3所示的方式不重叠地放在大长方形ABCD内;大长方形中未被覆盖的两个部分,设左上角的面积为S1,右下角的面积为S2,当BC的长变化时,S2-S1的值始终保持不变,求a与b的数量关系.
　　通过规则几何图形(常见的是正方形或矩形)的面积,形象直观地反映整式乘法运算的结果,体现了数形结合思想.河北省从这个角度命题,通常要求根据图形结构,利用含有边长字母的代数式表示面积,然后对代数式进行运算或比较大小.
参考答案
考点清单
①字母　②和　③指数　④变号　⑤am+n　⑥am-n
⑦amn　⑧anbn　⑨ma+mb+mc　⑩ma+mb+na+nb
a+b+c　a2-b2　a2±2ab+b2　ma+mb+mc
(a+b)2 -2ab　(a-b)2+2ab
基础演练
1.C　2.B　3.C　4.D
5.3(x+2)(x-2)
真题精粹·重变式
1.C　2.B
3.(1)3x　(2)1　4.　-2
5.(1)由题意可得Q=4m+10n.
(2)将m=5×104,n=3×103代入(1)式得
Q=4×5×104+10×3×103=2.3×105.
6.C　7.C　8.D　9.D　10.C　11.A
12.B　提示:∵
=
=,
∴=8×10×12,解得k=10,
经检验,k=10是该方程的根.故选B.
13.C　14.A　15.D　16.B
17.-3
18.(1)由图可知S1=(a+2)(a+1)=a2+3a+2,S2=(5a+1)×1=5a+1,
当a=2时,S1+S2=4+6+2+10+1=23.
(2)S1>S2.
理由:∵S1-S2=a2+3a+2-5a-1=a2-2a+1=(a-1)2,且a>1,∴(a-1)2>0,∴S1>S2.
19.(1)A区:25+a2+a2=25+2a2.
B区:-16-3a-3a=-16-6a.
(2)(25+4a2)+(-16-4×3a)=25+4a2-16-12a=4a2-12a+9.
这个和不能为负数,理由如下:
∵4a2-12a+9=(2a-3)2≥0,
∴这个和不能为负数.
20.尝试:A=(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1.
发现:A=n4+2n2+1=(n2+1)2.
∵A=B2,B>0,∴B=n2+1.
联想:17;37.
提示:当2n=8时,n=4,∴n2+1=42+1=17;
当n2-1=35时,n2+1=37.
21.C　22.B
23.(1)a2+b2　(2)4
提示:(1)由图可知,一块甲纸片的面积为a2,一块乙纸片的面积为b2,一块丙纸片的面积为ab,∴取甲、乙纸片各1块,其面积和为a2+b2.
(2)设取丙种纸片x块才能用它们拼成一个新的正方形,∴a2+4b2+xab是一个完全平方式,∴x为4.
24.D　提示:如图1,设一个三位数与一个两位数分别为100x+10y+z和10m+n,
则由题意得mz=20,nz=5,ny=2,nx=a,
∴=4,即m=4n,
∴当n=2,y=1时,z=2.5不是正整数,不符合题意,故舍去;
当n=1,y=2时,m=4,z=5,x=a,如图2所示:
∴对于选项A,“20”左边的数是2×4=8,故本选项不符合题意;
对于选项B,“20”右边的“□”表示4,故本选项不符合题意;
∴a上面的数应为4a,如图3所示:
∴运算结果可以表示为1 000(4a+1)+100a+25=4 100a+1 025,
故D选项符合题意;
当a=2时,计算的结果大于6 000,
故C选项不符合题意.
故选D.
25.验证　10的一半是5,5=22+12.
探究　结论正确.理由如下:
(m+n)2+(m-n)2=m2+2mn+n2+m2-2mn+n2=2m2+2n2=2(m2+n2),
故两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数,且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和.
26.发现　42-22=12=4×3,
∴42-22可以表示为3的四倍.
验证　设a为较小的偶数,
∵9的四倍是36,∴(a+2)2-a2=36,
解得a=8,∴a+2=10,
∴这两个连续偶数为8和10.
探究　(n+2)2-n2=4(n+1).
证明:左边=(n+2)2-n2=n2+4n+4-n2=4n+4=4(n+1)=右边,∴(n+2)2-n2=4(n+1).
核心突破·拓思维
例1
验证　(1)∵22+42=4+16=20,
20÷4=5,
∴22+42的结果是4的5倍.
(2)设两个连续偶数较小的一个为2n(n为整数),则较大的偶数为2n+2,则它们的平方和为(2n)2+(2n+2)2
=4n2+4n2+8n+4
=8n2+8n+4,
(8n2+8n+4)÷4=2(n2+n)+1.
∵n为整数,
∴2(n2+n)为偶数,
∴2(n2+n)+1为奇数,
即任意两个连续偶数的平方和是4的奇数倍.
拓展　设三个连续偶数较小的一个为2n(n为整数),则中间的偶数为2n+2,最大的偶数为2n+4,则它们的平方和为(2n)2+(2n+2)2+(2n+4)2
=4n2+4n2+8n+4+4n2+16n+16
=12n2+24n+20
=4(3n2+6n+5),
∴任意三个连续偶数的平方和是4的倍数.
故答案为是.
变式训练
【验证】(2+1)2-(2-1)2
=32-12
=8
=4×2.
故答案为4×2.
【证明】∵(m+n)2-(m-n)2
=[(m+n)+(m-n)]·[(m+n)-(m-n)]
=2m×2n
=4mn.
∵m,n是正整数,
∴(m+n)2-(m-n)2是4的倍数,
即两个正整数之和与这两个正整数之差的平方差一定是4的倍数.
【拓展】根据【证明】得(x+y)2-(x-y)2=4xy.
又∵(x+y)2=100,xy=24,
∴100-(x-y)2=4×24,
∴(x-y)2=100-4×24=4.
例2
(1)1张边长为a的正方形卡片,6张边长分别为a,b的长方形卡片,9张边长为b的正方形卡片,用这16张卡片拼成一个正方形,
∴正方形的面积为a2+6ab+9b2=(a+3b)2,
∴这个正方形的边长为a+3b.
故答案为a+3b.
(2)设BC=x,∴S1=b(x-3a),S2=2a(x-b),∴S2-S1=2a(x-b)-b(x-3a)=(2a-b)x+ab,当2a-b=0时,无论BC的长怎样变化,S2-S1的值都不变,即2a=b.

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