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第1节　一次方程(组)及其应用
(6年3考,2~9分)
　　在河北省中考试卷上,通过列一元一次方程或二元一次方程组,解决数字问题(比如与有理数运算相结合)、应用性问题、函数或几何问题,体现了方程的工具性和方程思想的重要性.二元一次方程组的解法主要突出消元思想,根据方程特点适当选用代入法或加减法;偶尔出现利用消元思想解决解答题中遇到的代数式变形问题.预测2025年的河北省中考会在数学情境或现实情境中考查这部分知识,解题关键是根据题意找到等量关系;会利用待定系数法列一次方程(组)求函数解析式.
回归教材·过基础——河北中考核心考点梳理
【知识体系】
【考点清单】
考点1方程(组)及其相关概念　
等式的基本性质1.性质1:等式两边加或减同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式,即若a=b,则a±c=①　　　　. 2.性质2:等式两边同乘(或除以)同一个数(除数不能为0),所得结果仍是等式,即若a=b,则ac=②　　　　,=(c≠0). 3.性质3:(对称性)若a=b,则b=a. 4.性质4:(传递性)若a=b,b=c,则a=c
方程(组)的基本概念1.一元一次方程:只含有③　　　　个未知数,并且未知数的次数是1,且等式两边都是整式的方程. 2.二元一次方程:含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程. 3.二元一次方程组:含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程. 4.二元一次方程组的解:二元一次方程组的两个方程的④　　　　
考点2解一元一次方程和二元一次方程组　(轮考点)
解一元一次方程的步骤1.去分母:方程两边同乘分母的最小公倍数,不要漏乘常数项. 2.去括号:括号外若为负号,去括号后括号内各项均要变号. 3.移项:移项要变号. 4.合并同类项:把方程化成ax=-b(a≠0)的形式. 5.系数化为1:方程两边同除以系数a,得到方程的解x=-
二元一次方程组的解法 思路:消元,将二元一次方程组转化为一元一次方程
1.代入消元法:从一个方程中求出某一个未知数的表达式,再把“它”代入另一个方程,进行求解. 2.加减消元法:把两个方程的两边分别相加或相减消去一个未知数的方法
考点3一次方程(组)的实际应用
列方程(组)解应用题的一般步骤1.审题:审清题意,分清题中的已知量、未知量. 2.设未知数. 3.列方程(组):找出等量关系,列方程(组). 4.解方程(组). 5.检验:检验所解答案是否正确或是否符合题意. 6.作答:规范作答,注意单位名称
常见题型及关系式1.利润问题:售价=标价×折扣,销售额=售价×销量,利润=售价-进价,利润率=×100%. 2.利息问题:利息=本金×利率×期数,本息和=本金+利息. 3.工程问题:工作总量=工作效率×工作时间. 4.行程问题:路程=速度×时间. (1)相遇问题:全路程=甲走的路程+乙走的路程. (2)追及问题: a.同地不同时出发:前者走的路程=追者走的路程. b.同时不同地出发:前者走的路程+两地间距离=追者走的路程
【基础演练】
1.(冀教七下P4练习第2题变式)若方程x+y+□z=1是二元一次方程,则“□”表示的数是 (　　)
A.-1 B.0 C.1 D.2
2.(冀教七下P4练习第3题变式)对于以下两个方程组,下列说法正确的是 (　　)
①②
A.①是二元一次方程组
B.②是二元一次方程组
C.①②均是二元一次方程组
D.①②均不是二元一次方程组
3.下列运用等式的性质变形正确的是 (　　)
A.若x=y,则x+5=y-5
B.若a2=b2,则a=b
C.若=,则a=b
D.若ax=ay,则x=y
4.(冀教七上P153练习第1题变式)下列方程变形中,正确的是 (　　)
A.方程3x-2=2x+1,移项得3x-2x=1-2
B.方程-=1,去分母得5(x-1)-2x=10
C.方程t=,系数化为1得t=1
D.方程3-x=2-5(x-1),去括号得3-x=2-5x-1
5.方程2x+y=5的非负整数解有 (　　)
A.1组 B.2组
C.3组 D.4组
6.①④是关于x,y的二元一次方程,若组合其中的两个,恰好是解为的二元一次方程组,则应选择 (　　)
①x-y=-3;②2x=3y;③y=;
④+=6.
A.①③ B.②③
C.③④ D.①④
7.已知方程组和有相同的解,则a,b的值为 (　　)
A.14,2 B.4,-6
C.-6,2 D.1,2
8.若是方程x+ky=5的一组解,则k的值为　　　　.
真题精粹·重变式——河北6年真题精选及拓展
考向1等式的性质
1.(2024·河北7题3分)有三种不同质量的物体“”“”“”,其中,同一种物体的质量都相等,现左右手中同样的盘子上都放着不同个数的物体,只有一组左右质量不相等,则该组是 (　　)
考向2解一元一次方程　(6年1考)
2.小组活动中,同学们采用接力的方式求一元一次方程的解,规则:每人只能看到前一人给的式子,并进行一步计算,再将结果传递给下一人,最后求出方程的解.过程 如下: 　
接力中,自己负责的一步出现错误的是 (　　) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
考向3解二元一次方程组
3.如图,嘉嘉和琪琪用不同的方法解方程组两人求x的过程正确的是 (　　) 嘉嘉
解:①×2得
2x+4y=2③,
②-③得
x=4.
　琪琪
解:由②得
x+2(x+2y)=6③,
把①代入③得
x+2=6,
x=4. A.嘉嘉正确,琪琪不正确 B.嘉嘉不正确,琪琪正确 C.两人都正确 D.两人都不正确
考向4一次方程(组)的实际应用　(6年3考)
4.(2024·河北15题2分)“曹冲称象”是流传很广的故事.如图,按照他的方法:先将象牵到大船上,并在船侧面标记水位,再将象牵出,然后往船上抬入20块等重的条形石,并在船上留3个搬运工,这时水位恰好到达标记位置,如果再抬入1块同样的条形石,船上只留1个搬运工,水位也恰好到达标记位置.已知搬运工体重均为120斤,设每块条形石的重量是x斤,则下列选项正确的是 (　　)
A.依题意有3×120=x-120
B.依题意有20x+3×120=(20+1)x+120
C.该象的重量是5 040斤
D.每块条形石的重量是260斤
5.(2024·河北19题3分)如图,棋盘旁有甲、乙两个围棋盒.
(1)设甲盒中都是黑子,共10个,乙盒中都是白子,共8个.嘉嘉从甲盒拿出a个黑子放入乙盒,使乙盒棋子总数是甲盒所剩棋子数的2倍,则a=　　　　.
(2)设甲盒中都是黑子,共m(m>2)个,乙盒中都是白子,共2m个.嘉嘉从甲盒拿出a(16.(2023·河北20题9分)某惯性飞镖游戏的靶盘如图所示.珍珍玩了两局,每局投10次飞镖,若投到边界则不计入次数,需重新投.计分规则如下:
在某一局中,珍珍投中A区4次,B区2次,脱靶4次.
(1)求珍珍第一局的得分.
(2)第二局,珍珍投中A区k次,B区3次,其余全部脱靶.若本局得分比第一局提高了13分,求k的值.
核心突破·拓思维——学科核心素养提升
题型1　结合数或式的运算考查一元一次方程
嘉嘉和琪琪玩圆珠游戏,如图,三个圆珠可以在槽内左右滚动,当圆珠发生碰撞时,就得到相撞圆珠上的代数式所表示数的和y.当三个圆珠同时相撞时,不论x的值为多大,y的值总不变.
(1)求a的值.
(2)若x是一个整数,当某些圆珠相撞时,得到y的值都恰好为-1,求x的值.
题型2　运用消元思想解二元一次方程组
在解二元一次方程组时,下列方法中无法消元的是 (　　)
A.①-②
B.由①变形得x=2+2y③,将③代入②
C.①×4+②
D.由②变形得2y=4x-5③,将③代入①
　　对于一元一次方程的解法,河北省通常将其融合到其他问题中进行考查,比如放到解答题的第一题中,与数轴、有理数、整式等知识综合考查;如果放到后面的解答题中,则通常将其作为运用待定系数法或确定取值范围的工具.题目力求形式新颖,比如以图示、新运算、游戏等方式呈现.
　　符合题意的圆珠相撞情况有两种,分别是第一、二个圆珠相撞,第二、三个圆珠相撞,要分类讨论解答.
　　河北省对于二元一次方程组的解法,通常在选择题中考查消元转化的基本步骤,在解答题中主要是用待定系数法求函数解析式.
　　解二元一次方程组的基本思路
题型3　利用方程思想建立数学模型
(1)电气机车和磁悬浮列车从相距298千米的两地同时出发、相对而行,磁悬浮列车的速度比电气机车速度的5倍还快20千米/时,半小时后两车相遇.两车的速度各是多少
①设电气机车的速度为x千米/时,则磁悬浮列车的速度为　　　　　千米/时.
②根据题意列方程,得　　　　　　　　　　　.
③完成后续解题步骤.
(2)一名叉车驾驶员和一名徒手搬运工一起搬运298箱货物,叉车驾驶员每小时搬运的货物比徒手搬运工搬运货物的5倍还多20箱,半小时后把全部货物搬运完毕.两人每小时各搬运多少箱货物
(3)嘉淇花298元购买了甲、乙两种茶叶,甲种茶叶每千克的单价比乙种茶叶的5倍还多20元,若两种茶叶各买了0.5千克,则甲、乙两种茶叶的单价分别是多少
　　河北省的中考命题中,尽量破除固定的题型模式,重视核心素养的考查,比如对于“三会”中“会用数学的语言表达现实世界”突出 “模型观念”的考查.例题中的三个问题背景虽然不同,分别涉及速度问题、工作效率问题和购物问题,但它们都可以用同一个方程模型来刻画,反映了模型与题型的不同价值追求.
参考答案
考点清单
①b±c　②bc　③一　④公共解
基础演练
1.B　2.D　3.C　4.B　5.C　6.D　7.A
8.2
真题精粹·重变式
1.A　2.B　3.C　4.B
5.(1)4　(2)(m+2a)　1
提示:(1)依题意有a+8=2(10-a),解得a=4.
(2)依题意有2m+a-(m-a)=m+2a,
y=a-(a-x)=a-a+x=x,
∴==1.
6.(1)由题意可得4×3+2×1+4×(-2)=6(分).
答:珍珍第一局的得分为6分.
(2)由题意可得3k+3×1+(10-k-3)×(-2)=6+13,解得k=6.
核心突破·拓思维
例1
(1)(2x-1)+3+ax=2x-1+3+ax=(2+a)x+2.
∵当三个圆珠同时相撞时,不论x的值为多大,得到y的值总不变,
∴2+a=0,
解得a=-2.
(2)当y=2x-1+3=2x+2时,
因为y=-1,所以-1=2x+2,
解得x=-1.5(因为x为整数,舍去);
当y=3+(-2x)=-2x+3时,
因为y=-1,
所以-1=-2x+3,
解得x=2.
答:x的值为2.
例2　C
提示:①-②,可以消去y,故A不符合题意;
由①变形得x=2+2y③,将③代入②,可以消去x,故B不符合题意;
①×4+②,无法消元,故C符合题意;
由②变形得2y=4x-5③,将③代入①,可以消去y,故D不符合题意.
综上可知,选C.
例3
(1)①(5x+20).
②[x+(5x+20)]=298 .
③去分母,得x+(5x+20)=596.
去括号,得x+5x+20=596.
移项、合并同类项,得6x=576.
系数化为1,得x=96.
所以5x+20=5×96+20=500.
答:电气机车的速度为96千米/时,磁悬浮列车的速度为500千米/时.
(2)设徒手搬运工每小时搬运x箱货物,则叉车驾驶员每小时搬运(5x+20)箱货物.
根据题意列方程,得[x+(5x+20)]=298 .
解得x=96.
所以5x+20=5×96+20=500.
答:徒手搬运工每小时搬运96箱货物,叉车驾驶员每小时搬运500箱货物.
(3)设乙种茶叶的单价为x元/千克,则甲种茶叶的单价为(5x+20)元/千克.
根据题意列方程,得[x+(5x+20)]=298.
解得x=96.
所以5x+20=5×96+20=500.
答:甲种茶叶的单价为500元/千克,乙种茶叶的单价为96元/千克.

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