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2025年湖南省中考数学一轮复习
第二十八讲　相似形 学生版
知识要点 对点练习
1.比例线段 (1)比例的性质 ①基本性质:如果=,那么 ; ②合比性质:如果=,那么= ; ③等比性质:如果==…=(b+d+…+m≠0), 那么 . (2)平行线分线段成比例 两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段 . (3)黄金分割 点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果= ,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点. 1.(1)(教材再开发·湘教九上P102T2改编)下列各组线段中,能成比例的是( ) A.1 cm,3 cm,4 cm,6 cm B.1 cm,3 cm,4 cm,12 cm C.1 cm,2 cm,3 cm,4 cm D.2 cm,3 cm,4 cm,5 cm (2)若=,则= . (3)如图,a∥b∥c,若=,DF=12,则BD的长为 . (4)已知点P是线段AB的黄金分割点(AP>PB),若线段AB=1,则线段AP的长是( ) A. B.3- C.-1 D.2-
2.相似三角形的性质 性质1:相似三角形的对应角 ,对应边的比 . 性质2:相似三角形周长的比等于 . 性质3:相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于 . 性质4:相似三角形的面积的比等于相似比的 . 2.(1)已知△ABC∽△A'B'C',BD和B'D'是它们的对应中线,若=,则=( ) A. B. C. D. (2)如果两个相似三角形的周长比为1∶6,那么这两个三角形的面积比为 .
续表
知识要点 对点练习
3.相似三角形的判定 判定1:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原 相似(相似三角形的预备定理). 判定2:三边 的两个三角形相似. 判定3:两边 且 的两个三角形相似. 判定4:两角分别 的两个三角形相似. 3.(1)如图,不能判定△AOB和△DOC相似的条件是( ) A.OA·CD=AB·OD 　　　 B.= C.∠A=∠D 　　　 D.∠B=∠C (2)如图,已知△ABC与△DEF,下列条件一定能推得它们相似的是( ) A.∠A=∠D,∠B=∠E 　　 B.∠A=∠D且= C.∠A=∠B,∠D=∠E 　　 D.∠A=∠E且=
4.位似 (1)定义: 位似的图形不仅相似,而且它们的对应点的连线 ,这个点是位似中心. (2)性质: 如果两个图形位似,那么任意一组对应点到位似中心的距离之比都等于 ,任意一组对应边都互相 (或在同一条直线上). 4.(1)(教材再开发·湘教九上P100习题T1改编)下列各选项的两个图形中,是位似图形的有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.1个 (2)如图,以点O为位似中心,把△ABC放大为原图形的2倍得到△DEF,以下说法中错误的是( ) A.△ABC∽△DEF B.AB∥DE C.OA∶OD=1∶2 D.EF=4BC (3)如图,△ABC与△DEF位似,点O为位似中心,OC∶OF=2∶3.若△ABC的周长为14,则△DEF的周长是 .
考点1　平行线分线段成比例
【例1】如图,在△ABC中,AB=4,BC=5,点D,E分别在BC,AC上,CD=2BD,CE=2AE,BE交AD于点F,则△AFE面积的最大值是 .
【思路点拨】
【方法技巧】
应用平行线分线段成比例解决问题的技巧
(1)若已知条件中有平行线,求两条线段的比,可直接应用平行线分线段成比例定理求解.
(2)若已知条件中无平行线,但已知线段的比,可先通过作平行线创造应用定理的条件.
【变式训练】
1.(2023·仙桃中考)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,点D在边AC上,且BD平分△ABC的周长,则BD的长是( )
A. B. C. D.
2.(2022·金华中考)如图是一张矩形纸片ABCD,点E为AD中点,点F在BC上,把该纸片沿EF折叠,点A,B的对应点分别为A',B',A'E与BC相交于点G,B'A'的延长线过点C.若=,则的值为( )
A.2 B. C. D.
3.如图,在△ABC中,点D是AB边上的一点,且AD=3BD,连接CD并取CD的中点E,连接BE,若∠ACD=∠BED=45°,且CD=6,则AB的长为 .
考点2　相似三角形的判定与性质
【例2】(2023·湘潭中考)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高.
(1)证明:△ABD∽△CBA;
(2)若AB=6,BC=10,求BD的长.
【方法技巧】
常见相似三角形的判定思路
已知条件 寻找关系
等角 另外一对角相等或夹边对应成比例
两边对应成比例 夹角相等
平行线 平行线分线段成比例,平行线得同位角相等,找等角
直角三角形 斜边的高线,根据等角(同角)的余角相等,得相似直角三角形
注意:若题目中只是说两个三角形相似,而不是说“相似于(∽)”,则根据边的对应关系需分情况讨论.
【变式训练】
(2023·上海中考)如图,在梯形ABCD中AD∥BC,点F,E分别在线段BC,AC上,且∠FAC=∠ADE,AC=AD.
(1)求证:DE=AF;
(2)若∠ABC=∠CDE,求证:AF2=BF·CE.
考点3　位似
【例3】 (2024·浙江中考)如图,在平面直角坐标系中,△ABC与△A'B'C'是位似图形,位似中心为点O.若点A(-3,1)的对应点为A'(-6,2),则点B(-2,4)的对应点B'的坐标为( )
A.(-4,8)　 B.(8,-4)
C.(-8,4)　 D.(4,-8)
【方法技巧】
位似图形的性质
(1)注意位似和相似的关系:位似图形一定是相似图形,但相似图形不一定是位似图形.
(2)注意位似中心的位置:位似中心可能在图形外,也可能在图形内或图形上.
(3)注意关于原点的位似:在平面直角坐标系中,一个图形关于原点的位似图形有两个,一个同象限,一个异象限.
【变式训练】
1.(2024·凉山州中考)如图,一块面积为60 cm2的三角形硬纸板(记为△ABC)平行于投影面时,在点光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1,若OB∶BB1=2∶3,则△A1B1C1的面积是( )
A.90 cm2　 B.135 cm2
C.150 cm2　 D.375 cm2
2.(2023·长沙岳麓模拟)如图所示,△ABC与△DEF是位似图形,点O为位似中心.若AD=3OA,△ABC的周长为5,则△DEF的周长为( )
A.10 B.15 C.25 D.125
3. (2023·岳阳一模)如图,图形甲与图形乙是位似图形,O是位似中心,位似比为2∶3,点A,B的对应点分别为点A',B'.若AB=6,则A'B'的长为 .
考点4　三角形内置四边形
【例4】(教材原题·湘教版九年级上册·P90T9)如图, △ABC为锐角三角形, AD是边 BC上的高,正方形EFGH的一边 EF在 BC上, 顶点 G, H分别在 AC, AB上. 已知BC=30 cm, AD=20 cm,求这个正方形的边长.
【方法技巧】
三角形内置正方形(矩形)
三角形内置正方形或矩形,或有多个正方形,只要考虑到相似三角形对应高的比等于相似比,就可以轻松解决问题.
【变式训练】
1.(2023·济南二模)如图,△ABC中,AB=AC=12,BC=8.正方形DEFG的顶点E,F在△ABC内,顶点D,G分别在AB,AC上,AD=AG,DG=4.则点F到BC的距离为( )
A.1 B.2
C.4-4 D.8-4
2.如图,将△ABC的AB边与刻度尺的边缘重合,点A,D,B分别对应刻度尺上的整数刻度.已知DE∥AC,EF∥AB,AF=1.8,下列结论不一定正确的是( )
A.AC=3　 B.CE=3
C.DE=1.8　 D.EF=4
1.(2024·湖南中考)如图,在△ABC中,点D,E分别为边AB,AC的中点.下列结论中,错误的是( )
A.DE∥BC　
B.△ADE∽△ABC
C.BC=2DE　
D.S△ADE=S△ABC
2.(2023·娄底中考)如图,AB,CD相交于点E,且AC∥EF∥DB,点C,F,B在同一条直线上.已知AC=p,EF=r,DB=q,则p,q,r之间满足的数量关系式是( )
A.+= B.+=
C.+= D.+=
3.(2024·长沙中考)如图,在菱形ABCD中,AB=6,∠B=30°,点E是BC边上的动点,连接AE,DE,过点A作AF⊥DE于点F.设DE=x,AF=y,则y与x之间的函数表达式为(不考虑自变量x的取值范围)( )
A.y= B.y=
C.y= D.y=
4.(2023·长沙中考)将矩形纸片ABCD(AB①△ABE和△ECF一定相似;②△ABE和△ECF不可能全等;③△ABE和△AEF不可能全等;④△ABE和△AEF有可能相似.
5.(2023·邵阳中考)如图,CA⊥AD,ED⊥AD,点B是线段AD上的一点,且CB⊥BE.已知AB=8,AC=6,DE=4.
(1)证明:△ABC∽△DEB.
(2)求线段BD的长.
2025年湖南省中考数学一轮复习
第二十八讲　相似形 教师版
知识要点 对点练习
1.比例线段 (1)比例的性质 ①基本性质:如果=,那么　ad=bc　; ②合比性质:如果=,那么= 　; ③等比性质:如果==…=(b+d+…+m≠0), 那么 =　. (2)平行线分线段成比例 两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段　成比例　. (3)黄金分割 点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果= 　,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点. 1.(1)(教材再开发·湘教九上P102T2改编)下列各组线段中,能成比例的是(B) A.1 cm,3 cm,4 cm,6 cm B.1 cm,3 cm,4 cm,12 cm C.1 cm,2 cm,3 cm,4 cm D.2 cm,3 cm,4 cm,5 cm (2)若=,则= 　. (3)如图,a∥b∥c,若=,DF=12,则BD的长为　6　. (4)已知点P是线段AB的黄金分割点(AP>PB),若线段AB=1,则线段AP的长是(A) A. B.3- C.-1 D.2-
2.相似三角形的性质 性质1:相似三角形的对应角　相等　,对应边的比　相等　. 性质2:相似三角形周长的比等于　相似比　. 性质3:相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于　相似比　. 性质4:相似三角形的面积的比等于相似比的　平方　. 2.(1)已知△ABC∽△A'B'C',BD和B'D'是它们的对应中线,若=,则=(C) A. B. C. D. (2)如果两个相似三角形的周长比为1∶6,那么这两个三角形的面积比为　1∶36　.
续表
知识要点 对点练习
3.相似三角形的判定 判定1:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原　三角形　相似(相似三角形的预备定理). 判定2:三边　成比例　的两个三角形相似. 判定3:两边　成比例　且　夹角相等　的两个三角形相似. 判定4:两角分别　相等　的两个三角形相似. 3.(1)如图,不能判定△AOB和△DOC相似的条件是(A) A.OA·CD=AB·OD 　　　 B.= C.∠A=∠D 　　　 D.∠B=∠C (2)如图,已知△ABC与△DEF,下列条件一定能推得它们相似的是(A) A.∠A=∠D,∠B=∠E 　　 B.∠A=∠D且= C.∠A=∠B,∠D=∠E 　　 D.∠A=∠E且=
4.位似 (1)定义: 位似的图形不仅相似,而且它们的对应点的连线　相交于一点　,这个点是位似中心. (2)性质: 如果两个图形位似,那么任意一组对应点到位似中心的距离之比都等于　相似比　,任意一组对应边都互相　平行　(或在同一条直线上). 4.(1)(教材再开发·湘教九上P100习题T1改编)下列各选项的两个图形中,是位似图形的有(B) A.2个 B.3个 C.4个 D.1个 (2)如图,以点O为位似中心,把△ABC放大为原图形的2倍得到△DEF,以下说法中错误的是(D) A.△ABC∽△DEF B.AB∥DE C.OA∶OD=1∶2 D.EF=4BC (3)如图,△ABC与△DEF位似,点O为位似中心,OC∶OF=2∶3.若△ABC的周长为14,则△DEF的周长是　21　.
考点1　平行线分线段成比例
【例1】如图,在△ABC中,AB=4,BC=5,点D,E分别在BC,AC上,CD=2BD,CE=2AE,BE交AD于点F,则△AFE面积的最大值是 　.
【思路点拨】
【方法技巧】
应用平行线分线段成比例解决问题的技巧
(1)若已知条件中有平行线,求两条线段的比,可直接应用平行线分线段成比例定理求解.
(2)若已知条件中无平行线,但已知线段的比,可先通过作平行线创造应用定理的条件.
【变式训练】
1.(2023·仙桃中考)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,点D在边AC上,且BD平分△ABC的周长,则BD的长是(C)
A. B. C. D.
2.(2022·金华中考)如图是一张矩形纸片ABCD,点E为AD中点,点F在BC上,把该纸片沿EF折叠,点A,B的对应点分别为A',B',A'E与BC相交于点G,B'A'的延长线过点C.若=,则的值为(A)
A.2 B. C. D.
3.如图,在△ABC中,点D是AB边上的一点,且AD=3BD,连接CD并取CD的中点E,连接BE,若∠ACD=∠BED=45°,且CD=6,则AB的长为　4　.
考点2　相似三角形的判定与性质
【例2】(2023·湘潭中考)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高.
(1)证明:△ABD∽△CBA;
(2)若AB=6,BC=10,求BD的长.
【自主解答】(1)∵AD是斜边BC上的高,
∴∠BDA=90°,
∵∠BAC=90°,
∴∠BDA=∠BAC,
又∵∠B为公共角,
∴△ABD∽△CBA;
(2)由(1)知△ABD∽△CBA,
∴=,∴=,
∴BD=3.6.
【方法技巧】
常见相似三角形的判定思路
已知条件 寻找关系
等角 另外一对角相等或夹边对应成比例
两边对应成比例 夹角相等
平行线 平行线分线段成比例,平行线得同位角相等,找等角
直角 三角形 斜边的高线,根据等角(同角)的余角相等,得相似直角三角形
注意:若题目中只是说两个三角形相似,而不是说“相似于(∽)”,则根据边的对应关系需分情况讨论.
【变式训练】
(2023·上海中考)如图,在梯形ABCD中AD∥BC,点F,E分别在线段BC,AC上,且∠FAC=∠ADE,AC=AD.
(1)求证:DE=AF;
(2)若∠ABC=∠CDE,求证:AF2=BF·CE.
【证明】(1)∵AD∥BC,
∴∠ACF=∠DAC,
∵∠FAC=∠ADE,AC=AD,
∴△ACF≌△DAE(ASA),
∴AF=DE;
(2)∵△ACF≌△DAE,
∴∠AFC=∠DEA,
∴∠AFB=∠DEC,
∵∠ABC=∠CDE,
∴△ABF∽△CDE,
∴=,
∴AF·DE=BF·CE,
∵AF=DE,∴AF2=BF·CE.
考点3　位似
【例3】 (2024·浙江中考)如图,在平面直角坐标系中,△ABC与△A'B'C'是位似图形,位似中心为点O.若点A(-3,1)的对应点为A'(-6,2),则点B(-2,4)的对应点B'的坐标为(A)
A.(-4,8)　 B.(8,-4)
C.(-8,4)　 D.(4,-8)
【方法技巧】
位似图形的性质
(1)注意位似和相似的关系:位似图形一定是相似图形,但相似图形不一定是位似图形.
(2)注意位似中心的位置:位似中心可能在图形外,也可能在图形内或图形上.
(3)注意关于原点的位似:在平面直角坐标系中,一个图形关于原点的位似图形有两个,一个同象限,一个异象限.
【变式训练】
1.(2024·凉山州中考)如图,一块面积为60 cm2的三角形硬纸板(记为△ABC)平行于投影面时,在点光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1,若OB∶BB1=2∶3,则△A1B1C1的面积是(D)
A.90 cm2　 B.135 cm2
C.150 cm2　 D.375 cm2
2.(2023·长沙岳麓模拟)如图所示,△ABC与△DEF是位似图形,点O为位似中心.若AD=3OA,△ABC的周长为5,则△DEF的周长为(A)
A.10 B.15 C.25 D.125
3. (2023·岳阳一模)如图,图形甲与图形乙是位似图形,O是位似中心,位似比为2∶3,点A,B的对应点分别为点A',B'.若AB=6,则A'B'的长为　9　.
考点4　三角形内置四边形
【例4】(教材原题·湘教版九年级上册·P90T9)如图, △ABC为锐角三角形, AD是边 BC上的高,正方形EFGH的一边 EF在 BC上, 顶点 G, H分别在 AC, AB上. 已知BC=30 cm, AD=20 cm,求这个正方形的边长.
【自主解答】如图,
∵四边形EFGH为正方形,∴HG∥BC,
∴△AHG∽△ABC,∴=,
设正方形的边长为x, 则AK=20-x, HG=x,
∴=,解得x = 12,
即正方形EFGH的边长为12 cm.
【方法技巧】
三角形内置正方形(矩形)
三角形内置正方形或矩形,或有多个正方形,只要考虑到相似三角形对应高的比等于相似比,就可以轻松解决问题.
【变式训练】
1.(2023·济南二模)如图,△ABC中,AB=AC=12,BC=8.正方形DEFG的顶点E,F在△ABC内,顶点D,G分别在AB,AC上,AD=AG,DG=4.则点F到BC的距离为(C)
A.1 B.2
C.4-4 D.8-4
2.如图,将△ABC的AB边与刻度尺的边缘重合,点A,D,B分别对应刻度尺上的整数刻度.已知DE∥AC,EF∥AB,AF=1.8,下列结论不一定正确的是(B)
A.AC=3　 B.CE=3
C.DE=1.8　 D.EF=4
1.(2024·湖南中考)如图,在△ABC中,点D,E分别为边AB,AC的中点.下列结论中,错误的是(D)
A.DE∥BC　
B.△ADE∽△ABC
C.BC=2DE　
D.S△ADE=S△ABC
2.(2023·娄底中考)如图,AB,CD相交于点E,且AC∥EF∥DB,点C,F,B在同一条直线上.已知AC=p,EF=r,DB=q,则p,q,r之间满足的数量关系式是(C)
A.+= B.+=
C.+= D.+=
3.(2024·长沙中考)如图,在菱形ABCD中,AB=6,∠B=30°,点E是BC边上的动点,连接AE,DE,过点A作AF⊥DE于点F.设DE=x,AF=y,则y与x之间的函数表达式为(不考虑自变量x的取值范围)(C)
A.y= B.y=
C.y= D.y=
4.(2023·长沙中考)将矩形纸片ABCD(AB①△ABE和△ECF一定相似;②△ABE和△ECF不可能全等;③△ABE和△AEF不可能全等;④△ABE和△AEF有可能相似.
5.(2023·邵阳中考)如图,CA⊥AD,ED⊥AD,点B是线段AD上的一点,且CB⊥BE.已知AB=8,AC=6,DE=4.
(1)证明:△ABC∽△DEB.
(2)求线段BD的长.
【解析】(1)∵CA⊥AD,ED⊥AD,CB⊥BE,
∴∠A=∠D=∠CBE=90°,
∴∠C+∠CBA=90°,∠CBA+∠DBE=90°,
∴∠C=∠DBE,∴△ABC∽△DEB;
(2)∵△ABC∽△DEB,
∴=,∴=,∴BD=3.
跟踪诊断,请使用“高效提分作业”
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