资源简介

专题一　解直角三角形问题
(6年3考)
　　解直角三角形(含勾股定理问题)是近年来常考知识点,多以基础和中档解答题的形式考查,考查内容主要是勾股定理的应用、锐角三角函数的应用等知识点,考查形式多样,可与多种初中几何代数知识点结合.预测2025年仍会延续这一特点.
类型一　勾股定理
(2019.T21)
(2024·邯郸二模)小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后,对其作了进一步的探究:如图1,在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A,小球A可以自由摆动,图2是其抽象出的示意图,OA表示小球静止时的位置.当小明用发声物体靠近小球时,小球从OA摆到OB位置,此时过点B作BD⊥OA于点D,当小球摆到OC位置时,OB与OC恰好垂直(图中的点A,B,O,C在同一平面上),过点C作CE⊥OA于点E,测得OC=17 cm,OE=8 cm.
(1)试说明:OE=BD.
(2)求DE的长.
1.(2024·唐山一模)已知三角形的一条边长为a cm,第二条边比第一条边短4 cm,第三条边比第二条边的2倍短4 cm.
(1)用含a的代数式表示这个三角形的周长.
(2)当a=10时,判断该三角形的形状,并说明理由.
2.(原创)当直角三角形的三边长都是正整数时,我们称这三个正整数为勾股数.
(1)若a,b为一个直角三角形的直角边长,c为斜边长,a,b,c为勾股数,且a=n+7,c=n+8,n为正整数,求b的值(用含n的式子表示).并直接写出符合题意的最小的b的值.
(2)当n是大于1的整数时,判断2n,n2-1,n2+1是不是勾股数,并说明理由.
类型二　三角函数的应用
(6年2考,2024.T22,2023.T26)
某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动,记录如下:
活动项目测量校园中树AB的高度
活动方案“测角仪”方案“平面镜”方案
方案示意图
实施过程①选取与树底B位于同一水平地面的D处; ②测量D,B两点间的距离; ③站在D处,用测角仪测量从眼睛C处看树顶A的仰角∠ACF; ④测量C到地面的高度CD①选取与树底B位于同一水平地面的E处; ②测量E,B两点间的距离; ③在E处水平放置一个平面镜,沿射线BE方向后退至D处,眼睛C刚好从镜中看到树顶A; ④测量E,D两点间的距离; ⑤测量C到地面的高度CD
测量 数据 ①DB=10 m; ②∠ACF=32.5°; ③CD=1.6 m ①EB=10 m; ②ED=2 m; ③CD=1.6 m
备注 ①图上所有点均在同一平面内; ②AB,CD均与地面垂直; ③参考数据:tan 32.5°≈0.64 ①图上所有点均在同一平面内; ②AB,CD均与地面垂直; ③把平面镜看作一个点,并由物理学知识可得∠CED=∠AEB
请你从以上两种方案中任选一种,计算树AB的高度.
(2024·广东)中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献.为满足新能源汽车的充电需求,某小区增设了充电站,如图,这是矩形PQMN充电站的平面示意图,矩形ABCD是其中一个停车位.经测量,∠ABQ=60°,AB=5.4 m,CE=1.6 m,GH⊥CD,GH是另一个车位的宽,所有车位的长宽相同,按图示并列划定.
根据以上信息回答下列问题:(结果精确到0.1 m,参考数据:≈1.73)
(1)求PQ的长.
(2)该充电站有20个停车位,求PN的长.
参考答案
类型一　勾股定理
例(1)∵OB⊥OC,∴∠BOD+∠COE=90°.
∵CE⊥OA,BD⊥OA,∴∠CEO=∠ODB=90°.
∴∠BOD+∠B=90°,∴∠COE=∠B.
∵OC=OB,
∴△COE≌△OBD(AAS),
∴OE=BD.
(2)在Rt△OEC中,CE==15 cm.
∵△COE≌△OBD,
∴OD=CE=15 cm,
∴DE=OD-OE=7 cm.
变式训练
1.(1)∵三角形的一条边长为a cm,第二条边比第一条短4 cm,第三条边比第二条边的2倍短4 cm,
∴第二条边长为(a-4)cm,第三条边长为2(a-4)-4=(2a-12)cm,
∴三角形的周长为a+a-4+2a-12=(4a-16)cm.
(2)当a=10时,三角形的一条边长为10 cm,
第二条边为10-4=6(cm),
第三条边为2×10-12=8(cm),
∴三角形的三条边长分别为10 cm,6 cm,8 cm.
∵62+82=36+64=100=102,
∴这个三角形为直角三角形,
∴当a=10时,这个三角形为直角三角形.
2.(1)由题意知b2=c2-a2
=(n+8)2-(n+7)2
=2n+15,
则b=.
符合题意的最小的b的值为5.
提示:∵n为正整数,∴当n=5时,b===5.
(2)2n,n2-1,n2+1是勾股数.
理由:由题意可知n2+1>2n,n2+1>n2-1,
则(2n)2+(n2-1)2=4n2+n4-2n2+1
=n4+2n2+1
=(n2+1)2,
∴2n,n2-1,n2+1是勾股数.
类型二　三角函数的应用
例“测角仪”方案:∵CD⊥BD,AB⊥BD,
∴四边形CDBF是矩形,
∴CF=BD=10 m,BF=CD=1.6 m.
∵∠ACF=32.5°,
∴AF=CF·tan 32.5°≈10×0.64=6.4(m),
∴AB=AF+BF≈6.4+1.6=8(m).
答:树AB的高度为8 m.
“平面镜”方案:∵CD⊥BD,AB⊥BD,
∴∠CDE=∠ABE=90°.
∵∠CED=∠AEB,
∴△CDE∽△ABE,
∴=,
∴=,
∴AB=8 m.
答:树AB的高度为8 m.
变式训练
(1)∵四边形PQMN是矩形,
∴∠Q=∠P=90°.
在Rt△ABQ中,∠ABQ=60°,AB=5.4 m,
则AQ=AB·sin ∠ABQ=(m),∠QAB=30°.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC,∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠BCE=90°,
∴∠CBE=30°,
∴BC==(m),
∴AD= m.
∵∠PAD=180°-30°-90°=60°,
∴AP=AD·cos ∠PAD=(m),
∴PQ=AP+AQ=≈6.1(m).
(2)在Rt△BCE中,BE==3.2(m),
在Rt△ABQ中,BQ=AB·cos ∠ABQ=2.7(m).
∵该充电站有20个停车位,
∴QM=QB+20BE=66.7(m).
∵四边形PQMN是矩形,
∴PN=QM=66.7 m.

展开更多......

收起↑