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专题二　图形(三角形、四边形)的变化
(6年6考)
　　三角形、四边形综合题近年考查次数较多,难度较大,以点、线运动为背景,综合考查几何推理与计算.主要考查运用图形的变换、全等、相似等解决综合问题,难点是审题和分析思路.预测2025年仍会延续这一特点.
类型一　旋转问题
(6年2考,2023.T26,2021.T26)
(2024·泰安)如图1,在等腰Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=CB,点D,E分别在AB,CB上,DB=EB,连接AE,CD,取AE的中点F,连接BF.
(1)求证:CD=2BF,CD⊥BF.
(2)将△DBE绕点B顺时针旋转到图2的位置.
①请直接写出BF与CD的位置关系:　　　　.
②求证:CD=2BF.
第(1)小问
证明△ABE≌△CBD
↓
∠FAB=∠BCD,AE=CD
↓
CD=AE=2BF=2AF
↓
∠DCB=∠DBF
↓
∠DCB+∠FBC=90°
↓
CD⊥BF
第(2)小问①
证明△AGB≌△BDC
↓
∠ABG=∠BCD=∠BAN
　　　　　　
8字模型
∠ABC=∠ANC=90°
↓
得出结论
第(2)小问②
证明△AGF≌△EBF
↓
证明△AGB≌△BDC
↓
得出结论
　　　　　　　　四线共点,两两相等,夹角相等
(原创)如图1,在正方形ABCD中,AB=2,点E在DA的延长线上,且AE=1,F是AB的中点.
(1)将△AEF沿AD方向平移,直到点A与点D重合时,停止平移,设△AEF与正方形ABCD重叠部分的面积为y,平移的距离为x,求y与x的函数关系式,并写出自变量的取值范围.
(2)当点A与点D重合时,将△DEF绕点D顺时针旋转α(0°<α≤90°)得到△DE'F',射线CF',AE'相交于点H.
①求证:△DCF'≌△DAE'.
②如图2,在△DEF的旋转过程中,N为AD的中点,当点F'恰好落线段CN上时,求AH的长.
③在旋转的过程中,直接写出BF'的最小值.
类型二　平移问题
(2022.T26)
(原创)问题情境:如图1,在四边形ABCD中,AB=10,BC=8,AD⊥CD,对角线AC⊥BC,过点C作CE⊥AB,垂足为E,已知CD=CE.
(1)试判断线段AD与AE的数量关系,并证明.
操作探究:将△ACD沿直线AB向右平移,点A,C,D的对应点分别为点A',C',D'.
(2)①如图2,当点A'与点E重合时,连接DD',试判断四边形AED'D的形状,说明理由,并求出此时△ACD平移的距离;
②当点D'恰好落在边BC上时,请在图1中画出平移后的△A'C'D',并求出此时△ACD平移的距离.
拓展创新:
(3)如图3,在(2)①的条件下,将△A'C'D'绕点E旋转,在旋转的过程中,记C'D'所在直线与边BC交于点M,与边AB交于点N,当BN=MN时,请直接写出BN的长度.
第(1)小问
证明△ACD≌△ACE
↓
AD与AE的数量关系
第(2)小问①
平移
↓
AD=AD',AD∥AD'
↓
确认四边形AED'D的形状
↓
运用勾股定理求AC
↓
证明△ACE∽△ABC
↓
由对应边成比例求AE
第(2)小问②
平移
↓
AC∥A'C',AD=A'D'
↓
A'C'⊥BC
↓
A'B=A'D'
↓
求出A'A
第(3)小问
证明NE=NC'
↓
求出BE
↓
运用勾股定理求NE
↓
求出BN
(原创)如图1,正方形A'B'C'D与斜边为BC的Rt△ABC按如图所示的方式放在同一平面内,使点A'与点A重合,点D在BC上,BC∥A'C',其中AC=A'C'=6.正方形A'B'C'D固定不动.
(1)求A'D的长和∠C的度数.
(2)将△BAC绕点A按顺时针方向旋转,当AC与A'C'重合后,立刻沿射线A'C'方向平移,点D在BC边上时停止.
①求边AB旋转结束时扫过的面积;
②求平移结束时,正方形A'B'C'D与Rt△ABC重叠部分的面积S.
(3)如图2,若将(2)中的旋转和平移同时进行,设边AB与边A'D的交点为M,边AC与边C'D的交点为N,AM=a,AC'=AA',直接写出在运动过程中DM2+DN2的值.(用含a,k的式子表示)
类型三　裁剪问题
(2024.T23)
(一情境多变式)小明在一次数学活动中发现,可以用一刀将下图1所示的直角三角形纸片裁剪为两部分,然后将这两部分拼成一个矩形.
(1)请你直接在图1上画出小明的方法,并简要说明画法.
(2)在小明研究的基础上,小亮又发现对任意三角形纸片而言,只要两刀将其裁剪后,也可以拼成一个矩形,并且裁剪的方法不同,所拼成的矩形也不同.请你在图2-1和图2-2中画出两种不同的裁剪拼接方法.
(3)小敏研究完上述两位同学的探究后发现,可以取直角梯形纸片ABCD的腰CD的中点P,过点P作PE∥AB,裁掉△PEC,并将△PEC拼接到△PFD的位置,构成新图形.如图3-1,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠A=90°,AD=a,BC=b,AB=c.图3-2中矩形ABEF的面积是　　　　.(用含a,b,c的式子表示)
在特殊点处裁剪
↓
平移旋转等变化(全等)
↓
平行四边形(或矩形等)
　　　　　　
利用四边
形性质
解决问题
(4)类比图3的剪接办法,请你就图4和图5中的两种情形分别画出剪拼成一个平行四边形的示意图.(注:图4和图5中的四边形均为梯形)
(5)解决问题:小刚原来有一块七巧板,形状为平行四边形ACDE,如图6所示,不小心损坏了一条边变成了五边形ABCDE的形状,如图7所示,小刚现在打算将图7中的五边形在不改变其面积的前提下通过裁剪与拼接变成一个平行四边形,请你帮他画出剪接的示意图,并说明理由.
(五育并举)在劳动教育课上白老师带领同学们体会分割木板的乐趣,已知三角形木板ABC的面积为48,BC的长为8.按下列步骤将三角形木板ABC进行裁剪和拼接:
第一步:如图1,沿三角形ABC的中位线DE将木板剪成两部分.在线段DE上任意取一点F,在线段BC上任意取一点H,沿FH将四边形木板DBCE剪成两部分.
第二步:如图2,将FH左侧木板绕点D旋转180°,使线段DB与DA重合;将FH右侧木板绕点E旋转180°,使线段EC与EA重合,再与三角形木板ADE拼成一个与三角形木板ABC面积相等的四边形木板.
(1)当点F,H在如图2所示的位置时,请按照第二步的要求,在图2中补全拼接成的四边形.
(2)在按以上步骤拼成的所有四边形木板中,其周长的最小值为　　　　.
(3)白老师将三块不全等的平行四边形木板拼成了一个邻边长为5和12的大的平行四边形木板,然后通过裁剪又拼成了一个不重叠,无缝隙的大正方形木板(图4),数据如图所示,记图3中三个小平行四边形的中心分别为A,B,C,点A,C在图4中的对应点记为点A1,C1,连接A1B和A1C1.当A1B=A1C1时,求MN的长.
类型四　动点问题
(6年2考,2020.T26,2019.T23)
(改编·一题多设问)如图,在矩形ABCD中,AB=5 cm,BC=6 cm,点P从点A开始沿边AB向终点B以1 cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿边BC向终点C以2 cm/s的速度移动.如果点P,Q分别从点A,B同时出发,当点Q运动到点C时,两点停止运动.设运动时间为t(t>0)s.
(1)PB=　　　　cm,BQ=　　　　cm.(用含t的代数式表示)
(2)当t为何值时,PQ的长度等于5 cm
(3)是否存在t,使得五边形APQCD的面积等于26 cm2 若存在,请求出此时t的值;若不存在,请说明理由.
(4)当t为何值时,五边形APQCD的面积有最小值 最小值为多少
(5)连接AC,当t为何值时,△BPQ与△ABC相似
　　化动为静三步策略
线、式、验
序号 口诀 做法
1 线 根据题中动点的出发位置,移动方向和速度,用含t的式子表示线段
2 式 根据等量关系,列出式子
3 验 检验解是否在动点的运动时间范围内
　　(1)根据路程与速度的关系解决问题即可.
(2)利用勾股定理构建方程.
(3)利用分割法构建方程.
(4)利用分割法构建函数.
(5)没有指明对应关系,所以分情况讨论.
1.(原创)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,D是边AB上一动点,以CD为边构造正方形CDEF,且点E,F位于AB的上方,连接BE.
(1)如图1,当AD=BD时,∠EDB=　　°.
(2)如图2,当点E在CB上时.
①求∠EDB的度数;
②AD∶DB=　　　　.
(3)如图3,AC=2,EB⊥AB,FE的延长线与AB的延长线交于点M.
①AD∶DB=　　　　;
②求四边形AMFC的面积.
　　　图1　 　　　 　图2　 　　　　图3
2.(原创)如图,在 ABCD中,BC=8,S ABCD=24,tan A=,M是BC的中点.点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动,到达点B后立刻以原速度沿BM返回;点Q从点M出发以每秒1个单位长度的速度在射线MC上匀速运动.在点P,Q的运动过程中,以PQ为边作等边△EPQ,使它和 ABCD在射线BC的同侧,点P,Q同时出发,点P返回到点M时终止运动,点Q也随之停止运动,设点P,Q运动时间是t(t>0)秒.
(1)①当t=1秒时,S△PQE=　　　　;②当t=　　　　秒时,点E刚好落在边AD上.
(2)当PM=2时,求△EPQ与 ABCD重叠部分的面积.
　　　　　　　　　　(备用图)
参考答案
类型一　旋转问题
例(1)证明∵AB=BC,∠ABE=∠CBD,BE=BD,
∴△ABE≌△CBD(SAS),
∴AE=CD,∠FAB=∠BCD.
∵F是Rt△ABE斜边AE的中点,
∴AE=2BF,
∴CD=2BF.
∵BF=AE=AF,
∴∠FAB=∠FBA,
∴∠FBA=∠BCD.
∵∠FBA+∠FBC=90°,
∴∠FBC+∠BCD=90°.
∴BF⊥CD.
(2)①BF⊥CD.
提示:如图1,延长BF到点G,使FG=BF,连接AG.延长EB到点M,使BM=BE,连接AM并延长交CD于点N.
证△AGB≌△BDC(具体证法过程跟②一样).
∴∠ABG=∠BCD.
∵F是AE的中点,B是EM的中点,
∴BF是△AEM中位线,
∴BF∥AN,
∴∠ABG=∠BAN=∠BCD,
∴∠ABC=∠ANC=90°,
∴AN⊥CD.
∵BF∥AN,
∴BF⊥CD.
②证明:如图2,延长BF到点G,使FG=BF,连接AG.
∵AF=EF,FG=BF,∠AFG=∠EFB,
∴△AGF≌△EBF(SAS),
∴∠FAG=∠FEB,AG=BE,
∴AG∥BE,
∴∠GAB+∠ABE=180°.
∵∠ABC=∠EBD=90°,
∴∠ABE+∠DBC=180°,
∴∠GAB=∠DBC.
∵BE=BD,
∴AG=BD.
∵AG=BD,∠GAB=∠DBC,AB=CB,
∴△AGB≌△BDC(SAS),
∴CD=BG.
∵BG=2BF,
∴CD=2BF.
变式训练
(1)∵四边形ABCD是正方形,∴∠DAB=90°.
∵F是AB的中点,∴AF=1.
∵AE=AF=1,∴△AEF是等腰直角三角形.
如图1,AB与EF交于点M,由题意可得AA'=x,当0重合部分的面积为y=S△A'EF-S△AME=×1×1-(1-x)2=-x2+x;
如图2,当1综上所述,y与x的函数关系式为
y=
(2)①证明:∵△DEF绕点D顺时针旋转α(0°<α≤90°)得到△DE'F',
∴∠E'DF'=∠CDA=90°,DF'=DE',
∴∠CDF'=∠CDA-∠ADF'=∠E'DF'-∠ADF'
=∠ADE'.
又∵CD=DA,∴△DCF'≌△DAE'(SAS).
②如图3,由题意可得DA=DC=2,DF'=DE'=1.
∵N为AD的中点,∴AN=DN=1,∴CN==.
由①可知△DCF'≌△DAE',∴∠DCF'=∠DAE'.
又∵∠DNC=∠ANH,∴△CDN∽△AHN,
∴=,即=,解得AH=.
③2-1.
提示:如图3,在旋转的过程中,点F'在以D为圆心,1为半径的圆上.∵BD=2,∴BF'的最小值为2-1.
类型二　平移问题
例(1)AD=AE.
证明:∵AD⊥CD,CE⊥AB,
∴∠D=∠CEA=90°.
在Rt△ACD与Rt△ACE中,
∴Rt△ACD≌Rt△ACE(HL),
∴AD=AE.
(2)①四边形AED'D是菱形.
理由:由平移的性质可知AD∥A'D',且AD=A'D',
点A'与点E重合,∴四边形AED'D是平行四边形.
由(1)可知AD=AE,
∴四边形AED'D是菱形.
在Rt△ABC中,∵AB=10,BC=8,AC⊥BC,
∴根据勾股定理,得AC===6.
∵∠CAE=∠BAC,∠AEC=∠ACB=90°,
∴△ACE∽△ABC,
∴=,
∴AE===,
∴△ACD平移的距离为.
②如图,过点D作DD'∥AB,交BC于点D',过点D'作D'A'∥DA,交AB于点A',过点D'作D'C'∥DC,过点A'作A'C'∥AC,D'C'交A'C'于点C',则△A'C'D'即所求.
由平移的性质可知,∠3=∠4,AC∥A'C',AD=A'D',
∴∠1=∠2.
∵AC⊥BC,
∴A'C'⊥BC.
由(1)知∠2=∠3,
∴∠1=∠4,
∴∠B=∠5,
∴A'B=A'D'.
由①可知AD=AE=A'D'=A'B=,
∴A'A=AB-A'B=10-=,
∴此时△ACD平移的距离为.
(3).
提示:当BN=MN时,∠B=∠NMB.
∵∠C'=∠B,∠MNB=∠ENC',
∴∠C'=∠NEC'=∠NMB=∠B,
∴NE=NC'.
由(2)知ED'=AD=AE=,EC'=AC=6,
∴EB=AB-AE=.
又∵BC=8,∴D'C'=DC=EC=.
设NE=NC'=x,则D'N=-x,
在Rt△D'EN中,根据勾股定理,得2+-x2=x2,
解得x=,
∴BN=EB-NE=-=.
变式训练
(1)如图1,过点A作AH⊥BC于点H,
在正方形A'B'C'D中,∠A'DC'=90°,
∠DA'C'=45°,A'C'=6,∴A'D=3.
∵BC∥A'C',∴∠HDA'=∠DA'C'=45°,∴AH=3.
在Rt△AHC中,AC=6,sin C==,∴∠C=30°.
(2)①如图2,边AB旋转结束扫过的面积为扇形ABB1的面积.
∵BC∥A'C',∴旋转角∠B1AB=∠C'AC=∠C=30°.
在Rt△ABC中,∵AC=6,∠ACB=30°,∴AB=2,
∴扇形ABB1的面积为=π.
②如图3,设AB交A'D于点P,∴△A'AP是等腰直角三角形,AA'=AP.过点D作DE⊥AC于点E.
在Rt△C'DE中,∠DC'E=45°,DC'=A'D=3,
∴C'E=DE=3.
在Rt△ECD中,∵∠C=30°,∴CE=DE=3,
∴平移距离为AA'=CC'=CE-C'E=3-3,
∴S=S△A'DC'-S△A'AP=×6×3-×(3-3)2=9-9.
(3)DM2+DN2=(k+1)a2.
提示:如图4,连接MN,过点A作AF⊥A'C'交A'D于点F,则△A'AF为等腰直角三角形,
∴AF=A'A.∵AC'=AA',
∴AC'=AF,∴AC'∶AF=.
∵∠MAF+∠FAN=90°,∠NAC'+∠FAN=90°,
∴∠MAF=∠NAC'.
∵∠A'FA=∠DC'A'=45°,∴△NAC'∽△MAF.
∴AC'∶AF=AN∶AM=.
∵AM=a,∴AN=AM=a.
在Rt△AMN中,MN2=AM2+AN2=a2+(a)2=(k+1)a2.
在Rt△DMN中,DM2+DN2=MN2=(k+1)a2.
类型三　裁剪问题
例(1)如图1,将直角△ABC纸片从中位线DE处剪开成两部分,然后将第1部分放在第3部分的位置上,拼成矩形DFBC.
(2)如图2,裁剪方法1,得矩形CBFE.
如图3,裁剪方法2,得矩形DNFE.
(3).
(4)如图4所示.
(5)裁剪方式如图5所示,其中点Q和T分别为AB和BC的中点,WF∥DE,将第1部分拼接到第2部分的位置,将第4部分拼接到第3部分的位置.
理由:如图5,过点B作HZ∥AE.
∵Q,T分别是AB,BC中点,
∴△AVQ≌△BSQ,
△SBT≌△GCT,
∴符合要求.
变式训练
(1)补全的图形如图所示:
(2)28.
提示:∵△ABC的面积是48,BC=8,∴点A到BC的距离为12.∵DE是△ABC的中位线,∴平行线DE与BC间的距离为6,由题意知四边形F'H'H''F''是平行四边形,∴ F'H'H''F''的周长为2F'F''+2F'H'=4DE+2FH=2BC+2FH=16+2FH.∵拼成的所有四边形纸片中,其周长最小时,FH最小,即FH⊥BC时,四边形纸片的周长最小,∴FH=6,∴周长的最小值为16+2×6=28.
(3)如图2,设直线AB交ZM于点R,交QH于点W,交EF于点J.作FV⊥LE,交直线AB于点D,设NE=2a,BW=x.
由题意可知,△YLZ是直角三角形,
∴LZ==3,
∴PZ=LZ=3.
∵四边形PKQL是正方形,
∴PL=LQ=QK=PK=ZH=6,
∴HF=WD=QV=2,QE=6,
∴VE=4.
∵FD=DV,FJ=JE,
∴DJ为△FVE的中位线,
∴DJ=VE=2,
∴WJ=WD+DJ=4.
∵ME=8,
∴BC=4=WJ,
∴BW=CJ.
∵CJ=NE=a,
∴a=x.
∴A1C1=QE-WC=6-(4-a)=2+a,A1B=.
∵A1C1=A1B,
∴(2+a)2=a2+32,
∴a=,
∴NE=2a=,
∴MN=8-=.
类型四　动点问题
例
(1)(5-t);2t.
(2)由题意,得(5-t)2+(2t)2=25,解得t1=0(不合题意,舍去),t2=2.
∴当t=2 s时,PQ的长度等于5 cm.
(3)存在,当t=1 s时,五边形APQCD的面积等于26 cm2.理由如下:
(5-t)×2t×=30-26,解得t1=4(不合题意,舍去),t2=1.
∴当t=1 s时,五边形APQCD的面积等于26 cm2.
(4)设五边形APQCD的面积为S.
∵S矩形ABCD=6×5=30(cm2),S△PBQ=×(5-t)×2t=5t-t2,
∴S=S矩形ABCD-S△PBQ=30-(5t-t2)=t2-5t+30=t-2+,当t= s时,五边形APQCD的面积取得最小值,最小值为 cm2.
(5)分两种情况,当△BPQ∽△BAC时,BP∶BA=BQ∶BC,即=,解得t=;
当△BPQ∽△BCA时,BP∶BC=BQ∶BA,即=,解得t=.
∴当t为 s或 s时,△BPQ与△ABC相似.
变式训练
1.(1)30.
(2)①∵四边形CDEF为正方形,∴∠CED=45°.
∵∠B=30°,∴∠EDB=15°.
②.
(3)①.
②如图,过点C作CN⊥AB,N为垂足.
∵AC=2,∠A=60°,∴AN=1,CN=.
易证Rt△CDN≌Rt△DEB,∴CN=BD=,
∴DN=AB-AN-BD=3-,
∴BE=DN=3-.
又∵EB⊥AB,∴易证△EBM∽△DBE,
∴=,
∴BM==,
∴BM=4-6,
∴S四边形AMFC=S△ACD+S正方形CDEF+S△EDM=(4-)×+(3-)2+()2+(5-6)×(3-)=.
2.(1)如图1,①当t=1秒时,据题意知M是PQ的中点,△EPQ是等边三角形,连接EM,
图1
∴∠EPQ=60°,EM⊥BC,MP=MQ=1,EP=PQ=EQ=2.∴EM=EP·sin 60°=.
∴S△PQE=PQ·EM=.
②如图2,过点B作BF⊥AD于点F,连接EM.
图2
∵M是BC的中点,△EPQ是等边三角形,
∴∠EPQ=60°,EM⊥BC.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴BF=EM.
∵S ABCD=BC·BF=24,∴BF=EM=3,
∴PM=QM=3,∴t==3.
故答案为①;②3.
(2)当点P未返回时,如图3,连接EM,PQ=2PM=4,EM=PM=2,
∴S重叠部分=S△EPQ=PQ·ME=4;
当点P返回时,如图4,EP交AD于点H,过点E作EN⊥BC,作DN'⊥BC,此时t=6,∴MQ=6,
∴PQ=PM+MQ=8,PN=PQ=4,
∴EN=PN=4.易知DK=3,CN=PM+MC-PN=2+4-4=2.
∵∠BCD=∠A,∴tan∠BCD==,
∴CN'=2=CN,∴N与N'重合.
∵∠EHD=∠EPN,∠HED=∠PEN,∴△EHD∽△EPN,∴==,
∴HD=1,∴S重叠部分=×(6+1)×3=.
∴△EPQ与 ABCD重叠部分的面积为4或.

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