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2025年湖南省中考数学一轮复习
第二十三讲　圆的有关概念及性质 学生版
知识要点 对点练习
1.圆的定义及性质 (1)定义:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转 ,另一个端点A所形成的图形. (2)轴对称性:圆是 ,任何一条 都是它的对称轴. (3)旋转不变性:围绕着它的 任意旋转一个角度都能与原来的圆重合 1.(教材再开发·湘教九下P46习题2.1T2改编)下列说法中正确的个数有( ) ①平分弦的直径一定垂直于弦; ②圆是轴对称图形,每一条直径都是对称轴; ③直径是弦; ④长度相等的弧是等弧.　 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.垂径定理及推论 (1)垂径定理:垂直于弦的直径 ,并且平分弦所对的 . (2)推论:平分弦(不是直径)的直径 ,并且平分弦所对的 . 2.(2024·新疆中考)如图,AB是☉O的直径,CD是☉O的弦,AB⊥CD,垂足为E.若CD=8,OD=5,则BE的长为( ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.1　 B.2　 C.3　 D.4
3.弧、弦、圆心角的关系 (1)定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧 ,所对的弦也 . (2)推论:在同圆或等圆中, ①如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角 ,所对的弦 . ②如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角 ,所对的优弧和劣弧分别 . 3.(教材再开发·湘教九下P49T1改编)如图,在☉O中=, ∠AOB=45°,则∠COD=( ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.60° B.45° C.30° D.40°
4.圆周角定理及推论 (1)定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角 ,都等于这条弧所对的圆心角的 . (2)推论: ①半圆(或直径)所对的圆周角是 ,90°的圆周角所对的弦是 . ②在同圆或等圆中,如果两个圆周角 ,它们所对的弧一定 . 4.如图,A,B,C为☉O上的三个点,∠AOB=80°,则∠C的度数为( ) 　　　　 A.30° B.35° C.40° D.45°
5.圆内接四边形的性质 (1)性质:圆内接四边形对角 . (2)推论:圆内接四边形的任意一个外角等于它的 . 5.(2024·吉林中考)如图,四边形ABCD内接于☉O,过点B作BE∥AD,交CD于点E.若∠BEC=50°,则∠ABC的度数是( ) 　　 A.50°　 B.100° C.130°　 D.150°
考点　　圆的基本性质的相关计算(一题多设问)
【例】如图,点A,B,C,D在☉O上,AC是☉O的直径.连接AB,BC,CD,AD,DB,OD,OB.AC与BD交于点F,请回答下列问题: 问题1　若∠ACB=30°,则∠BOC= ,∠BDC= ,∠AOB= ,∠ADB= . 问题2　若∠BAC=40°,则∠OBC= . 问题3　若☉O的半径为2,∠AOB=∠AOD=60°,则AB= ,AD= . 问题4　若=,∠BOC=100°,则∠AOB= ,∠COD= . 问题5　若∠BOC=∠DOC,∠BCD=60°,BC=3,则BD= . 问题6　若AC⊥BD,垂足为点F,BD=8,AF=2,求☉O的半径. 问题7　若AC⊥BD,垂足为点F,BD=8,☉O的直径为10,求AF的长. 问题8　已知∠BOD=130°,则∠BAD= . 问题9　已知∠ACB=30°,若点E是圆上异于A,B,C的另一点,则∠AEB的度数是 . 【满分技法】 1.在解决与圆有关的角度的相关计算问题时,一般先判断角是圆周角还是圆心角;再转化成同弧所对的圆周角或圆心角,利用同弧所对的圆周角相等,同弧所对的圆周角是圆心角的一半等关系求解;当角是圆周角时,也可考虑圆内接四边形的性质或等腰三角形的性质,求解角的度数. 提醒:当点在圆上的位置不确定时,一定要考虑优弧或劣弧的不同情况,避免漏解. 2.在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,则它们所对应的其余各组量也相等. 3.垂径定理基本图形计算中的“四变量”“两关系” (1)四变量:如图,设弦长为a,圆心到弦的距离(弦心距)为d,半径为r,弧的中点到弦的距离(弓形高)为h,这四个变量知任意两个即可求其他两个. (2)两关系:①()2+d2=r2;②h+d=r. 注意:计算时常通过作半径或过圆心作弦的垂线段来构造直角三角形.
1.(2024·湖南中考)如图,AB,AC为☉O的两条弦,连接OB,OC,若∠A=45°,则∠BOC的度数为( )
　　　　　　　　　　　　　　　
A.60°　 B.75°　 C.90°　 D.135°
2.(2024·长沙中考)如图,在☉O中,弦AB的长为8,圆心O到AB的距离OE=4,则☉O的半径长为( )
A.4　 B.4　 C.5　 D.5
3.(2022·株洲中考)如图所示,等边△ABC的顶点A在☉O上,边AB,AC与☉O分别交于点D,E,点F是劣弧上一点,且与D,E不重合,连接DF,EF,则∠DFE的度数为( )
A.115° B.118° C.120° D.125°
4.(多选题·2023·湘潭中考)如图,AC是☉O的直径,CD为弦,过点A的切线与CD延长线相交于点B,若AB=AC,则下列说法正确的是(ABD)
A.AD⊥BC B.∠CAB=90°
C.DB=AB D.AD=BC
5.(2023·株洲中考)如图所示,点A,B,C是☉O上不同的三点,点O在△ABC的内部,连接BO,CO,并延长线段BO交线段AC于点D.若∠A=60°,∠OCD=40°,则∠ODC= 度.
6.(2022·长沙中考)如图,A,B,C是☉O上的点,OC⊥AB,垂足为点D,且D为OC的中点,若OA=7,则BC的长为 .
2025年湖南省中考数学一轮复习
第二十三讲　圆的有关概念及性质 教师版
知识要点 对点练习
1.圆的定义及性质 (1)定义:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转　一周　,另一个端点A所形成的图形. (2)轴对称性:圆是　轴对称图形　,任何一条　过圆心的直线　都是它的对称轴. (3)旋转不变性:围绕着它的　圆心　任意旋转一个角度都能与原来的圆重合 1.(教材再开发·湘教九下P46习题2.1T2改编)下列说法中正确的个数有(A) ①平分弦的直径一定垂直于弦; ②圆是轴对称图形,每一条直径都是对称轴; ③直径是弦; ④长度相等的弧是等弧.　 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.垂径定理及推论 (1)垂径定理:垂直于弦的直径　平分弦　,并且平分弦所对的　两条弧　. (2)推论:平分弦(不是直径)的直径　垂直于弦　,并且平分弦所对的　两条弧　. 2.(2024·新疆中考)如图,AB是☉O的直径,CD是☉O的弦,AB⊥CD,垂足为E.若CD=8,OD=5,则BE的长为(B) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.1　 B.2　 C.3　 D.4
3.弧、弦、圆心角的关系 (1)定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧　相等　,所对的弦也　相等　. (2)推论:在同圆或等圆中, ①如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角　相等　,所对的弦　相等　. ②如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角　相等　,所对的优弧和劣弧分别　相等　. 3.(教材再开发·湘教九下P49T1改编)如图,在☉O中=, ∠AOB=45°,则∠COD=(B) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.60° B.45° C.30° D.40°
4.圆周角定理及推论 (1)定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角　相等　,都等于这条弧所对的圆心角的　一半　. (2)推论: ①半圆(或直径)所对的圆周角是　90°　,90°的圆周角所对的弦是　直径　. ②在同圆或等圆中,如果两个圆周角　相等　,它们所对的弧一定　相等　. 4.如图,A,B,C为☉O上的三个点,∠AOB=80°,则∠C的度数为(C) 　　　　 A.30° B.35° C.40° D.45°
5.圆内接四边形的性质 (1)性质:圆内接四边形对角　互补　. (2)推论:圆内接四边形的任意一个外角等于它的　内对角　. 5.(2024·吉林中考)如图,四边形ABCD内接于☉O,过点B作BE∥AD,交CD于点E.若∠BEC=50°,则∠ABC的度数是(C) 　　 A.50°　 B.100° C.130°　 D.150°
考点　　圆的基本性质的相关计算(一题多设问)
【例】如图,点A,B,C,D在☉O上,AC是☉O的直径.连接AB,BC,CD,AD,DB,OD,OB.AC与BD交于点F,请回答下列问题: 问题1　若∠ACB=30°,则∠BOC=　120°　,∠BDC=　60°　,∠AOB=　60°　,∠ADB=　30°　. 问题2　若∠BAC=40°,则∠OBC=　50°　. 问题3　若☉O的半径为2,∠AOB=∠AOD=60°,则AB=　2　,AD=　2　. 问题4　若=,∠BOC=100°,则∠AOB=　80°　,∠COD=　80°　. 问题5　若∠BOC=∠DOC,∠BCD=60°,BC=3,则BD=　3　. 问题6　若AC⊥BD,垂足为点F,BD=8,AF=2,求☉O的半径. 【解析】设☉O的半径为r, ∵AC⊥BD,BD=8,∴BF=4. ∵AF=2,则OF=r-2. 在Rt△OBF中,OB2=BF2+OF2, 即r2=16+(r-2)2, 解得r=5. ∴☉O的半径为5. 问题7　若AC⊥BD,垂足为点F,BD=8,☉O的直径为10,求AF的长. 【解析】∵AC⊥BD,BD=8, ∴BF=4, ∵☉O的直径为10, ∴☉O的半径OB=5. 由勾股定理得OF==3, ∴AF=5-3=2. 即AF的长为2. 问题8　已知∠BOD=130°,则∠BAD=　115°　. 问题9　已知∠ACB=30°,若点E是圆上异于A,B,C的另一点,则∠AEB的度数是　30°或150°　. 【满分技法】 1.在解决与圆有关的角度的相关计算问题时,一般先判断角是圆周角还是圆心角;再转化成同弧所对的圆周角或圆心角,利用同弧所对的圆周角相等,同弧所对的圆周角是圆心角的一半等关系求解;当角是圆周角时,也可考虑圆内接四边形的性质或等腰三角形的性质,求解角的度数. 提醒:当点在圆上的位置不确定时,一定要考虑优弧或劣弧的不同情况,避免漏解. 2.在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,则它们所对应的其余各组量也相等. 3.垂径定理基本图形计算中的“四变量”“两关系” (1)四变量:如图,设弦长为a,圆心到弦的距离(弦心距)为d,半径为r,弧的中点到弦的距离(弓形高)为h,这四个变量知任意两个即可求其他两个. (2)两关系:①()2+d2=r2;②h+d=r. 注意:计算时常通过作半径或过圆心作弦的垂线段来构造直角三角形.
1.(2024·湖南中考)如图,AB,AC为☉O的两条弦,连接OB,OC,若∠A=45°,则∠BOC的度数为(C)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.60°　 B.75°　 C.90°　 D.135°
2.(2024·长沙中考)如图,在☉O中,弦AB的长为8,圆心O到AB的距离OE=4,则☉O的半径长为(B)
A.4　 B.4　 C.5　 D.5
3.(2022·株洲中考)如图所示,等边△ABC的顶点A在☉O上,边AB,AC与☉O分别交于点D,E,点F是劣弧上一点,且与D,E不重合,连接DF,EF,则∠DFE的度数为(C)
A.115° B.118° C.120° D.125°
4.(多选题·2023·湘潭中考)如图,AC是☉O的直径,CD为弦,过点A的切线与CD延长线相交于点B,若AB=AC,则下列说法正确的是(ABD)
A.AD⊥BC B.∠CAB=90°
C.DB=AB D.AD=BC
5.(2023·株洲中考)如图所示,点A,B,C是☉O上不同的三点,点O在△ABC的内部,连接BO,CO,并延长线段BO交线段AC于点D.若∠A=60°,∠OCD=40°,则∠ODC=　80　度.
6.(2022·长沙中考)如图,A,B,C是☉O上的点,OC⊥AB,垂足为点D,且D为OC的中点,若OA=7,则BC的长为　7　.
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