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第5节　二次函数的图象与性质
(6年6考,2~6分)
　　二次函数的图象与性质是河北省中考的重点考查内容,有时会在选择题和解答题中同时考查,主要涉及二次函数的对称轴、顶点坐标、增减性、与坐标轴的交点等,会根据图象的对称性解题,突出数形结合思想,预计这些内容仍将是2025年中考的必考知识点,作为各种题型的中档题或压轴题.
回归教材·过基础——河北中考核心考点梳理
【知识体系】
【考点清单】
考点1二次函数的概念及其图象、性质　(常考点)
二次函数 的定义 形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫作二次函数
二次函数的 图象与性质 图象
开口 向①　　　　 向②　　　　
对称轴 直线x=-
顶点坐标 -,
增减性 当x>-时,y随x的增大而③　　　　;当x<-时,y随x的增大而④　　　　 当x>-时,y随x的增大而⑤　　　　;当x<-时,y随x的增大而⑥　　　　
最值 当x=-时,y最小= 当x=-时,y最大=
考点2二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与系数a,b,c的关系
a决定抛物线的开口⑦　　　　及开口⑧　　　　当a>0时,抛物线开口向上; 当a<0时,抛物线开口向下;|a|越大,开口越小
a,b决定对称轴直线x=-的位置当a,b同号时,-⑨　　　　0,对称轴在y轴⑩　　　　; 当b=0时,-=0,对称轴为y轴; 当a,b异号时,-　　　　0,对称轴在y轴　　　　
c决定抛物线与y轴的交点的位置当c>0时,抛物线与y轴的交点在正半轴上; 当c=0时,抛物线经过原点; 当c<0时,抛物线与y轴的交点在负半轴上
考点3二次函数与一元二次方程的关系
关系二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根
Δ=b2-4ac>0方程有两个不相等的实数根,抛物线与x轴有　　　　个交点
Δ=b2-4ac=0方程有两个相等的实数根,抛物线与x轴有一个交点
Δ=b2-4ac<0方程无实数根,抛物线与x轴没有交点
【基础演练】
1.(人教九上P37练习变式)抛物线y=-3(x-4)2+5的顶点坐标是 (　　)
A.(4,5)　　　　　　B.(-4,5)
C.(4,-5) D.(-4,-5)
2.(冀教九下P38A组第2题(3)变式)设A(-2,y1),B(1,y2),C(2,y3)是抛物线y=3(x+1)2+4m(m为常数)上的三点,则y1,y2,y3的大小关系为 (　　)
A.y1C.y33.如图,在同一平面直角坐标系中,一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx+c(c≠0)的图象可能是 (　　)
　　A　　　　　　B　　
　　C　　　　　　D　　
4.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列说法正确的是 (　　)
A.c<0
B.方程ax2+bx+c=0的根为x1=1,x2=3
C.当x>1时,y随x值的增大而减小
D.当y≥0时,0真题精粹·重变式——河北6年真题精选及拓展
考向2次函数的图象与性质　(6年5考)
1.(2023·河北15题2分)如图,现要在抛物线y=x(4-x)上找点P(a,b),针对b的不同取值,所找点P的个数,三人的说法如下:
甲:若b=5,则点P的个数为0.
乙:若b=4,则点P的个数为1.
丙:若b=3,则点P的个数为1.
下列判断正确的是 (　　)
A.乙错,丙对
B.甲和乙都错
C.乙对,丙错
D.甲错,丙对
2.变条件——解析式含参 如图,对于抛物线G:y=x(4-x+m)与直线L:y=m(m为常数),针对m的不同取值,三人的说法如下. 甲:无论m为何值,G与x轴总有两个交点. 乙:无论m为何值,G与L不会有交点. 丙:无论m为何值,G与L总有两个交点. 下列判断正确的是 (　　) A.只有甲错 B.只有丙对 C.只有甲、乙对 D.甲、乙、丙都错
3.(2023·河北16题2分)已知二次函数y=-x2+m2x和y=x2-m2(m是常数)的图象与x轴都有两个交点,且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等,则这两个函数图象对称轴之间的距离为 (　　)
A.2 B.m2 C.4 D.2m2
核心突破·拓思维——学科核心素养提升
题型　二次函数图象的性质
(2024·石家庄一模)已知P1(x1,y1),P2(x2,y2)是抛物线y=ax2+4ax+3(a是常数,a≠0)上的点,现有以下四个结论:①该抛物线的对称轴是直线x=-2;②点(0,3)在抛物线上;③若x1>x2>-2,则y1>y2;④若y1=y2,则x1+x2=-2.其中,正确结论的个数为 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
　　二次函数的图象与性质是河北省中考的必考知识,也是考查的重点和难点.考查内容主要涉及抛物线的对称轴特征或两条抛物线的对称轴关系;判断函数值符号、抛物线是否过某点;抛物线上点的同坐标值的大小比较,或相关字母取值(范围),有时考查抛物线与平行于坐标轴的直线关系,或考查抛物线上特定的点的数量或封闭区域内部或边界上的整点问题.
　　利用抛物线的性质解题“二字诀”
口诀含义具体内容
看观察位置与形状抛物线所在象限、开口方向与大小、顶点与对称轴、与坐标轴交点、升降特征等
化化形为数来描述把上述图象性质用二次函数系数的符号、大小、等量关系、不等量关系表示出来
1.(2024·张家口一模)设二次函数y=a(x-m)(x-m-k)(a>0,m,k是实数),则 (　　)
A.当k=2时,函数y的最小值为-a
B.当k=2时,函数y的最小值为-2a
C.当k=4时,函数y的最小值为-a
D.当k=4时,函数y的最小值为-2a
2.题目“如图,平面直角坐标系内有A(-1,0),B(3,2)两点,一抛物线y=a(x-h)2+k(a<0)经过A,B两点,求h的取值范围.”对于其答案,甲答:h≥3.乙答:1A.只有甲的答案正确 　　　　　 B.乙、丙的答案合在一起才正确
C.甲、乙的答案合在一起才正确 D.三人的答案合在一起才正确
3.已知a(a<0),h(0结论Ⅰ:h的值可能为5.
结论Ⅱ:点P(m,n)在二次函数的图象上,若n=8,则满足条件的点P有两个.
对于结论Ⅰ和Ⅱ,下列判断正确的是 (　　)
A.Ⅰ和Ⅱ都对 B.Ⅰ和Ⅱ都不对
C.Ⅰ不对,Ⅱ对 D.Ⅰ对,Ⅱ不对
　　在河北省中考试卷上,已知或求解二次函数的解析式除了一般式和顶点式外,还经常出现两根式y=a(x-m)(x-n)(或称“交点式”),由此可得抛物线与x轴的两个交点坐标为(m,0),(n,0),对称轴为直线x=.
　　由a<0可得抛物线开口向下.
　　题目中没有画出二次函数图象的问题,往往需要根据题目中的系数特征画出草图,有时需要分类讨论.
参考答案
考点清单
①上　②下　③增大　④减小　⑤减小　⑥增大　⑦方向
⑧大小　⑨<　⑩左边　>　右边　两
基础演练
1.A　2.A　3.C　4.C
真题精粹·重变式
1.C　提示:y=x(4-x)=-x2+4x=-(x-2)2+4,
∴抛物线的顶点坐标为(2,4),
∴在抛物线上的点P的纵坐标最大为4,
∴甲、乙的说法正确.
若b=3,则抛物线上纵坐标为3的点有2个,
∴丙的说法不正确,故选C.
2.B　3.A
核心突破·拓思维
例　B　
提示:∵抛物线y=ax2+4ax+3的对称轴为直线x=-=-2,
∴①正确;
当x=0时,y=3,则点(0,3)在抛物线上,
∴②正确;
当a>0时,若x1>x2>-2,则y1>y2,
当a<0时,若x1>x2>-2,则y1∴③错误;
当y1=y2,则P1,P2关于直线x=-2对称,则x1+x2=-4,
∴④错误.
综上所述,正确的结论是①②,共2个,故选B.
变式训练
1.A　提示:令y=0,则(x-m)(x-m-k)=0,
∴x1=m,x2=m+k,
∴二次函数y=a(x-m)(x-m-k)的图象与x轴的交点坐标是(m,0),(m+k,0),
∴二次函数的对称轴是直线x===.
∵a>0,
∴y有最小值,
当x=时,y最小,
即y=a-m-m-k=-a,
当k=2时,函数y的最小值为y=-a=-a;
当k=4时,函数y的最小值为y=-a=-4a.
故选A.
2.C　提示:∵y=a(x-h)2+k(a<0),
∴抛物线开口向下,对称轴在A,B之间或点B右侧,
∴点B与对称轴的距离小于点A与对称轴的距离,
∴h≥3或13.C　
提示:画出二次函数图象的草图,如图所示.
∵二次函数y=a(x-h)2+k,
∴抛物线的对称轴为直线x=h.
∵a<0,
∴抛物线开口向下.
∵图象经过(0,5),(10,8)两点,0∴对称轴在5到10之间,
故结论Ⅰ不正确.
∵图象经过(0,5),(10,8)两点,0∴(10,8)不是抛物线的顶点,函数的最大值大于8,
∴满足条件的点P有两个,
故结论Ⅱ正确.故选C.

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