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第4节　一元一次不等式(组)及其应用
(6年6考,3~9分)
　　一元一次不等式(组)的解法在选择题中偶尔单独考查,更多是在数学情境或现实情境中,通过不等量关系列不等式求未知数的取值范围或最大值、最小值、整数值等特殊值.会与有理数的运算、函数、统计等知识综合,这一特点在2025年的中考仍将作为工具性内容加以考查,可能与函数或统计等实际应用问题相结合,但按照课标要求不会有列不等式组解决实际问题的题目.
回归教材·过基础——河北中考核心考点梳理
【知识体系】
【考点清单】
考点1不等式及其基本性质
不等式的相关概念1.不等式:用不等号(>,≥,<,≤或≠)表示不等关系的式子. 2.不等式的解:使不等式成立的未知数的值. 3.不等式的解集:使不等式成立的未知数的取值范围
不等式的基本性质性质1:如果a>b,那么 a±c>b±c. 性质2:如果a>b,c①　　　　0,那么ac>bc,>. 性质3:如果a>b,c②　　　　0,那么ac考点2一元一次不等式
定义用不等号连接,含有一个未知数,并且含有未知数项的次数都是1的,左右两边为整式的式子叫作一元一次不等式
解法及解集表示 步骤:去分母;去括号;③　　　　;合并同类项;系数化为1
解集在数轴上表示:
1.方向:小于向左,大于向右. 2.边界:“≥”“≤”用实心圆点,“>”“<”用空心圆圈
考点3一元一次不等式组的定义及其解法　(轮考点)
定义由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起,就组成一个一元一次不等式组
解法先分别求出各个不等式的解集,再求出各个解集的公共部分
不等式组 解集的类型 假设a④　　　　 同大取大
⑤　　　　 同小取小
⑥　　　　 大小小大中间找
⑦　　　　 大大小小无处找
【基础演练】
1.“x与5的差的一半是正数”,用不等式可表示为 (　　)
A.x->0 B.>0
C.≥0 D.-5≥0
2.(冀教七下P125习题第1题(1)变式)不等式3x-9≤0的解集在数轴上表示正确的是 (　　)
A. B.
C. D.
3.某同学在解不等式组的过程中,画的数轴(如图)除不完整外,没有其他问题,则他解的不等式组可能是 (　　)
A. B.
C. D.
4.已知实数a,b满足a>b-1,则下列结论正确的是 (　　)
A.a>b B.aC.a+2>b+1 D.a+25.(人教七下P130第2题(4)变式)不等式组的正整数解有 (　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
真题精粹·重变式——河北6年真题精选及拓展
考向1不等式的性质　(6年1考)
1.(2023·河北3题3分)已知a>b,则一定有-4a□-4b,“□”中应填的符号是 (　　)
A.> B.< C.≥ D.=
考向2解一元一次不等式(组)及其解集表示　(6年3考)
2.(2024·河北4题3分)下列数中,能使不等式5x-1<6成立的x的值为 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
3.(2024·河北20题9分)整式3-m的值为P.
(1)当m=2时,求P的值.
(2)若P的取值范围如图所示,求m的负整数值.
4.(2023·河北20题8分)已知两个有理数:-9和5.
(1)计算:.
(2)若再添一个负整数m,且-9,5与m这三个数的平均数仍小于m,求m的值.
考向3一元一次不等式的实际应用　
(6年2考)
5.(2024·河北4题3分)语句“x的与x的和不超过5”可以表示为 (　　)
A.+x≤5 B.+x≥5
C.≤5 D.+x=5
6.(2023·河北21题9分)已知训练场球筐中有A,B两种品牌的乒乓球共101个,设A品牌的乒乓球有x个.
(1)淇淇说:“筐里B品牌的乒乓球的数量是A品牌的乒乓球的两倍.”嘉嘉根据她的说法列出了方程:101-x=2x.请用嘉嘉所列方程分析淇淇的说法是否正确.
(2)据工作人员透露,B品牌的乒乓球的数量比A品牌的乒乓球至少多28个,试通过列不等式的方法说明A品牌的乒乓球最多有几个.
核心突破·拓思维——学科核心素养提升
题型1　利用不等式(组)求整数解
已知多项式P=(x+2)2+x(1-x)-9(x为整数).
(1)试说明:多项式P能被5整除.
(2)若P对应的数在数轴上的表示如图所示,求满足条件的所有整数x的和.
　　用两个相同方向的不等号连接的不等式组的两种解法
　　一元一次不等式组的解法不是河北省的必考知识点,考查难度通常不大.在选择题中出现的不等式组比较简单,在解答题中不会单独考查,有时与其他知识相结合,作为数学工具确定取值范围或特殊值,尤其是整数值.
如图,这是一道关于整式运算的例题及正确的解答过程,其中A,B是两个关于x的二项式.
(1)直接写出二项式A和B,并求出该题目的最后运算结果.
(2)若A例题:先去括号,再合并同类项.
　　　　2(A)-3(B)
解:原式=4x-6-9x-15
=　　　　.
题型2　说理决策型问题
空地上有一段长为a米的旧墙MN,工人师傅欲利用旧墙和木栏围成一个封闭的矩形菜园(如图),已知木栏总长为40米,所围成的菜园面积为S平方米.若a=18,S=196,则 (　　)
A.有一种围法
B.有两种围法
C.不能围成菜园
D.无法确定有几种围法
　　(1)根据整式的乘法法则求出A,B即可,再根据整式的运算法则求出最后结果.
(2)先列出不等式,再求出不等式的解集,最后求出最小整数解即可.
参考答案
考点清单
①>　②<　③移项　④x≥b　⑤x≤a　⑥a≤x≤b　⑦无解
基础演练
1.B　2.C　3.B　4.C　5.C
真题精粹·重变式
1.B　2.A
3.(1)根据题意,得P=3×-2=3×-=-5.
(2)由数轴知,P≤7,
即3-m≤7,
解得m≥-2.
∵m为负整数,
∴m=-1或m=-2.
4.(1)==-2.
(2)根据题意,得∴-4+m<3m,
∴m-3m<4,
∴-2m<4,
∴m>-2.
∵m是负整数,
∴m=-1.
5.A
6.(1)嘉嘉所列方程为101-x=2x,
解得x=33.
又∵x为整数,
∴x=33不合题意,
∴淇淇的说法不正确.
(2)设A品牌的乒乓球有x个,则B品牌的乒乓球有(101-x)个,
依题意得101-x-x≥28,
解得x≤36.
又∵x为整数,
∴x可取的最大值为36.
答:A品牌的乒乓球最多有36个.
核心突破·拓思维
例1
(1)P=(x+2)2+x(1-x)-9
=x2+4x+4+x-x2-9
=5x-5
=5(x-1).
∵x为整数,
∴多项式P能被5整除.
(2)由题意得-20≤5(x-1)≤40,
∴-4≤x-1≤8,即-3≤x≤9,
满足条件的所有整数x的值为-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,
∴满足条件的所有整数x的和为-3-2-1+0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=39.
变式训练
(1)A=(4x-6)÷2=2x-3,B=(-9x-15)÷(-3)=3x+5.
2(2x-3)-3(3x+5)
=4x-6-9x-15
=-5x-21.
(2)∵A∴2x-3<3x+5,
∴2x-3x<5+3,
∴-x<8,
∴x>-8,
∴x的最小整数解是-7.
例2　A
提示:如图,设矩形ABCD的边AB为x米,则宽BC为(40-2x)米,
根据题意得(40-2x)x=196,
即-2x2+40x=196,
解得x1=10+,x2=10-,
而40-2x≤18,∴x≥11,∴x=10+,
所以只有一种围法.故选A.