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2025年湖南省中考数学一轮复习
第六讲　分式方程的概念及解法 学生版
知识要点 对点练习
1.分式方程的概念 (1)定义: 中含有未知数的方程. (2)分式方程的增根:在分式方程变形时,有可能产生使原方程的 等于0的根,它满足变形后的 方程,但不适合原 方程 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(1)下列方程:①x2-2x=;②-1=;③x4-2x2=0;④x2-1=0.其中分式方程是( ) A.①②③ B.①② C.①③ D.①②④ (2)方程+=0有增根,不解方程,可判断这个增根是 .
2.分式方程的解法 (1)解分式方程的基本思想:将分式方程转化为 求解,方法是通过“去分母”,即方程两边同乘分式方程中的 . (2)解分式方程的一般步骤: ①去 ,将分式方程转化为整式方程; ②解所得的 方程; ③检验所得的整式方程的解是否为 方程的解; ④确定分式方程的解. 2.(教材再开发·湘教八上P34练习T1改编)解分式方程+=,分以下四步,其中,错误的一步是( ) A.方程两边分式的最简公分母是(x-1)(x+1) B.方程两边都乘(x-1)(x+1),得整式方程2(x-1)+3(x+1)=6 C.解这个整式方程,得x=1 D.原方程的解为x=1
考点1　分式方程的解法
【例1】(2024·福建中考)解方程:+1=.
【自主解答】原方程两边都乘(x+2)(x-2),去分母得3(x-2)+(x+2)(x-2)=x(x+2),
整理得3x-10=2x,解得x=10,
检验当x=10时,(x+2)(x-2)≠0,
故原方程的解为x=10.
【方法技巧】
解分式方程的两点注意
(1)去分母时注意不要漏乘不含分母的项;
(2)得到整式方程的解后,注意要代入最简公分母检验.
【变式训练】
1.(2024·德阳中考)分式方程=的解是( )
A.3　 B.2　 C.　 D.
2.(2024·泸州中考)分式方程-3=的解是( )
A.x=-　 B.x=-1
C.x=　 D.x=3
考点2　分式方程根的情况
【例2】(2023·常德汉寿县一模)若去分母解分式方程+1=会产生增根,则m的值为 .
【思路点拨】先去分母,再将增根x=3代入x-2+x-3=m,求解即可.
【方法技巧】
1.利用增根求字母值的一般步骤:
(1)化分式方程为整式方程;
(2)让最简公分母等于零求出增根的值;
(3)把增根代入到整式方程中即可求得相关字母的值.
2.分式方程无解的两种情况:
(1)转化成的一元一次方程,其未知数前面的系数等于0,此一元一次方程无解;
(2)转化成的一元一次方程有解,其解恰好使原分式方程的最简公分母为0,该解是增根,此分式方程无解.
【变式训练】
1.(2024·龙东中考)已知关于x的分式方程-2=无解,则k的值为( )
A.k=2或k=-1　 B.k=-2
C.k=2或k=1　 D.k=-1
2.(2024·遂宁中考)分式方程=1-的解为正数,则m的取值范围( )
A.m>-3　 B.m>-3且m≠-2
C.m<3　 D.m<3且m≠-2
1.(2023·株洲中考)将关于x的分式方程=去分母可得( )
A.3x-3=2x B.3x-1=2x
C.3x-1=x D.3x-3=x
2.(2024·湖南中考)分式方程=1的解为 .
3.(2023·永州中考)若关于x的分式方程-=1(m为常数)有增根,则增根是 .
4.(2021·湘西州中考)若式子+1的值为零,则y= .
2025年湖南省中考数学一轮复习
第六讲　分式方程的概念及解法 教师版
知识要点 对点练习
1.分式方程的概念 (1)定义:　分母　中含有未知数的方程. (2)分式方程的增根:在分式方程变形时,有可能产生使原方程的　最简公分母　等于0的根,它满足变形后的　整式　方程,但不适合原　分式　方程 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(1)下列方程:①x2-2x=;②-1=;③x4-2x2=0;④x2-1=0.其中分式方程是(B) A.①②③ B.①② C.①③ D.①②④ (2)方程+=0有增根,不解方程,可判断这个增根是　x=1　.
2.分式方程的解法 (1)解分式方程的基本思想:将分式方程转化为　整式方程　求解,方法是通过“去分母”,即方程两边同乘分式方程中的　最简公分母　. (2)解分式方程的一般步骤: ①去　分母　,将分式方程转化为整式方程; ②解所得的　整式　方程; ③检验所得的整式方程的解是否为　原分式　方程的解; ④确定分式方程的解. 2.(教材再开发·湘教八上P34练习T1改编)解分式方程+=,分以下四步,其中,错误的一步是(D) A.方程两边分式的最简公分母是(x-1)(x+1) B.方程两边都乘(x-1)(x+1),得整式方程2(x-1)+3(x+1)=6 C.解这个整式方程,得x=1 D.原方程的解为x=1
考点1　分式方程的解法
【例1】(2024·福建中考)解方程:+1=.
【自主解答】原方程两边都乘(x+2)(x-2),去分母得3(x-2)+(x+2)(x-2)=x(x+2),
整理得3x-10=2x,解得x=10,
检验当x=10时,(x+2)(x-2)≠0,
故原方程的解为x=10.
【方法技巧】
解分式方程的两点注意
(1)去分母时注意不要漏乘不含分母的项;
(2)得到整式方程的解后,注意要代入最简公分母检验.
【变式训练】
1.(2024·德阳中考)分式方程=的解是(D)
A.3　 B.2　 C.　 D.
2.(2024·泸州中考)分式方程-3=的解是(D)
A.x=-　 B.x=-1
C.x=　 D.x=3
考点2　分式方程根的情况
【例2】(2023·常德汉寿县一模)若去分母解分式方程+1=会产生增根,则m的值为　1　.
【思路点拨】先去分母,再将增根x=3代入x-2+x-3=m,求解即可.
【方法技巧】
1.利用增根求字母值的一般步骤:
(1)化分式方程为整式方程;
(2)让最简公分母等于零求出增根的值;
(3)把增根代入到整式方程中即可求得相关字母的值.
2.分式方程无解的两种情况:
(1)转化成的一元一次方程,其未知数前面的系数等于0,此一元一次方程无解;
(2)转化成的一元一次方程有解,其解恰好使原分式方程的最简公分母为0,该解是增根,此分式方程无解.
【变式训练】
1.(2024·龙东中考)已知关于x的分式方程-2=无解,则k的值为(A)
A.k=2或k=-1　 B.k=-2
C.k=2或k=1　 D.k=-1
2.(2024·遂宁中考)分式方程=1-的解为正数,则m的取值范围(B)
A.m>-3　 B.m>-3且m≠-2
C.m<3　 D.m<3且m≠-2
1.(2023·株洲中考)将关于x的分式方程=去分母可得(A)
A.3x-3=2x B.3x-1=2x
C.3x-1=x D.3x-3=x
2.(2024·湖南中考)分式方程=1的解为　x=1　.
3.(2023·永州中考)若关于x的分式方程-=1(m为常数)有增根,则增根是　x=4　.
4.(2021·湘西州中考)若式子+1的值为零,则y=　0　.
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