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第7节　二次函数的实际应用
(6年3考,9~10分)
　　二次函数的实际应用问题中,所采用的情境多元化,尽量避免模式化、不真实等现象,以抛物线形式出现的问题近年较多.解题时要充分利用数形结合思想,准确把握二次函数的性质以及二次函数与一元二次方程等相关知识的联系和转化.预测2025年的河北省中考试题中,二次函数的实际应用或图象性质中必有一道解答题,分值较重,10分左右.
真题精粹·重变式——河北6年真题精选及拓展
考向1抛物线型实际问题　(6年2考)
1.(2023·河北23题10分)嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏.某同学借此情境编制了一道数学题,请解答这道题.
如图,在平面直角坐标系中,一个单位长度代表1 m长.嘉嘉在点A(6,1)处将沙包(看成点)抛出,其运动路线为抛物线C1:y=a(x-3)2+2 的一部分,淇淇恰在点B(0,c)处接住,然后跳起将沙包回传,其运动路线为抛物线C2:y=-x2+x+c+1的一部分.
(1)写出C1的最高点坐标,并求a,c的值.
(2)若嘉嘉在x轴上方1 m的高度上,且到点A水平距离不超过1 m的范围内可以接到沙包,求符合条件的n的整数值.
考向2文字、表格型二次函数实际问题　(6年1考)
2.(2023·河北23题9分)用承重指数W衡量水平放置的长方体木板的最大承重量.实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板,实验发现:木板承重指数W与木板厚度x(单位:厘米)的平方成正比,当x=3时,W=3.
(1)求W与x的函数关系式.
(2)如图,选一块厚度为6厘米的木板,把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板(不计分割损耗).设薄板的厚度为x(单位:厘米),Q=W厚-W薄.
①求Q与x的函数关系式;
②x为何值时,Q是W薄的3倍 (注:(1)及(2)中的①不必写x的取值范围)
核心突破·拓思维——学科核心素养提升
题型1　抛物线型实际问题
(2024·唐山一模)为了给观光绿化带浇水,拟安装一排喷水口,喷水口喷水的横截面如图所示,该喷水口H离地竖直高度OH为1.5 m.可以把喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象;把绿化带横截面抽象为矩形DEFG,其中DE=2 m,EF=0.5 m.其下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到,上边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2 m,高出喷水口0.5 m,喷水口到绿化带的水平距离OD为d(单位:m).
(1)求上边缘抛物线的解析式,并求喷出水的最大射程OC.
(2)通过计算求点B的坐标.
(3)绿化带右侧(图中点E的右侧)1 m外是人行道,要使喷出的水能浇灌到整个绿化带,同时不会淋湿行人,直接写出d的取值范围.
(1)由题意得上边缘抛物线顶点A的坐标,故用顶点式设其解析式
↓
把点H的坐标代入,求得解析式
↓
抛物线与x轴的正半轴交点横坐标即OC的长度
↓
(2)由点H在上边缘抛物线上的对称点,判断抛物线平移的距离
↓
求得下边缘抛物线解析式
↓
取y=0,求得x的正值,即得点B的横坐标
↓
(3)要使喷出的水能浇灌到整个绿化带,则上边缘抛物线恰好经过点F
↓
不会淋湿行人,则上边缘抛物线恰好经过人行道的左边缘
↓
求出两个临界点对应的d的值
↓
根据图象性质得到d的取值范围
题型2　文字、表格型二次函数实际问题
(2024·石家庄模拟)图1是矩形电子屏中某光点P的运动轨迹示意图,光点从屏边缘点A处发出,运行路线近似抛物线的一部分,光点到底部的竖直高度记为y,光点运行的水平距离记为x,测得如下数据:
水平距离x 0 1 2 4
竖直高度y 2 3 3 0
(1)观察表格,直接写出抛物线的顶点坐标.
(2)求满足条件的抛物线解析式.
(3)如图2,电子屏长OB为6,中间位置CD为一挡板,挡板高为3,当光点击中底部边缘OB时,挡板CD就会发光.如果只改变光点P的初始高度OA(光点的运行轨迹只发生上下平移),当光点既能跨过挡板,又能击中边缘OB时,请计算OA的取值范围.
图1　　　　　　　　　图2
　　二次函数应用“六步走”
序号 步骤 做法
1 审 审清题意并找出变量之间的等量关系
2 列 根据等量关系或图象特征列出二次函数解析式
3 定 确定二次函数的顶点坐标和对称轴
4 求 根据二次函数性质求解
5 验 检验结果的实际意义
6 答 写出问题的答案
(1)由表中相等的y值,推断抛物线的对称轴与顶点坐标
↓
(2)设抛物线的配方式,选取表中数据求解析式
↓
(3)在(2)中解析式后再加上一个字母常数
↓
分别代入点D与点B的坐标,求得新解析式的常数项
↓
得OA的两个临界点,得到OA的取值范围
参考答案
真题精粹·重变式
1.(1)∵抛物线C1:y=a(x-3)2+2,
∴C1的最高点坐标为(3,2).
∵点A(6,1)在抛物线C1:y=a(x-3)2+2上,
∴1=a(6-3)2+2,
∴a=-,
∴抛物线C1:y=-(x-3)2+2,
当x=0时,c=1.
(2)∵嘉嘉在x轴上方1 m的高度上,且到点A水平距离不超过1 m的范围内可以接到沙包,
∴嘉嘉可以接到沙包的坐标范围是(5,1)~(7,1),
当C2经过点(5,1)时,1=-×25+×5+1+1,
解得n=,
当C2经过点(7,1)时,1=-×49+×7+1+1,
解得n=,
∴≤n≤.
∵n为整数,
∴符合条件的n的整数值为4和5.
2.(1)设W=kx2(k≠0).
∵当x=3时,W=3,
∴3=9k,解得k=,
∴W与x的函数关系式为W=x2.
(2)①设薄板的厚度为x厘米,则厚板的厚度为(6-x)厘米,
∴Q=W厚-W薄=(6-x)2-x2=-4x+12,
即Q与x的函数关系式为Q=-4x+12.
②∵Q是W薄的3倍,
∴-4x+12=3×x2,
整理得x2+4x-12=0,
解得x1=2,x2=-6(不合题意,舍去),
∴当x=2时,Q是W薄的3倍.
核心突破·拓思维
例1(1)由题意得抛物线的顶点A的坐标为(2,2),
∴设上边缘的抛物线解析式为y=a(x-2)2+2.
∵经过点H(0,1.5),
∴4a+2=1.5,
解得a=-,
∴上边缘的抛物线解析式为y=-(x-2)2+2.
当y=0时,0=-(x-2)2+2.
(x-2)2=16,解得x1=6,x2=-2.
∵点C在x轴正半轴,
∴C(6,0),
∴喷出水的最大射程OC长6 m.
(2)∵点H(0,1.5)关于上边缘抛物线对称轴对称点的坐标为(4,1.5),
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4个单位长度得到,
∴下边缘的抛物线解析式为y=-(x-2+4)2+2=-(x+2)2+2.
当y=0时,0=-(x+2)2+2,
解得x1=-6,x2=2.
∵点B在x轴的正半轴,
∴点B的坐标为(2,0).
(3)由题意得点F的纵坐标为0.5.
若上边缘抛物线恰好经过点F,则0.5=-(x-2)2+2,
(x-2)2=12,
解得x1=2+2,x2=2-2.
∵点F在第一象限,
∴x=2+2,
∴点E的坐标为(2+2,0),
∴OE=(2+2)m.
∵DE=2 m,
∴OD=2 m.
若上边缘的抛物线恰好经过人行道的左边缘,则
0=-(d+2+1-2)2+2,
(d+1)2=16,
解得d1=3,d2=-5.
∵距离d为正数,
∴d=3.
综上所述,d的取值范围为3≤d≤2.
例2(1)观察表格数据,可知当x=1和x=2时,函数值相等,
∴对称轴为直线x==,
∴抛物线的顶点坐标为,.
(2)设抛物线解析式为y=ax-2+,
将(0,2)代入得2=a·2+,
解得a=-,
∴抛物线的解析式为y=-x-2+=-x2+x+2.
(3)当光点恰好经过点 D(3,3)时,
设抛物线的解析式为y=-x2+x+2+h,
由-×32+×3+2+h=3,解得h=1,
∴初始高度OA=2+h=3;
当光点恰好经过点B(6,0)时,
设抛物线的解析式为y=-x2+x+2+h,
由-×62+×6+2+h=0,解得h=7,
∴初始高度OA=2+h=9,
∴OA的取值范围为3

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