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第4节　图形的平移与旋转
(6年5考,2~12分)
　　图形的平移与旋转属于河北中考的高频考查内容,偶尔以识别图形变换和简单计算为主,多数时候是以三角形、四边形、圆(或半圆)为背景,在几何探究题中结合其他知识进行考查.预测2025年河北省中考试题仍将延续这一命题特点,将图形的平移与旋转融入其他问题中.
回归教材·过基础——河北中考核心考点梳理
【知识体系】
【考点清单】
考点平移与旋转　(常考点)
内容要素性质作图步骤
(1)平移的方向; (2)平移的距离(1)平移前后对应线段平行(或共线)且①　　　　,对应点所连的线段②　　　　; (2)对应角分别③　　　　,且对应角的两边分别平行(或共线),方向一致; (3)平移变换后的图形与原图形④　　　　(1)确定平移方向和平移距离; (2)找出原图形中的关键点; (3)按平移方向和距离平移各关键点; (4)按原图形顺次连接各关键点平移后的对应点,得到平移后的图形
(1)旋转中心; (2)旋转方向; (3)旋转角度(1)对应点到旋转中心的距离⑤　　　　; (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于⑥　　　　; (3)旋转前后的图形⑦　　　　(1)确定旋转中心、旋转方向及旋转角度; (2)找出原图形中的关键点; (3)连接关键点与旋转中心,按旋转方向与旋转角度将它们旋转,得到各关键点的对应点; (4)按原图形顺次连接各关键点旋转后的对应点,得到旋转后的图形
【基础演练】
1.(北师八下P78第5题变式)如图所示的Rt△ABC向右翻滚,下列说法正确的有 (　　)
(1)① ②是旋转;(2)① ③是平移;
(3)① ④是平移;(4)② ③是旋转.
A.1种 B.2种 C.3种 D.4种
2.“方胜”是中国古代妇女的一种发饰,其图案由两个全等的正方形相叠组成,寓意是同心、吉祥.如图,将边长为2 cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1 cm得到正方形A'B'C'D',从而形成了一个“方胜”图案,则点D,B'之间的距离为 (　　)
A.1 cm B.2 cm
C.(-1)cm D.(2-1)cm
3.(北师八下P90第21题变式)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(-1,),以原点O为中心,将点A顺时针旋转90°得到点A',则点A'的坐标为 (　　)
A.(1,-)
B.(-,1)
C.(0,2)
D.(,1)
4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=70°,将Rt△ABC绕点C顺时针旋转角度α(0°<α<180°)得到Rt△A1B1C,使得A1,B1,A三点共线,则α的度数为 (　　)
A.110°
B.120°
C.130°
D.140°
真题精粹·重变式——河北6年真题精选及拓展
考向1与平移有关的证明与计算　(6年1考)
1.如图,在平面直角坐标系中,等边△OAB的顶点B的坐标为(2,0),点A在第一象限内,将△OAB沿直线OA的方向平移至△O'A'B'的位置,此时点A'的横坐标为3,则点B'的坐标为 (　　) A.(4,2) B.(3,3) C.(4,3) D.(3,2)
考向2与旋转有关的证明与计算　(6年4考)
2.(2019·河北16题2分)对于题目:“如图1,平面上,正方形内有一长为12、宽为6的矩形,它可以在正方形的内部及边界通过移转(平移或旋转)的方式,自由地从横放移转到竖放,求正方形边长的最小整数n.”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形,先求出该边长x,再取最小整数n.
甲:如图2,思路是当x为矩形对角线长时就可移转过去;结果取n=13.
乙:如图3,思路是当x为矩形外接圆直径长时就可移转过去;结果取n=14.
丙:如图4,思路是当x为矩形的长与宽之和的时就可移转过去;结果取n=13.
下列说法正确的是 (　　)
A.甲的思路错,他的n值对
B.乙的思路和他的n值都对
C.甲和丙的n值都对
D.甲、乙的思路都错,而丙的思路对
核心突破·拓思维——学科核心素养提升
题型　与图形变换有关的计算
如图1,这是实验室中的一种摆动装置,BC在地面上,支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形,摆动臂AD可绕点A旋转,摆动臂DM可绕点D旋转,AD=13,DM=5.
(1)直接写出AM的取值范围.
(2)当A,D,M三点为同一直角三角形的顶点时,求AM的长.
(3)若摆动臂AD顺时针旋转90°,点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处,连接D1D2.如图2,此时∠AD2C=135°,CD2=20,求BD2的长.
　　图1　　　　　　　　　　图2
　　(1)只考虑“摆动臂DM可绕点D旋转”,确定AM取最大值和最小值时的状态,计算解答.
(2)由于DM(3)连接CD1,则可将△BAD2看作是由△CAD1旋转得到的,结合特殊的角度关系和勾股定理进行计算求值.
　　“转出的精彩”——常见的几类旋转模型
模型名称旋转方法图形重要结论
等边三角形模型在等边△ABC中,P为△ABC内一点,将△ABP绕点A按逆时针方向旋转60°,使得AB与AC重合△P'AP为等边三角形
等腰直角三角形模型在等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,P为△ABC内一点,将△APC绕点C按逆时针方向旋转90°,使得AC与BC重合△P'CP为等腰直角三角形
正方形模型在正方形ABCD中,P为正方形ABCD内一点,将△ABP绕点B按顺时针方向旋转90°,使得BA与BC重合△BPP'为等腰直角三角形
在平面上,边长为2的正方形和短边长为1的矩形的几何中心重合,如图1,当正方形和矩形都水平放置时,容易求出重叠面积S=2×1=2.
甲、乙、丙三位同学分别给出了两个图形不同的重叠方式:
　图1　　　 　　图2　　　　 　图3　　 　 　图4　　　　　　图5
甲:矩形绕着几何中心旋转,从图2到图3的过程中,重叠面积S大小不变.
乙:如图4,矩形绕着几何中心继续旋转,矩形的两条长边与正方形的对角线平行时,此时的重叠面积大于图3的重叠面积.
丙:如图5,将图4中的矩形向左上方平移,使矩形的一条长边恰好经过正方形的对角线,此时的重叠面积在5个图形中最小.
下列说法正确的是 (　　)
A.甲、乙、丙都对 B.只有乙对
C.只有甲不对 D.甲、乙、丙都不对
　　明显都是平行四边形,阴影左侧的边长在变大,高都为2,所以三个图形的面积在增大,由此即可判断.
参考答案
考点清单
①相等　②平行且相等　③相等　④全等　⑤相等　⑥旋转角　⑦全等
基础演练
1.C　2.D　3.D　4.D
真题精粹·重变式
1.A　2.B
核心突破·拓思维
例
(1)8≤AM≤18.
提示:由题意可知,当点M在线段AD的延长线上时,AM取最大值,此时AM=AD+DM=13+5=18;
当点M在线段AD上时,AM取最小值,此时AM=AD-DM=13-5=8.
∴AM的取值范围为8≤AM≤18.
(2)若AM为斜边,则AM===;
若AD为斜边,则AM===12.
综上所述,AM=12或.
(3)如图,连接CD1,
由旋转90°可知,AD1=AD2=13,∠D2AD1=90°,
∴∠AD2D1=∠AD1D2=45°,
∴D1D2=13,
∴∠D1D2C=∠AD2C-∠AD2D1=90°.
在Rt△D1D2C中,由勾股定理,得D1C===3.
由△ABC为等腰直角三角形可知AB=AC,∠BAC=90°=∠D2AD1,
∴∠BAC-∠D2AC=∠D2AD1-∠D2AC,
即∠BAD2=∠CAD1.
又∵AD2=AD1,AB=AC,
∴△BAD2≌△CAD1(SAS),
∴BD2=D1C=3.
变式训练
C　提示:明显都是平行四边形,阴影左侧的边长在变大,高都为2,所以前面三个图形的面积一定在增大,第四个图的面积最大,第五个图的面积最小,所以只有甲错,故选C

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