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第6节　二次函数的解析式(含平移)
(6年2考,4~6分)
　　用待定系数法确定二次函数的解析式,是河北省中考的必考知识;有时会考查图象的平移变化,探讨图象变化过程中位置与系数的关系;有时与其他函数综合考查,即便有几何图形,也是以函数为主,简单的图形仅起到辅助作用,但解题时可借助几何知识(比如图形变换的性质)简化思路.2025年的河北省中考必将涉及以上的一个或多个方面,若将二次函数的解析式、图象的平移与性质,与其他函数综合考查,则成为整卷的压轴题.
回归教材·过基础——河北中考核心考点梳理
【知识体系】
【考点清单】
考点1二次函数解析式的确定
二次函数解析式的三种形式1.一般式:y=ax2+bx+c(a≠0). 2.顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0),其中二次函数的顶点坐标是①　　　　. 3.交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标
待定系数法求解析式1.巧设二次函数的解析式. 2.根据已知条件,得到关于待定系数的方程(组). 3.解方程(组),求出待定系数的值,从而求出函数的解析式
考点2二次函数图象的平移　(轮考点)
平移与解析 式的关系 平移前 平移方式(m>0) 平移后 规律
顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0) 向左平移m个单位长度 ②　　　　 左加
向右平移m个单位长度 y=a(x-h-m)2+k ③　　　　
向上平移m个单位长度 ④　　　　 上加
向下平移m个单位长度 y=a(x-h)2+k-m ⑤　　　　
【温馨提示】二次函数的平移实质是顶点坐标的平移,因此只要找出原函数顶点的平移方式即可确定平移后的函数解析式
【基础演练】
1.(北师九下P41第2题变式)将抛物线y=2(x-2)2+3向左平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度,得到的抛物线为 (　　)
A.y=2(x-5)2+1　　 B.y=2(x+1)2+1
C.y=2(x+1)2+5 D.y=2(x+3)2-2
2.(人教九上P57第6题变式)小聪在画一个二次函数的图象时,列出了下面几组y与x的对应值:
该二次函数的解析式是　　　　.
真题精粹·重变式——河北6年真题精选及拓展
考向2次函数图象的平移　(6年2考)
1.(2024·河北23题10分)如图,点P(a,3)在抛物线C:y=4-(6-x)2上,且在C的对称轴右侧.
(1)写出C的对称轴和y的最大值,并求a的值.
(2)坐标平面上放置一透明胶片,并在胶片上描画出点P及C的一段,分别记为P',C'.平移该胶片,使C'所在抛物线对应的函数恰为y=-x2+6x-9.求点P'移动的最短路程.
2.变设问——平移后抛物线顶点在三角形内 如图,抛物线y=x2-2mx+9的顶点P在x轴的正半轴上,直线y=-x+b与y轴交于点B,抛物线与直线交于A,B两点. (1)求m的值与点A的坐标. (2)连接AO,若将该抛物线向上平移n个单位长度,使平移后得到的抛物线顶点在△OAB内部(不包括三角形△OAB的边界),求n的取值范围.
核心突破·拓思维——学科核心素养提升
题型　平移抛物线问题
如图,抛物线L:y=x(3-x)经过点A(1,2),且与x轴交于O,E两点,点B,C的坐标分别为(1,1),(2,1).
(1)写出点E的坐标和抛物线L的对称轴.
(2)若M为抛物线L上一点,且在点A,E之间(不包括点A,E),求点M的纵坐标y0的取值范围.
(3)若抛物线L平移后经过A,B,C中的两个点,求平移后的抛物线的顶点坐标.
　　抛物线的平移问题主要包括两种类型:一是二次函数解析式中二次项系数是确定的,一次项系数或常数项中含有字母参数,参数的变化导致抛物线发生平移;二是给定一条抛物线,然后提出平移的条件,根据要求确定数值,有时求平移的距离或相关的取值范围.
(2024·邯郸二模)如图,抛物线L:y=-x(x-3)+n与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点M.
(1)若该抛物线过点(1,6).
①求该抛物线的表达式,并求出此时A,B两点的坐标;
②将该抛物线进行平移,平移后的抛物线对应的函数为y=-x(x-3)+6,A点的对应点为A',求平移后顶点坐标和线段AA'的长.
(2)点M关于L:y=-x(x-3)+n的对称轴对称的点的坐标为　　　　(用含n的代数式表示).
(1)①将(1,6)代入L解析式,求出n的值
↓
确定函数解析式
↓
②比较n的变化,得平移方向和距离
↓
用顶点坐标公式或配方法求平移后抛物线的顶点坐标
↓
(2)求点M坐标和抛物线的对称轴直线方程
↓
结合中点公式确定点M关于对称轴的对称点坐标
参考答案
考点清单
①(h,k)　②y=a(x-h+m)2+k　③右减
④y=a(x-h)2+k+m　⑤下减
基础演练
1.B
2.y=x2-6x+5
真题精粹·重变式
1.(1)∵抛物线C:y=4-(6-x)2=-(x-6)2+4,
∴抛物线的顶点为Q(6,4),
∴抛物线的对称轴为直线x=6,y的最大值为4.
当y=3时,3=-(x-6)2+4,∴x=5或x=7.
∵点P在对称轴的右侧,∴P(7,3),∴a=7.
(2)∵平移后的抛物线的解析式为y=-(x-3)2,
∴平移后的顶点Q'(3,0).
∵平移前抛物线的顶点Q(6,4),
∴点P'移动的最短路程=QQ'==5.
2.(1)∵抛物线y=x2-2mx+9经过点B,
∴B(0,9).
∵直线y=-x+b与y轴交于点B,
∴b=9,
∴直线的解析式为y=-x+9.
∵抛物线y=x2-2mx+9的顶点P在x轴的正半轴上,
∴->0,Δ=(-2m)2-4×1×9=0,解得m=3,∴抛物线为y=x2-6x+9,
由解得或
∴A(5,4).
(2)如图,设直线OA的解析式为y=kx,
∵A(5,4),
∴4=5k,
解得k=,
∴直线OA的解析式为y=x.
∵抛物线y=x2-6x+9=(x-3)2,
∴顶点坐标是(3,0),
∴直线OA与抛物线对称轴的交点坐标为,直线AB与抛物线对称轴的交点坐标是(3,6),
由图象可知,n的取值范围是核心突破·拓思维
例(1)将y=0代入y=x(3-x),得x(x-3)=0,
解得x1=0,x2=3,
∴E(3,0),
∴抛物线L的对称轴为直线x==.
(2)y=x(3-x)=-x2+3x=-+,
∵a=-1<0,
∴当x=时,y有最大值.
∵点M在抛物线上,且在点A,E之间(不包括点A,E),
∴点M的纵坐标y0的取值范围为0(3)设平移后的抛物线为y=-x2+bx+c,
当抛物线经过B,C两点时,
由
解得
∴y=-x2+3x-1=-+,
∴顶点坐标为;
当抛物线经过A,C两点时,由
解得∴y=-x2+2x+1=-(x-1)2+2,
∴顶点坐标为(1,2).
综上所述,平移后的抛物线的顶点坐标为或(1,2).
变式训练
(1)①将点(1,6)代入L:y=-x(x-3)+n,则6=-1×(-2)+n,
则n=4,
∴L:y=-x(x-3)+4.
∵抛物线L与x轴交于A,B两点,
∴将y=0代入L:y=-x(x-3)+4,即-x(x-3)+4=0,
解得x1=4,x2=-1,
∴A(-1,0),B(4,0).
②∵抛物线y=-x(x-3)+4向上平移2个单位长度后为抛物线y=-x(x-3)+6=-x-2+,
∴平移后顶点坐标为,,线段AA'的长为2.
(2)(3,n).
提示:当x=0时,y=n,
∴M(0,n).
∵y=-x(x-3)+n=-x-2+n+,
∴抛物线的对称轴为直线x=.
∵×2=3,
∴点M关于L:y=-x(x-3)+n的对称轴对称的点的坐标为(3,n).

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