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2025年湖南省中考数学一轮复习
第二十四讲　与圆有关的位置关系 学生版
知识要点 对点练习
1.点与圆的位置关系 (1)设圆O的半径为r,点P到圆心的距离为OP=d.则: 点P在圆外 ;点P在圆上 ; 点P在圆内 . (2)确定圆的条件:不在同一直线上的三个点确定 圆. (3)三角形的外心:三角形外接圆的圆心,三角形三边的 的交点. 1.(1)平面直角坐标系内的三个点A(1,0),B(0,-3),C(2,-3) 确定一个圆(填“能”或“不能”). (2)已知☉O的半径为5,当线段OA=6时,则点A与☉O的位置关系是( )　　　　　　　　　 A.在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.不能确定
2.直线与圆的位置关系 (1)设圆O的半径为r,圆心到直线的距离为OP=d.则:直线与圆相离 ;直线与圆相切 ;直线与圆相交 ; (2)切线的定义、性质与判定: ①定义:和圆有 公共点的直线. ②性质:圆的切线 过切点的直径. ③判定:经过半径的外端,并且 于这条半径的直线是圆的切线. (3)切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长 ,这一点和圆心的连线 两条切线的夹角. 2.(1)(教材再开发·湘教九下P65练习T1改编)已知☉O的半径r=5,圆心O到直线l的距离d=3,则直线l与☉O的位置关系为( )　　　　　　　 A.相交 B.相切 C.相离 D.相交或相切 (2)如图,PA,PB切☉O于点A,B,直线FG切☉O于点E,交PA于F,交PB于点G,若PA=8 cm,则△PFG的周长是( ) A.8 cm B.12 cm C.16 cm D.20 cm
3.三角形的内切圆 (1)定义:与三角形各边都 的圆. (2)三角形的内心:三角形 的圆心,是三角形三条 的交点. (3)性质:三角形的内心到三角形的 的距离相等. (4)半径:r= .特别地,直角三角形内切圆的半径为r= . 3.两直角边分别为6,8,那么Rt△ABC的内切圆的半径为 .
考点1　点、线与圆的位置关系
【例1】如图,已知△ABC中,∠ACB=90°,AC=3 cm,BC=4 cm.O为AB的中点.
问题1　以C为圆心,2.5 cm为半径作☉C,则O与☉C的位置关系为( )
　　　　　　　　　　　　　　　
A.O在☉C内 B.O在☉C上
C.O在☉C外 D.无法确定
问题2　以B为圆心,R为半径作圆,使得点C在圆内,点A在圆外,则R的值可以是( )
A.4 B.4.6 C.5 D.5.6
问题3　以C为圆心,2 cm为半径作☉C,直线AB与☉C位置关系是 .
问题4　以C为圆心,以r为半径作圆.若此圆与线段AB只有一个交点,则r的取值范围为 .
【方法技巧】
“一找二求三比”定位置关系
第一步,找到半径;
第二步,求出距离(圆心到点的距离或圆心到线的距离);
第三步,比较大小得结论.
提醒:直线与圆交点的个数对应直线与圆的位置关系.
【变式训练】
1.已知☉O的半径是4,OA=3,则点A与☉O的位置关系是　( )
A.点A在圆内　 B.点A在圆上
C.点A在圆外　 D.无法确定
2.已知☉O的半径等于5,圆心O到直线l的距离是3,则直线l与☉O公共交点的个数是( )
A.0　 B.1
C.2　 D.无法确定
考点2　切线的性质
【例2】(2024·盐城中考)如图,点C在以AB为直径的☉O上,过点C作☉O的切线l,过点A作AD⊥l,垂足为D,连接AC,BC.
(1)求证:△ABC∽△ACD;
(2)若AC=5,CD=4,求☉O的半径.
【方法技巧】
见切线,连半径
题目中如果出现切线,连接圆心和切点,得到垂直,再根据直角三角形和等腰三角形的结论,利用勾股定理、锐角三角函数等求出边长和角的度数.
【变式训练】
(2024·临夏州中考)如图,直线l与☉O相切于点D,AB为☉O的直径,过点A作AE⊥l于点E,延长AB交直线l于点C.
(1)求证:AD平分∠CAE;
(2)如果BC=1,DC=3,求☉O的半径.
考点3　切线的判定
【例3】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为边AC上的点,以AD为直径作☉O,连接BD并延长交☉O于点E,连接CE,CE=BC.
(1)求证:CE是☉O的切线;
(2)若CD=2,BC=4,求AC的长.
切线判定的两种方法
1.直线与圆有公共点时,连半径,证垂直.常用的方法有:
(1)利用等角转换证垂直;
(2)利用三角形全等证垂直;
(3)利用平行证垂直.
2.没有给出直线与圆的公共点,作垂直,证半径.常用的方法有:
(1)当有角平分线时,可利用角平分线的性质,来证明所作垂线等于半径;
(2)当存在线段相等、角相等等条件时,通过构造直角三角形,利用全等三角形的性质,来证明所作垂线等于半径.
【变式训练】
(2024·内江中考)如图,AB是☉O的直径,C是的中点,过点C作AD的垂线,垂足为点E.
(1)求证:△ACE∽△ABC;
(2)求证:CE是☉O的切线;
(3)若AD=2CE,OA=,求阴影部分的面积.
【例4】(教材原题·湘教版九年级下册·P74例6)
如图2-51,☉O是△ABC的内切圆,∠A=70°,求∠BOC的度数.
【思路点拨】由O是内心,可得角平分线,再利用三角形内角和定理即可解得.
【方法技巧】
三角形内切圆有关性质
1.三角形的内心是三条角平分线的交点;
2.如图1:∠BOC=90°+∠A,
S△ABC=(a+b+c)r;
3.如图2:r=(a+b-c).
【变式训练】
1.(2024·长沙模拟)如图,△ABC的内切圆☉O分别与AB,BC,AC相切于点D,E,F,且AD=3,BE=2,CF=4,则△ABC的周长为( )
A.18　 B.17　 C.16　 D.15
2.(2024·滨州中考)刘徽(今山东滨州人)是魏晋时期我国伟大的数学家,中国古典数学理论的奠基者之一,被誉为“世界古代数学泰斗”.刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解,其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导,他给出了内切圆直径的多种表达形式.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AB,BC,CA的长分别为c,a,b.则可以用含c,a,b的式子表示出△ABC的内切圆直径d,下列表达式错误的是( )
A.d=a+b-c B.d=
C.d= D.d=|(a-b)(c-b)|
3.《九章算术》中记载:“今有勾八步,股一十五步.问勾中容圆,径几何 ”译文:现在有一个直角三角形,短直角边的长为8步,长直角边的长为15步.问这个直角三角形内切圆的直径是多少 书中给出的算法译文如下:如图,根据短直角边的长和长直角边的长,求得斜边的长.用直角三角形三条边的长相加作为除数,用两条直角边相乘的积再乘2作为被除数,计算所得的商就是这个直角三角形内切圆的直径.根据以上方法,求得该直径等于 步.(注:“步”为长度单位)
1.(2023·邵阳中考)如图,AD是☉O的直径,AB是☉O的弦,BC与☉O相切于点B,连接OB,若∠ABC=65°,则∠BOD的大小为 .
2.(2023·衡阳中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6.以点C为圆心,r为半径作圆,当所作的圆与斜边AB所在的直线相切时,r的值为 .
3.(2023·常德中考)如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,AB是直径,C是的中点,过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E.
(1)求证:CE是☉O的切线;
(2)若BC=6,AC=8,求CE,DE的长.
4.(2024·湖南中考)【问题背景】
已知点A是半径为r的☉O上的定点,连接OA,将线段OA绕点O按逆时针方向旋转α(0°<α<90°)得到OE,连接AE,过点A作☉O的切线l,在直线l上取点C,使得∠CAE为锐角.
【初步感知】
(1)如图1,当α=60°时,∠CAE= °;
【问题探究】
(2)以线段AC为对角线作矩形ABCD,使得边AD过点E,连接CE,对角线AC,BD相交于点F.
①如图2,当AC=2r时,求证:无论α在给定的范围内如何变化,BC=CD+ED总成立:
②如图3,当AC=r,=时,请补全图形,并求tan α及的值.
5.(2024·长沙中考)对于凸四边形,根据它有无外接圆(四个顶点都在同一个圆上)与内切圆(四条边都与同一个圆相切),可分为四种类型,我们不妨约定:
既无外接圆,又无内切圆的四边形称为“平凡型无圆”四边形;
只有外接圆,而无内切圆的四边形称为“外接型单圆”四边形;
只有内切圆,而无外接圆的四边形称为“内切型单圆”四边形;
既有外接圆,又有内切圆的四边形称为“完美型双圆”四边形.
请你根据该约定,解答下列问题:
(1)请你判断下列说法是否正确(在题后相应的括号中,正确的打“√”,错误的打“×”).
①平行四边形一定不是“平凡型无圆”四边形;(　　)
②内角不等于90°的菱形一定是“内切型单圆”四边形;(　　)
③若“完美型双圆”四边形的外接圆圆心与内切圆圆心重合,外接圆半径为R,内切圆半径为r,则有R=r.(　　)
(2)如图1,已知四边形ABCD内接于☉O,四条边长满足:AB+CD≠BC+AD.
①该四边形ABCD是“ ”四边形(从约定的四种类型中选一种填入);
②若∠BAD的平分线AE交☉O于点E,∠BCD的平分线CF交☉O于点F,连接EF.求证:EF是☉O的直径.
(3)已知四边形ABCD是“完美型双圆”四边形,它的内切圆☉O与AB,BC,CD,AD分别相切于点E,F,G,H.
①如图2,连接EG,FH交于点P.求证:EG⊥FH;
②如图3,连接OA,OB,OC,OD,若OA=2,OB=6,OC=3,求内切圆☉O的半径r及OD的长.
第二十四讲　与圆有关的位置关系 教师版
知识要点 对点练习
1.点与圆的位置关系 (1)设圆O的半径为r,点P到圆心的距离为OP=d.则: 点P在圆外 　d>r　;点P在圆上 　d=r　; 点P在圆内 　d2.直线与圆的位置关系 (1)设圆O的半径为r,圆心到直线的距离为OP=d.则:直线与圆相离 　d>r　;直线与圆相切 　d=r　;直线与圆相交 　d3.三角形的内切圆 (1)定义:与三角形各边都　相切　的圆. (2)三角形的内心:三角形　内切圆　的圆心,是三角形三条　角平分线　的交点. (3)性质:三角形的内心到三角形的　三边　的距离相等. (4)半径:r= 　.特别地,直角三角形内切圆的半径为r= 　. 3.两直角边分别为6,8,那么Rt△ABC的内切圆的半径为　2　.
考点1　点、线与圆的位置关系
【例1】如图,已知△ABC中,∠ACB=90°,AC=3 cm,BC=4 cm.O为AB的中点.
问题1　以C为圆心,2.5 cm为半径作☉C,则O与☉C的位置关系为(B)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.O在☉C内 B.O在☉C上
C.O在☉C外 D.无法确定
问题2　以B为圆心,R为半径作圆,使得点C在圆内,点A在圆外,则R的值可以是(B)
A.4 B.4.6 C.5 D.5.6
问题3　以C为圆心,2 cm为半径作☉C,直线AB与☉C位置关系是　相离　.
问题4　以C为圆心,以r为半径作圆.若此圆与线段AB只有一个交点,则r的取值范围为　3 cm【方法技巧】
“一找二求三比”定位置关系
第一步,找到半径;
第二步,求出距离(圆心到点的距离或圆心到线的距离);
第三步,比较大小得结论.
提醒:直线与圆交点的个数对应直线与圆的位置关系.
【变式训练】
1.已知☉O的半径是4,OA=3,则点A与☉O的位置关系是　(A)
A.点A在圆内　 B.点A在圆上
C.点A在圆外　 D.无法确定
2.已知☉O的半径等于5,圆心O到直线l的距离是3,则直线l与☉O公共交点的个数是(C)
A.0　 B.1
C.2　 D.无法确定
考点2　切线的性质
【例2】(2024·盐城中考)如图,点C在以AB为直径的☉O上,过点C作☉O的切线l,过点A作AD⊥l,垂足为D,连接AC,BC.
(1)求证:△ABC∽△ACD;
(2)若AC=5,CD=4,求☉O的半径.
【自主解答】(1)连接OC,
∵l是☉O的切线,∴OC⊥l,
∵AD⊥l,∴OC∥AD,∴∠CAD=∠ACO=∠CAB,
∵∠D=∠ACB=90°,
∴△ABC∽△ACD;
(2)∵AC=5,CD=4,∠D=90°,
∴AD==3,
∵△ABC∽△ACD,
∴=,∴=,∴AB=,
∴☉O半径为.
【方法技巧】
见切线,连半径
题目中如果出现切线,连接圆心和切点,得到垂直,再根据直角三角形和等腰三角形的结论,利用勾股定理、锐角三角函数等求出边长和角的度数.
【变式训练】
(2024·临夏州中考)如图,直线l与☉O相切于点D,AB为☉O的直径,过点A作AE⊥l于点E,延长AB交直线l于点C.
(1)求证:AD平分∠CAE;
(2)如果BC=1,DC=3,求☉O的半径.
【解析】(1)连接OD,如图,
∵直线l与☉O相切于点D,
∴OD⊥CE,
∵AE⊥CE,∴OD∥AE,
∴∠ODA=∠EAD,
∵OA=OD,
∴∠ODA=∠OAD,
∴∠OAD=∠EAD,∴AD平分∠CAE;
(2)设☉O的半径为r,则OB=OD=r,
在Rt△OCD中,∵OD=r,CD=3,OC=r+1,∴r2+32=(r+1)2,解得r=4,
即☉O的半径为4.
考点3　切线的判定
【例3】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为边AC上的点,以AD为直径作☉O,连接BD并延长交☉O于点E,连接CE,CE=BC.
(1)求证:CE是☉O的切线;
(2)若CD=2,BC=4,求AC的长.
【自主解答】(1)连接OE,
∵∠ACB=90°,
∴∠DBC+∠BDC=90°,
∵CE=BC,
∴∠DBC=∠BEC,
∵OE=OD,
∴∠OED=∠ODE,
∵∠ODE=∠BDC,
∴∠OED=∠BDC,
∴∠OED+∠BEC=90°,
即∠OEC=90°,
∴OE⊥CE,
∵OE是☉O的半径,
∴CE是☉O的切线.
(2)∵BC=CE,BC=4,
∴CE=4,
设☉O的半径为r,则OD=OE=r,OC=r+2,
∵∠OEC=90°,
∴OE2+CE2=OC2,
∴r2+42=(r+2)2,
解得r=3,
∴AD=6,
∴AC=AD+CD=6+2=8.
【方法技巧】
切线判定的两种方法
1.直线与圆有公共点时,连半径,证垂直.常用的方法有:
(1)利用等角转换证垂直;
(2)利用三角形全等证垂直;
(3)利用平行证垂直.
2.没有给出直线与圆的公共点,作垂直,证半径.常用的方法有:
(1)当有角平分线时,可利用角平分线的性质,来证明所作垂线等于半径;
(2)当存在线段相等、角相等等条件时,通过构造直角三角形,利用全等三角形的性质,来证明所作垂线等于半径.
【变式训练】
(2024·内江中考)如图,AB是☉O的直径,C是的中点,过点C作AD的垂线,垂足为点E.
(1)求证:△ACE∽△ABC;
(2)求证:CE是☉O的切线;
(3)若AD=2CE,OA=,求阴影部分的面积.
【解析】(1)∵C是的中点,
∴=,
∴∠EAC=∠BAC.
∵AB是☉O的直径,
∴∠ACB=90°.
∵CE⊥AE,
∴∠AEC=90°,
∴∠AEC=∠ACB,
∴△ACE∽△ABC;
(2)连接OC,如图,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA,
由(1)知:∠EAC=∠BAC,
∴∠EAC=∠OCA,
∴OC∥AE,
∵CE⊥AE,
∴OC⊥CE.
∵OC为☉O的半径,
∴CE是☉O的切线;
(3)连接OD,过点O作OF⊥AD于点F,如图,
则AF=FD=AD,
∵AD=2CE,
∴AF=CE.
∵OF⊥AD,CE⊥AE,OC⊥CE,
∴四边形EFOC为矩形,
∴OF=CE,
∴OF=AF,
则△AFO为等腰直角三角形,
∴∠FAO=45°,AF=FO=OA=1.
∵OA=OD,
∴∠ODA=∠FAO=45°,
∴∠AOD=90°.
∴S△OAD=OA·OD=××=1,
S扇形OAD==,
∴阴影部分的面积为S扇形OAD-S△OAD=-1.
考点4　三角形的外接圆与内切圆
【例4】(教材原题·湘教版九年级下册·P74例6)
如图2-51,☉O是△ABC的内切圆,∠A=70°,求∠BOC的度数.
【思路点拨】由O是内心,可得角平分线,再利用三角形内角和定理即可解得.
【自主解答】∵∠A=70°,
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110°.
∵☉O是△ABC的内切圆,
∴BO,CO分别是∠ABC与∠ACB的平分线,
即∠1=∠ABC,∠2=∠ACB.
∴∠BOC=180°-(∠1+∠2)=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-×110°=125°.
【方法技巧】
三角形内切圆有关性质
1.三角形的内心是三条角平分线的交点;
2.如图1:∠BOC=90°+∠A,
S△ABC=(a+b+c)r;
3.如图2:r=(a+b-c).
【变式训练】
1.(2024·长沙模拟)如图,△ABC的内切圆☉O分别与AB,BC,AC相切于点D,E,F,且AD=3,BE=2,CF=4,则△ABC的周长为(A)
A.18　 B.17　 C.16　 D.15
2.(2024·滨州中考)刘徽(今山东滨州人)是魏晋时期我国伟大的数学家,中国古典数学理论的奠基者之一,被誉为“世界古代数学泰斗”.刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解,其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导,他给出了内切圆直径的多种表达形式.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AB,BC,CA的长分别为c,a,b.则可以用含c,a,b的式子表示出△ABC的内切圆直径d,下列表达式错误的是(D)
A.d=a+b-c B.d=
C.d= D.d=|(a-b)(c-b)|
3.《九章算术》中记载:“今有勾八步,股一十五步.问勾中容圆,径几何 ”译文:现在有一个直角三角形,短直角边的长为8步,长直角边的长为15步.问这个直角三角形内切圆的直径是多少 书中给出的算法译文如下:如图,根据短直角边的长和长直角边的长,求得斜边的长.用直角三角形三条边的长相加作为除数,用两条直角边相乘的积再乘2作为被除数,计算所得的商就是这个直角三角形内切圆的直径.根据以上方法,求得该直径等于　6　步.(注:“步”为长度单位)
1.(2023·邵阳中考)如图,AD是☉O的直径,AB是☉O的弦,BC与☉O相切于点B,连接OB,若∠ABC=65°,则∠BOD的大小为　50°　.
2.(2023·衡阳中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6.以点C为圆心,r为半径作圆,当所作的圆与斜边AB所在的直线相切时,r的值为 　.
3.(2023·常德中考)如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,AB是直径,C是的中点,过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E.
(1)求证:CE是☉O的切线;
(2)若BC=6,AC=8,求CE,DE的长.
【解析】(1)如图,连接OC,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA,
∵点C是的中点,
∴∠OAC=∠CAE,
∴∠CAE=∠OCA,
∴OC∥AE,
∵AE⊥CE,
∴OC⊥CE,
∵OC是☉O的半径,
∴CE是☉O的切线;
(2)∵AB为☉O的直径,
∴∠ACB=90°,
∵BC=6,AC=8,
∴AB==10,
又∵∠BAC=∠CAE,∠AEC=∠ACB=90°,
∴△AEC∽△ACB,
∴=,
即=,
∴EC=,
∵点C是的中点,即=,
∴CD=BC=6,
∴DE==.
4.(2024·湖南中考)【问题背景】
已知点A是半径为r的☉O上的定点,连接OA,将线段OA绕点O按逆时针方向旋转α(0°<α<90°)得到OE,连接AE,过点A作☉O的切线l,在直线l上取点C,使得∠CAE为锐角.
【初步感知】
(1)如图1,当α=60°时,∠CAE=　　　　　°;
【问题探究】
(2)以线段AC为对角线作矩形ABCD,使得边AD过点E,连接CE,对角线AC,BD相交于点F.
①如图2,当AC=2r时,求证:无论α在给定的范围内如何变化,BC=CD+ED总成立:
②如图3,当AC=r,=时,请补全图形,并求tan α及的值.
【解析】(1)∵α=60°,OA=OE,
∴∠OAE=∠OEA=α=60°,
∵AC与圆相切,
∴∠OAC=90°,
∴∠CAE=30°.
答案:30
(2)①∵四边形ABCD是矩形,AC=2r,
∴OA=OE=CF=DF=r,
∵∠OAC=∠ADC=90°,
∴∠OAE+∠CAD=∠ACD+∠CAD,
∴∠OAE=∠ACD,
∵OA=OE,CF=DF,
∴∠OAE=∠OEA=∠ACD=∠CDF,
在△OAE和△FCD中,
,
∴△OAE≌△FCD(AAS),
∴AE=CD,
∵AD=AE+ED,
∴BC=CD+ED.
即无论α在给定的范围内如何变化,BC=CD+ED总成立.
②补全图形如图,
∵AC是切线,
∴∠OAC=90°,
∵AC=r,
∴tan α==.
设OA=3m,则AC=r=4m,OC=5m,
∵=,OE=OA=3m,
∴CE=2m,OE+CE=OC=5m,
即点E在线段OC上,
如图,过O作OH⊥AE,垂足为H,则AH=EH,
∵∠OHE=∠D=90°,∠OEH=∠CED,
∴△OEH∽△CED,
∴==,
设EH=AH=3a,则DE=2a,
∴AD=AH+EH+ED=8a,
在Rt△ACD中,CD2=AC2-AD2=16m2-64a2,
在Rt△CED中,CD2=CE2-ED2=4m2-4a2,
∴16m2-64a2=4m2-4a2,解得a=m,
∴CB=AD=m,CD=AB==m,
∴==.
5.(2024·长沙中考)对于凸四边形,根据它有无外接圆(四个顶点都在同一个圆上)与内切圆(四条边都与同一个圆相切),可分为四种类型,我们不妨约定:
既无外接圆,又无内切圆的四边形称为“平凡型无圆”四边形;
只有外接圆,而无内切圆的四边形称为“外接型单圆”四边形;
只有内切圆,而无外接圆的四边形称为“内切型单圆”四边形;
既有外接圆,又有内切圆的四边形称为“完美型双圆”四边形.
请你根据该约定,解答下列问题:
(1)请你判断下列说法是否正确(在题后相应的括号中,正确的打“√”,错误的打“×”).
①平行四边形一定不是“平凡型无圆”四边形;(　　)
②内角不等于90°的菱形一定是“内切型单圆”四边形;(　　)
③若“完美型双圆”四边形的外接圆圆心与内切圆圆心重合,外接圆半径为R,内切圆半径为r,则有R=r.(　　)
(2)如图1,已知四边形ABCD内接于☉O,四条边长满足:AB+CD≠BC+AD.
①该四边形ABCD是“　　　　　　”四边形(从约定的四种类型中选一种填入);
②若∠BAD的平分线AE交☉O于点E,∠BCD的平分线CF交☉O于点F,连接EF.求证:EF是☉O的直径.
(3)已知四边形ABCD是“完美型双圆”四边形,它的内切圆☉O与AB,BC,CD,AD分别相切于点E,F,G,H.
①如图2,连接EG,FH交于点P.求证:EG⊥FH;
②如图3,连接OA,OB,OC,OD,若OA=2,OB=6,OC=3,求内切圆☉O的半径r及OD的长.
【解析】(1)①∵平行四边形对角不互补,
∴平行四边形无外接圆.
∵平行四边形对边之和也不相等,
∴平行四边形无内切圆.
∴平行四边形是“平凡型无圆”四边形,
故①错误;
②∵内角不等于90°的菱形对角不互补,但是对边之和相等,
∴菱形是“内切型单圆”四边形,
故②正确;
③由题可知外接圆圆心与内切圆圆心重合的“完美型双圆”四边形是正方形,
如图,此时OM=r,ON=R,
∵△OMN是等腰直角三角形,
∴ON=OM,
∴R=r,
故③正确.
答案:①×　②√　③√
(2)①该四边形ABCD是“外接型单圆”四边形;
理由:∵AB+CD≠BC+AD,
∴四边形ABCD无内切圆.
∴四边形ABCD是“外接型单圆”四边形;
答案:外接型单圆
②方法1:如图1,∵AE平分∠BAD,CF平分∠BCD,
∴=,=,
∴+=+,即=,
∴与均为半圆,
∴EF是☉O的直径.
方法2:如图1,连接AF.
∵四边形ABCD内接于☉O,
∴∠BAD+∠BCD=180°,
∵AE平分∠BAD,CF平分∠BCD,
∴∠1=∠BAD,∠2=∠BCD,
∴∠1+∠2=90°,
由同弧所对的圆周角相等可得∠2=∠FAD,
∴∠1+∠FAD=90°,即∠EAF=90°.
∴EF是☉O的直径.
方法3:如图2,连接FD,ED.
∵四边形ABCD内接于☉O,
∴∠BAD+∠BCD=180°,
由题意,得∠1=∠BAD,∠2=∠BCD,
∵由同弧所对的圆周角相等可得:∠EFD=∠1,∠FED=∠2,
∴∠EFD+∠FED=(∠BAD+∠BCD)=90°,
∴∠FDE=90°.
∴EF是☉O的直径.
(3)①如图3,连接OE,OF,OG,OH,HG.
∵☉O是四边形ABCD的内切圆,
∴OE⊥AB,OF⊥BC,OG⊥CD,OH⊥AD.
∴∠OEA=∠OHA=90°.
∴在四边形EAHO中,∠A+∠EOH=360°-90°-90°=180°.
同理可证∠FOG+∠C=180°,
∵四边形ABCD是“完美型双圆”四边形,
∴四边形ABCD有外接圆,
∴∠A+∠C=180°,
∴∠EOH=∠C.
∴∠FOG+∠EOH=180°
又∵∠FHG=∠FOG,∠EGH=∠EOH,
∴∠FHG+∠EGH=90°.
∴∠HPG=90°,即EG⊥FH.
②如图4,连接OE,OF,OG,OH,HG.
∵四边形ABCD是“完美型双圆”四边形,
∴∠OAH+∠OAE+∠OCG+∠OCF=180°.
∵☉O与AB,BC,CD,AD分别相切于点E,F,G,H,
∴∠OAH=∠OAE,∠OCG=∠OCF.
∴∠OAH+∠OCG=90°.
∵∠COG+∠OCG=90°,
∴∠OAH=∠COG.
∵∠AHO=∠OGC=90°,
∴△AOH∽△OCG.
∴=,即=,解得CG=r,
在Rt△OGC中,有OG2+CG2=OC2,
即r2+(r)2=32,解得r=,
在Rt△OBE中,BE===,
同理可证△BEO∽△OHD,
所以=,即=,
解得OD=.
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