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第3节　一元二次方程及其应用
(6年3考,2~3分)
　　一元二次方程是河北省中考的必考内容,在选择题或填空题中,单独考查的知识点主要是根的判别式,有时考查解法;在解答题中一般不会单独考查,而是与二次函数、勾股定理等代数或几何知识综合解决实际问题和数学问题.预测这些命题趋势会延伸到2025年的中考试卷上.
回归教材·过基础——河北中考核心考点梳理
【知识体系】
【考点清单】
考点1一元二次方程及其解法
一元二次方程的概念 定义 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程
一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0),其中ax2、bx、c分别叫作二次项、一次项、常数项,a、b分别称为二次项系数、一次项系数
一元二次方程的解法 直接开平方法 1.当方程缺少一次项时,即方程ax2+c=0(a≠0,ac<0). 2.形如(x+m)2=n(n≥0)的方程. 【温馨提示】以上情况可直接开平方求解,开方后取正负两个值
配方法 当一元二次方程的二次项系数为1,一次项系数为偶数时,适用配方法解方程
公式法 一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式为x=(b2-4ac≥0). 【温馨提示】应用公式法的前提条件:判别式Δ≥0;等号的右边为0
因式分解法 1.常数项为0,即方程ax2+bx=0(a≠0). 2.一元二次方程的一边为0,另一边易分解成两个一次因式的乘积
考点2一元二次方程根的判别式及根与系数的关系　(轮考点)
根的判别式(1)当Δ=b2-4ac①　　　　0时,原方程有两个不相等的实数根. (2)当Δ=b2-4ac②　　　　0时,原方程有两个相等的实数根. (3)当Δ=b2-4ac③　　　　0时,原方程没有实数根
根与系数的关系(1)基本关系:若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根分别为x1,x2,则x1+x2=④　　　　,x1x2=⑤　　　　.注意运用根与系数关系的前提条件是Δ≥0. (2)解题策略:已知一元二次方程,求关于方程两根的代数式的值时,先把所求代数式变形为含有x1+x2,x1x2的式子,再运用根与系数的关系求解
考点3一元二次方程的应用
平均增长率(降低率)问题a(1±x)2=b,a表示原来的量,x表示平均增长率(降低率),b表示变化后的量
利润问题总利润=单件利润×销售数量
循环问题 (以比赛问题为例) 单循环问题 (每两队之间比赛一场) 设总共有x支队伍,则x(x-1)=总的比赛场次
双循环问题 (每两队之间比赛两场) 设总共有x支队伍,则x(x-1)=总的比赛场次
面积问题 1.直接利用相应图形的面积公式列方程. 2.将不规则图形通过割补或平移形成规则图形,运用面积之间的关系列方程
【基础演练】
1.下列方程是一元二次方程的是 (　　)
A.ax2+bx+c=0
B.2x2+3x-1=2(x2-4)
C.x2+2=0
D.4x2+=5
2.(人教九上P4习题21.1第1题(1)变式)方程3x2-2x=1的二次项系数、一次项系数、常数项分别是 (　　)
A.3,2,1 B.3,-2,1
C.3,-2,-1 D.-3,2,-1
3.(人教九上P4第7题变式)若1是关于x的方程x2+x-t=0的一个根,则t的值为 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
4.(冀教九上P39练习第1题(3)变式)用配方法解方程x2-8x+2=0,则方程可变形为 (　　)
A.(x-4)2=6 B.(x-8)2=18
C.(x-4)2=18 D.(x-4)2=14
5.(冀教九上P42习题B组第1题变式)关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有两个实数根,那么实数k的取值范围是 (　　)
A.k≤1 B.k<1且k≠0
C.k≤1且k≠0 D.k≥1
6.若一元二次方程x2-3x-2=0的两个实数根为a,b,则a-ab+b的值为　　　　.
7.用适当的方法解下列方程:
(1)(x-2)2=1;
(2)3x2+2x=2.
真题精粹·重变式——河北6年真题精选及拓展
考向1解一元二次方程　(6年2考)
1.(2024·河北9题2分)淇淇在计算正数a的平方时,误算成a与2的积,求得的答案比正确答案小1,则a的值为 (　　)
A.1
B.-1
C.+1
D.1或+1
考向2根的判别式　(6年1考)
2.(2024·河北15题2分)小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)时,只抄对了a=1,b=4,解出其中一个根是x=-1.他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2,则原方程的根的情况是 (　　)
A.不存在实数根
B.有两个不相等的实数根
C.有一个根是x=-1
D.有两个相等的实数根
核心突破·拓思维——学科核心素养提升
题型1　一元二次方程的解法
(2024·廊坊一模)关于y的方程y(y-2)=4(y-2),下面解法完全正确的是 (　　)
A.甲　　　　　B.乙　　　　　C.丙　　　　　D.丁
　　解一元二次方程从本质上体现了转化思想,基本思路是一个一元二次方程的最高项由二次降为一次,从而将一元二次方程转化为一元一次方程求解.
一元二次方程
降次↓转化
一元一次方程
　　方程两边同时除以一个数(或式子)需保证该数(或式子)不为0.
某节数学课上,甲、乙、丙三位同学都在黑板上解关于x的方程x(x-1)=3(x-1),下列解法完全正确的个数为 (　　)
A.3 B.2 C.1 D.0
题型2　含有参数的一元二次方程
(2024·张家口一模)在解关于x的一元二次方程x2-2x+k=0时,嘉嘉将k的值写成了-k,方程有两个相等的实数根,则原方程 (　　)
A.没有实数根
B.无法判断根的情况
C.有两个相等的实数根
D.有两个不相等的实数根
　　判别式关系图
在讲解一元二次方程x2-6x+□=0时,老师故意把常数项“□”空下了,让同学们填一个正整数,使这个一元二次方程有两个不相等的实数根,则大家在其中所填的值可能有 (　　)
A.6个 B.8个 C.9个 D.10个
　　一元二次方程的系数(包括常数项)用字母参数表示,根据根的判别式的性质,利用根的情况求参数的值或者取值范围.为了增加新颖性,有时用符号代替参数.
　　“□”相当于一个参数.
参考答案
考点清单
①>　②=　③<　④-　⑤
基础演练
1.C　2.C　3.B　4.D　5.C
6.5
7.(1)∵(x-2)2=1,
∴x-2=1或x-2=-1,
解得x1=3,x2=1.
(2)∵3x2+2x=2,
∴3x2+2x-2=0,
∴a=3,b=2,c=-2,
∴Δ=b2-4ac=22-4×3×(-2)=28>0,
∴x===,
解得x1=,x2=.
真题精粹·重变式
1.C
2.A　提示:∵在关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,a=1,b=4,且其中一个根是x=-1,
∴(-1)2-4+c=0,解得c=3,故原方程中c=5,则b2-4ac=16-4×1×5=-4<0,
则原方程的根的情况是不存在实数根.故选A.
核心突破·拓思维
例1　D
变式训练
C
例2　D　
变式训练　B
提示:设常数项为m.
∵一元二次方程x2-6x+m=0有两个不相等的实数根,
∴Δ=b2-4ac=36-4×1×m=36-4m>0,∴m<9.
∵m为正整数,∴常数项有8种可能的值.故选B.

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