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2025年湖南省中考数学一轮复习
第二十五讲　圆的有关计算 学生版
知识要点 对点练习
1.正多边形和圆 (1)定义:各边 ,各角也都 的多边形是正多边形. (2)正多边形和圆的关系,把一个圆 ,依次连接 可作出圆的内接正n边形. (3)相关概念及公式 正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的 ;正多边形的内切圆的半径叫做正多边形的 ;正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的 . 1.(1)圆的内接正多边形中,正多边形的一条边所对的圆心角是72°,则正多边形的边数是( ) A.4 B.5 C.6 D.8 (2)正八边形的中心角的度数为( ) A.36° B.45° C.60° D.72° (3)已知圆内接正六边形的半径为2,则该内接正六边形的边心距为( ) A. B.2 C.3 D.
2.弧长和扇形面积 (1)半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为l= . (2)扇形面积:①半径为R的圆中,圆心角为n°的扇形面积为S扇形= . ②半径为R,弧长为l的扇形面积为S扇形= . 2.(1)一个扇形的半径为6,弧长等于5π,则扇形的圆心角度数为( ) A.30° B.60° C.150° D.210° (2)(教材再开发·湘教九下P79例3改编)若扇形的圆心角为120°,半径为6,则扇形的面积为( ) A.2π B.4π C.12π D.24π
3.圆柱和圆锥 (1)设圆柱的高为l,底面半径为R,则有: ①S圆柱侧= ; ②S圆柱全= ; ③V圆柱= . (2)设圆锥的母线长为l,底面半径为R,高为h,则有: ①S圆锥侧= ; ②S圆锥全= ; ③V圆锥=πR2h. 3.(1)(教材再开发·湘教九下P104T4改编)如果圆锥的母线长为5 cm,底面半径为3 cm,那么圆锥的侧面积为( ) A.15π cm2 B.20π cm2 C.9π cm2 D.25π cm2 (2)已知一个圆锥的母线长为30,底面半径为10,则这个圆锥的侧面展开图的圆心角等于( ) A.90° B.100° C.120° D.150°
考点1　弧长与面积的相关计算(一题多设问)
【例1】如图,已知半径为1的☉O上有三点A,B,C,OC与AB交于点D,∠ADO= 85°, ∠CAB=20°. 　问题1　求劣弧的长度. 　问题2　求扇形AOC的面积. 问题3　求弓形ACB的面积. 问题4　用大于半圆的扇形AOB围成一个圆锥,求圆锥底面圆的半径. 　问题5　问题4中围成的圆锥的侧面积是 . 　问题6　问题4中围成的圆锥的高是 . 【满分技法】 1.弧长公式 求出圆心角的度数后,直接应用弧长公式 2.扇形面积公式 求出圆心角的度数后,直接应用扇形面积公式 3.弓形面积 弓形面积=扇形面积-三角形面积 4.圆锥底面圆 圆锥底面圆的周长=圆锥侧面展开图扇形的弧长=2πr 5.圆锥的侧面积 方法一:S=πrl 其中,r是圆锥底面圆的半径,l是圆锥的母线长,也是圆锥侧面展开图扇形的半径 方法二:圆锥的侧面积=大于半圆的扇形的面积 6.圆锥的高 圆锥的高h,圆锥的母线长l,圆锥底面圆的半径r满足:l2=h2+r2 提醒:(1)圆锥的母线长等于其侧面展开图扇形的半径; (2)α为圆锥侧面展开图扇形的圆心角,l既为圆锥母线长,又为圆锥侧面展开图扇形的半径,r为圆锥底面圆的半径,则α=×360°.
考点2　圆柱和圆锥在生活中的应用
【例2】(教材原题·湘教版九年级下册·P103例2)
如图,小刚用一张半径为24 cm的扇形纸板做一个圆锥形帽子(接缝忽略不计),如果做成的圆锥形帽子的底面半径为10 cm,那么这张扇形纸板的面积S是多少
【自主解答】扇形的弧长(即底面圆周长)为l=2×π×10=20π(cm).
所以扇形纸板的面积S=×20π×24=240π(cm2).
【方法技巧】
圆柱和圆锥的表面积与侧面积
1.圆柱的侧面展开图是矩形,圆柱的底面圆的周长等于矩形的长(宽),圆柱的高等于矩形的宽(长).
2.圆锥的侧面展开图是扇形,圆锥的底面圆的周长等于扇形的弧长,圆锥的母线长等于扇形的半径.
【变式训练】
(2021·永州中考)某同学在数学实践活动中,制作了一个侧面积为60π,底面半径为6的圆锥模型(如图所示),则此圆锥的母线长为 .
1.(2021·湘西州中考)如图,面积为18的正方形ABCD内接于☉O,则的长度为( )
　　　　　　　　　　　　　　　
A.9π B.π C.π D.π
2.(2024·长沙中考)半径为4,圆心角为90°的扇形的面积为 (结果保留π).
3.(2023·永州中考)已知扇形的半径为6,面积为6π,则扇形圆心角的度数为 °.
4.(2022·郴州中考)如图,圆锥的母线长AB=12 cm,底面圆的直径BC=10 cm,则该圆锥的侧面积等于 cm2.(结果用含π的式子表示)
5.(2023·郴州中考)如图,在☉O中,AB是直径,点C是圆上一点.在AB的延长线上取一点D,连接CD,使∠BCD=∠A.
(1)求证:直线CD是☉O的切线;
(2)若∠ACD=120°,CD=2,求图中阴影部分的面积(结果用含π的式子表示).
2025年湖南省中考数学一轮复习
第二十五讲　圆的有关计算 教师版
知识要点 对点练习
1.正多边形和圆 (1)定义:各边　相等　,各角也都　相等　的多边形是正多边形. (2)正多边形和圆的关系,把一个圆　分成n等份　,依次连接　这n个分点　可作出圆的内接正n边形. (3)相关概念及公式 正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的　半径　;正多边形的内切圆的半径叫做正多边形的　边心距　;正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的　中心角　. 1.(1)圆的内接正多边形中,正多边形的一条边所对的圆心角是72°,则正多边形的边数是(B) A.4 B.5 C.6 D.8 (2)正八边形的中心角的度数为(B) A.36° B.45° C.60° D.72° (3)已知圆内接正六边形的半径为2,则该内接正六边形的边心距为(C) A. B.2 C.3 D.
2.弧长和扇形面积 (1)半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为l= 　. (2)扇形面积:①半径为R的圆中,圆心角为n°的扇形面积为S扇形= 　. ②半径为R,弧长为l的扇形面积为S扇形= lR　. 2.(1)一个扇形的半径为6,弧长等于5π,则扇形的圆心角度数为(C) A.30° B.60° C.150° D.210° (2)(教材再开发·湘教九下P79例3改编)若扇形的圆心角为120°,半径为6,则扇形的面积为(C) A.2π B.4π C.12π D.24π
3.圆柱和圆锥 (1)设圆柱的高为l,底面半径为R,则有: ①S圆柱侧=　2πRl　; ②S圆柱全=　2πRl+2πR2　; ③V圆柱=　πR2l　. (2)设圆锥的母线长为l,底面半径为R,高为h,则有: ①S圆锥侧=　πRl　; ②S圆锥全=　πRl+πR2　; ③V圆锥=πR2h. 3.(1)(教材再开发·湘教九下P104T4改编)如果圆锥的母线长为5 cm,底面半径为3 cm,那么圆锥的侧面积为(A) A.15π cm2 B.20π cm2 C.9π cm2 D.25π cm2 (2)已知一个圆锥的母线长为30,底面半径为10,则这个圆锥的侧面展开图的圆心角等于(C) A.90° B.100° C.120° D.150°
考点1　弧长与面积的相关计算(一题多设问)
【例1】如图,已知半径为1的☉O上有三点A,B,C,OC与AB交于点D,∠ADO= 85°, ∠CAB=20°. 　问题1　求劣弧的长度. 【解析】∵∠CAB=20°. ∴∠BOC=2∠CAB=40°, ∵☉O的半径为1, ∴劣弧的长为=. 　问题2　求扇形AOC的面积. 【解析】∵∠ADO=85°,由问题1知∠BOC=40°, ∴∠OBA=∠ADO-∠BOC=45°. ∵OA=OB,∴∠OAB=45°,∴∠AOB=90°, ∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=50°, ∴S扇形AOC==. 问题3　求弓形ACB的面积. 【解析】由问题2得∠AOB=90°. ∴△AOB为等腰直角三角形. ∴S弓形ACB=S扇形AOB-S△AOB=-×1×1=-. 问题4　用大于半圆的扇形AOB围成一个圆锥,求圆锥底面圆的半径. 【解析】设圆锥底面圆的半径为r, 由问题2可得∠AOB=90°, 则优弧的长为=. 则2πr=,解得r=. 　问题5　问题4中围成的圆锥的侧面积是 π　. 　问题6　问题4中围成的圆锥的高是 　. 【满分技法】 1.弧长公式 求出圆心角的度数后,直接应用弧长公式 2.扇形面积公式 求出圆心角的度数后,直接应用扇形面积公式 3.弓形面积 弓形面积=扇形面积-三角形面积 4.圆锥底面圆 圆锥底面圆的周长=圆锥侧面展开图扇形的弧长=2πr 5.圆锥的侧面积 方法一:S=πrl 其中,r是圆锥底面圆的半径,l是圆锥的母线长,也是圆锥侧面展开图扇形的半径 方法二:圆锥的侧面积=大于半圆的扇形的面积 6.圆锥的高 圆锥的高h,圆锥的母线长l,圆锥底面圆的半径r满足:l2=h2+r2 提醒:(1)圆锥的母线长等于其侧面展开图扇形的半径; (2)α为圆锥侧面展开图扇形的圆心角,l既为圆锥母线长,又为圆锥侧面展开图扇形的半径,r为圆锥底面圆的半径,则α=×360°.
考点2　圆柱和圆锥在生活中的应用
【例2】(教材原题·湘教版九年级下册·P103例2)
如图,小刚用一张半径为24 cm的扇形纸板做一个圆锥形帽子(接缝忽略不计),如果做成的圆锥形帽子的底面半径为10 cm,那么这张扇形纸板的面积S是多少
【自主解答】扇形的弧长(即底面圆周长)为l=2×π×10=20π(cm).
所以扇形纸板的面积S=×20π×24=240π(cm2).
【方法技巧】
圆柱和圆锥的表面积与侧面积
1.圆柱的侧面展开图是矩形,圆柱的底面圆的周长等于矩形的长(宽),圆柱的高等于矩形的宽(长).
2.圆锥的侧面展开图是扇形,圆锥的底面圆的周长等于扇形的弧长,圆锥的母线长等于扇形的半径.
【变式训练】
(2021·永州中考)某同学在数学实践活动中,制作了一个侧面积为60π,底面半径为6的圆锥模型(如图所示),则此圆锥的母线长为　10　.
1.(2021·湘西州中考)如图,面积为18的正方形ABCD内接于☉O,则的长度为(C)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.9π B.π C.π D.π
2.(2024·长沙中考)半径为4,圆心角为90°的扇形的面积为　4π　(结果保留π).
3.(2023·永州中考)已知扇形的半径为6,面积为6π,则扇形圆心角的度数为　60　°.
4.(2022·郴州中考)如图,圆锥的母线长AB=12 cm,底面圆的直径BC=10 cm,则该圆锥的侧面积等于　60π　cm2.(结果用含π的式子表示)
5.(2023·郴州中考)如图,在☉O中,AB是直径,点C是圆上一点.在AB的延长线上取一点D,连接CD,使∠BCD=∠A.
(1)求证:直线CD是☉O的切线;
(2)若∠ACD=120°,CD=2,求图中阴影部分的面积(结果用含π的式子表示).
【解析】(1)连接OC,
∵AB是直径,∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=90°,
∵OA=OC,∠BCD=∠A,∴∠OCA=∠A=∠BCD,∴∠BCD+∠OCB=∠OCD=90°,
∴OC⊥CD,∵OC是☉O的半径,
∴直线CD是☉O的切线;
(2)∵∠ACD=120°,∠ACB=90°,
∴∠A=∠BCD=120°-90°=30°,
∴∠BOC=2∠A=60°,
在Rt△OCD中,tan∠BOC==tan 60°,CD=2,∴=,解得OC=2,
∴S阴=S△OCD-S扇形BOC=×2×2-=2-.
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